В этом разделе мы изложим метод обратной задачи рассеяния для задачи рассеяния ЗШ-АКНС (6.1.13). Мы выясним также, при каких начальных условиях суцествует решение задачн Коши для интегрируемого эволюционного уравнения. Такнм образом, материал этого раздела аналогнчен призеденному в гл. 4 для изоспектрального оператора ІШредингера. Предлагаемый нами подход навеян работой Пянце [1967] о несамосопряжснном операторе Шрёдингера на полуоси и заимствован из преприпта Додда [1982].

Начнем с вывода уравнений Марченко для L и нахождения условий, позволяющи однозначно постронть функции $Q$ и $R$ по этим уравнениям. Существует много способов, позволяющих получить уравнения Марченко. Мы выбираем простейший, предполагая дополнительно, что функции $Q$ и $R$ имеют компактный носитель. В этом случае, согласно следствию 6.1.2, решения Йоста и функции рассеяния аналитичны во всей $k$-поскости. Вычисляя интеграл
\[
I_{1}(x, k)=\int \frac{d z \varphi(x, z) e^{i z x}}{a(z)(z-k)},
\]

находим, что
\[
\begin{array}{c}
I_{1}(x, k)=i \pi\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right) \\
I_{1}(x, k)=\int_{C+\bar{C}} \frac{\bar{\psi}(x, z) e^{i z x}}{z-k} d z+\int_{C} \frac{b(z) \psi(x, z) e^{i z x}}{a(z)(z-k)} d z-
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
-\int_{\bar{C}} \frac{\bar{\psi}(x, z) e^{i z x}}{(z-\dot{k})} d z=2 \pi i \bar{\psi}(x, k) e^{i k x}+ \\
+\int_{C} \frac{b(z) \psi(x, z) e^{i z x}}{a(z)(z-k)} d z-i \pi\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Выражения в правой части формулы (6.2,1) найдены с помощью (6.1.31)-(6.1.32) и теоремы Коши для интеграла по кривой $C+\bar{C}$. Контуры $C$ и $\bar{C}$ были определены в 6.1 . Аналогично, взяв дру. гие решения Йоста, получим следующие соотношения:
\[
\begin{array}{l}
\Psi(x, k) e^{-i k x}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)-\frac{1}{2 \pi i} \int_{\bar{C}} \frac{d z}{(z-k)} \frac{b}{\bar{a}(z)} \bar{\psi}(x, z) e^{-i z x}, \\
\bar{\psi}(x, k) e^{i k x}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)-\frac{1}{2 \pi i} \int_{C} \frac{d z}{(z-k)} \frac{b(z)}{a(z)} \psi(x, z) e^{i z x}, \\
\varphi(x, k) e^{i k x}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+\frac{1}{2 \pi i} \int_{\frac{D}{C}} \frac{d z}{(z-k)} \frac{b(z)}{\ddot{a}(z)} \bar{\varphi}(x, z) e^{i z x}, \\
\bar{\varphi}(x, k) e^{-i k x}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)+\frac{1}{2 \pi i} \int_{C} \frac{d z}{(z-k)} \frac{\delta(z)}{a(z)} \varphi(x, z) e^{-i z x} . \\
\end{array}
\]

Если заменить решения Поста их представлениями в терминах олераторов преобразования теоремы 6.7, то после перехода к преобразованиям Фурье получатся нестационарные уравнения Марченко:
\[
\begin{array}{r}
\bar{K}_{+}(x, y, t)+\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right) F_{+}(x+y, t)+\int_{x}^{\infty} K_{+}(x, s, t) F_{+}(s+y, t) d s=0, \\
y \geqslant x, \\
K_{+}(x, y, t)+\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right) \bar{F}_{+}(x+y, t)+\int_{x}^{\infty} \bar{K}_{+}(x, s, t) \bar{F}_{+}(s+y, t) d s=0, \\
y \geqslant x, \\
(6.2 .3)
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
F_{+}(x, t)=-\frac{1}{2 \pi} \int_{C} d k \frac{b(k, t)}{a(k, t)} e^{i k x}, \\
\bar{F}_{+}(x, t)=-\frac{1}{2 \pi} \int_{\bar{C}} d k \frac{b(k, t)}{\bar{a}(k, t)} e^{-i k x}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{r}
\bar{K}_{-}(x, y, t)+\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right) F_{-}(x+y, t)+\int_{-\infty}^{x} K_{-}(x, s, t) F_{-}(s+y, t) d s=0, \\
y \leqslant x, \\
K_{-}(x, y, t)+\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right) \bar{F}_{-}(x+y, t)+\int_{-\infty}^{x} K_{-}(x, s, t) \bar{F}_{-}(s+y, t) d s=0 \\
y \leqslant x,
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
F_{-}(x, t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{C} d k \frac{b(k, t)}{a(k, t)} e^{-i k x}, \\
\bar{F}_{-}(x, t)=-\frac{1}{2 \pi} \int_{\frac{C}{C}} d k \frac{b(k, t)}{\bar{a}(k, t)} e^{t k x} .
\end{array}
\]

В том случае, когда потенциалы $Q$ и $R$ не являются финитными, но удовлетворяют условиям теоремы 6.6 , нестационарные уравнения Марченко (6.2.3) и (6.2.4) остаются справедливыми, если контурные интегралы переписать следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
F_{+}(x, t)=\sum_{j=1}^{N} P_{+j}(x, t) e^{i k} f^{x}+\frac{1}{2 \pi} \int_{\gamma} d k R_{+}(k, t) e^{i k x}, \\
\bar{F}_{+}(x, t)=\sum_{l=1}^{\bar{N}} \bar{P}_{+l}(x, t) e^{-i \bar{k}_{t} x}+\frac{1}{2 \pi} \int_{\gamma} d k \bar{R}_{+}(k, t) e^{-i k x}, \\
F_{-}(x, t)=\sum_{j=1}^{N} P_{-j}(x, t) e^{-i k} j^{x}-\frac{1}{2 \pi} \int_{\gamma} d k R_{-}(k, t) e^{-i k x}, \\
\bar{F}_{-}(x, t)=\sum_{l=1}^{\bar{N}} \bar{P}_{-l}(x, t) e^{i k_{l} x}-\frac{1}{2 \pi} \int_{\bar{\gamma}} \bar{R}_{-}(k, t) e^{i k x} .
\end{array}
\]

По-существу интегралы в правых частях (6.2.5) следует считать регуляризированными в том смысле, что рациональные дроби вида $\left(k-k_{ \pm}\right)^{-m} \pm$ заменяются обобщенными фуикциями ( $k-k_{ \pm} \pm$ $\pm i 0)^{-m} \pm$, где $k_{ \pm}$являются точками сингулярного спектра $a\left(k_{+}\right)=$ $=0, \bar{a}\left(k_{-}\right)=0$ кратности $m_{ \pm}$соответственно. Функции $R_{\frac{+}{+}}=$ $=b / a, \bar{R}_{+}=b / \bar{a}, R_{-}=\bar{b} / a$ и $\bar{R}_{-}=b / \bar{a}$ суть обобщенные функции в пространстве медленно растущих функций. Обратные преобразования Фурье этих фуикций, определенные интегралами в (6.2.5), мы будем обозначать символами $\hat{R}_{+}, \hat{\bar{R}}_{+}, \hat{R}_{-}$и $\hat{\bar{R}}_{-}$Их следует понимать как обобщенные функции над пространством $C_{0}^{\infty}$ функций нз $C^{\text {м }}$, обладаюцих компактным носителем.

Лемма 6.13. Преобразования Фурье $\hat{R}_{+}, \widehat{\hat{R}}_{+}, \hat{R}_{-}$и $\hat{\bar{R}}_{-}$определены формулами
\[
\begin{array}{ll}
\hat{R}_{+}(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{\gamma} d k R_{+}(k) e^{i k x}, \quad \hat{\bar{R}}_{+}(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{\hat{\gamma}} d k \bar{R}_{+}(k) e^{-i k x}, \\
\hat{R}_{-}(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{\gamma} d k R_{-}(k) e^{-i k x}, \quad \hat{\bar{R}}_{-}(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{\hat{\gamma}} d k \bar{R}_{-}(k) e^{i k x},
\end{array}
\]

где функини $R_{+}, \bar{R}_{+}, R_{-}$и $\bar{R}_{-}$мероморфны в полосе $|\operatorname{Im} k|<\varepsilon$. Для любого $\delta$, такого что $0<\delta<\varepsilon_{0} / 2$, суиествуют постоянные $\bar{C}_{\delta}^{+}, \bar{C}_{\delta}^{+}, \bar{C}_{\bar{\delta}}$ и $\bar{C}_{\bar{\delta}}$, удовлетворяоцие соотношениям
\[
\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{\infty}\left|e^{ \pm \eta x} \hat{R}_{ \pm}(x)\right|^{2} d x<C_{\delta}^{ \pm}, \\
\int_{-\infty}^{\infty}\left|e^{ \pm \eta x} \widehat{\hat{R}_{ \pm}}(x)\right|^{2} d x<\bar{C}_{\delta}^{ \pm},
\end{array}
\]
\[
\delta \leqslant \eta \leqslant \varepsilon_{0}-\varepsilon .
\]

Доказательство. Докажем это утверждение для $\hat{R}_{+}$Для других преобразований Фурье доказательства проводятся аналогично. Из интегральных представлений (6.1.38)-(6.1.41) и леммы 6.3 вытекает оценка
\[
\left|R_{+}(k)\right|<\frac{C_{0}^{+}}{|\cdot k|}, \quad \delta \leqslant|\operatorname{Im} k| \leqslant \varepsilon_{0}-\delta .
\]

Из определения $R_{+}$и теоремы Коши следует справедливость представления
\[
\hat{R}_{+}(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty+t \eta}^{\infty+i \eta} R_{+}(k) \exp (i k x) d x,
\]

так что
\[
e^{\eta x} \hat{R}_{+}(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} R_{+}(\xi+i \eta) \exp i \xi x d \xi .
\]

Применяя только что полученную оценку для $R_{+}(k)$, получим неравенство
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left|e^{\eta x} \hat{R}_{+}(x)\right|^{2} d x \leqslant \frac{\left(C^{+^{\prime}}\right)^{2}}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d \xi}{|\xi+i \eta|^{2}} .
\]

Уравнения Марченко (6.2.2), (6.2.3) можно вывести непосредственно из соотношения полноты (6.1.86). Однако мы воспользуемся соотношением полноты для вывода обобщенного уравнения Марченко для системы ЗШ-АКНС, являющегося аналогом уравнения Марченко для оператора Шредингера, приведешиого в разд. 4.1. Вместо формул (6.2.5) удобно пользоваться формулами (6.2.4) дія случая компактных носителсй. Қак мы уже указывали в предыдущем разделе, в том случае, когда выполнены условия теоремы 6.6, такая замена допускает строгое обоснование.

Пусть $\psi_{(i)}, \bar{\psi}_{(i)}, i=1,2$, суть решения Йоста для потенциальных функций $\left(Q_{i}, R_{i}\right), i=1,2$, и пусть $\mathbf{K}_{(i)}, i=1,2$, – ядра соответствующих операторов преобразования. Мы установим также существование и единственность обратных операторов с ядрами $\boldsymbol{M}_{(i)}, i=1,2$, такими, что
\[
\begin{array}{c}
\tilde{\Psi}_{(i) \infty}(x, k)=\tilde{\Psi}_{(i)}(x, k)-\int_{x}^{\infty} \boldsymbol{M}_{(i)}(x, y) \tilde{\Psi}_{(i)}(y, k) d y, \quad \operatorname{Im} k>0, \\
\tilde{\Psi}_{(i) \infty}(x, k)=\left(\begin{array}{cc}
e^{-i k x} & 0 \\
0 & e^{i k x}
\end{array}\right), \Psi_{(i)}=\left(\bar{\Psi}_{(i)}, \psi_{(i)}\right), \\
\mathbf{K}_{(i)}=\left(\bar{K}_{(i)}, K_{(i)}, \quad \mathbf{M}_{(i)}=\left(\bar{M}_{(i)}, M_{(i)}\right),\right.
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
Q_{i}(x)=-2 K_{(i) 1}(x, x)=-2 M_{(i) 1}(x, x), \\
R_{i}(x)=-2 \bar{K}_{(i) 2}(x, x)=-2 \bar{M}_{(i) 2}(x, x), \\
\lim _{x, y \rightarrow \infty} \mathbf{K}_{(b)}(x, y)=0, \quad \lim _{x, y \rightarrow \infty} \mathbf{M}_{(i)}(x, y)=0,
\end{array}
\]
\[
\mathbf{L}(x) \mathbf{K}_{(i)}(x, y)-i \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{K}_{(i)}(x, y)=0, \quad x<y<\infty,
\]
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{M}_{i}(x, y)\left(\mathbf{L}(y)-i \sigma_{3} \frac{\partial}{\partial y}\right)-i \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{M}_{(i)}(x, y) \sigma_{3}-\frac{\partial}{\partial x} \mathbf{M}_{(i)}(x, y)=0, \\
x<y<\infty, \\
\sigma_{3}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) .
\end{aligned}
\]

С помощью операторов преобразования, ассоциированных с рассмотренными выше решениями Йоста, можно показать, что
\[
\Psi_{(1)}(x, k)=\Psi_{(2)}(x, k)+\int_{x}^{\infty} \mathbf{K}(x, y) \Psi_{\mathbf{2}}(y, k) d y,
\]

