В качестве атьтернативы к уравнению КдФ Перегрин [1966] и Бенлжамин и др. [1972] предложили так называемое регулярнзованыое длинноволновое уравнсние (РДВ):
\[
u_{t}+u_{x} \cdot u u_{x}-u_{x x t}=0 .
\]

Численные схемы для этого уравнения изучали Эйлбек и Магуайр $[1975,1977]$. Они построили трехуровневую конечно-разпостиую схему, которая устойчива дыя всех практических значешй $k$, и фактическ работает лучще всего при $k=h$. Это означает, что по сравненин с уранненем ҚыФ в уравнении (10.4.9) прл его численном изучении ножно выбрать значительно больший шаг по времени. Схему можно сделать консерватнвнй с помоцью пространственного усреднения в нелннейном члене, как в схеме (10.4.3).

Численное исследование Эй.бека и Магуайра [1977] показало, что после столкновения двух уединенных волн вновь появляютея импульсы, амплитуда которых от.личается от нх нсходной амплитуды не более чем на $0.3 \%$. На основе этого наблюдения, а также комньютерного фныьм, показывающего столкновепие двух нын трех уеднненны волн, был слелап вывод, что уравнение (10.4.9) ниеет точные многосолтопиые решення. Iоследовательность кадров, показываюцих «грехсолитонне» решение, изображена на рис. 2 нз работы Эйлбека [1978].

К сожалению, графическне и численные результаты этого исследования недостаточно точны, чтобы выявить неупругое из.тучение, появляюцееся пи столқновении двух уеднненных волн в этой моделн. Абцупае и :р . [1976| показапн, что при столкнопоявляется очепь малый осцналнрюший хвост $\left(\sim 10^{-3}\right)$, который не может быть удовлетворительно объяснен голько лишь численными погренностями. Эти авторы показали, что для уравнений РДВ внсиего норядка, отвецающих (10.4.8), неупругость еще более резко выражена. Более лркая лемонстрацня этого эффекта была достигнута Сантарелли $\lceil 1978\rfloor$, который использовал тот факт, что (10.4.9) имест уеднненгые волновые решісния, которые могут двнгаться в обонх направления. Когда двум двнжущимся в противоположных направлсниях волнам позволяют столкнуться, эффект неупругости оказывается еце больим и появляются 4 «атисолитона» изуалось более подробно Јьюнсом и Тьоном [1979], которые паили свнетельства в пользу «резонансных» эдфектов и богатую структуру пронзвддмых муштисоиттонов.

Точность расчетов, демонстрирующих эти неупругне эффекты, высокие порялки и миожество экзотнческих схем, Халифа [1979] развил метоп колтокацин четвертого порльа, польуясь слайнами четвертого или пятого порядков, дая нзучепия взаимодействия двух уединенных волновы решений уравения PЛB и нашел малый ослилирующий хвост, предсказанынй схемами низшего порядка.

Бона и др. [1980] пзобрепи чистенную схему, основанную на псрсетройке уравнения к интеграиной форме. Қак можно показать, эта схема оказалась четвертого прядка по пространству и времени, и авторы строго продемонстрировали существование малых осцилирующих хвостов в области столкновения двух уе:чиениы волң. Большие подробпости о схеме и детальное сравнение с экспериментальныи резуитатамн для волновых пакетов приведены у Бона и др. [1981].

Хотя сейчас ясно, что двухсолитонные решения для уравнения РдВ не существуют, но, цо-видимому, отсутствую объяснения, касающиеся размеров осцилляционных хвостов. В случаях нелинейного уравнения Қлейна-Гордона, обсужденных выш, нарушсние точного солитонного поведения всегда заметно резче выражено, по крайней мере для некоторых зон скоростей столкновелия. Почему эффект столь мал для случая уравнения РЦВ, остается загадкой.

Следует отметить два важных вывода, к которым привело нзучение уравшений КДФ и РДВ. Во-первых, ири проверке точного солитонного поведения требуется очень тпательный анализ и правнльно выбрапия численная схема. Во-вторых, для построения эффективной численной схемы, моделирукщей физичсскую ситуацию, необходимо вернуться к исходной математнческой модели и ввести в нее такие усовершенствования, которые обеспечнли бы хорошее повсденис численной схемы. Именно по этой причине Перегрин впервые предложил рассмотреть уравнение РДВ.