В гл. 8 было рассмотрено взаимодействие света с атомной средой вне резонанса. В этом случае отсутствуют переходы между атомными энергетическими уровнями. Сильнейшими переходами в оптической области являются электрические дипольные переходы. Следовательно, в любой ситуации, в которой электромагнитное излучение взаимодействует с электрическими диюлями, мы должны учесть пространственное распространение эффектов из-за коротких длин волн. Это не так в случае магнитного резонанса, так как излучение магнитного диполя имеет длины волн, по крайней мере равные миллиметру или больше. Задача этого раздела заключается в изучении вопроса о распространении электромагнитного излучения, которое резонирует или близко к резонансу с энергетическими уровнями двухуровневой атомной системы. В разд. 7.8 мы изучали такие системы, используя гамильтониан двухуровневой системы и уравнение движения Гейзенберга, и получили так называемые уравнения Блоха (7.8.33), олисывающие взаимодействие поля $E$ с двухуровневой атомной системой. Обобщепие этих уравнений после включения феноменологически диссипативных членов выглядит следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\dot{p}=\frac{2 p}{h} E N+\omega_{\mathrm{s}}^{\prime} Q-P / T_{\mathrm{tr}}, \\
\dot{Q}=-\omega_{\mathrm{s}}^{\prime} P-Q / T_{\mathrm{tr}}, \\
\dot{N}=-\frac{2 p}{h} E P-\frac{\left(N-N_{\mathrm{eq}}\right)}{T_{L}} .
\end{array}
\]

Эти уравнения называются оптическими уравнениями Блоха. Здесь $E$ – электрическое поле, $P$ и $Q$ – функции поляризации, $N$ – число заполнения ( $-1<N<1$ ), которое дает меру атомной инверсни. Постоянная $p$ есть электрическая напряженность диполя, $\omega_{s}^{\prime}$ – резонансная частота діухуровневого атома, $\omega_{s}$ частота падающей волиы взаимодействующего поля. Вообще говоря, эти две частоты в точности равны, но колебание каждого отдельного атома приводит к сдвигу Доплера каждой индивидуальной атомной частоты и поэтому $\omega_{s}^{\prime}$ будет принимать континуум значений, сгруппированных вокруг $\omega_{s}$. С возможностями современной технологии нетрудно создать устройство, генерирующее импульсы света продолжительностью в наносекунду имеют продолжительность импульса огибающей, мы рассматриваем ситуацию, в которой начальный импульс имеет форму падающей волны, резонансной с двухуровневыми атомами. Для имильса большей продолжительности существенно включить в (9.3.1) – (9.3.3) важные члены, описывающие затухание. Величины $T_{\mathrm{tr}}$ и $T_{L}$ называются временами атомной релаксации, названными так из-за того, что атомные верхние состояния могут иметь конечные времена жизни, а $N_{\text {сq }}$ есть равновесное значение числа заполнения, когда поле не приложено. Однако для импульса продолжительностыо в 1 нс или меньше, в частности, когда наша среда взята в виде разреженного газа, можно иметь $T_{\mathrm{tr}}$ и $T_{L}$ значительно большими, чем времена продолжительности импульса. Как следствие импульсы вступят во взаимодействие со средой раньше, нежели наступят какие-либо релаксационные эффекты, н в этом случае можно пренебречь диссилативными членами в уравнениях Блоха. Мы еще вернемся к этому случаю в разд. 9.5.

В рамках этих ограничений становится ясно, что рассматриваемая система соответствует категории II из разд. 9.1. Тот факт, что атомы способны поглощать, а затем снова испускать приходящий импульс света, определенно указывает на то, что чисто
нейтрально устойчивое распространение волны больше не происходит и что НЛШ-уравнение едва ли может появиться как амнлитудное уравнение для импульса огибающей. В самом деле, в разд. 7.8 было показано, что уравнение Блоха для простой медленно меняющейся огибающей сводится к уравнению СГ, а не к НЛШ-уравнешию. Наша цель в этом разделе состоит в том, чтобы подтвердить этот результат, показав, что обсуждаемая система неустойчива и описывается $A B$-уравнениями, сводящимися к уравнению СГ. В действительности уравнения Блоха, объединенные с уравнениями Максвелла для поля $E$, дают классический пример неустойчивости категории II. Наши вычисления, более длинные, чем в разд. 7.8, дают возможность неосведомленному читателю шаг за шагом проследить за всеми подробностями. Прежде чем начать вычисления, мы присоединим к уже написанным уравнениям уравнение Максвелла, добавляющее к полю $E$ поляризацию $Q$ :
\[
\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) E=\frac{4 \pi n p}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} Q(x, t ; \Delta) g(\Delta) d \Delta .
\]

Интеграл в правой части (9.3.4) важен в оптике, поскольку он позволяет учесть доплеровский сдвиг резонансной частоты для всех индивидуальных атомов, совершающих случайные колебания. Этот эффект называется «неоднородным уширением»; функция $g(\Delta)$ является симметричной нормированной функцией распределения, возможно, гауссовой или лоренцевой. Величина $\Delta=$ = $\omega_{s}^{\prime}-\omega_{s}$; опа определяет степень \”внерезонансности» каждого атома. Поскольку мы имеем больше $10^{12}$ атомов, то суммарный эффект от всех этих атомов может быть представлен интегралом. Неоднородное уширение важно как с математической, так и с физической точки зрения, поскольку оно дает нам то, что называется «теоремой площадей», с которой мы будем иметь дело поздиее в этом разделе. Однако пока без потери физического смысла мы возьмем $g(\Delta)=\delta(\Lambda)$ (острая дельтообразная функция вблизи резонанса) для проведепия следующих вычислений. По мере вычислений мы сможем учесть то обсгоятельство, что $g(\Delta)$ распределение общего вида. С уравнениями (9.3.1)-(9.3.4) легче обращаться, если перейти к безразмерным переменннм. Определим безразмерные электрическое поле, поляризацию, пространственную и временную переменные следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
\frac{2 p}{h \omega_{s}} \cdot E \rightarrow E ; \quad P \rightarrow P ; \quad Q \rightarrow Q ; \quad N \rightarrow N ; \\
\omega_{s} t \rightarrow t ; \quad \omega_{\mathrm{B}} c^{-1} x \rightarrow x .
\end{array}
\]

