Раздел 6.1
1. Мы использовали другие граничные условия, чем АКНС [1974]. Граничные условия у этих авторов были связаны с их методом обобщения работы Захароља и Шабата [1972]. Легко приспособить формулы к двум различным условиям. В большинстве случаев необходимо лишь помнить, что $\bar{a}$ у $\mathrm{AKHC}=-a$ і $\bar{\varphi}$ у $\mathrm{AK} \mathrm{HC}=-\bar{\varphi}$. Определение, которым мы пользуемся, означает, что большинство формул превращается в «двойственные» к ним операцией «-»: $(\bar{f})=f, \overline{(f})=f)$. Под двойственной формулой мы понимаем выражение дия ( $\phi, \bar{\varphi}, \psi, \bar{\psi})$, имеющее ту же функциональную форму, что и для $(\bar{\varphi}, \varphi, \bar{\psi}, \psi)$. Сюда входят формулы, содержащие дифференцирование по $x, t$ и $k$ (см., например, (6.1.34)).
2. Обобщенной спектральной мерой в гильбертовом пространстве $H$ называют функцию $P$, обладающую следующими свойствами:
(1a) $P$ определена на некотором классе $D(P)$ борелевских подмножеств комплексной $k$-плоскости.
(1б) Қласс $D(P)$ вместе с каждым множеством содержит любое его борелевское подмножество.
(1в) Класс $D(P)$ вместе с каждой парой элементов содержит их объединение.
(2а) Значениями функции $P$ являются линейные операторы $P(\Delta), \Delta \in D(P)$, определенные на всем пространстве $H$ и отображающие его непрерывно в себя.
(26) $P\left(\Delta_{1}\right) P\left(\Delta_{2}\right)=P\left(\Delta_{1} \cap \Delta_{2}\right), \Delta_{1}, \Delta_{2} \in D(P)$.
(2в) Для любого разложения множества $\Delta \in D(P)$ на попарно непересекаюиеся борелевские подмножества $\Delta_{1}, \Delta_{2}, \ldots$, ряд $\Sigma P\left(\Delta_{n}\right)$ сильно сходится к $P(\Delta)$.
(2г) Если $f \in H$ и $P(\Delta) f=0$ для всех $\Delta \in D(P)$, то $f=0$.
(2д) Если $f \in H$ и $[P(\Delta)]^{*} f=0$ для всех $\Delta \in D(P)$, то $f=0$.

Для оператора $\mathrm{L}$ борелевскими подмножествами $D(P)$ комплексной плоскости $k$ являются такие подмножества, замыкание которых не содержит точек сингулярного спектра $k_{j}, k_{m}, j=1, \ldots, N$,

$m=1, \ldots, \vec{N}$. Для каждого $\Delta \in D(P)$ и для каждой функции $F \in L_{(2)}^{2}(R)$ определим
\[
\begin{array}{l}
P(\Delta) F(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{\Delta n]-\infty, \infty[} d k\left(\frac{b}{a}(k) \psi(x, k) \psi(F, k)-\right. \\
\left.-\frac{5}{\bar{a}}(k) \psi(x, k) \psi(F, k)+\psi(x, k) \psi(F, k) \cdots \psi(x, k) \psi(F, k)\right)+ \\
+\sum_{\substack{k_{j} \in \Delta \\
j=1, \cdots, M}}\left\{\left(\frac{d}{d k}\right)^{m_{j}-1} p_{j}(k) \psi(x, k) \psi(F, k)\right\}_{k=k_{j}}+ \\
+\sum_{\substack{k_{j} \in \Delta \\
f=1, \cdots, M}}\left\{\left(\frac{d}{d k}\right)^{\bar{m}_{j}-1} \bar{p}_{j}(k) \psi(x, k) \psi(F, k)\right\}_{k=k_{j}}
\end{array}
\]

Функция $P$, заданная этой формулой, является обобщенной спектральной мерой в пространстве $L_{(2,}^{2},\left(\mathbb{R}^{\prime}\right)$.

Для каждой фннитной функции $F \stackrel{(21}{\in} L_{(2)}^{2}(\mathbb{R})$ мы можем определить преобразования Фурье, точнее $L$-преобразования Фурье $\psi(F, k)$ и $\bar{\psi}(F, k)$. Для каждой пары финитных функций $F$, $G \in L_{(2)}^{2}(\mathbb{R})$ функция $\psi_{F G}(k)=(\psi(F, k) \psi(\tilde{G}, k), \psi(F, k) \bar{\psi}(\tilde{G}, k)$, $\bar{\psi}(F, k) \bar{\psi}(\widetilde{G}, k), \psi(F, k) \psi(\widetilde{G}, k))$, где $\widetilde{G}=\left(G_{1}, G_{2}\right)$, принадлежит некоторому линейному пространству $Z$. Для регулярных собственных функций, т. е. таких, которые определяются регулярными граничными условиями в точке $x=0$, из теории Марченко вытекает существование непрерывного линейного функционала $R$ на $Z$, обобщаюшего равенство Парсеваля. Имея в виду наш случай, мы предположим также, что это справедливо для функционала
\[
\int_{-\infty}^{\infty} G(x) \cdot F(x) d x=R\left(\Psi_{F G}\right) .
\]