где $\Psi_{(i)}=\left(\psi_{(i)}, \bar{\psi}_{(i)}\right)$, и что
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{K}(x, y)=\mathbf{K}_{(1)}(x, y)-\mathbf{M}_{(2)}(x, y)-\int_{x}^{y} \mathbf{K}_{(1)}(x, s) \mathbf{M}_{(2)}(s, y) d s, \\
Q_{1}(x)-Q_{2}(x)=-2 K_{12}(x, x), \\
R_{1}(x)-R_{2}(x)=-2 K_{21}(x, x) .
\end{array}
\]

Подобным образом можно доказать существование сопряженного оператора
\[
\Psi_{(2)}^{A}(x, k)=\Psi_{(1)}^{A}(x, k)+\int^{\infty} \Psi_{(1)}^{A}(y, k) \mathbf{K}^{A}(y, x) d y .
\]

Используя обозначения разд. 6.1, можно соотношения полноты для решения Йоста $\Psi_{(i)}, \bar{\psi}_{(i)}$ записать, применяя (6.1.86), в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
\delta(x-y) \mathbf{I}=-\frac{1}{2 \pi} \int_{C} d k\left(R_{+}^{(i)}(k) \psi_{(i)}(x, k) \Psi_{(i)}^{A}(y, k)+\right. \\
\left.+\bar{\psi}_{(i)}(x, k) \psi_{(i)}^{A}(y, k)\right)+\frac{1}{2 \pi} \int_{\bar{C}} d k\left(\bar{R}_{+}^{(i)}(k) \bar{\psi}_{(i)}(x, k) \bar{\psi}_{(i)}^{A}(y, k)+\right. \\
\left.+\psi_{(i)}(x, k) \bar{\psi}_{(i,}^{A}(y, k)\right) .
\end{array}
\]

С помощью (6.2.8) и (6.2.9) для $i=1$ находим, что
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2 \pi} \int_{C}\left(R_{+}^{(1)}(k) \psi_{(1)}(x, k) \Psi_{(2)}^{A}(y, k)+\bar{\psi}_{(1)}(x, k) \psi_{(2)}^{A}(y, k)\right) d k- \\
-\frac{1}{2 \pi} \int_{\bar{C}}\left(\bar{R}_{+}^{(1)}(k) \bar{\Psi}_{(1)}(x, k) \bar{\Psi}_{(2)}^{A}(y, k)+\Psi_{(1)}(x, k) \bar{\Psi}_{(2)}^{A}(y, k)\right) d k= \\
=-\delta(x-y)-\int_{y}^{\infty} \delta(x-s) \mathbf{K}^{A}(s, y) d s . \quad(6.2 .10)
\end{array}
\]

Применяя (6.2.9) для $i=2$ и (6.2.7), получим обобщенное уравнение Марченко для этого метода (Додд и Буллаф [1979]):
\[
\mathbf{K}(x, y, t)+\mathbf{F}(x+y, t)+\int_{x}^{\infty} \mathbf{K}(x, s, t) \mathbf{F}(s+y, t) d s=0, x<y,
\]

где
\[
\begin{aligned}
\mathbf{F}(x, y, t)=- & \frac{1}{2 \pi} \int_{C}\left(R_{+}^{(1)}(k, t)-R_{+}^{(2)}(k, t)\right) \Psi_{(2)}(x, k) \Psi_{(2)}^{A}(y, k) d k+ \\
& +\frac{1}{2 \pi} \int_{\bar{C}}\left(\check{R}_{+}^{(1)}(k, t)-\bar{R}_{+}^{(2)}(k, t)\right) \bar{\Psi}_{(2)}(x, k) \bar{\psi}_{(2)}^{A}(y, k) d k .
\end{aligned}
\]

Таким образом, (6.2.11) вместе с (6.2.7) устанавливает соотношение между парами функций рассеяния. Если положить $Q_{2}=$ $=R_{2}=0$, то уравнение (6.2.1I) сведется к нестационарному уравнению Марченко (6.2.3). Это уравнение может быть применено также для исследования гамильтоновой структуры, ассоциированной с системой ЗШ-АКНС.

Мы теперь исследуем условия, которым следует подчинить функции рассеяния для того, чтобы реконструированные потенциалы $Q$ и $R$ удовлетворяли условиям теоремы 6.6. Разумеется, в случае, когда $Q$ и $R$ удовлетворяют произвольному эволюционному уравнению, должы быть введены дополнительные условия. Мы исследуем эти условия позднее в этом разделе. Будем работать с уравнением Марченко (6.2.3), опуская индекс «十» и явную зависнмость от $t$ всех рассматриваемых функций. Начнем с установления условий, которым удовлетворяют функции $F$ и $\bar{F}$, если выполняются условия $|Q(x)| \leqslant C \exp (-2 \varepsilon|x|)$ и $|R(x)| \leqslant C \exp (-2 e|x|)$. Положим $x=y$ в (6.2.3) и будем рассматривать получившееся уравнение как уравнение для $F$ и $\bar{F}$.
\[
\mathbf{F}(x)=-\mathbf{K}\left(\frac{x}{2}, \frac{x}{2}\right)-\frac{1}{2} \int_{x}^{\infty} \mathbf{K}\left(\frac{x}{2}, \frac{s}{2}\right) \mathbf{F}\left(\frac{s+x}{2}\right) d s,
\]

где
\[
\mathbf{F}=\left(\begin{array}{cc}
0 & \bar{F} \\
F & 0
\end{array}\right), \quad \mathbf{K}=(\bar{K}, K) .
\]

Итерируя это интегральное уравнение, получим неравенство
\[
\begin{array}{l}
|\boldsymbol{F}(x)| \leqslant\left|\mathbf{K}\left(\frac{x}{2}, \frac{x}{2}\right)\right|+\frac{1}{2} \int_{x}^{\infty}\left|\mathbf{K}\left(\frac{x}{2}, \frac{x_{1}}{2}\right)\right| \times \\
\times\left|\mathbf{K}\left(\frac{x+x_{1}}{4}, \frac{x+x_{1}}{4}\right)\right| d x_{1}+\cdots+\frac{1}{2^{(1 / 2) /(j-1)}} \times \\
\times \int_{x}^{\infty}\left|K\left(\frac{x}{2}, \frac{x_{1}}{2}\right)\right| \int_{\left(x+x_{1}\right)}^{\infty}\left|K\left(\frac{x+x_{1}}{4}, \frac{x_{2}}{4}\right)\right| \ldots \\
\ldots \int_{\left(x+x_{1}+\ldots+x_{j-2}\right)}^{\infty}\left|\mathrm{K}\left(\frac{1}{2^{j-1}}\left(x+x_{1}+\ldots+x_{j-2}\right), \frac{1}{2^{j-1}} x_{j-1}\right)\right| \times \\
\times\left|\mathbf{K}\left(\frac{1}{2^{j}}\left(x+x_{1}+\ldots+x_{j-1}\right), \frac{1}{2^{j}}\left(x+x_{1}+\ldots+x_{j-1}\right)\right)\right| \times \\
\times d x_{1} \ldots d x_{j-1}+\frac{1}{2^{(1 / 2) /(j-1)}} \int_{x}^{\infty}\left|\mathbf{K}\left(\frac{x}{2}, \frac{x_{1}}{2}\right)\right| \times \\
\left.\times \int_{\left(x+x_{1}\right)}^{\infty}\left|\mathbf{K}\left(\frac{x+x_{1}}{4}, \frac{x_{2}}{4}\right)\right| \ldots \int_{\left(x+x_{1}+\ldots+x_{j-1}\right)}^{\infty} \right\rvert\, \mathbf{K}\left(\frac { 1 } { 2 ^ { j } } \left(x+x_{1}+\ldots\right.\right. \\
\left.\left.\ldots+x_{j-1}\right), \frac{1}{2^{j}} x_{j}\right) \mid \times \\
\times\left|\mathbf{F}\left(\frac{1}{2^{I}}\left(x+x_{1}+\ldots+x_{j}\right)\right)\right| d x_{1} \cdots d x_{j}=I_{1}+I_{2} .(6.2 .13) \\
\end{array}
\]

Нетрудно показать по индукции, используя следствие 6.7.1, что
\[
I_{1} \leqslant C_{\varepsilon} \exp -\varepsilon x \sum_{l=1}^{l} \frac{1}{(l-1) !}\left(\frac{C_{\mathrm{e}} e^{-\varepsilon x}}{\varepsilon}\right)^{l-1},
\]

где $C_{e}$ некоторая положительная постоянная, зависящая от $\varepsilon$. Оценка $I_{2}$ следует из неравенства
\[
\begin{array}{l}
\int_{\left(x+x_{1}+\ldots+x_{j-1}\right)}\left|\mathbf{K}\left(\frac{1}{2^{j}}\left(x+x_{1}+\ldots+x_{j-1}\right), \frac{1}{2^{j}} x_{j}\right)\right| \times \\
\times\left|\mathbf{F}\left(\frac{1}{2^{j}}\left(x \cdot \mid \cdot x_{1}+\ldots+x_{j}\right)\right)\right| d x_{j} \leqslant C_{\varepsilon} e^{-2^{-j}} \mathrm{e}\left(x+x_{1}+\ldots+x_{j-1}\right) \times \\
\quad \times \quad \int_{\left(x+x_{1}+\ldots+x_{j-1}\right)}^{\infty} e^{-2^{-j_{k} x_{j}}}\left|\mathbf{F}\left(x+x_{1}+\ldots+x_{j}\right)\right| d x_{j} .
\end{array}
\]

Применяя лемму 6.13 и (6.2.5), получим целочку неравенств
\[
\begin{array}{l}
\int_{y}^{\infty} e^{-2^{-1}}|\mathbf{F}(x+y)| d y \leqslant\left(\left\|e^{\eta x} \widehat{R}(x)\right\|-+\left\|e^{\eta x} \hat{\bar{R}}(x)\right\|\right) \times \\
\times\left(\int_{0}^{\infty} e^{-2\left(\eta+2-i_{\varepsilon}\right) x} d x\right)^{1 / 2}-1 \\
+\sum_{j=1}^{N} \int_{j}^{\infty} e^{-2^{-i} \varepsilon x}\left|P_{j}(x) e^{i k_{j} x}\right| d x+\sum_{l=1}^{\bar{N}} \int_{j}^{\infty} e^{-2^{-l_{p x}}}\left|\bar{P}_{l}(x) e^{-i \bar{k}_{l}(x)}\right| d x \leqslant \\
\leqslant D_{n} e^{-\left(n+2-l_{e}\right) y}+\int_{u}^{\infty} e^{-\left(2^{-i_{2}}+\gamma\right) x} P(|x|) d x . \\
\end{array}
\]

Расшифруем символы, входящие в последнее выражение:
\[
\begin{aligned}
D_{\eta} & =\left(\left\|e^{\eta x} \widehat{R}(x)\right\|+\left\|e^{\eta x} \hat{\bar{R}}(x)\right\|\right) /\left[2\left(\eta+2^{-\jmath_{\varepsilon}}\right)\right]^{s / 2}, \\
\gamma & =\min \left\{\operatorname{Im} k_{j},\left|\operatorname{Im} k_{l}\right|\right\}, \quad 0<\eta<\varepsilon_{0}-\delta,
\end{aligned}
\]

где $0<\delta<\varepsilon_{0} / 2$ и $P(|x|)=\sum_{j=1}^{N}\left|P_{j}(x)\right|+\sum_{l=1}^{\bar{N}}\left|\bar{P}_{l}(x)\right|$. Предположим, что $\operatorname{deg} P(|x|)=m$, и рассмотрим интсграл в (6.2.16) для произвольного монома $|x|^{\prime}, 1 \leqslant l \leqslant m$ (член $D_{\eta} e^{-(\eta+2-i \varepsilon) y /\left(\eta+2-t_{\mathrm{e}}\right)}$ может быть оценен тем же путем, что и постоянный член). Заметим, что если $\lambda>0$, то
\[
\begin{array}{l}
\int_{y}^{\infty} e^{-\lambda x}|x|^{t} d x=(\sigma)^{l} e^{-\lambda x}\left(\sum_{k=0}^{l-1} k ! C_{k}^{l}\left(\frac{1}{\lambda}\right)^{k+1} y^{l-k}+\right. \\
\left.\left.\quad+\left(\frac{1}{\lambda}\right)^{t+1}\left(\mid-(-1)^{l}\right) t \right\rvert\,\right)=\frac{e^{-\lambda x}}{\lambda} P_{\lambda}(y), \quad \sigma=\operatorname{sign}(y) .
\end{array}
\]

Последний член в правой части (6.2.17) отсутствет при $y>0$; $P_{\lambda}(y)$ является многочленом степени 1 . Гаким образом, последовательные интегрирования приводлт к оденке
\[
\begin{array}{c}
\int_{x}^{\infty} e^{-\varepsilon \psi_{n-1}} \int_{y_{n-1}}^{\infty} e^{-\varepsilon y_{n-2}} \cdots \int_{\psi_{1}}^{\infty} e^{-\langle\varepsilon+\gamma / 2) y}|y|^{\prime} d y d y_{1} \ldots d y_{n-1} \leqslant \\
\leqslant \frac{e^{-\frac{1}{2} \gamma x}\left(e^{-\varepsilon x}\right)^{n} P_{\gamma \cdot \varepsilon}(x)}{(n \varepsilon+\gamma / 2)((n-1) \varepsilon+\gamma / 2) \cdots(\varepsilon+\gamma / 2)} \leqslant \\
\leqslant e^{-(1 / 2) \gamma x P_{\gamma, R}(x)} \frac{\left(e^{-\varepsilon x}\right)^{n}}{\varepsilon^{n} n 1} .
\end{array}
\]