Тогда уравнения Блоха и уравнение Максвелла примут следующий вид:
\[
\begin{aligned}
& E_{x x}-E_{t t}=\bar{\alpha} Q_{t t}, \\
P_{t}= & E N+Q, \quad \tilde{\alpha}=\frac{8 \pi n \rho^{2}}{h \omega_{s}}, \\
Q_{t}= & -P, \\
P(t)= & -E N,
\end{aligned}
\]

где $\bar{\alpha}-$ безразмерная постоянная, дающая меру взаимодействия между атомами и полем. Мы предлагаем следующий подход к уравнениям (9.3.5). Сначала мы покажем, что здесь имеется неустойчивость дисперсионного типа (категория II). Для этого необходимо рассмотреть равновесное решение уравнений (9.3.5): $E=P=Q=0, N=N_{0}$. Это означает, что вначале атомы могут єстартовать» с некоторым числом заполнения $N_{0}\left(-1<N_{0}<1\right.$ ).

Эксперименты в аттенюаторе начинаются с $N_{0}=-1$, но, как мы увидим, старт с более общего числа $N_{0}$ облегчает вычисления. Смысл того, что вначале $N_{0}=-1$, выявится позднее. Линеаризуя (9.3.5) около $N=N_{0}$ и исключая $Q$, найдем, что линейная часть может быть представлена в виде
\[
\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial^{\mathrm{a}}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} & \bar{\alpha} \frac{\partial}{\partial t} & 0 \\
-N_{0} \frac{\partial}{\partial t} & \frac{\partial^{\mathbf{a}}}{\partial t^{2}}+1 & 0 \\
0 & 0 & \frac{\partial}{\partial t}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
E \\
P \\
\bar{N}
\end{array}\right),
\]

где $N=N_{0}+\bar{N}(x, t)$. Дисперсионное соотношение, задаваемое определителем матрицы в правой части (9.3.6), в фурье-представлении будет иметь вид
\[
\omega\left[\left(\omega^{2}-k^{2}\right)\left(1-\omega^{2}\right)-\bar{\alpha} N_{0} \omega^{2}\right]=0 .
\]

Игнорируя ветвь $\omega=0$, получаем квадратное уравнение для $\omega^{2}$,
\[
\omega^{4}-\omega^{2}\left[k^{3}+1-\overline{\boldsymbol{\alpha}} N_{0}\right]+k^{2}=0,
\]

решения которого имеют вид
\[
2 \omega^{\mathbf{2}}=\left(k^{\mathbf{2}}+1-\overline{\boldsymbol{\alpha}} N_{0}\right) \pm\left[\left(k^{2}+1-\bar{\alpha} N_{0}\right)^{2}-4 k^{2}\right]^{1 / 2} .
\]

Теперь легко видеть, что мы имеем дисперсионную неустойчивость типа, рассмотренного в разд. 9.1. Нейтральная устойчивость имеет место, когда
\[
\left(k^{2}+1-\bar{\alpha} N_{0}\right)^{2}-4 k^{2} \geqslant 0
\]

а неустойчивость случится, когда дискриминант отрицательный. Неравенство (9.3.10) можно записать в виде
\[
(k+1)^{2} \leqslant \bar{a} N_{0} \leqslant(k-1)^{2} .
\]

Не обращая виимания на левую часть, которая учитывается только для отрицательных волновых чисел, мы получим чисто параболическую нейтральную кривую
\[
\begin{array}{l}
N_{0}=(\bar{\alpha})^{-1}(k-1)^{2}, \\
\left(N_{0}\right)_{\mathrm{e}}=0, \quad k_{\mathrm{c}}=1
\end{array}
\]

с критической точкой $(0,1)$. C физической точки зрения не удивительно, что большинство неустойчивых волновых чисел (и поэтому частот в безразмерных единицах) совпадает с резонансной частотой. Поскольку дискриминант равен нулю в критической точке, то, в силу (9.39), фазовая скорость равна единице. Вычисление групповой скорости более сложно из-за квадратных корней. Используя (9.3.12) и дифференцируя (9.3.9) по $k$, а затем переходя к пределу $\bar{\alpha} N \rightarrow(k-1)^{2}$, находим, что
\[
\left(\frac{d \omega}{\partial k_{\mathrm{c}}}\right)=\left.\frac{2 k \pm 2 k}{4 \omega}\right|_{k, \omega \rightarrow 1}=1 \text { и } 0 .
\]

Мы имеем теперь два значения групповой скорости, предсказанные в разд. 9.1 для падающей волны.

Вернемся теперь к многомасштабным разложениям для (9.3.5), произведенным около ( $k_{\mathrm{c}}-\varepsilon$; $k_{\mathrm{c}}+\varepsilon$ ). Имеем
\[
\begin{array}{c}
\bar{\alpha} N_{0}= \pm \varepsilon^{2}+\cdots, \\
N=N_{0}+\varepsilon N^{(1)}+\varepsilon^{2} N^{(2)}+\cdots .
\end{array}
\]

Проще исключить $Q$ из уравнений (9.3.5) и оставить только $E$, $P$ и $N$.