где функционал $R$ есть обобщенная спектральная функция. По аналогии с самосопряженным случаем определенная выше спектральная мера показывает, что
\[
S_{+}=\left\{R_{+}, \bar{R}_{+}, k_{j}, P_{+j}(x), \bar{k}_{l}, \bar{P}_{+I}(x), \quad j=1, \ldots, M, l=1, \ldots, \bar{M}\right\}
\]

суть данные рассеяния для L. Нормировочные многочлены $P_{j}(x)$ имеют степень $m_{j}-1$. Из определения спектральной меры легко выводится, что коэффициенты при $x^{m}$ в $P_{+j}(x), 0 \leqslant m \leqslant m_{j}-1$ представляют собой коэффициенты ( $\psi(x, k) \psi(F, k))_{(m) k}$ в разложении.

Раздел 6.3
1. Как было упомянуто в разд. 6.1 , в случае, когда $\Omega
eq-\bar{\Omega}$, обратная задача по-прежнему разрешима, но функции рассеяния $a$ и $\bar{a}$ не являются ннтегралами движения. В этом случае система уравнений не может быть записана как гамильтонова. Конкретный пример, имеющий физический смысл, дают уравнения СИП (самоиндуцированная прозрачность) в нелинейной оптике (Абловиц, Қауп и Ньюэлл [1974 ]).
Более общее уравнение такого рода имеет вид
\[
\left(\begin{array}{c}
R \\
-Q
\end{array}\right)_{t}+2 M\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right)\left(\begin{array}{l}
R \\
Q
\end{array}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} d k g(k)\left(\theta^{A}\right)^{T},
\]

гдѐ
\[
\begin{array}{c}
\Omega(k)=H(k)+M(k), \quad \bar{\Omega}(k)=\bar{H}(k)+M(k), \\
g(k)=\frac{2}{\pi}(\bar{\Omega}(k)-\Omega(k)) \text { и } \theta \text { определено в 6.1. }
\end{array}
\]

В случаях, которые мы рассматриваем в тексте и для которых $\Omega=-\bar{\Omega}$, автоматически оказывается, что точки днскретного спектра являются интегралами движения. Однако как показали Қауп и Ньюэлл [1979], интегрируемые уравнения могут допускать лодвижные собственные значения. В этом случае дисперсионные соотношения сингулярны. Новым признаком таких уравнений оказывается то обстоятельство, что некоторые сингулярности в дисперсионных соотношения совпадают с $\sigma(L)$. Специфический пример такого рода дает система, для которой $\Omega(k)=-\bar{\Omega}(k)=\frac{\bar{M}_{j}}{k-k_{j}}+\frac{\bar{M}_{j}}{\bar{k}-k_{j}}$. Уравнения двнжения имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{l}
R \\
Q
\end{array}\right)_{t}^{T}=-4 i M_{j} \theta^{A}\left(x, k_{j}\right)-4 i \bar{M}_{j} \theta^{A}(x, k), \\
\left(\mathbf{L}_{1}^{A}-k_{i}\right)\left(\theta^{A}\left(x, k_{j}\right)\right)^{T}=\frac{1}{2 i}\left(\begin{array}{c}
R \\
Q
\end{array}\right), \\
\left(\mathbf{L}_{1}^{A}-k\right)\left(\theta^{A}(x, k)\right)^{T}=\frac{1}{2 i}\left(\begin{array}{l}
R \\
Q
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Эволюционные уравнения для данных рассеяния представляются в виде следующей системы:
\[
\begin{array}{c}
R_{-t}=\Omega(k) R_{-}, \quad \bar{R}_{-t}=-\Omega(k) \bar{R}_{-}, \\
D_{i t}^{-}=\Omega_{i} D_{i}^{-}, \quad k_{i t}=0 \quad\left(k_{i}
eq k_{i}\right),
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{c}
D_{i t}^{-}=\bar{\Omega}_{i} \bar{D}_{i}^{-}, \quad k_{i t}=0 \quad\left(k_{i}
eq \bar{k}_{i}\right), \\
D_{i t}^{-}=\left(\frac{\bar{M}_{j}}{k_{j}-k_{j}}\right) D_{j}^{-}+M_{i} D_{i}, \quad k_{l t}=M_{j}, \\
\bar{D}_{i t}^{-}=\left(\frac{M_{j}}{k_{j}-k_{j}}\right) \bar{D}_{l \rightarrow}+\bar{M}_{j} \bar{D}_{i-}, \quad k_{i t}=\bar{M}_{i} .
\end{array}
\]
2. Последние несколько лет так называемые трансценденты Пенлеве подверглись интенсивному изучению. Как оказалось, многие из работ этого направления повторяли результаты, полученные еще в начале века и впоследствии забытые. Только сейчас снова стали возвращаться к этим работам в связи с тем, что обнаружилась глубокая связь между изученными классиками математики обыкновенными интегрируемыми дифференциальными уравнениями и интегрируемыми нелинейными уравнениями в частных производных. Этот материал кратко рассмотрен в разд. 6.4.
3. Преобразованне Бэклунда возникло как обобщение теории контактных преобразований. Общая теория контактных преобразований была развита Софусом Ли (см., например, книгу Форсайта [1959]). Контактными преобразованиями называются такие преобразования, которые сохраняют контактный модуль, ассоциированный с уравнением. Для уравнения первого порядка с двумя независимыми переменными контактный модуль (локалыю) порожден 1 -формой
\[
\theta=d z-p d x-q d t
\]

