1. Показать, что итерация уравнения (4.1.24)
\[
\Omega_{x}(2 x)=\frac{1}{2} Q(x)+\int_{x}^{\infty} P(x, y) \Omega_{y}(2 y) d y,
\]
где
\[
P(x, y)=4\left(K(x, 2 y-x)+\left(x K^{*} x K\right)(y)\right),
\]
приводит к выражению
\[
\begin{array}{l}
\Omega_{x}(2 x)=\frac{1}{2} \Omega(x)+\frac{1}{2} \int_{x}^{\infty} d x_{1} P\left(x, x_{1}\right) Q\left(x_{1}\right)+\ldots \\
\ldots+\frac{1}{2}\left[\int_{x}^{\infty} d x_{1} P\left(x, x_{1}\right) \int_{x_{1}}^{\infty} d x_{2} P\left(x_{1}, x_{2}\right) \ldots \int_{x_{n-1}}^{\infty} d x_{n} P\left(x_{n-1}, x_{n}\right) Q\left(x_{n}\right)\right]+ \\
+\left[\int_{x}^{\infty} d x_{1} P\left(x, x_{1}\right) \int_{x_{1}}^{\infty} d x_{2} \ldots \int_{x_{n-1}}^{\infty} d x_{n} P\left(x_{n-1}, x_{n}\right) \times\right. \\
\times \int_{x_{n}}^{\infty} \Omega x_{n+1}\left(2 x_{n+1}\right) P\left(x_{n}, x_{n-1}\right) d x_{n+1} .
\end{array}
\]
Поскольку
\[
-\frac{d}{d x} \widehat{R}_{+}(x)=g_{1}+g_{2}, \quad g_{1} \in L^{1}(\mathbb{R}) ; g_{2} \in L^{2}(\mathbb{R}),
\]
показать, что
\[
\int_{x_{n}}^{\infty} \Omega x_{n+1}\left(2 x_{n+1}\right) P\left(x_{n,} x_{n+1}\right) d x_{n+1} \in L^{\infty}(a, \infty), \quad-\infty<a,
\]
и что, следовательно, вторая скобка в (*) сходится равномерно к 0 в области $x \geqslant a$.
Сделать вывод, что
\[
\left|\Omega_{x}(2 x)-\frac{1}{2} Q(x)\right| \leqslant C_{1} R_{0}^{2}(x) \exp \left\{C_{2} \int_{x}^{\infty} R_{0}(y) d y\right\},
\]
и, таким образом, доказать неравенство (4.1.28).
2. Вывести уравнения (4.1.89) и (4.1.83)–(4.1.84) и вычислить
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left(\delta_{1} Q(x) \delta_{2} P(x)-\delta_{1} P(x) \delta_{2} Q(x)\right) d x, \quad P(x)=\int_{-\infty}^{x} Q(y) d y
\]
используя соотношение для вронскианов
\[
\left(v_{x} y-y_{x} v\right)_{x}=\left(k_{1}^{2}-k_{2}^{2}\right) v y
\]
где $y\left(k_{1}\right)$ и $v\left(k_{2}\right)$ – собственные функции уравнения Шрёдингера (3.3.1). Необходимо интерпретировать функции как обобщенные функции, с тем чтобы были определеңы интегралы. Упрощения получающихся в результате формул достигаются широким использованием следующего результата теорин обобщенных функций:
\[
\underset{x \rightarrow \pm \infty}{P}\left(\frac{e^{i k x}}{k}\right)= \pm i \pi \delta(k)
\]
Раздел 4.2
1. Вывести выражения для функций $x^{\pi_{1}}(y), \boldsymbol{\pi}_{2}(y)$, данные в $(4.2 .13)$, из (4.1.8) и (3.3.47)-(3.3.49).
2. Исследовать задачу Кошги для уравнения КдФ с начальными условиями следующего вида:
\[
Q(x, 0)=\left\{\begin{array}{ll}
1 & \text { при }|x| \leqslant a, \\
0 & \text { в остальных случаях. }
\end{array}\right.
\]
Раздел 4.3
1. Вывести двухсолитонное решение для второго члена иерархии уравнений КдФ, для которого $\Omega(k)=-2 i k^{5}$, из принципа суперпозицни (4.3.33) и сравнить с результатом, получениым непосредственно из уравнения Марченко (4.3.10).
2. Получить явную формулу для асимптотического распада (при $t \rightarrow \infty$ ) двухсолитонного решения из формулы (4.3.10).