Мы должны также помнить, что $\bar{\alpha} N$ вычисляется в критической точке и поэтому должно быть записано, как в (9.3.15). Исключая $P$ и $Q$ из (9.3.5), получим при первых трех порядках по $\varepsilon$ :
\[
\begin{aligned}
O(\varepsilon): & \left\{\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right\}\left\{\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}+1\right\} E^{(1)}-0, \\
O\left(\varepsilon^{2}\right): & \hat{\mathscr{L}} E^{(2)}=-2\left\{\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial X_{1}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{1}}\right)\left(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}+1\right)+\right. \\
& \left.\quad+\frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{1}}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right)\right\} E^{(1)}-\bar{\alpha} \partial^{2} / \partial t^{2}\left(E^{(1)} N^{(1)}\right), \quad(9.3 .18) \\
O\left(\varepsilon^{3}\right): & \hat{\mathscr{L}} E^{(3)}=\hat{M} E^{(2)}-\left\{\frac{\partial^{2}}{\partial X_{1}^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial T_{1}^{2}}-2 \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{2}}\right)\left(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}+1\right)+ \\
& +2\left(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}+1\right)\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial X_{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{2}}\right)+2\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) \frac{\partial^{3}}{\partial t \partial T_{2}}+
\end{aligned}
\]

\[
\begin{array}{l}
+\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right)\left(\frac{\partial^{2}}{\partial T_{1}^{2}}+2 \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{2}}\right)+ \\
+\overline{\boldsymbol{\alpha}} \frac{\partial^{2}}{\partial i^{2}}\left\{ \pm E^{(1)}+N^{(1)} E^{(2)}+N^{(2)} E^{(1)}\right\}+ \\
\left.+4 \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{1}}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial X_{1}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{1}}\right)\right\} E^{(1)}-2 \bar{a} \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{1}} E^{(1)} N^{(1)}
\end{array}
\]

где $\hat{\mathscr{L}}$ – оператор в (9.3.17), а $\hat{M}$ – оператор, действующий на $E^{(1)}$ в правой части (9.3.18).

Прежде чем обсудить решения вышенаписанных уравнений, рассмотрим уравнение $N_{t}=-E P$ в комбинации с уравнением Максвелла. Последнее дает
\[
\begin{array}{c}
O(\mathrm{\varepsilon}): \quad-\overline{\boldsymbol{\alpha}} \frac{\partial P^{(1)}}{\partial t}=\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) E^{(1)}, \\
O\left(\mathbf{8}^{2}\right): \quad-\bar{\alpha}\left[\frac{\partial P^{(2)}}{\partial t}+\frac{\partial P^{(1)}}{\partial T_{2}}\right]=\left(\frac{\partial^{\mathbf{2}}}{\partial X^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) E^{(2)}+ \\
+2\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial X_{1}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{1}}\right) E^{(1)},
\end{array}
\]

в то время как из первого получается:
\[
\begin{aligned}
O(\varepsilon): \quad N_{i}^{(1)} & =0 \\
O\left(\mathrm{e}^{2}\right): \quad N_{t}^{(2)}+\frac{\partial N^{(1)}}{\partial T_{1}} & =-E^{(1)} P^{(1)}, \\
O\left(\mathrm{e}^{3}\right): \frac{\partial N^{(1)}}{\partial T_{2}}+\frac{\partial N^{(2)}}{\partial T_{1}}+N_{t}^{3} & =-E^{(1)} P^{(2)}-E^{(2)} P^{(1)} .
\end{aligned}
\]

Мы рассмотрим сейчас эти уравнения для того, чтобы найти множество эволюционных уравнений для огибающей. Помня, что мы находимся в критической точке $k_{\mathrm{c}}=\omega_{\mathrm{Rc}}=1$, получим решение уравнения (9.3.17) в виде
\[
\begin{aligned}
E^{(1)} & =\mathscr{E}\left(X, T_{1}, T_{2}\right) \exp (i \theta)+\text { c. c., } \\
\theta & =(x-t)+\delta,
\end{aligned}
\]

где 8 – медленно меняющаяся амплитудная функция. Из (9.3.20) получается непосредственно, что $P_{t}^{\prime}=0$, и поэтому в общем случае $P^{(1)}=P^{(1)}\left(x, X_{1}, T_{1}, T_{2}\right)$. Однако благодаря этому в (9.3.21) появится постоянный секулырпый член, следовательно, мы должны взять $P^{(1)}=0$. Снова (9.3.22) дает $N^{(1)}=N^{(1)}(x$, $X_{1}, T_{1}, T_{2}$ ). Это вызовет в свою очередь появление секулярного члена в выражении $\partial^{2}\left(E^{(1)} N^{(1)}\right) / \partial t^{2}$ из (9.3.18), и, значит, мы должны положить $N^{(1)}=0$. Из (9.3.23) мы затем получаем $N^{(2)}=$ $=D\left(x, X_{1}, T_{1}\right)$.

Пренебрегая возможной зависимостью от $x$, запишем $N^{(2)}$ в виде
\[
N^{(2)}=D\left(X_{\mathbf{1}}, T_{1}\right) .
\]

Эта функция $D$ играет ту же роль, что и функция $\mathbf{D}$ в уравнении (9.1.32), хотя здесь нам нужна лишь одна компонента. Возвращаясь теперь к уравнению (9.3.18) и производя вычисления в точках $N_{0}=0, k_{\mathrm{c}}=\omega_{\mathrm{Rc}}=1$, мы находим немедленно, что $\mathscr{\mathscr { L }} E^{(2)}=$ $=0$. Это то же уравнение, что и в начальной лицейной задаче (9.3.17) для $E^{(1)}$. Выражение для $E^{(2)}$ будет тогда содержать экспоненту $\exp (i \theta)$ у решения, первый члег которого в правой части (9.3.21) будет обращаться в нуль при $k_{\mathrm{c}}=\omega_{\mathrm{c}}=1$. Так как $P(1)=0$, это уравнение можно проинтегрировать; тогда
\[
P^{(2)}=\frac{2}{\bar{a}}\left(\frac{\partial \mathscr{E}}{\partial X_{1}}+\frac{\partial \mathscr{E}}{\partial T_{1}}\right) \exp (i \theta)+\text { c. c. }
\]

Подставляя эту формулу для $P^{(2)}$ в (9.3.24), получим
\[
N_{t}^{(3)}=-\frac{\partial D}{\partial T_{1}}-\frac{2}{\breve{\alpha}}\left[\left(\frac{\partial}{\partial X_{1}}+\frac{\partial}{\partial T_{1}}\right)|\mathscr{E}|^{2}\right] .
\]