Здесь $P_{\gamma, \varepsilon}$ – многочлен степени $l$. Отсюда можно заключить, что $I_{2} \rightarrow 0$ равномерно, когда $n \rightarrow \infty$ при $-\infty<a \leqslant x$. Оценка для $\mathbf{F}$ следует тогда из (6.2.13) и (6.2.14):
\[
|F(x)| \leqslant C_{\varepsilon} \exp \left(-\varepsilon x\left\{\exp \left(C_{\varepsilon} e^{-1} \exp -\varepsilon x\right)\right\}\right), \quad x \geqslant a \geqslant-\infty .
\]

Если донолнительно предноложить, что функции $Q$ и $R$ дифференцируемы и подчиняются оценкам следствия 2 теоремы 6.7, то окажстся, что функция $\mathbf{F}_{x}(x)$ существует и удовлетворяет неравенству
\[
\left|\mathbf{F}_{x}(x)\right| \leqslant C_{\mathrm{e}}(a) \exp (-\varepsilon x), \quad x \geqslant a>-\infty,
\]

где $C_{e}(x)$-монотонная функция, убывающая при $x \rightarrow+\infty$ и возрастающая при $x \rightarrow$ заметим, что
\[
\mathbf{F}(x)=-\mathbf{K}\left(\frac{x}{2}, \frac{x}{2}\right)-\int_{x}^{\infty} \mathbf{K}\left(\frac{x}{2}, 2 s-x\right) \mathbf{F}(s) d s,
\]

и, значит,
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{F}_{x}(x)=-\frac{1}{2}\left(\mathbf{K}^{(1,0)}\left(\frac{1}{2} x, \frac{1}{2} x\right)+\mathbf{K}^{(0.1)}\left(\frac{1}{2} x, \frac{1}{2} x\right)\right)+ \\
+\mathbf{K}\left(\frac{1}{2} x, x\right) \mathbf{F}(x)-\frac{1}{2} \int_{x}^{\infty} \mathbf{K}^{(1,0)}\left(\frac{x}{2}, 2 s-x\right) \mathbf{F}(s) d s+ \\
+\int_{x}^{\infty} \mathbf{K}^{(0,1)}\left(\frac{x}{2}, 2 s-x\right) \mathbf{F}(s) d s .
\end{array}
\]

Мы воспользовались здесь обозначением разд. 4.2:
\[
f^{(t, i, k)}(x, y, t) \equiv \frac{\partial^{i+j+k}}{\partial x^{i} \partial y^{j} \partial t^{k}} f(x, y, t) .
\]

Оценка (6.2.20) следует тогда из следствий 6.7 .1 и 6.2 .2 и оценки (6.2.19).

Следующая теорема характеризует данные рассеяния для потенциалов, удовлетворяющих теореме 6.6.

Теорема 6.14. Данные рассеяния $S_{+}=\left\{R_{+}, \bar{R}_{+}, k_{j}\right.$, $\left.P_{+j}(x), \bar{k}_{l}, \bar{P}_{+l}(k), \operatorname{Im} k_{j}>0, \operatorname{Im} \overline{k_{l}}<0, j=1, \ldots, N, l=1, \ldots, \bar{N}\right\}$ для функций $Q$ и $R$, подчиняющихся условиям теоремы 6.6, обладают следующими свойствами.
(i) Функции $R_{+}(k), \bar{R}_{+}(k)$ мероморфны в полосе $|\operatorname{Im} k|<\varepsilon$ и удовлетворяют неравенствам $R_{+}(k)=o(1), \bar{R}_{+}(k)=o(1)$ при $|k| \rightarrow \infty$ равномерно в этой полосе.
(ii) Преобразования Фурье
\[
\int_{\gamma} R_{+}(k) \exp (i k x) d k, \int_{\dot{\gamma}} \bar{R}_{+}(k) \exp (-i k x) d k
\]

определяют регулярные функционалы на пространстве медленно растущих функций. Функции $\widehat{F}_{+}, \widehat{\bar{F}}_{+}$, определенные формулами (6.2.5), удовлетворяют условиям
\[
\left|\widehat{F}_{+}(x)\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{+}(a) \exp (-\varepsilon x), \quad\left|\hat{\bar{F}}_{+}(x)\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{+}(a) \exp (-\varepsilon x)
\]

для всех $x \geqslant a>-\infty$.
Если к тому же $Q$ и $R$ дифференцируемы и удовлетворяют оценкам следствия 2 теоремы 6.7, то выполняются неравенства
\[
\left|F_{+x}(x)\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{+}(a) \exp (-\varepsilon x), \quad\left|\bar{F}_{+x}(x)\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{+}(a) \exp (-\varepsilon x)
\]

и $R(k)=o\left(|k|^{-1}\right), R(k)=o\left(|k|^{-1}\right)$ равномерно внутри полосы $|\operatorname{Im} k|<\varepsilon$ при $|k| \rightarrow \infty$.
(iii) Степени многочленов $P_{+j}, \bar{P}_{+l}$ равны $m_{j}-1, \bar{m}_{l}-1$ соответственно, причем $m_{j}, \bar{m}_{l}$ суть кратности невещественных $k_{j}$, $\bar{k}_{l}$.
(iv) Данные рассеяния $S_{+}$образуют полный набор в том смысле, что ими определяются асимптотические свойства главных функций при $|x| \rightarrow \infty$, и, наоборот, они определяются по этим асимптотическим свойствам в предположении, что выполняются условия теоремы 6.11. В этом случае матрицы рассеяния $\tilde{\mathbf{S}}$ и $\tilde{\bar{S}}$ имеют вид
\[
\tilde{\mathbf{S}}(k)=\left(\begin{array}{rr}
T_{+}(k) & -R_{-}(k) \\
R_{+}(k) & T_{-}(k)
\end{array}\right), \quad \hat{\overline{\mathbf{S}}}(k)=\left(\begin{array}{rr}
\bar{T}_{-}(k) & \bar{R}_{+}(k) \\
-\bar{R}_{-}(k) & \bar{T}_{+}(k)
\end{array}\right)
\]

и $T_{+}=T_{-} \equiv a^{-1}, \bar{T}_{+}=\bar{T}_{-}=\bar{a}^{-1}$. Матрицы рассеяния представляют собой матрицы-функции, мероморфные в полосе $|\operatorname{Im} k|<\varepsilon$ и подчиненные условию $\tilde{\bar{S}} \tilde{\bar{S}}=1$.

Данные рассеяния $S_{-}$удовлетворяют условиям, аналогичным (i)-(iii). Оценки для $F_{-}, \bar{F}_{-}$имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\left|F_{-}(x)\right| \leqslant C_{E}^{-}(a) \exp \varepsilon x, \quad\left|F_{-x}(x)\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{-}(a) \exp \varepsilon x, \\
\left|\bar{F}_{-}(x)\right| \leqslant C_{E}^{-}(a) \exp \varepsilon x, \quad\left|\bar{F}_{-x}(x)\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{-}(a) \exp \varepsilon x
\end{array}
\]

для всех $x \leqslant a<\infty$.
(v) Коэффициенты нормировочных многочленов $P_{+j}, P_{-j}$ и $\bar{P}_{+j}$, $\bar{P}_{-j}$ связаны. Если $p_{+j l}, p_{-j l}, \bar{p}_{+j l}$ и $\bar{p}_{-j l}$ суть коэффициенты этих многочленов при $x^{l}$ соответственно, то выполняются соотношения
\[
\begin{array}{l}
p_{-1 l}=-(i)^{t-1} C_{l}^{m_{j}-1} \sum_{s=0}^{m_{j}-1-t} C_{s}^{m_{j}-1-t-s}\left[(f(k))^{-1}\right]_{k=\hat{k}_{j}}^{m_{j}-1-t-s} \times \\
\times\left(\left[\frac{\left(k-k_{j}\right)^{m_{j}}}{a(k)\left(m_{j}-1\right) !}\right]^{2}\right)_{k=k_{j}}^{(s)}, \\
\bar{p}_{-j l}=-(-i)^{l+1} C_{l}^{m_{j} j^{-1}} \sum_{s=0}^{\bar{m}_{j}-t-l} C_{s}^{\bar{m}_{j}-1-l-s}\left[(f(k))^{-1}\right]_{k=\bar{j}_{j}}^{\bar{m}_{j}-1-i-s} \times \\
\times\left(\left[\frac{\left(k-\bar{k}_{j}\right)^{\bar{m}_{j}}}{\bar{a}(k)\left(\bar{m}_{j}-1\right) !}\right]^{2}\right)_{k=\bar{k}_{j}}^{(s)}, \\
\end{array}
\]

где $f, f$ – любые аналитические функции, такие что
\[
\begin{array}{l}
\text { If } f(k)]_{k=k_{j}}^{m_{j}-1-i}=-(-i)^{l+1} p_{+f l}\left[C_{l}^{m_{j}-1}\right]^{-1} ; \quad[f(k)]_{k=k_{j}}^{m_{j}-l-l}= \\
=-(i)^{l+1} \bar{p}_{+i l}\left[C_{l}^{\tilde{m}_{j}-1}\right]^{-1} . \\
\end{array}
\]

Утверждение (v) этой теоремы вытекает из формул (6.1.87) и (6.1.88). Функции $C_{8}^{ \pm}$определены равенствами $C_{\varepsilon}^{+}(x)=$ $=C_{\mathrm{e}}(-x) \leftrightharpoons C_{\mathrm{e}}(x)$.

Мы перейдем далее к изучению дальнейших свойств $\overline{\mathbf{F}}$, играющих существенную роль в решении обратной задачи.

Определение. Скажем, что матрица-функция $G_{ \pm}(x)$ типа $\left(\mathbf{G}_{ \pm}, \mathbf{z}\right)$, если для $\mathbf{G}$ выполняются следующие условия: для $\mathrm{G}_{+}$и $x \leqslant a<\infty$ для $\mathbf{G}_{-}$;
(б) интегральное уравнение
\[
{ }_{x} \mathbf{Y}_{ \pm}(u)= \pm \int_{x}^{ \pm \infty}{ }_{x} \mathbf{Y}_{ \pm}(s) \mathbf{G}_{ \pm}(s+u) d s
\]

имеет только тривиальное решение ${ }_{x} \mathbf{Y}_{+}(u)=0, \quad u \geqslant x$ $\left({ }_{x} \mathbf{Y}_{-}(x)=0, u \leqslant x\right)$ в классе функций, цля которых
\[
\pm \int_{x}^{ \pm \infty}\left|{ }_{x} \mathbf{Y}_{ \pm}(u)\right| \exp ( \pm \varepsilon u) d u<\infty
\]

Мы сейчас покажем, что порожденная оператором $L$ матрицафункция $\mathbf{F}$ тила ( $\left.G_{+}, \varepsilon\right)$. Оценка (6.2.19) показывает, что $\mathbf{F}$ удовлетворяет условию (a) определения.

Заметим, что интегральное уравнение в (б) позволяет получить оценку
\[
\left|{ }_{x} \mathbf{Y}(u)\right| \leqslant \int_{x}^{\infty}\left|{ }_{x} \mathbf{Y}(s)\right||\mathbf{F}(s+u)| d s \leqslant C_{\varepsilon}^{\prime}(a) \exp (-\varepsilon u) .
\]

Поэтому интегральное уравнение Вольтерры
\[
{ }_{x} \mathbf{Y}(u)={ }_{x} \mathbf{Z}(u)+\int_{x}^{u} \mathbf{Z}(s) \mathbf{K}(s, u) d s, \quad u \geqslant \boldsymbol{x},
\]

имеет единственное решение. Ядро К из (6.2.12) удовлетворяет оценкам, указанным в следствии 6.7.1 для $K_{+}$. Если подставить правую часть (6.2.23) в уравнение Фредгольма, которому удовлетворяет ${ }_{x} \mathbf{Y}$, и воспользоваться уравнением Марченко
\[
\mathbf{K}(x, u)+\mathbf{F}(x+u)+\int_{x}^{\infty} \mathbf{K}(x, s) \mathbf{F}(s+u) d s=0, \quad u \geqslant x,
\]

то для ${ }_{x} \mathbf{Z}$ получится следующее уравнение Вольтерры:
\[
\begin{array}{c}
{ }_{x} \mathbf{Z}(u)=\int_{x}^{a}{ }_{x} \mathbf{Z}(s) \mathbf{K}(s, u) d s+\int_{x}^{\infty}\left\{{ }_{x} \mathbf{Z}(s)-\int_{x}^{s} \mathbf{Z}(v) \mathbf{K}(v, s) d v\right\} \times \\
\times \mathbf{F}(s+u) d s=\int_{u}^{\infty} x^{\mathbf{Z}}(s) \mathbf{F}(s+u) d s-\int_{x}^{u} x^{\mathbf{Z}}(s) \times \\
\times \int_{x}^{\infty} \mathbf{K}(s, v) \mathbf{F}(v+u) d v d s-\int_{x}^{\infty}\left(\int_{x}^{s} \mathbf{Z}(v) \mathbf{K}(v, s) d v\right) \mathbf{F}(s+u) d s= \\
=\int_{x}^{\infty} \mathbf{Z}(s)\left(\mathbf{F}(s+u)+\int_{s}^{\infty} \mathbf{K}(s, v) \mathbf{F}(v+u) d v\right) d s .
\end{array}
\]

Оценка для $\mathbf{K}$ показывает, что это уравнение является однородным уравнением Вольтерры с быстро убывающим ядром $\mathbf{K}(s, v)$ при $v \rightarrow \infty$, и, значит, это уравнение имеет единственное решение – тривиальное решение, ${ }_{x} \mathbf{Z}(u)=0$ для $u \geqslant x \geqslant a>-\infty$. Из (6.2.23) немедленно следует, что ${ }_{x} \mathrm{Y}(u)=0$ для $u \geqslant x \geqslant$ $\geqslant a>-\infty$. Таким образом, функция $\mathbf{F}$, порожденная $\mathbf{L}$, типа $\left(\mathbf{G}_{+}, \mathbf{b}\right)$.