3. Уравнения КдФимКдФинвариантны относительно масштабных преобразований. Таким образом, если функции $Q(x, t)$, $P(x, t)$ являются решениями уравнений
\[
\begin{aligned}
Q_{t}-6 Q Q_{x}+Q_{x x x} & =0, \\
P_{t}-6 P^{2} P_{x}+P_{x x x} & =0
\end{aligned}
\]
соответственно, то функцни $Q^{\prime}(x, t)=\lambda Q\left(\lambda^{1 / 2} x, \lambda^{3 / 2} t\right)$ и $P^{\prime}(x, t)=\gamma P\left(\gamma x, \gamma^{3} t\right)$, где $\lambda, \gamma$ – константы, тоже будут peшениями этих уравнений. Отсюда следует, что автомодельные решения, инвариантные относительно таких масштабшы преобразований, имсют вид
\[
Q(x, t)=(3 i)^{-2 / 3} F\left(x(3 t)^{-1 / 3}\right), \quad P(x, t)=(3 t)^{-2 / 3} G\left(x(3 t)^{-1 / 3}\right),
\]
где $F$ и $G$ удовлетворяют уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\dddot{F}=6 F \dot{F}+2 F+\theta \dot{F}, \\
\ddot{G}=2 G^{3}+\theta G+v,
\end{array}
\]
причем $F=F(\theta), \quad G=G(\theta), \quad \theta=x(3 t)^{-1 / 3}$, и $v-$ копстанта. Уравнение, которому удовлетворяет функция $G$, называстся уравнением Пенлеве II рода (Айнс [1956]). Соотношенне между уравнениями для $F$ и $G$ легко получить из преобразования Миуры (3.1.3)
что дает
\[
Q_{ \pm}=P^{2} \pm P_{x},
\]
\[
F_{ \pm}=G^{2} \pm \dot{G} \text {. }
\]
Кроме того, уравнение КдФ инвариантно относительно преобразования Галилея $Q^{\prime}(x, t)=Q(x+6 \beta t, t)+\beta$.
4. Преобразование Бэклунда для уравнения ҚдФ, примененное к (4.3.4), дается в терминах потенциальной функции $W_{x}=$ $=\frac{1}{2} Q$ следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
(W+w)_{x}=k^{2}+(W-w)^{2}, \\
(W-w)_{t}=6(W-w)^{2}(W-w)_{x}+6 k^{2}(W-w)_{x}-(W-w)_{x x x},
\end{array}
\]
где $W$ и являются решениями уравнения
\[
W_{t}-6 W_{x}^{2}+W_{x x x}=0
\]
Показать, что параметр $k$ в преобразовании возникает благодаря инвариантности уравнения ҚдФ относительно преобразований Галилея. Уравнение, которому удовлетворяет функция $W$, тоже имеет автомодельные решения. Они имеют вид $W=\frac{1}{2}(3 t)^{-1 / 3} \times$ $\times \Phi(\theta) ; \theta=x(3 t)^{-1 / 3}$, где Ф удовлетворяет уравнению
\[
\dddot{\Phi}=3 \Phi^{2}+\boldsymbol{\Phi}+\theta \dot{\Phi} .
\]
Кроме того, $\dot{\Phi}_{ \pm}=G^{2} \pm \dot{G}$. Если сделать замену зависимой переменной $\Phi=-\frac{1}{4} \theta^{2}+\Omega$, то уравнение для $\Omega$ можно один раз проинтегрировать:
\[
\begin{array}{l}
\dddot{\Omega}=-2 \theta \dot{\Omega}+\Omega+3 \dot{\Omega}^{2}, \\
\ddot{\Omega}^{2}=-2 \theta \dot{\Omega}^{2}+2 \Omega \dot{\Omega}+2 \dot{\Omega}^{3}+n^{2},
\end{array}
\]
где $n$ – постоянная интегрировання. Если нз этих уравнений исключить $\Omega$, то получится уравнение
\[
\dot{Q}\left(0, n^{2}\right)=G^{2}(\theta, \pm n)-\dot{G}(\theta, \pm n) \pm \frac{1}{2} \theta,
\]
где функция $G$ удовлетворлет уравнению Пенлеве $I$ рода с $v_{ \pm}=$ $= \pm n^{-1 / 2}$.
5. Используя соотношения, выведенные в предыдущей задаче, показать, что
\[
\begin{array}{l}
G(\theta, \pm n)=\frac{1}{2 \dot{\Omega}\left(\theta, n^{2}\right)}\left(\ddot{\Omega}\left(0, n^{2}\right) \pm n\right) \\
\Omega\left(\theta, n^{2}\right)=\left\{\left(G^{2}(\theta, \pm n) \pm \frac{1}{2} \theta\right)^{2}-\right. \\
\left.\quad-G^{2}(\theta, \pm n) \pm 2 n G(\theta, \pm n)\right\}
\end{array}
\]
при условии $\Omega
eq 0$. Если это так, показать, что $n=0$, так что $G(\theta, 0)$ удовлетворяет уравнению Риккати
\[
\dot{G}+G^{2}+\frac{1}{2} \theta=0 .
