Раздел 6.1
1. Мы использовали другие граничные условия, чем АКНС [1974]. Граничные условия у этих авторов были связаны с их методом обобщения работы Захароља и Шабата [1972]. Легко приспособить формулы к двум различным условиям. В большинстве случаев необходимо лишь помнить, что $\overline{a}$ у $\mathrm{AKHC}=-a$ і $\overline{\phi }$ у $\mathrm{AK}\mathrm{HC}=-\overline{\phi }$. Определение, которым мы пользуемся, означает, что большинство формул превращается в «двойственные» к ним операцией «-»: $(\overline{f})=f,\overline{(f})=f)$. Под двойственной формулой мы понимаем выражение дия ( $\varphi ,\overline{\phi },\psi ,\overline{\psi })$, имеющее ту же функциональную форму, что и для $(\overline{\phi },\phi ,\overline{\psi },\psi )$. Сюда входят формулы, содержащие дифференцирование по $x,t$ и $k$ (см., например, (6.1.34)).
2. Обобщенной спектральной мерой в гильбертовом пространстве $H$ называют функцию $P$, обладающую следующими свойствами:
(1a) $P$ определена на некотором классе $D(P)$ борелевских подмножеств комплексной $k$-плоскости.
(1б) Қласс $D(P)$ вместе с каждым множеством содержит любое его борелевское подмножество.
(1в) Класс $D(P)$ вместе с каждой парой элементов содержит их объединение.
(2а) Значениями функции $P$ являются линейные операторы $P(\mathrm{\Delta }),\mathrm{\Delta }\in D(P)$, определенные на всем пространстве $H$ и отображающие его непрерывно в себя.
(26) $P\left({\mathrm{\Delta }}_1\right)P\left({\mathrm{\Delta }}_2\right)=P({\mathrm{\Delta }}_1\cap {\mathrm{\Delta }}_2),{\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\in D(P)$.
(2в) Для любого разложения множества $\mathrm{\Delta }\in D(P)$ на попарно непересекаюиеся борелевские подмножества ${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2,\dots$, ряд $\mathrm{\Sigma }P\left({\mathrm{\Delta }}_n\right)$ сильно сходится к $P(\mathrm{\Delta })$.
(2г) Если $f\in H$ и $P(\mathrm{\Delta })f=0$ для всех $\mathrm{\Delta }\in D(P)$, то $f=0$.
(2д) Если $f\in H$ и $[P(\mathrm{\Delta }){]}^{\ast }f=0$ для всех $\mathrm{\Delta }\in D(P)$, то $f=0$.

Для оператора $\mathrm{L}$ борелевскими подмножествами $D(P)$ комплексной плоскости $k$ являются такие подмножества, замыкание которых не содержит точек сингулярного спектра $k_j,k_m,j=1,\dots ,N$,

$m=1,\dots ,\overrightarrow{N}$. Для каждого $\mathrm{\Delta }\in D(P)$ и для каждой функции $F\in L_{(2)}^2(R)$ определим
$$\begin{array}{l}P(\mathrm{\Delta })F(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathrm{\Delta }n]-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }[}dk(\frac{b}{a}(k)\psi (x,k)\psi (F,k)-\\ -\frac{5}{\overline{a}}(k)\psi (x,k)\psi (F,k)+\psi (x,k)\psi (F,k)\cdots \psi (x,k)\psi (F,k))+\\ +\sum _{\begin{array}{c}{k}_j\in \mathrm{\Delta }\\ j=1,\cdots ,M\end{array}}{\{{\left(\frac{d}{dk}\right)}^{m_j-1}{p}_j(k)\psi (x,k)\psi (F,k)\}}_{k=k_j}+\\ +\sum _{\begin{array}{c}{k}_j\in \mathrm{\Delta }\\ f=1,\cdots ,M\end{array}}{\{{\left(\frac{d}{dk}\right)}^{{\overline{m}}_j-1}{\overline{p}}_j(k)\psi (x,k)\psi (F,k)\}}_{k=k_j}\end{array}$$

Функция $P$, заданная этой формулой, является обобщенной спектральной мерой в пространстве $L_{(2,}^2,\left({\mathbb{R}}^{\prime }\right)$.