Теорема 6.15. Матрицы-функции $\mathbf{F}_{ \pm}$, построенные по данным рассеяния $S_{ \pm}$оператора $\mathrm{L}$, являются функциями типа $\left(\mathbf{G}_{ \pm}, \mathbf{\varepsilon}\right)$.

Следствие 6.15.1. Данные рассеяния $S_{ \pm}$оператора $\mathbf{L}$ одновначно определяют $\mathbf{L}$.

В обратной задаче рассеяния задаются данные рассеяния и требуется по ним построить потенциалы $Q$ и $R$. Процедура аналогична описанной в шагах $1-5$ разд. 4.1, где рассматривалась обратная задача для оператора Шрёдингера. Однако поскольку матрица-функция $\mathbf{F}$ была построена по данным рассеяния, критическим местом в анализе явилось существование и единственность решения К уравнения Марченко. Здесь существование и единственность были установлены для некоторого класса функций, которому принадлежат $\mathbf{F}$ и восстановленная матрица-функция $\mathbf{P}=\left(\begin{array}{ll}0 & Q \\ R & 0\end{array}\right)$.

Для самосопряженных операторов единственность решения уравнения Марченко можно установить, используя тот существенный факт, что матрица рассеяния в этом случае унитарна (см. шаг 1, разд. 4.1). Полезные работы по самосопряженной задаче Дирака на полуоси и всей оси были сделаны Гасымовым [1968] и Фроловым [1972 ]. Из определения и уравнения (6.2.24) ясно, что если построенная по данным рассеяния матрица-функция $\mathbf{F}$ типа ( $\mathbf{G}_{+}, \varepsilon$ ), то решение $\mathbf{K}$ уравнення (6.2.24) существует и единственно в классе функций $E_{8}(x, \infty)$, таких что $\mathbf{Y} \in$ $\in E_{\varepsilon}(x, \infty)$, если
\[
\int_{x}^{\infty}|\mathbf{Y}(u)| e^{-\varepsilon u} d u<\infty, \quad x \geqslant a>-\infty .
\]

Аналогичные результаты получены для уравнения Марченко (6.2.4) в классе функций $E_{\mathrm{e}}(-\infty, x)$, для которых сходится интеграл
\[
\int_{-\infty}^{x}|\mathbf{Y}(u)| e^{e u} d u<\infty, \quad x \leqslant a .
\]

Теорема 6.16. Если $\mathrm{F}_{ \pm}$суть дифференцируемые функци типа $\left(\mathrm{G}_{ \pm}\right.$, е), удовлетворяючие неравенствам $\left|\mathbf{F}_{ \pm x}(x)\right| \leqslant C_{\mathrm{E}}^{ \pm}\left(\right.$a) $e^{\mp е х}$,

где (+) $-\infty<a \leqslant x$ или (-) $x \leqslant a<\infty$, то уравнения Марченко
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{K}_{+}(x, u)+\mathbf{F}_{+}(x+u)+\int_{x}^{\infty} \mathbf{K}_{+}(x, s) \mathbf{F}_{+}(s+u) d s=0, \quad u \geqslant x, \\
\mathbf{K}_{-}(x, u)+\mathbf{F}_{-}(x+u)+\int_{-\infty}^{x} \mathbf{K}_{-}(x, s) \mathbf{F}_{-}(s+u) d s=0, \quad u \leqslant x,
\end{array}
\]

имеют единственные решения $\mathbf{K}_{+}, \mathbf{K}_{-}$в классе функций $E_{\mathrm{e}}(x, \infty)$, $E_{\mathrm{s}}(-\infty, x)$ соответственно. Ядра удовлетворяют оценкам
\[
\begin{array}{l}
\left|\mathbf{K}_{ \pm}(x, u)\right| \leqslant C_{\mathrm{E}}^{ \pm}(a) \exp \mp \mathrm{B}(x+u), \\
\left|\mathbf{K}_{ \pm x}(x, u)\right| \leqslant C_{\mathrm{E}}^{ \pm}(a) \exp \mp \varepsilon(x+u), \\
\left|\mathbf{K}_{ \pm u}(x, u)\right| \leqslant C_{\mathrm{E}}^{ \pm}(a) \exp \mp \varepsilon(x+u),
\end{array}
\]

где в-положительное число. Предположим, что
\[
\tilde{\Psi}(x, k)=\tilde{\Psi}_{\infty}(x, k)+\int_{x}^{\infty} K_{+}(x, u) \tilde{\Psi}_{\infty}(u, k) d u,
\]

гдe $\tilde{\Psi}_{\infty}(x, k)=\Phi_{\infty}(x, k)=\operatorname{diag}\left(e^{-l k x}, e^{i k x}\right)$.
Пусть $\quad \sigma=\left(\begin{array}{rr}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ и $\mathbf{P}_{ \pm}=\left(\begin{array}{ll}0 & Q_{ \pm} \\ R_{ \pm} & 0\end{array}\right)$, гдe
\[
\begin{array}{ll}
Q_{+}(x)=-2 K_{+1}(x, x), & Q_{-}(x)=2 \bar{K}_{-1}(x, x), \\
R_{+}(x)=-2 \bar{K}_{+2}(x, x), & R_{-}(x)=2 K_{-2}(x, x) .
\end{array}
\]

Тогда для $-\infty<a \leqslant x<\infty,|\operatorname{Im} k|<$ в функция $\tilde{\Psi}$ удовлетворяет дифференциальному уравнению
\[
\mathbf{Y}_{+}(x, k)=\mathbf{P}_{+}(x) \mathbf{Y}(x, k)+i k \sigma \mathbf{Y}(x, k) .
\]

Аналогичо функция Ф удовлетворяет этому же уравкению для $|\operatorname{Im} k| \leqslant \varepsilon,-\infty<x \leqslant a<\infty$ с заменой функции $\mathbf{P}_{-}$на $\mathbf{P}_{+}$.

Для компокент матрицы-функции $\mathbf{P}_{ \pm}$выполняются неравенстеа
\[
\begin{array}{ll}
\left|Q_{ \pm}(x)\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{ \pm}(a) \exp \mp 2 \varepsilon x, & \left|Q_{ \pm x}(x)\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{ \pm}(a) \exp \mp 2 \varepsilon x \\
\left|R_{ \pm}(x)\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{ \pm}(a) \exp \mp 2 \varepsilon x, & \left|R_{ \pm x}(x)\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{ \pm}(a) \exp \mp 2 \varepsilon x .
\end{array}
\]

Доказательство. Единственность решений $\mathrm{K}_{ \pm}$в $E_{\varepsilon}(x, \infty)$, $E_{\varepsilon}(-\infty, x)$ соответственно следует из того факта, что матрицы $\mathbf{F}_{ \pm}$тила ( $\mathbf{G}_{ \pm}, \boldsymbol{\varepsilon}$ ). Затем мы получим оценки для ядер $\mathbf{K}_{ \pm}$. Заключительная часть доказательства аналогична шагу 4 разд. 4.1. Уравнение Марченко может быть записано в виде
\[
\left(\mathrm{I}+{ }_{x} \mathrm{~N}^{ \pm}\right) \mathrm{K}_{ \pm}+\mathbf{F}_{ \pm}=\mathbf{0},
\]

где
\[
{ }_{x} \mathbf{N}^{ \pm} \mathbf{Y}(u)= \pm \int_{x}^{ \pm \infty} \mathbf{Y}(s) \mathbf{F}_{ \pm}(u+s) d s .
\]

Далее, имеем
\[
\pm \int^{ \pm \infty}\left|{ }_{x}^{\mathbf{N}^{ \pm} \mathbf{Y}}(u)\right| e^{\mp \mathrm{e} u} d u \leqslant C_{\varepsilon}^{ \pm} \int^{ \pm \infty} e^{\mp 2 \varepsilon u} d u \int^{ \pm \infty}|\mathbf{Y}(s)| e^{\mp \varepsilon s} d s,
\]

так что $\left\|_{x} \mathbf{N}^{ \pm}\right\|_{E_{\varepsilon}^{ \pm}}$существует. Применяя метод последовательных приближений (см. Гасымов [1968]), можно показать, что (I $\left.+{ }_{x^{ \pm}}{ }^{ \pm}\right)^{-1}$ равномерно ограничена на (+) $-\infty<a \leqslant x<\infty$; (一) $-\infty<x \leqslant a<\infty$. Таким образом,
\[
\int^{ \pm \infty}\left|\mathbf{K}_{ \pm}(x, s)\right| e^{\mp e s} d s \leqslant C_{\varepsilon}^{ \pm ‘}(a) e^{ \pm e x}\left\|\left(\mathbf{I}+{ }_{x} \mathbf{N}^{ \pm}\right)^{-I}\right\|_{E_{\varepsilon}^{ \pm}} \int_{\boldsymbol{x}}^{ \pm \infty} e^{\mp e s} d s .
\]

Затем из уравнений Марченко и (6.2.27) ма выводим следующую оценку:
\[
\begin{aligned}
\left|\mathbf{K}_{ \pm}(x, u)\right| & \leqslant C_{\mathrm{e}}^{ \pm *}(a) e^{\mp e u}\left\{e^{\mp e x} \pm \int_{x}^{ \pm \infty}\left|\mathbf{K}_{ \pm}(x, s)\right| e^{ \pm e s} d s\right\} \leqslant \\
& \leqslant C_{\mathrm{B}}^{ \pm}(a) \exp [\mp \boldsymbol{\varepsilon}(x+u)] .
\end{aligned}
\]

Если $\mathbf{F}_{ \pm}$дифференцируемы и подчинены оценкам в условии теоремы, то из уравнений Марченко можно вывести, что $\mathrm{K}_{ \pm x}(x, u)$ и $\mathbf{K}_{ \pm u}(x, u)$ существуют и удовлетворяют неравенствам
\[
\left|\mathbf{K}_{ \pm x}(x, u)\right|<C_{\varepsilon}^{ \pm}(a) \exp (\mp \boldsymbol{\varepsilon} x), \quad\left|\mathbf{K}_{ \pm u}(x, u)\right|<C_{\varepsilon}^{ \pm}(a) \exp (\mp \varepsilon x) .
\]

Для функций $\mathrm{K}_{ \pm \boldsymbol{x}}, \mathrm{K}_{ \pm \Perp}$ выполняются уравнения
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{K}_{ \pm x}(x, u)+\mathbf{F}_{ \pm x}(x+u) \pm \int_{x}^{ \pm \infty} \mathbf{K}_{ \pm x}(x, s) \mathbf{F}_{ \pm}(s+u) d s \pm \\
\quad \pm \mathbf{K}_{ \pm}(x, x) \mathbf{F}_{ \pm}(x+u)=0, \\
\mathbf{K}_{ \pm u}(x, u)+\mathbf{F}_{ \pm u}(x+u) \pm \int_{x}^{ \pm \infty} \mathbf{K}_{ \pm}(x, s) \mathbf{F}_{ \pm u}(s+u) d s=0 .
\end{array}
\]

Поскольку $\sigma F_{ \pm}+F_{ \pm} \sigma=0$, то получается, что
\[
\begin{aligned}
\left(\sigma \mathbf{K}_{ \pm x}(x, u)+\right. & \left.\mathbf{K}_{ \pm u}(x, u) \sigma\right) \pm \sigma \mathbf{K}_{ \pm}(x, x) \mathbf{F}_{ \pm}(x+u) \pm \\
& \pm \int_{x}^{ \pm \infty}\left(\sigma \mathbf{K}_{ \pm x}(x, s) \mathbf{F}_{ \pm}(s+u)+\mathbf{K}_{ \pm}(x, s) \mathbf{F}_{ \pm u} \sigma\right) d s=0
\end{aligned}
\]

Если мы теперь воспользуемся уравнениями Марченко, заменой для $F_{ \pm}$и переменой порядка в соответствии с формулой $F_{ \pm u} \sigma=$ $=-\boldsymbol{\sigma} \mathbf{F}_{ \pm u}$, то после ннтегрирования по частям получим, что $\left(\sigma \mathrm{K}_{ \pm x}(x, u)+\mathrm{K}_{ \pm u}(x, u) \sigma \pm\left(\sigma \mathrm{K}_{ \pm}(x, x) \mathrm{K}_{ \pm}(x, u)-\right.\right.$ $\left.-K_{ \pm}(x, x) \sigma K_{ \pm}(x, u)\right) \pm \int_{x}^{ \pm \infty}\left(\sigma K_{ \pm x}(x, s)+K_{ \pm s}(x, s) \sigma \pm\right.$
\[
\left.\pm\left(\sigma \mathrm{K}_{ \pm}(x, x) \mathrm{K}_{ \pm}(x, s)-\mathbf{K}_{ \pm}(x, x) \sigma \mathrm{K}_{ \pm}(x, s)\right)\right) \mathbf{F}_{ \pm}(s+u) d s=0 .
\]

Из того, что $\mathbf{F}_{ \pm}$суть матрицы типа ( $\mathbf{G}_{ \pm}, \varepsilon$ ), следует, что эти уравнения имеют лишь тривиальнье решения. Следовательно,
\[
\sigma \mathbf{K}_{ \pm x}(x, u)+\mathbf{K}_{ \pm u}(x, u) \sigma-\sigma \mathbf{P}_{ \pm}(x) K_{ \pm}(x, u)=0,
\]

где
\[
P_{ \pm}(x)= \pm \sigma\left(K_{ \pm}(x, x) \sigma-\sigma K_{ \pm}(x, x)\right) .
\]

Теперь из определения функций $\tilde{\Psi}$ и Ф непосредственно следует, что
\[
\tilde{\Psi}_{x}=\mathbf{P}_{+}(x) \tilde{\Psi}+i k \sigma \tilde{\Psi}, \quad \Phi_{x}=\mathbf{P}_{-}(x) \Phi+i k \sigma \Phi .
\]

Определяя $\mathbf{P}_{ \pm}(x)=\left(\begin{array}{cc}0 & Q_{ \pm} \\ R_{ \pm} & 0\end{array}\right)$, мы получаем затем из (6.2.28) и (6.2.29) следующие неравенства:
\[
\begin{array}{l}
\left|Q_{ \pm}(x)\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{ \pm}(a) e^{\mp 2 e x}, \quad\left|Q_{ \pm}(x)\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{ \pm}(a) e^{\mp 2 e x}, \\
\left|R_{ \pm}(x)\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{ \pm}(a) e^{\mp 2 e x}, \quad\left|R_{ \pm}(x)\right| \leqslant C_{\mathrm{E}}^{ \pm}(a) e^{\mp 2 e x} .
\end{array}
\]

В действительности вовсе необязательно было предполагать, что $\boldsymbol{F}_{ \pm}$дифференцируемы. Такой же результат можно было бы получить, заменяя $\mathbf{F}_{ \pm}$последовательностью функций (см., например, Марченко и Агранович [1963] или Гасымов [1968]). $\mathrm{Ha}$ протяжении этого доказательства предполагалось, что индекс + указывал на область $-\infty<a \leqslant x$, в то время как индекс – указывал на область $a \leqslant x<\infty$.