Два члена в правой части (9.3.28) являются функциями только от медленных переменных, но при интегрировании приведут к явной зависимости $N^{(3)}$ от $t$. Чтобы сохранить пригодность теории возмущений при $t \gg \varepsilon^{-1}$, мы должны исключить эту зависимость и, значит, положить
\[
\frac{\partial D}{\partial T_{1}}=-\frac{2}{\bar{\alpha}}\left(\frac{\partial}{\partial X_{1}}+\frac{\partial}{\partial T_{1}}\right)|\mathscr{E}|^{2} .
\]

Наконец, мы обратимся к задаче $O\left(\varepsilon^{3}\right)$ уравнения (9.3.19). Пользуясь тем, что $N^{(1)}=0, N^{(2)}=D$ и т. Д., уберем секулярные члены в $\exp (i \theta)$ из (9.3.19) и получим при $k_{\mathrm{c}}=1$ уравпение
\[
\frac{\partial}{\partial T_{1}}\left(\frac{\partial}{\partial \bar{X}_{1}}+\frac{\partial}{\partial T_{\mathbf{1}}}\right) \mathscr{E}=\frac{1}{4} \bar{a}[ \pm \mathscr{E}+\mathscr{E} D] .
\]

Заметим, что уравнения (9.3.30) и (9.3.29) являются $A B$-уравнениями разд. 9.1 и 9.2 , где $\alpha_{1}=\bar{\alpha} / 4 ; B=-1 / 2 \bar{\alpha} D, \quad \beta_{1}=1 / 2$; $c_{2}=0 ; c_{1}=1$. Здесь нет необходимости образовать линейную комбинацию для создания $B$ из олераторов $\partial / \partial T, \partial / \partial T+\partial / \partial X$, поскольку только одна функция $D$ в действительности появляется при вычислениях, и образование пары операторов с $c_{1}=1$, $c_{2}=0$ получается точно так, как предсказано в (9.3.14). Заметим также, что производные по $X_{2}$ и $T_{2}$ обращаются в нуль в критической точке.

В разд. 9.2 мы обсуждали различные свойства решений $A B$ уравиений по отношению к знакам $\pm$, т. е. по отношению к нади подкритическим состояниям. Отрицательный (положительный) знак отвечает «старту» системы ниже (выше) $N_{0}=0$. На первый взгляд кажется, что здесь имеется противоречие с экснериментом, поскольку распространение солитона произойдет, если вначале $N_{0}=-1$. Однако наша оценка в из уравнений (9.3.15), где $\mu=$ $=N_{0}=-1$, имеет вид
\[
\varepsilon \sim(\overline{\boldsymbol{\alpha}})^{1 / 2}
\]

СИП-эксперименты обычно совершаются при низких плотностях и оценка для $\varepsilon$, которая зависит от атомной плотности, соответствует $\bar{\alpha} \simeq 0.01$ (Олбек и др. [1973]). Поскольку $N_{0}=-1$, имеем в $\simeq 0.1$, т. е. $\varepsilon$ достаточно мало для того, чтобы играть роль малого параметра разложения. Если плотность слишком высока, то $N_{0}=-1$ (вся система находится в основном состоянии) делает $\varepsilon$ слишком большим и, следовательно, $A B$-уравнения более несправедливы. Стало быть, для распространения солитона необходима низкая плотность, когда в начале $N_{0}=\ldots 1$.

Чтобы обсудить мнгосолитонные решения уравнений (9.3.29), (9.3.30), вылолним следуюцие преобразования. Положим
\[
\left(\frac{\partial}{\partial X_{1}}+\frac{\partial}{\partial T_{1}}\right) \mathscr{E}= \pm\left(\frac{1}{4} \bar{\alpha}\right) \mathscr{P}, D= \pm(N-1) .
\]

Уравнения $(9.3 .29),(9.3 .30)$ приводнтся к виду
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial}{\partial X_{1}}+\frac{\partial}{\partial T_{1}}\right) \mathscr{E}= \pm \alpha^{1} \mathscr{P}, \quad \alpha^{1}=\frac{1}{4} \bar{\alpha}, \\
\frac{\partial \mathscr{P}}{\partial T_{1}}=\mathscr{E} N \\
\mathscr{E} \mathscr{P} \rightarrow 0 \\
\frac{\partial N}{\partial T_{1}}=-\frac{1}{4}\left(\mathscr{C}^{*} \mathscr{P}+\mathscr{E P}^{*}\right), \quad N \rightarrow \pm 1, \\
\text { при }\left|X_{1}\right| \rightarrow \infty, \\
\end{array}
\]

и мы заметим, что $N^{2}+\mathscr{P}
ot{ }^{*}$ есть сохраняемая величина, равная едннице. Уравнепия (9.3.29), (9.3.30) более известны как СИПуравнения или уравнения самоиндуцированной прозрачности, где шоложительный (отрицательный) знак стоит в случае, когда среда является усилителем (аттенюатором). Из прямой и обратной задач рассеяния гл. 6 формулы для $N$-солитонного решения (без фазового изменения) имеют вид:
\[
\begin{aligned}
\mathscr{8}^{2} & =4 \frac{\partial^{2}}{\partial T_{1}^{2}} \ln \operatorname{det}|M|, \\
M_{2 j} & =\frac{2}{E_{i}+E_{j}} \operatorname{ch}\left[1 / 2\left(\theta_{i}+\theta_{j}\right)\right] \\
\theta_{i} & ={ }^{1 / 2}\left(E_{i} T_{1}-\Omega_{i} X_{\mathbf{i}}\right) \vdash^{1 / 2} \delta_{i}, \\
v_{i} & =\frac{\Omega_{i}}{E_{i}} 1 \pm \frac{4 \alpha^{\prime}}{E_{i}^{2}} .
\end{aligned}
\]