\]
Преобразование Галилея в терминах функции $W$ задается так:
\[
W^{\prime}(x, t)=W(x+6 \beta t, t) \perp \frac{1}{2} \beta x+\frac{3}{2} \beta^{2} t .
\]
При этом преобразовании функция $\Omega(\theta)$ не преобразуется в решение уравнения
\[
\dddot{\Omega}–20 \Omega+\Omega+3 \dot{\Omega}^{2} \text {. }
\]
Отсюда следует, что требуемая форма преобразования Бэклунда для этого уравнения такова:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\Omega}+\dot{\omega}=\theta+\frac{1}{2}(\Omega-\omega)^{2}, \\
\dddot{\Omega}-\dddot{\omega}=\frac{3}{2}(\Omega-\omega)^{2}(\Omega-\omega)+(\Omega-\omega)+\theta(\dot{\Omega}-\dot{\omega}) .
\end{array}
\]
Показать, что из этих уравнений следует
\[
\omega\left(\theta, m^{2}\right)=\Omega\left(\theta, n^{2}\right)-\frac{1}{\Omega\left(\theta, n^{2}\right)}\left(\ddot{\Omega}\left(\theta, n^{2}\right)+n^{2}\right)
\]
где $m^{2}=(n-1)^{2}$. Из этого соотношения вывести, что
\[
G(\theta, 1-n)=-G(\theta, n)
\]
а затем из выражения
\[
\begin{array}{c}
G(\theta, \pm n)=\left\{2 \dot{\Omega}\left(\theta, n^{2}\right)\right\}^{-1}\left(\ddot{\Omega}\left(\theta, n^{2}\right) \pm n\right) \\
\text { вывести, что } \\
G(\theta,-n)=G(\theta, n)+\frac{n}{\dot{G(\theta, n)+G^{2}(\theta, n)+\theta / 2}} .
\end{array}
\]
6. Использовать преобразование Бэклунда
\[
\begin{aligned}
G(\theta, 1-n) & =-G(\theta, n), \\
G(\theta,-n) & =G(\theta, n)+\frac{n}{\dot{G}(\theta, n)+G^{2}(\theta, n)+\theta / 2}
\end{aligned}
\]
для уравнения Пенлеве II рода
\[
\ddot{G}=2 G^{3}+\theta G+\left(n-\frac{1}{2}\right)
\]
для того, чтобы образовать семейство решений начиная с $G=0$ для $n=1 / 2$. Первые два члена этого семейства суть
\[
G\left(\frac{3}{4},-\frac{1}{2}\right)=\theta^{-1}, \quad G\left(\theta,-\frac{3}{2}\right)=-\theta^{-1}+\frac{3 \theta^{3}}{4+\theta^{2}} .
\]
7. Получить форму главного члена асимптотики решения для произвольного уравнения иерархии КдФ методом стационарной фазы и область ее применимости для начальных данных, в которых отсутствуют солитоны.
8. Как было показано в задаче 4.3.3, уравнение мКдФ
\[
P_{t}-6 P^{2} P_{x}+P_{x x x}=0
\]
обладает автомодельным решением $P(x, t)=(3 t)^{-2 / 3} G(\theta) ; \theta=$ $=x(3 t)^{-1 / 3}$. Для начальных данных, в которых отсутствуют солитоны и которые экспоненциально убывают при $|x| \rightarrow \infty$, показать, что уравнение мКдФ имеет «медленно меняющееся автомодельное решение» вида
\[
P \approx \frac{(-\theta)^{1 / 4} d}{(3 t)^{1 / 3}} \sin \left(\frac{2}{3}(-\theta)^{3 / 2}-\frac{3}{4} d^{2} \ln (-\theta)+\varphi_{0}\right)
\]
для $\theta \ll 1$.
Можно ли объяснить присутствие содержащего логарифм члена в выражении для фазы из общих соображении? Показать, что это решение сшивается с автомодельным решением, которое справедливо для $\theta=O$ (1).
9. Использовать преобразование Миуры для получения асимптотической формы решения без солитонов в области $\theta \leqslant O$ (1) для уравнения КДФ из результатов предыдущей задачи. В частности, показать, тто слабо меняющееся автомодельное решение имеет вид
\[
Q \approx \frac{d(\theta)^{1 / 4}}{(3 t)^{2 / 3}} \cos \left(\frac{2}{3}(\theta)^{3 / 2}-\frac{3 d^{2}}{4} \ln (\theta)+\varphi_{0}\right),
\]
где $Q_{t}-6 Q Q_{x}+Q_{x x x}=0$.
Сравнить с результатами разд. 4.3 (после изменения масштаба уравнения). Объяснить различие в результатах (указание: типичным случаем является $R_{+}(0)=-1$ ).