Сейчас мы укажем условия, которым должно удовлетворять множество данных для того, чтобы быть данными рассеяния для оператора L, принадлежащего классу, который был определен в теореме 6.6. Предположим без потери общности, что заданные данные рассеяния будут определять $S_{+}$.

Теорема 6.17. Пусть $S_{+}=\left\{R_{+}(k), \bar{R}_{+}(k), k_{j}, \bar{k}_{l}, P_{j}(x)\right.$, $\left.\bar{P}_{l}(x), m_{j}, \bar{m}_{l} ; j=1, \ldots, N, i=1, \ldots, \bar{N}\right\}$ есть множество данных, такое что:

(i) Функции $R_{+}(k), \bar{R}_{+}(k)$ мероморфны в полосе $|\operatorname{Im} k|<$ $<\varepsilon_{0}$, где $\varepsilon_{0}<\min \left\{\left|\operatorname{Im} k_{j}\right|,\left|\operatorname{Im} k_{j}\right|\right\} u \varepsilon_{0}>0$, и имеют лишь веиественные полюсы. Асимптотически $R_{+}(k)=0(1 /|k|)$, $\bar{R}_{+}(k)=o(1 /|k|)$ при $|k| \rightarrow \infty$.
(ii) Степени многочленов $P_{+j}, \bar{P}_{+l}$ равны $m_{j}-1, \bar{m}_{l}-1$, где $m_{j}, \bar{m}_{l}$ являются соответственно кратностями невещественных чисел $k, k_{l}, i=1, \ldots, N, t=1, \ldots, \bar{N}$.
(iii) $\widehat{S}_{ \pm}$удовлетворяют условиям теоремы 6.11.
(iv) Функции $\mathbf{F}_{ \pm}$, построенные по $\widehat{S}_{ \pm}$, являются функциями muna $\left(\mathrm{G}_{ \pm}\right.$, е) для некоторого в $>\varepsilon_{0}$; более того, они дифференцируемы и удовлетворяют неравенствам
\[
\left|\mathrm{F}_{ \pm x}(x)\right|<C_{\varepsilon}^{ \pm} e^{\mp \varepsilon x} .
\]

Тогда $\widehat{S}_{+}$определяет оператор $\mathrm{L}$, который удовлетворяет (6.1.13) и коэффициенты которого $Q$ и $R$ удовлетворяют неравенствам
\[
\begin{array}{l}
|Q(x)| \leqslant C_{\mathrm{e}} e^{-2 \mathrm{E}|x|}, \quad\left|Q_{\mathrm{x}}(x)\right| \leqslant C_{\mathrm{t}} e^{-2 \mathrm{e}|x|}, \\
|R(x)| \leqslant C_{\mathrm{e}} e^{-2 \mathrm{E}|x|}, \quad\left|R_{x}(x)\right| \leqslant C_{\mathrm{e}} e^{-2 \mathrm{e}|x|} .
\end{array}
\]

Кроме того, данные рассеяния $S_{+}$для $\mathrm{L}$ в точности совпадают с $\widehat{S}_{+}$.
доказательство. Увеличим множество $\widehat{S}_{+}$, добавив к нему $k_{j}\left(k_{j}\right), j=N+1, \ldots, N+M$, – вещественные полюсы функций $R_{+}$и $\bar{R}_{+}$с кратностями $m_{j}, \bar{m}_{j}$ соответственно. Поскольку $\widehat{S}_{+}$ удовлетворяет условиям теоремы 6.11, то можно построить функции $a, \bar{a}$ таким образом, чтобы функции $R_{-}=\bar{R}_{+} \bar{a} a^{-1}$ и $\bar{R}_{-}=$ $=R_{+} a \bar{a}^{-1}$ также удовлетворяли условиям (i). Нормировочные многочлены $P_{-j}, \bar{P}_{-j}$ можно тогда построить по $P_{+j}, \bar{P}_{+j}$, применяя соотношения (v) теоремы 6.14. Затем мы образуем функции $\mathbf{F}_{ \pm}$, которые, в силу пункта (iv) теоремы, будут функциями типа ( $\left.\mathrm{G}_{ \pm}, \mathbf{e}\right)$, Тогда применима теорема 6.15 , согласно которой ядра $\mathrm{K}_{ \pm}$уравнений Марченко определены однозначно, так что построенные с их помощью функции
\[
\begin{array}{l}
\tilde{\Psi}(x, k)=\tilde{\Psi}_{\infty}(x, k)+\int_{x}^{\infty} K_{+}(x, u) \widetilde{\Psi}_{\infty}(u, k) d u, \\
\Phi(x, k)=\Phi_{-\infty}(x, k)+\int_{-\infty}^{x} \mathbf{K}_{-}(x, u) \Phi_{-\infty}(u, k) d u
\end{array}
\]

также однозначно определены в полосе $|\operatorname{Im} k|<\boldsymbol{\varepsilon}$. Эти функции удовлетворяют уравнению (6.1.13) с потенциальными функциями $\mathbf{P}_{ \pm}$соответственно, где
\[
\left|Q_{ \pm}(x)\right| \leqslant C_{\mathrm{E}}^{ \pm}(a) e^{\mp 2 \varepsilon x},\left|R_{ \pm}(x)\right| \leqslant C_{\mathrm{E}}^{ \pm}(a) e^{\mp 2 \varepsilon x} .
\]

Доказательство этой теоремы будет опираться на серию лемм. Рассмотрим функции $\mathbf{H}=\left(H_{1}, H_{2}\right), \mathbf{J}=\left(J_{1}, J_{2}\right)$, определяемые соотношениями
\[
\mathbf{H}=\widetilde{\Psi}\left(\begin{array}{cc}
1 & \bar{R}_{+} \\
R_{+} & 1
\end{array}\right), \quad \mathbf{J}=\Phi\left(\begin{array}{cc}
1 & -R_{-} \\
-\bar{R}_{-} & 1
\end{array}\right) .
\]

Они мероморфны в полосе $|\operatorname{Im} k|<\varepsilon_{0}$. Возьмем функцию $\mathbf{H}$. Из уравнения Марченко для $\mathbf{K}_{+}$мы получим, что
\[
\mathbf{K}_{+}(x, u)+\widehat{\mathbf{R}}_{+}(x+u)+\int_{x}^{\infty} \mathbf{K}_{+}(x, s) \widehat{\mathbf{R}}_{+}(s+u) d s=\tilde{\mathbf{K}}_{+}(x,-u), \quad u \geqslant x,
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\widehat{\mathbf{R}}_{+}(x)=\frac{1}{2 \pi}\left(\begin{array}{cc}
0 & \int_{\gamma} \bar{R}_{+}(k) e^{-l k x} d k \\
\int_{\psi} R_{+}(k) e^{l k x} d k & 0
\end{array}\right), \\
\widetilde{\mathbf{K}}_{+}(x, u)=-\sum_{j=1}^{N}\left(\boldsymbol{M}_{j}(x-u)+\int_{\boldsymbol{x}}^{\infty} \mathbf{K}_{+}(x, s) \boldsymbol{M}_{j}(s-u) d s\right)
\end{array}
\]

и
\[
M_{j}(x)=\left(\begin{array}{cc}
0 & \bar{P}_{j}(x) e^{-i k_{j} x} \\
P_{j}(x) e^{i k_{j} x} & 0
\end{array}\right) .
\]

Точно так же, как в предыдущей теореме, индекс + указывает на область $-\infty<a \leqslant x<\infty$, а индекс – относится к области $-\infty<x \leqslant a<\infty$. Если мы доопределим $\mathrm{K}_{ \pm}(x, u)=0$, $u<x$, то, применяя преобразование Фурье к (6.2.38) по отношению к матрице $\widehat{\boldsymbol{\Phi}}_{\infty}(u, k)$, мы получим
\[
\begin{aligned}
\tilde{\Psi}(x, k)-\tilde{\Psi}_{\infty}(x, k)+\tilde{\Psi}(x, k)\left(\begin{array}{cc}
0 & \bar{R}_{+}(x) \\
R_{+}(k) & 0
\end{array}\right)= \\
=\int_{-\infty}^{x} \widetilde{\mathbf{K}}_{+}(x, u) \tilde{\Psi}_{\infty}(u,-k) d u .
\end{aligned}
\]

Сравнивая это соотношение с (6.2.37), находим, что
\[
\mathbf{H}(x, k)=\widetilde{\Psi}_{\infty}(x, k)+\int_{-\infty}^{x} \widetilde{\mathbf{K}}_{+}(x, u) \widetilde{\Psi}_{\infty}(u,-k) d u, \quad|\operatorname{Im} k|<\varepsilon_{0} .
\]

Из свойств $\mathrm{K}_{+}(x, u), \mathrm{K}_{+u}(x, u)$ следует, что $\bar{\phi}(x, k)$ аналитична в полуплоскости $\operatorname{Im} k<\varepsilon$, а $\psi(x, k)$ аналитична в полуплоскости

$\operatorname{Im} k>-\varepsilon$, где $\widetilde{\Phi}=(\bar{\varphi}, \psi)$. Кроме того, для $Ф$ имеет место следующее равномерное асимптотическое представление:
\[
\tilde{\Psi}_{\infty}^{-1}(x, k) \tilde{\Psi}(x, k)=\mathbf{J}+o(1 /|k|) \quad \text { при } \quad|k| \rightarrow \infty, \quad|\operatorname{Im} k|<\varepsilon .
\]

Векторы-столбцы матрицы $\tilde{\Phi}_{\infty}^{-1} \tilde{\Phi}$ имеют такое же асимптотическое представление в соответствующих полуплоскостях.

Изучим теперь аналитические свойства ${ }_{x} \mathrm{H}(k)$. Из определения $\widetilde{\mathbf{K}}_{+}$находим, что
\[
\begin{array}{r}
\widetilde{\mathbf{K}}_{+}(x, u)=-\sum_{j=1}^{N}\left(\left.P_{+j}\left(-i \frac{\partial}{\partial k}\right)\left(e^{-i k u} \Psi(x, k)\right)\right|_{k=k_{j}}\right. \\
\left.\left.\bar{P}_{+j}\left(i \frac{\partial}{\partial k}\right)\left(e^{i k u} \bar{\psi}(x, k)\right)\right|_{k=k_{j}}\right) .
\end{array}
\]

Положим
\[
{ }_{x} \mathbf{D}(k) \tilde{\Psi}_{\infty}(x, k)=\mathbf{H}(x, k)-\tilde{\Phi}_{\infty}(x, k)-\int_{\infty}^{x} K_{+}(x, k) \bar{\Psi}_{\infty}(u,-k) d u .
\]

Из асимптотики $R_{+}$и $\bar{R}_{+}$и из ( 6.2 .37 ) следует, что для ${ }_{x} \mathrm{D}$ справедлива равномерная асимптотическая формула
\[
{ }_{x} \mathbf{D}(k)=o(1 /|k|) \quad \text { при } \quad|k| \rightarrow \infty, \quad|\operatorname{Im} k|<\varepsilon_{0} .
\]

Выбор подходящего контура в определении преобразования Фурье для ${ }_{x} \mathbf{D}=\left({ }_{x} D_{1},{ }_{x} D_{2}\right)$ определяется выбором контура в преобразовании Фурье для $\mathbf{H}$ :
\[
\widehat{x} \widehat{\mathbf{D}}(u)=\frac{1}{2 \pi}\left(\int_{\gamma}{ }_{x} D_{1}(k) e^{l k u} d k, \int_{\gamma} D_{2}(k) e^{-l k u} d k\right), \quad|\operatorname{Im} k|<\varepsilon_{0} .
\]

Из этого определения (или же переписывая уравнение Марченко в терминах ${ }_{x} \mathrm{D}$ ) находим, что ${ }_{x} \hat{\mathbf{D}}(u)=0$ при $u \geqslant x$, так что обратное преобразование Фурье может быть записано в виде
\[
{ }_{x} \mathbf{D}(k)=\int_{-\infty}^{x}{ }_{x} \hat{D}(u) \Psi_{\infty}(u, k) d u .
\]