Односолитонная формула имеет вид
\[
\mathscr{E}=E_{1} \operatorname{sech}^{1 / 2}\left[E_{1} T_{1}-\Omega_{i} X_{1}+\delta_{i}\right],
\]
a 2 – или 3-солитонные формулы могут быть рассчитаны из формулы для определителя. В экспериментальной и теоретической литературе по нелинейной оптике солитоны в формулах (9.3.35) называются « $2 \pi$-импульсами\”, потому что заметаемая ими во времени площадь равна
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \mathbb{E} d T_{1}=2 \pi
\]

Рнс. 9.3.
Нетрудно показать, что $n$-солитонное решение заметает площадь, равную $2 n \pi$. На рис. 9.3 показан начальный импульс с плоцадью по времени, равной $4 \pi$, разбивающийся на два $2 \pi$-импульса, или солитона. Можно получать чисто мнимые собственные значения (связанные состояния с отрицательной энергией), но можно также получить и бризерные решения, обсуждавшиеся в гл. 6 и отвечающие парам комплексно сопряженных собственных значений. Эти осциллирующие бризерные решения заметают нулевую площадь. В оптике они называются $0 \pi$-импульсами. Такое решение изображено на рис. 9.4.

На языке преобразования обратной задачи рассеяния любые начальные данные, имеющие $N$ дискретных собственных значений ( $N$ связанных состояний), дают $N$ 2л-импульсов, плюс, возможно, осциллирующую часть, отвечающую непрерывной части спектра начальных данных.

Заметим, что, в силу (9.3.34), солитонные скорости $v_{i}$ больше единицы для усилителей (верхний знак), но меньше единицы для аттенюаторов (нижний знак). Следовательно, $2 \pi$-импульс в усилителе неустойчив, так как он движется быстрее света и, значит, не причинный. Однако $2 \pi$-импульс в аттенюаторе устойчив. Усилитель эквивалентен стартовому положению атомов в их верхних состояниях (все маятники вверх), поэтому приходящий 2лимпульс будет разрушаться, поскольку он имеет резервуар потенциальной энергии, из которого ее можно черпать. 2л-формула, которую мы имеем, приведена для точного резонанса без фазового изменения. В общем случае $\mathscr{E}$ комплексно и поэтому содержит фазовый множитель, который медленно меняется в пространстве и времени по сравнению с частотой падакцей волны и волновым числом. Включение медленно меняющейся фазы слегка меняет

Рис. 9.4.
несущую частоту и волновое число; это явление известно как чирпинг («чириканье»).
Неоднородное уиирение и теорема площадеа
До этого места мы игнорировали влияние неоднородного уширения на структуру решений СИП-уравнений. Это заключалось в том, что мы взяли в качестве $g(\Delta)$ дельта-функцию Дирака, сосредоточенную около резонансной частоты. Включенне, интеграла в уравнение Максвелла делает вычисления, связанные с многомасштабыным растяжениями, более сложными.

Задача линейной устойчивости включает неоднородное интегральное среднее. Необходимо сделать предположение, что удаление от резонаиса для каждого атома мало по сравнению с резонансной частотой. Это позволит найти нейтральную кривую. Мы не будем повторять здесь вычисления. Достаточно сказать, что выбор

дает
\[
\mathscr{E}=\mathscr{E}_{\mathrm{R}} \exp (i \varphi), \quad \mathscr{P}=(u+i v) \exp (i \varphi)
\]
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{\partial}{\partial X_{1}}+\frac{\partial}{\partial T_{2}}\right) \mathscr{E}_{\mathrm{R}} & = \pm \alpha^{\prime} \int_{-\infty}^{\infty} g(\Delta) u d \Delta, \\
E_{\mathrm{R}}\left(\frac{\partial}{\partial X_{1}}+\frac{\partial}{\partial T_{2}}\right) \Phi & = \pm \alpha^{\prime} \int_{-\infty}^{\infty} g(\Delta) v d \Delta,
\end{aligned}
\]

\[
\begin{array}{c}
\frac{d u}{\partial T_{1}}=\mathscr{E}_{\mathrm{R}} N+\frac{\partial \Phi}{\partial T_{1}} v, \\
\frac{\partial \tau_{1}}{\partial T_{1}}=-\frac{\partial \Phi}{\partial T_{1}} \cdot u, \quad \frac{\partial N}{\partial T_{1}}=-\mathscr{E}_{\mathrm{R}} u .
\end{array}
\]

Выбор $\Phi=\Delta T_{1}$ вместе с предположениями: (а) что два дифференциальных оператора независимы (какими они были в ISTвычислениях гл. 6), и (б) что $v$ антисимметрична по $\Delta$, позволяет привести уравнения (9.3.38), (9.3.39) к виду
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{\partial}{\partial X_{1}}+\frac{\partial}{T_{1}}\right) \mathscr{E}_{\mathrm{R}}= \pm \alpha^{\prime} \int_{-\infty}^{\infty} u g(\Delta) d \Delta, \\
\frac{\partial u}{\partial T_{1}}=\mathscr{E}_{\mathrm{R}} N+\Delta v, \quad \frac{\partial v}{\partial T_{1}}=-\Delta u ; \quad \frac{\partial N}{\partial T_{1}}=-\mathscr{E}_{\mathrm{R}} u .
\end{array}
\]

Заметим, что $u, v$ и $N$ суть функции $\Delta$, однако $\mathscr{E}_{\mathrm{R}}$ не является функцией $\Delta$, поскольку она есть макроскопическая переменная. Чтобы доказать, что уравнения (9.3.40) интегрируемы методом обратной задачи рассеяния, необходимо показать, что (9.3.40) интегрируемо без интеграла неоднородного уширения:
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{\partial}{\partial X_{1}}+\frac{\partial}{\partial T_{1}}\right) \mathscr{E}_{\mathrm{R}}= \pm \alpha^{\prime} u, \quad \frac{\partial u}{\partial T_{1}}=\mathscr{E}_{\mathrm{R}} N+\Delta v, \\
\frac{\partial v}{\partial T_{1}}=-\Delta u, \quad \frac{\partial N}{\partial T_{1}}=-\mathscr{E}_{\mathrm{R}} u
\end{array}
\]