Для каждой фннитной функции $F\stackrel{(21}{\in }{L}_{(2)}^2(\mathbb{R})$ мы можем определить преобразования Фурье, точнее $L$-преобразования Фурье $\psi (F,k)$ и $\overline{\psi }(F,k)$. Для каждой пары финитных функций $F$, $G\in L_{(2)}^2(\mathbb{R})$ функция ${\psi }_{FG}(k)=(\psi (F,k)\psi (\tilde{G},k),\psi (F,k)\overline{\psi }(\tilde{G},k)$, $\overline{\psi }(F,k)\overline{\psi }(\tilde{G},k),\psi (F,k)\psi (\tilde{G},k))$, где $\tilde{G}=(G_1,G_2)$, принадлежит некоторому линейному пространству $Z$. Для регулярных собственных функций, т. е. таких, которые определяются регулярными граничными условиями в точке $x=0$, из теории Марченко вытекает существование непрерывного линейного функционала $R$ на $Z$, обобщаюшего равенство Парсеваля. Имея в виду наш случай, мы предположим также, что это справедливо для функционала
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}G(x)\cdot F(x)dx=R\left({\mathrm{\Psi }}_{FG}\right).$$

где функционал $R$ есть обобщенная спектральная функция. По аналогии с самосопряженным случаем определенная выше спектральная мера показывает, что
$$S_{+}=\{R_{+},{\overline{R}}_{+},k_j,P_{+j}(x),{\overline{k}}_l,{\overline{P}}_{+I}(x),j=1,\dots ,M,l=1,\dots ,\overline{M}\}$$

суть данные рассеяния для L. Нормировочные многочлены $P_j(x)$ имеют степень $m_j-1$. Из определения спектральной меры легко выводится, что коэффициенты при $x^m$ в $P_{+j}(x),0⩽m⩽m_j-1$ представляют собой коэффициенты ( $\psi (x,k)\psi (F,k){)}_{(m)k}$ в разложении.

Раздел 6.3
1. Как было упомянуто в разд. 6.1 , в случае, когда $\mathrm{\Omega }eq-\overline{\mathrm{\Omega }}$, обратная задача по-прежнему разрешима, но функции рассеяния $a$ и $\overline{a}$ не являются ннтегралами движения. В этом случае система уравнений не может быть записана как гамильтонова. Конкретный пример, имеющий физический смысл, дают уравнения СИП (самоиндуцированная прозрачность) в нелинейной оптике (Абловиц, Қауп и Ньюэлл [1974 ]).
Более общее уравнение такого рода имеет вид
$${\left(\begin{array}{c}R\\ -Q\end{array}\right)}_t+2M\left({\mathbf{L}}_1^A\right)\left(\begin{array}{l}R\\ Q\end{array}\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}dkg(k){\left({\theta }^A\right)}^T,$$

гдѐ
$$\begin{array}{c}\mathrm{\Omega }(k)=H(k)+M(k),\overline{\mathrm{\Omega }}(k)=\overline{H}(k)+M(k),\\ g(k)=\frac{2}{\pi }(\overline{\mathrm{\Omega }}(k)-\mathrm{\Omega }(k))\text{ и }\theta \text{ определено в 6.1. }\end{array}$$

В случаях, которые мы рассматриваем в тексте и для которых $\mathrm{\Omega }=-\overline{\mathrm{\Omega }}$, автоматически оказывается, что точки днскретного спектра являются интегралами движения. Однако как показали Қауп и Ньюэлл [1979], интегрируемые уравнения могут допускать лодвижные собственные значения. В этом случае дисперсионные соотношения сингулярны. Новым признаком таких уравнений оказывается то обстоятельство, что некоторые сингулярности в дисперсионных соотношения совпадают с $\sigma (L)$. Специфический пример такого рода дает система, для которой $\mathrm{\Omega }(k)=-\overline{\mathrm{\Omega }}(k)=\frac{{\overline{M}}_j}{k-k_j}+\frac{{\overline{M}}_j}{\overline{k}-k_j}$. Уравнения двнжения имеют вид
$$\begin{array}{c}{\left(\begin{array}{l}R\\ Q\end{array}\right)}_t^T=-4i{M}_j{\theta }^A(x,k_j)-4i{\overline{M}}_j{\theta }^A(x,k),\\ ({\mathbf{L}}_1^A-k_i){\left({\theta }^A(x,k_j)\right)}^T=\frac{1}{2i}\left(\begin{array}{c}R\\ Q\end{array}\right),\\ ({\mathbf{L}}_1^A-k){({\theta }^A(x,k))}^T=\frac{1}{2i}\left(\begin{array}{l}R\\ Q\end{array}\right).\end{array}$$