Выберем $0<\lambda<\varepsilon_{0}$ и положим $\eta=\operatorname{Im} k$. Применяя неравенство Шварца и равенство Парсеваля, получим оценки
\[
\begin{aligned}
\left|\int_{-\infty}^{x} \bar{x}_{1}(u) e^{-i k u} d u\right| & \leqslant \int_{\infty}^{x}\left|\widehat{D}_{1}(u)\right| e^{\eta u} d u \leqslant \\
& \leqslant\left\{\int_{-\infty}^{x}\left|\widehat{x}_{1}(u) e^{\lambda u}\right|_{\mathrm{E}}^{2} d u\right\}^{1 / 2}\left\{\int_{-\infty}^{x} e^{2(\eta-\lambda) u} d u\right\}^{1 / 2}=
\end{aligned}
\]

\[
\begin{array}{c}
=\frac{1}{2 \pi}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}\left|D_{1}(\xi+i \lambda)\right|_{\mathrm{E}}^{2} d \xi\right\}^{1 / 2} \frac{1}{(2(\eta-\lambda))^{1 / 2}} \\
\left|\int_{-\infty}^{x} \widehat{D}_{2}(u) e^{i k u} d u\right| \leqslant\left\{\left.\left.\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\right|_{x} D_{2}(\xi-i \lambda)\right|_{\mathrm{E}} ^{2} d \xi\right\}^{1 / 2} \frac{1}{(2(\lambda-\eta))^{1 / 2}} .
\end{array}
\]

Из неравенств (6.2.46), (6.2.47) и (6.2.43) следует, что функция ${ }_{x} D_{1}$ аналитична в полуплоскости $\operatorname{Im} k>\lambda$, а функция ${ }_{x} D_{2}-$ в полуплоскости $\operatorname{Im} k<\lambda$. Если связать эту информацию с тем, qто нам известно об аналитическом поведении ${ }_{\mathbf{D}} \mathbf{D}$, то можно будет заключить, что функции ${ }_{x} \mathrm{D}_{1}$ и ${ }_{x} \mathrm{D}_{2}$ мероморфны в полуплоскостях Im $k>-\mathrm{\varepsilon}_{0}$ н Im $k<\varepsilon_{0}$ соответственно. Заметим, в частности, что именно вычисление интеграла, фигурирующего в определении ${ }_{x} \mathrm{D}$, приводит к аналитическому продолжению. Применяя к обеим частям очевидного равенства
\[
\int_{-\infty}^{x}\left(i \frac{\partial}{\partial k}\right)^{t} e^{-i\left(k_{j}-k\right) u} d u=\left(i \frac{\partial}{\partial k}\right)^{t} \frac{e^{-i\left(k_{j}-k\right) x}}{-i\left(k_{j}-k\right)}, \quad|\operatorname{Im} k|<\varepsilon_{0}
\]

преобразование Фурье, находим, что
\[
\begin{array}{l}
P_{+l}\left(-i \frac{\partial}{\partial k}\right)\left(e^{-i k u} \Psi(x, k)\right)_{k=k_{j}}= \\
=\frac{1}{2 \pi} \sum_{l=1}^{m_{j}} \int_{y}\left[\frac{F_{l l}(x) e^{-i\left(k_{j}-k\right) x}}{\left(k_{j}-k\right)^{l}}\right] e^{-l k_{k}} d k .
\end{array}
\]

Комплекснозначные функции $F_{n}$ из последнего равенства ограничены на любом конечном интервале $[a, \infty[, a>-\infty$. Ясно, что выражение в квадратных скобках в (6.2.49) может быть аналитически продолжено в полуплоскость $\operatorname{Im} k>0$, откуда и получается сформулированный выше результат.

В качестве немедленного следствия этого результата получаются формулы
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{e^{i k x} H_{1}(x, k)\right\}=-i\left\{P_{+i}\left(-i \frac{\partial}{\partial k}\right)\left(e^{i k x} \Psi(x, k)\right)\right\}_{k=k_{j}}, \\
\operatorname{Res}_{k=\bar{k}_{j}}\left\{e^{-i k x} H_{2}(x, k)\right\}=i\left\{\bar{P}_{+i}\left(i \frac{\partial}{\partial k}\right)\left(e^{-i k x} \bar{\Psi}(x, k)\right)\right\}_{k=k_{j}} .
\end{array}
\]

Кроме того, для $\mathbf{H}$ справедливы следующие равномерные асимптотические представления:
\[
\begin{array}{rlll}
e^{i k x} H_{1}(x, k)=o(1 /|k|) & \text { при } & |k| \rightarrow \infty, & \operatorname{Im} k>-\varepsilon_{0}, \\
e^{-i k x} H_{2}(x, k)=o(1 /|k|) & \text { при } & |k| \rightarrow \infty, & \operatorname{Im} k<\varepsilon_{0} .
\end{array}
\]

Поскольку $\mathbf{H}(x, k)$ мероморфна в полосе $|\operatorname{Im} k|<\boldsymbol{\varepsilon}_{0}$, к (6.2.37) можно применить теорему Коши. Заметим сначала, что преобразование Фурье (6.2.37) можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2 \pi} \int_{\gamma}\left[\mathbf{H}(x, k)-\Psi_{\infty}(x, k)\right] \Psi_{\infty}(u,-k) d k= \\
\quad=\frac{1}{2 \pi} \int_{\gamma}\left(\widetilde{\Psi}(x, k)-\Psi_{\infty}(x, k)\right) \Psi_{\infty}(u,-k) d k+ \\
\quad+\frac{1}{2 \pi} \int_{\gamma}\left(\widetilde{\Psi}(x, k)-\Psi_{\infty}(x, k)\right) \mathbf{R}_{+}(k) \Psi_{\infty}(u,-k) d k+ \\
\quad+\frac{1}{2 \pi} \int_{\gamma} \Psi_{\infty}(x, k) \mathbf{R}_{+}(k) \Psi_{\infty}(u,-k) d k .
\end{array}
\]

Если мы замкнем контуры, используя интегралы вдоль контура $\bar{\gamma}$, то с учетом асимптотического поведения подынтегральных функций при $|k| \rightarrow \infty$ получим, что
\[
\begin{array}{rr}
\operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{e^{i k x} H_{1}(x, k)\right\}=\operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{R_{+}(k)\left(e^{i k x} \psi(x, k)\right)\right\}, \quad & \operatorname{Im} k_{j}=0 \\
\operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{e^{-i k x} H_{2}(x, k)\right\}=\operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{\bar{R}_{+}(k)\left(e^{-l k x} \bar{\psi}(x, k)\right)\right\}, & \operatorname{Im} \bar{k}_{j}=0 .
\end{array}
\]

Аналогичнье соотношения можно установить для функций $\mathrm{J}$ и $\boldsymbol{\Phi}$.

Лемма 6.18. Пусть выполняются условия теоремы 6.15. Тогда существуют и однозначно определень функции $\widetilde{\Psi}(x, k), \Phi(x, k)$, $\mathbf{H}(x, k)$ и $\mathbf{J}(x, k)$, такие что:
(i) Функции $^{2}(x, k), \varphi(x, k),(\bar{\phi}(x, k), \bar{\varphi}(x, k))$ могут быть аналитически продолжены в верхню (нижнюю) полуплоскость $\operatorname{Im} k>-\varepsilon(\operatorname{Im} k<\varepsilon)$, в то время как $H_{1}(x, k), \quad J_{2}(x, k)$ ( $\left.H_{2}(x, k), J_{1}(x, k)\right)$ мероморфны в полуплоскостях Im $k>-\varepsilon_{0}$ (Im $k<\varepsilon_{0}$ ) соответственно. Функции $H_{1}(x, k), J_{2}(x, k)\left(H_{2}(x, k)\right.$, $J_{1}(x, k)$ ) имеют полюсы порядка $m_{j}$ в точках $k_{j}\left(k_{j}\right), j=1, \ldots$ $\cdots, N+M$, соотеетотвенно.
(ii) Вычеты функции $\mathbf{H}(x, k)$ ( $\mathrm{J}(x, k)$ ) связаны со значениями функции $\widehat{\Psi}(x, k)$ (Ф ( $x, k)$ ) следующими формулами:
\[
\begin{aligned}
\operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{e^{i k x} H_{1}(x, k)\right\}=-i\left\{P_{+j}\left(-i \frac{\partial}{\partial k}\right)\left(e^{i k x} \psi(x, k)\right)\right\}_{k=k_{j}}, \\
\operatorname{Im} k_{j}>0,
\end{aligned}
\]

\[
\begin{array}{l}
\operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{e^{-i k x} H_{2}(x, k)\right\}=i\left\{\bar{P}_{+1}\left(i \frac{\partial}{\partial k}\right)\left(e^{-i k x} \bar{\Psi}(x, k)\right)\right\}_{k=k_{j}}, \\
\operatorname{Im} k_{j}<0, \quad j=1, \ldots, N, \\
\operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{e^{i k x} H_{\mathrm{I}}(x, k)\right\}=\operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{R_{+}(k)\left(e^{i k x} \Psi(x, k)\right)\right\}, \quad \operatorname{Im} k_{j}=0, \\
\operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{e^{-i k x} H_{2}(x, k)\right\}=\operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{\bar{R}_{+}(k)\left(e^{-i k x} \Psi(x, k)\right)\right\}, \\
\operatorname{lm} k_{j}=0, \quad j=N+1, \ldots, N+M .
\end{array}
\]

Аналогинны соотношения получаются для $\mathbf{J}(x, k)$ и Ф ( $x, k)$. $B$ этом случае в написанных выше формулах следует $H_{1}, H_{2}$ заменить на $J_{2}, J_{1} ; P_{+}, \bar{P}_{+}$на $P_{-}, \bar{P}_{-} ; R_{+}, \bar{R}_{+}-$на $R_{-}, \bar{R}_{-} ;$ $\psi, \bar{\psi}-$ на $\varphi, \overline{\bar{\varphi}}$, наконец, $i-$ на – $i$.
(iii) Для больших $|k|$ справедливы следующие равномерные асимптотические представления при $|k| \rightarrow \infty$ :
\[
\begin{aligned}
\mathbf{H}(x, k) \Psi_{\infty}^{-1}(x, k) & =\mathbf{I}+o(1 /|k|), \\
\mathbf{J}(x, k) \Psi_{\infty}^{-1}(x, k) & =\mathrm{I}+o(1 /|k|), \\
\tilde{\Psi}(x, k) \Psi_{\infty}^{-1}(x, k) & =\mathrm{I}+o(1 /|k|), \\
\Phi(x, k) \Psi_{\infty}^{-1}(x, k) & =\mathbf{I}+o(1 /|k|),
\end{aligned}
\]

которые выполняются в соответствующих областях аналитияности функццй, стояцих в левых частях этих представлений.
(iv) Имеют место фор муль
\[
\begin{aligned}
\mathbf{H}(x, k) & =\tilde{\Psi}(x, k)\left(\begin{array}{cc}
1 & \bar{R}_{+}(k) \\
R_{+}(k) & 1
\end{array}\right), \\
\mathbf{J}(x, k) & =\Phi(x, k)\left(\begin{array}{cc}
1 & -R_{-}(k) \\
-\bar{R}_{-}(k) & 1
\end{array}\right),
\end{aligned}
\]

справедливые в полосе $|\operatorname{Im} k|<\varepsilon_{0}$.
Докажем теперь лемму, которая эффективно решает обратную задачу.

Лемма 6.19. Функции $\Phi(x, k), \tilde{\Psi}(x, k)$ удовлетворяют соотношению
$2 \partial e$
\[
\Phi(x, k)=\tilde{\Psi}(x, k) \tilde{\mathrm{A}}(k), \quad|\operatorname{Im} k|<\varepsilon_{0 n}
\]
\[
\tilde{A}(k)=\left(\begin{array}{ll}
a & \bar{b} \\
b & \bar{a}
\end{array}\right) .
\]

Доказательство. Определим функции
\[
\mathbf{H}^{\prime}=\Phi\left(\begin{array}{ll}
a & 0 \\
0 & \bar{a}
\end{array}\right)^{-1}, \quad \tilde{\Psi}^{\prime}=\mathbf{J}\left(\begin{array}{ll}
\bar{a} & 0 \\
0 & a
\end{array}\right) .
\]

Векторы-столбцы этих матриц-функций $\mathbf{H}^{\prime}=\left(H_{1}^{\prime}, H_{2}^{\prime}\right), \quad \tilde{\Psi}^{\prime}=$ $=\left(\bar{\psi}^{\prime}, \psi^{\prime}\right)$ таковы, что $\bar{\psi}^{\prime}$ и $\psi^{\prime}$ аналитичны в полуплоскостях $\operatorname{Im} k<\varepsilon_{0}$, Im $k>-\varepsilon_{0}$ соответственно, в то время как функции $H_{1}^{\prime}$ и $H_{2}^{\prime}$ мероморфны в полуплоскостя $\operatorname{Im} k>-\varepsilon_{0}, \operatorname{Im} k<\varepsilon_{0}$ соответственно. Из определения $\mathbf{J}$ легко выводим, что
\[
\mathbf{H}^{\prime}(x, k)=\tilde{\Psi}^{\prime}(x, k)\left(\begin{array}{cc}
1 & \vec{R}_{+}(k) \\
R_{+}(k) & 1
\end{array}\right), \quad|\operatorname{Im} k|<\varepsilon_{0} .
\]