Эти уравнения известны как редуцированные уравнения Максвелла – Блоха (РМБ). Заметим, что, как было показано в гл. 6, эта система интегрируема методом ЗШ-АНҚС обратной задачи рассеяния. В этой главе показано, что уравнения РМБ имеют $N$-солитонные решения той же самой структурной формы, что и СГ/СИП-уравнения (как мКдФ-уравнения), поскольку задача на собственные значения та же самая, только изменение во времени собственных функций другое. Вид $N$-солитонного решения уравнения РМБ в точности тот же, что н в $(9.4 .34)$, разве лишь с изменением в $\Omega_{i}$ :
\[
v_{i}=\frac{\Omega_{i}}{E_{i}}=1 \mp \frac{4 \alpha^{\prime}}{E_{i}^{2}+4 \Delta^{2}} .
\]

Интеграл неоднородного уширения привел лишь к введению процедуры усреднення в средние скорости солитона:
\[
v_{i}=\frac{\Omega_{i}}{E_{i}}=1 \mp \int_{-\infty}^{\infty} \frac{4 \alpha^{\prime} g(\Delta) d \Delta}{E_{i}^{2}+4 \Delta^{2}},
\]

а остальные солитонные формулы те же, что в (9.3.34). Этот результат легко приспособить для одно- и двухсолитонных решений. Мы отсылаем читателя к примечаниям этой главы, содержацим ссылки и дальнейшие комментарии к методу обратной задачи рассеяния для решения уравнений (9.3.40).

Как видно, неоднородное уширение мало влияет на солитонные решения СИП-уравнений, если не считать изменения солитонных скоростей. Однако включение неоднородного уширения вносит существенное различие в информацию, которую мы можем извлечь из (9.3.40). Включая усредненный интеграл, можно получить факт, известный как «теорема площадей» для площади на временно̀й шкале заданного импульса. Определим суммарную временну́ю площадь импульса как функцию $\theta(x)$, заданную равенством
\[
\theta(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \mathscr{E}_{\mathrm{R}}\left(X_{1}, T_{1}\right) d T_{1} .
\]

Прежде всего проинтегрируем первое уравнение в (9.3.40) по $T_{1}$ от $-\infty$ до $\tau$. Получим
\[
\begin{aligned}
\mathscr{E}_{\mathrm{R}}\left(X_{1}, \tau\right)-\mathscr{E}_{\mathrm{R}}\left(X_{1},\right. & -\infty)+\frac{\partial}{\partial X_{1}} \int_{-\infty}^{\tau} \mathscr{E}_{\mathrm{R}}\left(X_{1}, T_{1}\right) d T_{1}= \\
& =\int_{-\infty}^{\infty} d \Delta g(\Delta) \int_{-\infty}^{\tau} u\left(X_{1}, T_{1}, \Delta\right) d T_{1} .
\end{aligned}
\]

Чтобы вычислить $u$, исключим $v$ из (9.3.40):
\[
\frac{\partial^{2} u}{\partial T_{1}^{2}}+\Delta^{2} u=\frac{d}{d T_{1}}\left(\mathscr{E}_{\mathrm{R}} N\right)
\]

и затем представим решение (9.3.46) с помощью функции Грина в следующем виде:
\[
u\left(X_{1}, T_{1}, \Delta\right)=\int_{-\infty}^{r} d T^{\prime} \Delta^{-1} \sin \left[\Delta\left(T_{1}-T^{\prime}\right)\right] d\left(\mathscr{E}_{R}^{\prime} N^{\prime}\right) / d T^{\prime} .
\]

Подставляя $и$ из (9.3.47) в (9.3.45), после замены порядка интегрирования и перехода к пределу получим формулу

\[
\begin{array}{l}
\mathscr{E}_{\mathrm{R}}\left(X_{1}, T_{1}\right)+\frac{\partial}{\partial X_{1}} \int_{-\infty}^{T_{\mathrm{t}}} \mathscr{E}_{\mathrm{R}}\left(X_{1}, T_{1}^{\prime}\right) d T_{1}^{\prime}= \\
\quad \pm \pm\left. 2 \pi g(0) \propto \int_{-\infty}^{T_{1}} \mathscr{E}_{\mathrm{R}}\left(X_{1}, T_{1}^{\prime}\right) N\left(X_{1}, T_{1}^{\prime}, \Delta\right) d T_{1}^{\prime}\right|_{\Delta=0}
\end{array}
\]

При выводе (9.3.48) предполагалось, что $\mathscr{E}_{\mathrm{R}} \rightarrow 0$ лри $T_{1} \rightarrow \pm \infty$. Поскольку подынтегральное выражение в (9.3.48) вычисляется при $\Delta=0$, то можно, рассматривая при $\Delta=0$ систему уравнений Блоха (9.3.40), ввести новую переменную $\varphi$, такую что $u=$ $=\sin \varphi, N=\cos \varphi$ и, значит, $\mathscr{E}_{\mathrm{R}}=\partial \varphi / \partial T_{1}$. Выполняя интегрирование в $(9.3 .48)\left(\mathscr{E}_{\mathrm{R}} N=\partial u / T_{1}\right)$ и переходя к пределу при $T_{1} \rightarrow \infty$, получим, замечая, что $\varphi\left(X_{1}, T_{1}\right) \rightarrow 0\left(X_{1}\right)$ при $T_{1} \rightarrow \infty$,
\[
\frac{\partial \theta}{\partial X_{1}}= \pm 2 \pi \alpha^{\prime} g(0) \sin \theta .
\]

Решая (9.3.49), находим
\[
\operatorname{tg}\left[\frac{1}{2} \theta\left(X_{1}\right)\right]=\left[\operatorname{tg} \frac{1}{2} \theta(0)\right] \exp \left[ \pm 2 \pi \alpha^{\prime} g(0) X_{1}\right] .
\]

Этот красивый результат был впервые получен Макколлом и Ханом $[1967,1969]$, он дает форму изменения временной площади произвольного импульса в любой точке среды. Очевидно, этот результат целиком зависит от включения неоднородного уширения; каждый атом излучает на внерезонансной частоте, близкой x резонансу, и теорема плоцадей является математическим выражением копперации атомов для формирования окончательной площади импульса. Она также выражает тот факт, что неоднородиое уширение, не действуя разрушительно на поведение солитонов, является в действительности кооперативным эффектом и дает возможность вычислить развитие площади произвольного импульса, проходящего через среду. Такого рода результаты невозможно получить для других солитонных уравнений.