на многообразии с локальными координатами $(x, t, p, q$ ). Когда контактный модуль сужается к решению уравнения
\[
P\left(z, z_{x}, z_{t}\right)=0,
\]

то он аннулируется в локальных координатах $z=z(x, t), p=$ $=z(x, t), q=z(x, t)$. Контактное преобразование определяется функциями
\[
\begin{aligned}
x^{1} & =X(x, t, z, p, q), \\
t^{1} & =T(x, t, z, p, q), \\
z^{1} & =Z(x, t, z, p, q), \\
p^{1} & =P(x, t, z, p, q), \\
q^{1} & =Q(x, t, z, p, q),
\end{aligned}
\]

которые являются симметриями контактного модуля. Таким образом,
\[
(d Z+P d X-Q d t)=\theta(x, t, z, p, q)(d z-p d x-q d t) .
\]

Решение этой проблемы в конечном итоге своднтся к решению системы Майера. Эга теория, которая возникла из теории поверхностей (соприкосновение – первого порядка контакт поверхностей), сыграла важную роль в развитин общей теории преобразований для уравнений в частных производных первого порядка. K сожалению, распространение результатов этой теории на уравнения более высоких порядков пока привело только к тривиальным результатам.

Обобщение, предложенное Бэклундом, состоит в том, чтобы допустить преобразования вида
\[
\begin{aligned}
x^{\mathbf{1}} & =X\left(x, t, z, p, q, z^{1}\right), \\
t^{1} & =T\left(x, t, z, p, q, z^{\mathbf{1}}\right), \\
p^{\mathbf{1}} & =P\left(x, t, z, p, q, z^{\mathbf{1}}\right), \\
q^{\mathbf{1}} & =Q\left(x, t, z, p, q, z^{\mathbf{1}}\right)
\end{aligned}
\]

и потребовать, чтобы преобразованные контактные формы были вполне интегрируемыми. Это условие приводит к уравнению Монжа – Ампера (в сущности к уравнению в частных производных второго порядка, линейному относительно старших производных). Таким образом, формулы (6.5.2) производят преобразование между уравнением, которому удовлетворяет $z^{1}$, и, если такое уравнение Монжа – Ампера не содержит $z$ и производных по $z^{1}$, уравнением, которому удовлетворяет $z^{1}$. Если формулы (6.5.2) допускают обращение, то можно определить преобразование от переменных $z^{1}$ к переменным $z$. Легко получить обобцения этих фактов на более высокие порядки и на большее число переменных. Обычно $x^{\mathbf{1}}=x$ и $t^{\mathbf{1}}=t$, так что (6.5.2) состоит из двух уравнений. Таким образом, автопреобразование Бэклунда (уравнения, которым удовлетворяют $z$ и $z^{\mathbf{1}}$, имеют один и тот же вид) для уравнения СГ $z_{x t}=\sin z$ записывается следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
z_{x}^{\prime}=z_{x}+2 a \sin \left[\frac{1}{2}\left(z^{1}+z\right)\right], \\
z_{t}^{1}=-z_{t}+2 a^{-1} \sin \left[\frac{1}{2}\left(z^{1}-z\right)\right] .
\end{array}
\]

Дальнейшие детали и дальнейшее развитие этих вопросов можно найти в сборнике под ред. Миуры «Преобразование Бэклунда» [1974] и в статье Додда и Морриса [1979].