Применяя те же соображения, которые позволили получить формулы (6.2.53), находим, что при $j=N+1, \ldots, N+M$
\[
\begin{aligned}
\operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{e^{i k x} H_{1}^{\prime}(x, k)\right\} & =\operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{R_{+}(k)\left(e^{i k x} \psi^{\prime}(x, k)\right)\right\}, \\
\operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{e^{-i k x} H_{2}^{\prime}(x, k)\right\} & =\operatorname{Res}_{k=\bar{k}_{j}}\left\{\vec{R}_{+}(k)\left(e^{-i k x} \bar{\psi}^{\prime}(x, k)\right)\right\} .
\end{aligned}
\]

Используя аналитичность функций $\operatorname{\Phi }$ и $\tilde{\Psi}^{\prime}$ и их представления (6.2.54), получаем формулы
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{e^{i k x} H_{1}(x, k)\right\}=\operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left(e^{i k x} \frac{\varphi(x, k)}{a(k)}\right), \\
\operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{e^{-i k x} J_{2}(x, k)\right\}=\operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left(e^{-i k x} \frac{\psi^{\prime}(x, k)}{a(k)}\right)
\end{array}
\]

с аналогичными выражениями для других компонент матриц-функций. Таким образом, применяя лемму 6.18 и вторую формулу из (6.2.57), приходим к равенству
\[
\begin{aligned}
\sum_{l=0}^{m_{j}} C_{l}^{1} C^{m_{j}-1}\left(e^{-i k x} \psi^{\prime}\right. & (x, k)\}_{k=k_{j}}^{(l)}\left(\frac{\left(k-k_{j}\right)^{m_{j}}}{\left(m_{j}-1\right) ! a(k)}\right)_{k^{\prime-k_{j}}}^{\left(m_{j}-1-l\right)}= \\
& =\sum_{l=0}^{m_{j}-1}(i)^{l+1} P_{-l l} \frac{\partial^{l}}{\partial k^{l}}\left(e^{-i k x_{x}} \varphi(x, k)\right)_{k=k_{j}} .
\end{aligned}
\]

Первая формула из (6.2.57) вместе с пунктом (v) теоремы 6.14 позволяют получить равенство
\[
\operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{e^{i k x} H_{1}(x, k)\right\}=-i\left\{P_{+1}\left(-i \frac{\partial}{\partial k}\right)\left(e^{i k x} \psi^{\prime}(x, k)\right)\right\}_{k=k_{j}},
\]

совпадающее с первым соотношением из (6.2.50). Второе соотношение из (6.2.50) удовлетворяется функциями $H_{2}^{\prime}$ и $\bar{\phi}^{\prime}$.
Далее легко получить представления (при $|k| \rightarrow \infty$ )
\[
\begin{aligned}
\mathbf{H}^{\prime}(x, k) \Psi_{\infty}(x,-k) & =1+o(1 / k \mid), \\
\tilde{\Psi}^{\prime}(x, k) \Psi_{\infty}(x,-k) & =1+o(1 /|k|),
\end{aligned}
\]

дающие равномерную асимптотику в областях аналитичности функций $\mathbf{H}^{\prime}$ и $\widetilde{\Psi}^{\prime}$. Таким образом, в силу леммы $6.18 \mathbf{H}^{\prime} \equiv \mathbf{H}$ и $\widetilde{\Psi}^{\prime} \equiv \widetilde{\Psi}$. Отсюда немедленно следует утверждение леммы.

Лемма 6.19 требует, чтобы Ф и $\tilde{\Psi}$ удовлетворяли некоторому дифференциальному уравнению. Из теоремы 6.16 следует, что $\mathbf{P}_{+}=\mathbf{P}_{-} \equiv \mathbf{P}$ и что $\widehat{S}_{+}$суть данные рассеяния $S_{+}$оператора $\mathbf{L}$. Условия, которым должны удовлетворять коэффнциенты $\mathrm{L}$, также следуют из теоремы 6.16 .

Мы решили обратную задачу при очень сильных ограничениях на данные рассеяния. Рассмотрение решений при произвольных начальных данных (см. следующий раздел) показывает, что такие ограничения в действительности могут оказаться излишними. Тем не менее главная трудность, связанная с этим методом, состоит в более точном выделении условий, которым должны удовлетворять потенциалы $Q$ и $R$ для того, чтобы обеспечить существование лишь конечного числа точек сингулярного спектра. В том случае, когда $Q$ и $R$ удовлетворяют уравнению для моментов, еще предстоит исследовать структуру этого спектра. Заметим, что любое ослабление условий на потенциалы приведет к исследованию тех же задач, которые были здесь рассмотрены (ясно, что многие результаты можно немедленно приспособить для более слабых ограничений на потенциальные функции). Наконец, мы упоминаем, что применение экспоненциальной функции в условиях, которым должны удовлетворять потенциалы, приводит к компактным формулам, с которым удобно работать.

Вернемся теперь к задаче Коши для интегрируемых эволюционных уравнений системы ЗШ一АКНС (см. (6.1.112)):
\[
\begin{array}{l}
\sigma_{3} U_{t}-\Omega\left(\mathrm{L}_{1}^{A}\right) U=0, \quad x \in \mathbb{R}, \quad t \geqslant 0, \\
U(x, 0)=F(x),
\end{array}
\]

где $U=(R, Q)^{T}$. Эволюционные уравнения имеют вид $U_{t}=$ $=\mathrm{K}(U)$, где $\mathrm{K}$ – локальный нелинейный оператор, содержащи й лишь элементы матрицы $U$ и их $x$-производные. Легко проверяется, что оператор $\Omega\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right)$ как раз такого типа, если $\Omega(k)$ – многочлен по $k$.

Рассматривая в гл. 4 интегрируемые эволюционные уравнения, ассоциированные с изоспектральным оператором Шрёдингера, мы показали, что если начальные данные достаточно гладкие и достаточно быстро убывают при $|x| \rightarrow \infty$, то задачу Коши для этого случая можно решить с помощью метода обратной задачи рассеяния. То же самое верно для интегрируемых эволюционных уравнений, ассоциированных с изоспектральным оператором ЗШ-АКНС. В большей части остающегося раздела мы будем для простоты предполагать, что функции $Q$ и $R$ не являются линейно зависимыми. Наш метод разбит на шаги, схематично изображенные на рис. 6.3. Мы отсылаем читателя к разд. 4.2, где этот метод обсуждается в полном объеме. Здесь же мы объясняем его лишь в общих чертах, просто заменяя $Q$ на $U$. Можно показать, в частности, что в линейном приближении этот метод сводится к методу Фурье решения линейных эволюционных уравнений (см. упражнения в конце этой главы.)

Следующее обстоятельство является существенным. Если мы хотим применить метод обратной задачи рассеяния для решения
Waz 2

Рис. 6.3. Метод обратной задачи рассеяния.

задачи (6.2.61), то мы должны будем наложить дополнительные условия на начальные данные, обеспечивающие единственность восстановленной функции $U(x, t)$ на шаге 3 , т. е. обеспечить достаточную гладкость $U$ для того, чтобы могли выполняться уравнения (6.2.61). Очевидно, это будет зависеть от степени многочлена $\Omega(k)$. Наши рассуждения здесь весьма схожи с приведенными в разд. 4. Мы исследуем теперь вопрос о существовании решения задачи (6.2.61) для начальных данных, принадлежащих к классу функций, удовлетворяющих условиям теоремы 6.6. Единственность будет устанавливаться отдельно для каждого специфического уравнения. Для решения этой задачи нам понадобится ряд лемм и потребуютея условия на $F(x)$, достаточные для существования решения. Эти условия даются в теореме 6.25.
Лемма 6.20. Ecлu $F(x) \in C^{n} u$
\[
\left|F(x)^{(h)}\right| \leqslant C_{\mathrm{e}}^{i} e^{-2 e|x|}, \quad j \leqslant n,
\]

мо для $j+t \leqslant n$ суцествуют функции $\mathrm{K}_{ \pm}^{(j, l)}(x, y)$, для которых выполняются следующие оценки:
\[
\left|K_{ \pm}^{(l, l)}(x, y)\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{(l+t) \pm} e^{\varepsilon(x+b)} .
\]
‘Доказательство. Рассмотрим лишь случай $K_{+}$, результаты для $\bar{K}_{+}, K_{-}$и $\bar{K}_{-}$доказываются аналогично. Дифференцируя уравнения (6.1.59), мы получим, как и при доказательстве следствия 6.7.2, что
\[
\begin{array}{l}
K_{+1}^{(0,1)}(x, y)=-G_{01}((1 / 2)(x+y))- \\
-\int_{x}^{(1 / 2)(x+y)} Q(s) K_{+2}^{(0,1)}(s, y+x-s) d s,
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
K_{+2}^{(0,1)}(x, y)=-\int_{0}^{\infty} K_{+1}^{(0, \mathrm{I})}(s, y-x+s) R(s) d s, \\
K_{+1}^{(1,0)}(x, y)=-(1 / 4) \dot{Q}((1 / 2)(x+y))+Q(x) K_{+2}(x, y)- \\
-(1 / 4) Q((1 / 2)(x+y)) \int_{(1 / 2)(x+y)}^{\infty} Q(s) R(s) d s- \\
– \int_{x}^{(1 / 2)(x+y)} Q(s) K_{+2}^{(0,1)}(s, y+x-s) d s,
\end{array}
\]
\[
K_{+2}^{(1,0)}(x, y)=\int_{x}^{\infty} K_{+1}^{(0,1)}(s, y-x+s) R(s) d s+K_{+1}(x, y) R(x),
\]

где
\[
G_{01}(x)=(1 / 4) \dot{Q}(x)+(1 / 4) Q(x) \int_{0}^{\infty} Q(s) R(s) d s .
\]

Отсюда, как уже делалось при доказательстве указанного следствия, легко вывести результат для $K_{+}^{(0,1)}$ и $K_{+}^{(1,0)}$ посредством вычислений, аналогичных случаю $K_{+}^{(0,0)}$. Теперь без вхождения в детали становится ясно, что результат леммы полудается по индукции. Во всех случаях при переходе к следующему порядку, если результат для $K_{+}^{(i, i)}$ уже получен, то затем устанавливается результат для $K_{+}^{(t, i+1)}$.

Сейчас мы рассмотрим свойства функций рассеяния, ассоциированных с оператором $\mathbf{L}_{0} \equiv \mathbf{L}(t=0)$, определенным в лемме 6.13. Мы можем получить интегра;льне представления этих функций в терминах ядер $\mathbf{K}_{ \pm}$, используя определения (6.1.31)-(6.1.33) и операторы преобразования с ядрами $\mathrm{K}_{ \pm}$, определенные в теореме 6.7. Находим, что
\[
\begin{array}{cc}
e^{2 t k x b}(k)=\int_{-\infty}^{\infty} x_{1}(y) e^{-2 i k y} d y, & e^{-2 i k x} b(k)=\int_{-\infty}^{\infty} x^{\bar{\pi}_{1}}(y) e^{2 i k y} d y, \\
a(k)=1+\int_{0}^{\infty} \pi_{2}(y) e^{2 i k y} d y, \quad \bar{a}(k)=1+\int_{0}^{\infty} \bar{\pi}_{2}(y) e^{-2 i k y} d y,
\end{array}
\]

где
\[
x^{\pi_{1}}(y)=B_{-2}(x, y)-\bar{B}_{+2}(x, y)+\int_{-\infty}^{\min (y, 0)} B_{-2}(x, v) \bar{B}_{+1}(x, y-v) d v-
\]
\[
\begin{array}{r}
-\int_{\max (0, y)}^{\infty} \bar{B}_{+2}(x, v) B_{-1}(x, y-v) d v, \\
\bar{x}^{\operatorname{\pi }}(y)=\bar{B}_{-1}(x, y)-B_{+1}(x, y)+\int_{-\infty}^{\min (0, y)} \bar{B}_{-1}(x, v) B_{+2}(x, y-v) d v-
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{c}
-\int_{\max (0, y)}^{\infty} \bar{B}_{-2}(x, y-v) B_{+1}(x, v) d v, \quad(6.2 .63) \\
\pi_{2}(y)=B_{-1}(x,-y)+B_{+2}(x, y)+\int_{0}^{y} B_{-1}(x, v-y) B_{+2}(x, v) d v- \\
-\int_{0}^{y} B_{-2}(x, v-y) B_{+1}(x, v) d v, \\
\bar{\pi}_{2}(y)=\bar{B}_{+1}(x, y)+\bar{B}_{-2}(x,-y)+\int_{0}^{y} \bar{B}_{+1}(x, v) \bar{B}_{-2}(x, v-y) d v- \\
-\int_{0}^{y} \bar{B}_{+2}(v, x) \bar{B}_{-1}(x, v-y) d v, \\
B_{ \pm}(x, y)=2 K_{ \pm}(x, 2 y+x) .
\end{array}
\]

Свойства дифференцируемости функций рассеяния уже известны. Именно, согласно условиям теоремы 6.6, они аналитичны в полосе $|\operatorname{lm} k|<\varepsilon$ и, стало быть, бесконечно дифференцируемы в этой полосе. Однако нам хотелось бы выделить те асимптотические свойства функций рассеяния, которые индуцируются дифференцируемостью и асимптотическими свойствами начальных данных. Тем же способом, каким была получена лемма 4.5 , можно показать, что справедлива

Лемма 6.21. Если $F(x) \in C^{n}$, то функции $\left\{x^{\pi}\right\}^{(m)}(y)$, $\left.x^{\bar{\pi}}{ }_{1}^{m)}(y), m \leqslant n-1\right\}$ непрерынны.

Из лемм $6.20,6.21$ и формул (6.2.63) вытекает следующий результат.