Мы отмечали уже, что то, что мы назвали солитоном, в другом контексте, в нелинейной оптике, называется $2 \pi$-импульсом. 2лимпульс устойчив в аттенюаторе (нижний знак), но не устойчив в усилителе (верхний знак). Этот результат прекрасно согласуется р результатом, содержащимся в теореме площадей, и может быть эбяснен с помощью диаграммы. На рис. 9.5 внизу изображен график $\theta(x)$, причем нужно следовать слева направо вдоль кривой для аттенюатора, но справа налево для усилителя. Асимптоты ұля аттенюатора (слева направо) на рис. 9.5 суть $2 n \pi$, и любой импульс с площадью $\pi<\theta<2 \pi$ будет расти до $2 \pi$, в то время как любой импульс площади $0<\theta<\pi$ будет падать до нуля. этот рост или затухание не являются истинными ростом и зату
ханием, как в диссипативных системах, которые могут запасать или терять энергию, а скорее оказываются переформированием временной площади импульса. Это в свою очередь вызовет переформирование пространственной площади. Мы уже указали, что $2 \pi n$-импульсы в аттенюаторе устойчивы, потому что они причинны. Это те устойчивые импульсы, которые являются асимптотическими состояниями, в которые в конечном итоге превратится начальный импульс произвольной временной площади в пространстве. Однако для усилителя справедливо противоположное. А, именно $2 \pi$-им-

Рис. 9.5. Слева – аттенюотор, еправа – усилитель.
пульс в усилителе неустойчив, так как ему необходимо двигаться быстрее скорости света в вакууме, и на рис. 9.5 показано, что импульс $2 \pi-\varepsilon$ в конечном итоге превратится в $\pi$-импульс. Этот импульс стал бы $2 \pi$-импульсом в аттенюаторе. Асимптотические площади поэтому равны $(2 n+1) \pi$ для усилителя. Эти решения не являются солитонными решениями для СИП-уравнений, однако они эквнвалентны автомодельным решениям (см. примечания) СИП/СГ-уравнений.
Редуцированные уравнения Максвелла – Блоха: альтернативный подход к СИП-уравнениям

До сих пор мы применяли подход многомасштабных растяжений, разлагая уравнения Максвелла – Блоха (9.3.1)-(9.3.4) вблизи критической точки кривой нейтральной устойчивости и получая уравнения для медленно меняющейся огибающей с помощью теории возмущений.

Альтернативный подход к этому методу состоит в том, чтобы вернуться к исходной системе уравнений Максвелла – Блоха (9.3.1)-(9.3.4) и рассмотреть волны, движущиеся только направо. Эта редукция эквивалентна игнорированию обратного рассеяния или, на математическом языке, эквивалентна рассмотрению только одной характеристики уравнения Максвелла. Уравнение (9.3.4) теперь принимает вид
\[
\frac{\partial E}{\partial x}+\frac{1}{C} \frac{\partial E}{\partial t}=-\frac{2 \pi n p}{c^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} Q(x, t, \Delta) d \Delta .
\]

Это приближение приемлемо в предположении, что постоянная взаимодействия $\bar{a}$ между полем и атомами мала по сравнению с единицей. Эта постоянная $\bar{\alpha}$ пропорциональна атомной плотности и имеет значение $\sim 0.01$ для газообразных плотностей: $\left(n \leqslant 10^{18}\right.$ атом $\left./ \mathrm{cм}^{8}\right)$. Производя следующие замены в редуцированном уравнении Максвелла и уравнения Блоха: $\omega_{a} t \rightarrow t$, $\omega_{a} c^{-1} x \rightarrow x ; 2 p \omega_{a}^{-1} h E \rightarrow E ; \omega_{s}^{\prime} \omega_{a}^{-1} \rightarrow \omega_{s}^{\prime}$, находим, что они сводятся $\mathbf{к}$ уравнениям
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial E}{\partial x}+\frac{\partial E}{\partial t}=-\alpha_{a} \int_{-\infty}^{\infty} g(\Delta) Q_{t}(x, t, \Delta) d \Delta, \\
Q_{t}=-\omega_{t}^{\prime} P, \\
P_{t}=E N+\omega_{s}^{\prime} Q, \\
N_{t}=-E P,
\end{array}
\]

где $\omega_{\mathrm{a}}$ – типичная атомная частота, такая, что новая $\omega_{\mathrm{s}}^{\prime}$ будет порядка единицы и $\alpha_{a}$ определяется выражением
\[
\alpha_{a}=4 \pi n p^{2} /\left(h \omega_{a}\right) .
\]