Эволюционные уравнения для данных рассеяния представляются в виде следующей системы:
$$\begin{array}{c}{R}_{-t}=\mathrm{\Omega }(k)R_{-},{\overline{R}}_{-t}=-\mathrm{\Omega }(k){\overline{R}}_{-},\\ D_{it}^{-}={\mathrm{\Omega }}_i{D}_i^{-},k_{it}=0\left(k_{i}eq{k}_i\right),\end{array}$$

$$\begin{array}{c}{D}_{it}^{-}={\overline{\mathrm{\Omega }}}_i{\overline{D}}_i^{-},k_{it}=0\left(k_{i}eq{\overline{k}}_i\right),\\ D_{it}^{-}=\left(\frac{{\overline{M}}_j}{k_j-k_j}\right)D_j^{-}+M_i{D}_i,k_{lt}=M_j,\\ {\overline{D}}_{it}^{-}=\left(\frac{M_j}{k_j-k_j}\right){\overline{D}}_{l\to }+{\overline{M}}_j{\overline{D}}_{i-},k_{it}={\overline{M}}_i.\end{array}$$
2. Последние несколько лет так называемые трансценденты Пенлеве подверглись интенсивному изучению. Как оказалось, многие из работ этого направления повторяли результаты, полученные еще в начале века и впоследствии забытые. Только сейчас снова стали возвращаться к этим работам в связи с тем, что обнаружилась глубокая связь между изученными классиками математики обыкновенными интегрируемыми дифференциальными уравнениями и интегрируемыми нелинейными уравнениями в частных производных. Этот материал кратко рассмотрен в разд. 6.4.
3. Преобразованне Бэклунда возникло как обобщение теории контактных преобразований. Общая теория контактных преобразований была развита Софусом Ли (см., например, книгу Форсайта [1959]). Контактными преобразованиями называются такие преобразования, которые сохраняют контактный модуль, ассоциированный с уравнением. Для уравнения первого порядка с двумя независимыми переменными контактный модуль (локалыю) порожден 1 -формой
$$\theta =dz-pdx-qdt$$

на многообразии с локальными координатами $(x,t,p,q$ ). Когда контактный модуль сужается к решению уравнения
$$P(z,z_x,z_t)=0,$$

то он аннулируется в локальных координатах $z=z(x,t),p=$ $=z(x,t),q=z(x,t)$. Контактное преобразование определяется функциями
$$\begin{array}{rl}{x}^1& =X(x,t,z,p,q),\\ t^1& =T(x,t,z,p,q),\\ z^1& =Z(x,t,z,p,q),\\ p^1& =P(x,t,z,p,q),\\ q^1& =Q(x,t,z,p,q),\end{array}$$

которые являются симметриями контактного модуля. Таким образом,
$$(dZ+PdX-Qdt)=\theta (x,t,z,p,q)(dz-pdx-qdt).$$

Решение этой проблемы в конечном итоге своднтся к решению системы Майера. Эга теория, которая возникла из теории поверхностей (соприкосновение — первого порядка контакт поверхностей), сыграла важную роль в развитин общей теории преобразований для уравнений в частных производных первого порядка. K сожалению, распространение результатов этой теории на уравнения более высоких порядков пока привело только к тривиальным результатам.

Обобщение, предложенное Бэклундом, состоит в том, чтобы допустить преобразования вида
$$\begin{array}{rl}{x}^{\mathbf{1}}& =X(x,t,z,p,q,z^1),\\ t^1& =T(x,t,z,p,q,z^{\mathbf{1}}),\\ p^{\mathbf{1}}& =P(x,t,z,p,q,z^{\mathbf{1}}),\\ q^{\mathbf{1}}& =Q(x,t,z,p,q,z^{\mathbf{1}})\end{array}$$

и потребовать, чтобы преобразованные контактные формы были вполне интегрируемыми. Это условие приводит к уравнению Монжа — Ампера (в сущности к уравнению в частных производных второго порядка, линейному относительно старших производных). Таким образом, формулы (6.5.2) производят преобразование между уравнением, которому удовлетворяет $z^1$, и, если такое уравнение Монжа — Ампера не содержит $z$ и производных по $z^1$, уравнением, которому удовлетворяет $z^1$. Если формулы (6.5.2) допускают обращение, то можно определить преобразование от переменных $z^1$ к переменным $z$. Легко получить обобцения этих фактов на более высокие порядки и на большее число переменных. Обычно $x^{\mathbf{1}}=x$ и $t^{\mathbf{1}}=t$, так что (6.5.2) состоит из двух уравнений. Таким образом, автопреобразование Бэклунда (уравнения, которым удовлетворяют $z$ и $z^{\mathbf{1}}$, имеют один и тот же вид) для уравнения СГ $z_{xt}=\sin z$ записывается следующим образом:
$$\begin{array}{l}{z}_x^{\prime }=z_x+2a\sin \left[\frac{1}{2}(z^1+z)\right],\\ z_t^1=-z_t+2a^{-1}\sin \left[\frac{1}{2}(z^1-z)\right].\end{array}$$

Дальнейшие детали и дальнейшее развитие этих вопросов можно найти в сборнике под ред. Миуры «Преобразование Бэклунда» [1974] и в статье Додда и Морриса [1979].