Уравнения РМБ (9.3.52) имеют ту же математическую структуру, что и СИП-уравнения (9.3.40), хотя их физический смысл различен. В (9.3.40) $\mathscr{E}_{\mathrm{R}}$ есть вещественная часть огибающей электрического поля, в то время как в (9.3.52) $E$ все еще полное электрическое поле. Қак мы уже упоминали, уравнения РМБ являются интегрируемой системой: мы дали их солитонные решения в предыдущем подразделе. Одно- и двухсолитонные решения уравнений РМБ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
E(x, t)=E_{1} \operatorname{sech}\left\{\frac{1}{2} E_{1}\left[t-\Omega_{1} x\right]\right\}, \\
\Omega_{l}=1+\int_{-\infty}^{\infty} \frac{g(\Delta) \alpha_{i u} \omega_{s}^{\prime} d \omega_{s}^{\prime}}{E_{l}^{2}+4 \omega_{s}^{\prime 2}}, \\
E(x, t)=\left(\frac{E_{1}^{2}-E_{2}^{2}}{E_{1}^{2}+E_{2}^{2}}\right) \frac{E_{1} \operatorname{sech} \theta_{1}+E_{2} \operatorname{sech} \theta_{2}}{1-B_{12} \operatorname{th} \theta_{1} \operatorname{th} \theta_{2}+B_{12} \operatorname{sech} \theta_{1} \operatorname{sech} \theta_{2}}, \\
B_{12}=\frac{2 E_{1} E_{2}}{E_{1}^{2}+E_{2}^{2}} .
\end{array}
\]

Хотя они являются математически точными решениями уравнений РМБ, каждый солитон имеет продолжительность порядка фемтосекунды $\left((1 / 2) E_{1} \simeq \omega_{3}\right)$, а такой импульс нельзя реализовать в лаборатории. Они должны быть одновременно исключительно короткими и ультраинтенсивными (1000 тераВт/см²); эту интенсивность нельзя ни получить, ни ощутить, поскольку реальные диэлектрики будут распадаться. Эти решения справедливы для самого электрического поля, так как мы не сделали аппроксимаций по отношению к медленно меняющейся амплитуде огибающей. Однако мы напомним, что «бризерные» решения возможны, если мы возьмем $E_{1}$ и $E_{2}$ как антикомплексно сопряженные пары: $E_{1}=-E_{2}^{*}=E_{0}+2 i \omega_{\text {c. }}$. Если взять высокочастотный предел бризерного решения из (9.3.56), то снова получится решение, которое имеет форму быстрой осцилляции, модулированной медленно меняющейся огибающей. Эго следует сравнить с результатами для СИП-уравнения. После некоторых преобразований мы получим бризерные реџения уравнений РМБ:
\[
\begin{aligned}
E(x, t)=2 E_{0} & \operatorname{sech} \theta_{\mathrm{R}}\left(\frac{\cos \theta_{1}-\gamma \sin \theta_{\mathrm{I}} \text { th } \theta_{\mathrm{R}}}{1+\gamma^{2} \sin \theta_{1} \operatorname{sech}^{2} \theta_{\mathrm{R}}}\right), \\
\theta_{\mathrm{R}} & =(1 / 2) E_{0}\left(t-\Omega_{\mathrm{R}} x\right), \\
\theta_{\mathrm{I}} & =\omega_{\mathrm{c}}\left(t-\Omega_{\mathrm{I}} x\right), \\
\gamma & =(1 / 2) E_{0} / \omega_{c}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{array}{c}
\Omega_{\mathrm{R}}=1+\int_{-\infty}^{\infty} g\left(\omega_{s}^{\prime}-\omega_{s}\right) 4 D \alpha_{a} \omega_{s}^{\prime}\left[E_{0}^{2}+4 \omega_{\mathrm{s}}^{\prime 2}+4 \omega_{\mathrm{c}}^{2}\right] d \omega_{\mathrm{s}}^{\prime}, \\
\Omega_{\mathrm{I}}=1+\int_{-\infty}^{\infty} g\left(\omega_{\mathrm{s}}^{\prime}-\omega_{s}\right) 4 D \alpha_{a} \omega_{\mathrm{s}}^{\prime}\left[4\left(\omega_{\mathrm{s}}^{\prime 2}-\omega_{\mathrm{c}}^{2}\right)–E_{\hat{b}}^{2}\right], \\
D^{-1}=E_{0}^{4}+8 E_{0}^{2}\left(\omega_{\mathrm{s}}^{2}+\omega_{\mathrm{c}}^{2}\right)+16\left(\omega_{\mathrm{s}}^{\prime 2}-\omega_{\mathrm{c}}^{2}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Если мы теперь выберем $\omega_{c}=\omega_{s}$ (резонансная частота) и $E_{0}$ так, чтобы $\gamma=E_{0} / \omega_{c} \ll 1$, то выражение для поля $E(x, t)$ теперь становится следующим:
\[
\begin{array}{c}
E(x, t)=2 E_{0} \operatorname{sech}\left[\frac{1}{2} E_{0}(t-\Omega x)\right] \cos \left[\omega_{s}(t-x)\right], \\
\Omega=1+2 \alpha_{u} \omega_{s} E_{0}^{-2} .
\end{array}
\]

Так как $2 \alpha_{a} \omega_{s}=\alpha^{\prime}$, то мы воспроизвели в точности односолитонный импульс СИП, модулирующий синусоидальную падающую волну, которая движется со скоростью света.

Поэтому эти вычисления подтверждают результаты многомасштабного разложения исходных уравнений Максвелла – Блоха и оправдывают соответствующие аппроксимации. Подводя итоги,
мы можем сказать, что бризерные решения уравнений РМБ эквивалентны солитонам СИП, модулирующим быструю падающую олну, в предположении, что в обоих случаях атомная плотность мала.

В заключение заметим, что следующий порядок в $\gamma$ из (9.3.57) дает только дополнительный фазовый член $\varphi(x, t)=\gamma$ th $\theta_{\mathrm{R}}$ – падающую волну. Частота \”чирпинга» будет поэтому равна $0\left(\gamma^{2}\right)$, т. е. порядка $10^{-6}$ в области порядка пикосекунды и, следовательно, неощутима. Хотя подход РМБ более громоздкий, чем применение уравнений СИП, он имеет преимущество, заключающееся в следующем. При условии, что атомная плотность мала настолько, что редукция уравнения Максвелла имеет смысл, эти уравнения справедливы для всех частот и интенсивностей и их можно применять для других частотных условий, когда аппроксимация, применяемая при выводе уравнений СИП, оказывается непригодной.