Лемма 6.22. Если $F(x) \in C^{n} u\left|F^{(f)}(x)\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{f} e^{-2 \varepsilon|x|}$, mо функции $\left\{\right.$ х $\left._{1}, x \bar{\pi}_{1}, \pi_{2}, \bar{\pi}_{2}\right\}$ принадлежат классу $C^{n-1}$ и, кроме того, существуют постоянные $C_{\varepsilon}^{ \pm \prime}, \bar{C}_{\varepsilon}^{ \pm j}, C_{\varepsilon}^{\prime}$ и $\bar{C}_{\varepsilon}^{\prime}$, для которых выполняются неравенства
\[
\begin{array}{cc}
\lim _{y \rightarrow \pm \infty}\left|\operatorname{lo}_{1}^{(j)}(y) \exp ( \pm 2 \mathrm{\varepsilon} y)\right| \leqslant C_{\mathrm{e}}^{ \pm j} ; & \lim _{y \rightarrow \pm \infty}\left|\operatorname{lo}_{1}^{(j)}(y) \exp ( \pm 2 \mathrm{z} y)\right| \leqslant \bar{C}_{\mathrm{E}}^{ \pm j} ; \\
\lim _{y \rightarrow \infty}\left|\pi_{2}^{(j)}(y) \exp (2 \varepsilon y)\right| \leqslant C_{\mathrm{E}}^{\prime} ; & \lim _{y \rightarrow \infty}\left|\bar{\pi}_{2}^{(j)}(y) \exp (2 \varepsilon y)\right| \leqslant \bar{C}_{\mathrm{e}}^{j} .
\end{array}
\]

Лемма 6.22 позволяет описать асимптотические свойства функций рассеяния. А именно, справедлива

Лемма 6.23. Если $F(x) \in C^{n} u\left|F^{(n)}(x)\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{f} e^{-2 \varepsilon|x|}$, mо $R_{+}(k), \quad \bar{R}_{+}(k), \quad R_{-}(k)$ и $\bar{R}_{-}(k)$ суть мероморфные функции $в$ полосе $|\operatorname{Im} k|<\varepsilon$, допускаючие в этой полосе равномерные астмптотические разложения вида $R^{(m)}(k)=0\left(|k|^{-(n+1)}\right.$ при $|k| \rightarrow \infty$ для всех $m$.

Доказательство. Мы получим утверждение леммы для $R_{+}(k)$. Для других функций соответствующие результаты доказываются аналогично. Имеем
\[
\begin{array}{l}
a^{(m)}(k)=\int_{0}^{\infty}(2 i y)^{m} \pi_{2}(y) e^{2 l k y} d y, \\
b^{(m)}(k)=\int_{-\infty}^{\infty}(-2 i y)^{m} \pi_{0}(y) e^{-2 t k y} d y
\end{array}
\]

и
\[
(2 i k)^{p} b^{(m)}(k)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial^{p}}{\partial y^{p}}(-2 i y)^{m_{0}} \pi_{1}(y) e^{-2 i k y} d y .
\]

Из свойств функций $\pi_{2}(y)$ и ${ }_{0} \pi_{1}(y)$ ясно, что производные $a^{(m)}(k)$ и $b^{(m)}(k)$ существуют и ограничены для всех $m$. Из последнего равенства получается, что $b^{(m)}(k)=o\left(1 /|k|^{n-1}\right)$ для всех $m$. Окончательный результат вытекает тогда из определения $R_{+}=$ $=b a^{-1}$ и известных асимптотических свойств $R_{+}$. $\square$

Эволюция во времени данных рассеяния $S_{+}$указана теоремой 6.11. В частности, мы можем написать формулы
\[
R_{+}(k, t)=R_{+}(k, 0) e^{\mathfrak{\Omega}(k) t}, \quad \bar{R}_{+}(k, t)=\bar{R}_{+}(k, 0) e^{-\mathfrak{\Omega}(k) t}
\]

Можно также формально запнсать выражения
\[
\begin{array}{l}
\widehat{R}_{+}(x, t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{\psi} d k R_{+}(k, t) e^{i k x} \\
\hat{\bar{R}}_{+}(x, t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{\psi} d k \bar{R}_{+}(k, t) e^{-i k x}
\end{array}
\]

и затем после вывода выражений для $P_{+j}(x, t), \bar{P}_{+j}(x, t)$ образовать функцию $\mathbf{F}_{+}(x, t)$. Предполагая выполненными условия теоремы 6.17 , можно по уравнениям Марченко однозначно восстановить функции $Q(x, t)$ и $R(x, t)$, для которых выполняется уравнение (6.1.13) с решениями Иоста $\Psi(x, t), \Phi(x, t)$, построенными в соответствии с теоремой 6.16. Предположим временно, что $S_{+}(t)$ удовлетворяют условиям теоремы 6.17. Тогда можно доказать следующую лемму.

Лемма 6.24. Пусть для $S_{+}(t)$ выполнены условия теоремы 6.17, $u$ пусть $R^{(m, 0)}(k, t)=o\left(|k|^{-(n-1)) \text { в }}\right.$ полосе $|\operatorname{Im} k|<\varepsilon$ для всех $m$ при $|k| \rightarrow \infty$. Tozda $U^{(i, t)}(x, t), j+l \operatorname{deg} \Omega(k) \leqslant$ $\leqslant n-2$ существуют и удовлетворяот неравенствам $\left|U^{(i, l)}(x, t)\right| \leqslant C_{e}^{j l}(t) e^{-2 E|x|}$.

Доказательство. Поскольку $R_{+}(k, t)$ существует и удовлетворяет условиям леммы, то можно записать представление
\[
\widehat{R}_{+}^{(l \cdot b)}(k, t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{\gamma} d k(i k)^{(d)}(\Omega(k))^{(t)} R_{+}(k, t) .
\]

Пусть $\operatorname{deg} \Omega(k)=s$. Тогда $\hat{R}_{+}^{(l, t)}(k, t)$ существует для $j+l s \leqslant$ $\leqslant n-2$, поскольку $R_{+}(k, t)$ имеет такое же асимптотическое поведение при $|k| \rightarrow \infty$, что и $R_{+}(k, 0)$. Если продифференцировать уравнение Марченко для $\mathbf{K}_{+}$, то получится, что
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{K}_{+}^{(0, t, 0)}(x, u, t)+\int_{j}^{\infty} \mathbf{K}_{+}^{(0, t, 0)}(x, s, t) \mathbf{F}_{+}(s+u, t) d s= \\
=-\mathbf{F}_{+}^{(j, 0)}(x+u, t)-\sum_{m=0}^{l} C_{m}^{j} \int \mathbf{K}_{+}^{(0, t-m, 0)}(x, s, t) \mathbf{F}_{+}^{(m, 0)}(s+u, t) d s .
\end{array}
\]

Отсюда вытекает существование производных $K_{+}^{(0.1 .0)}(x, u, t)$ для $j \leqslant n-2$. Можно теперь утверждать, что существуют производные $K_{+}^{(i, j, 0)}(x, u, t), i+j \leqslant n-2$, и из формул (6.2.67) получить следующие оценки:
\[
\left|\mathrm{K}_{+}^{(i, t, 0)}(x, u, t)\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{i j+}(a, t) \exp [-\varepsilon(x+u)], \quad-\infty<a \leqslant x,
\]

где свойства функций $C_{\varepsilon}^{i++}(a, t)$ еще подлежат изучению. Производные по $t$ функции $\mathbf{K}_{+}$удовлетворяют уравнению
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{K}_{+t}(x, u, t)+\int_{x}^{\infty} \mathbf{K}_{+t}(x, s) \mathbf{F}_{+}(s+u) d s= \\
=-\sum_{t=0}^{s} a_{t}\left\{\mathbf{F}_{+}^{(t, 0)}(x+u, t)+\int_{x}^{\infty} \mathbf{K}_{+}(x, s) \mathbf{F}_{+}^{(t, 0)}(s+u, t) d s\right\} .
\end{array}
\]

Применяя те же соображения, что и указанные в предыдущих случаях, приходим к неравенствам
\[
\left|K_{+}^{(t . t .1)}(x, u, t)\right| \leqslant C_{e}^{(j 1+}(a, t) \exp [-\varepsilon(x+u)], \quad-\infty<a \leqslant x .
\]
чить, что функция $U(x, t)$ обладает непрерывными производными порядка $j$ по $x$ и $l$ по $t(j+l s \leqslant n-3)$ и что функции Йоста $J(x, t, k)$ существуют вместе со своими производными $J^{(i, i, 0)}(x, t, k)$, где $j+l s \leqslant n-2$. Оценки для $U^{(j, i)}(x, t)$ следуют тогда из неравенств $(6.2 .70$ ) и аналогичных оценок для ядра $\mathrm{K}_{-}$.

Теорема 6.25. Пусть $F(x) \in C^{n} u\left|F_{(x)}^{(f)}\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{\prime} e^{-2 e|x|}, j \leqslant n$, где $n \geqslant \operatorname{deg} \Omega(k)+3$. Тогда если данные $S_{+}(t)$ удовлетворяют условиям леммы 6.24, то функция $U(x, t)$ удовлетворяет уравнению (6.2.61).

Доказательство. Из определения $\mathrm{L}_{1}^{A}$ (уравнение (6.1.112)) видно, что, если $\operatorname{deg} \Omega(k)=s$, то нам требуется существование $U(x, t)(j, 0)(j \leqslant s+1)$ и $U(x, t)(0,1)$. Положим $n=s+3$. Тем самым обеспечено существование выражения $\Omega\left(\mathbf{L}_{1}\right) \varphi^{(2)}$. Следовательно, можно записать соотношение
\[
R_{+t}(k, t)-\Omega(k) R_{+}(k, t)=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\sigma_{3} U_{t}-U \Omega\left(\mathrm{L}_{\mathbf{1}}\right)\right] \varphi^{(2)}(x, k) d x .
\]

Поскольку по определению левая часть равенства (6.2.71) есть тождественный нуль, то мы получим равенство
\[
\sigma_{3} U_{t}(x, t)-\Omega\left(\mathrm{L}_{1}^{A}\right) U(x, t)=0 .
\]

Так как мы не исследовали свойства функций $C_{\varepsilon}^{j l}(t)$, то мы не выяснили, каким ограничениям, возникающим в лемме 6.24, следует подчинить функции $\Omega(k), F(x)$.

Если $\Omega(k)=\sum_{j=0}^{s} a_{j} k^{j}$, то, как следует из (6.2.65) при вещественных $k$, функцин $\hat{R}_{+}, \hat{\bar{R}}_{+}$определены лишь в тех случаях, когда (a) $a_{j}$ вещественно и отрицательно и $k^{l}$… четная степень $k$ или (б) $a_{j}$ – мнимое число. Без потери обцности можно ограничиться рассмотрением многочленов $\Omega(k)$, состоящих полностью либо из членов типа (а), либо из членов тила (б). Функции типа (б) представляют особый интерес, так как интегрируемые уравнения для «редуцированной задачи», т. е. такие, для которых $R=\alpha Q$, $R=\alpha Q^{*}$ или $R=$ const, являются как раз уравнениями такого типа (см. задачу 1 к разд. 6.3). Этот класс интегрируемых уравнений содержит все важные с физической точки зрения уравнения. При рассматриваемых условиях на начальные данные функция $R_{+}(k, t)$ аналитична в полосе $|\operatorname{Im} k|<\varepsilon$. Мы также должны требовать, чтобы интеграл
\[
\hat{R}_{+}(x, t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty+i \eta}^{\infty+i \eta} d k R_{+}(k, t) e^{t k x}
\]

был определен для $\delta \leqslant \eta \leqslant \varepsilon_{0}-\delta$ и $0<\delta<\varepsilon_{0} / 2$. Пусть $a_{л}>$ $>\varepsilon_{0}$. Тогда интеграл (6.2.73) существует для широкого класса многочленов. В частности, мы видим, что он определен в тех случаях, когда функция $\Omega(k)$ совпадает с одним из выражений – $k^{2}$, $-k^{4},-6 a_{10} k^{2}$, $i k$ и $i k^{3}$. В действительности можно выписать формулы для больших классов многочленов, для которых (6.2.73) определен. Например,
\[
\Omega_{1}(k)=\sum_{l=0}^{l} i k^{(2 l-1)-2 l} C_{2 l+1}^{2 j-1} a_{j}^{2(2 l-1)}
\]
с. $a_{10}=\left(C_{4}^{2 j-1}\right)^{1 / 2}$ определяет один из таких классов многочленов. Рассмотрим для простоты пример, когда $\Omega(k) \equiv i k^{3}$. В этом случае мы находим, что
\[
\begin{aligned}
\left|\widetilde{R}_{+}(x, t)\right| \leqslant \frac{1}{2 \pi} & \int_{-\infty+i \eta}^{\infty+i \eta} d \xi\left|R_{+}(k, 0)\right| e^{-\eta x+\left(-3 \eta \xi^{2}+\eta^{2}\right) t} \leqslant \\
& \leqslant \frac{1}{2 \pi} e^{\eta^{s} t} \int_{-\infty+i \eta}^{\infty+i \eta} d \xi\left|R_{+}(k, 0)\right| e^{-\eta x}, \quad t \geqslant 0 .
\end{aligned}
\]

Отсюда вытекает неравенство
\[
\left[\int_{-\infty}^{\infty}\left|\widehat{R}_{+}(x, t) e^{\eta x}\right|^{2} d x\right]^{1 / 2} \leqslant e^{\eta{ }^{1} t} C_{\delta}^{+}, \quad t \geqslant 0 .
\]

Поскольку предполагается, что $S_{+}(t)$ удовлетворяет условиям леммы 6.24, то получается оценка
\[
\left|\mathbf{F}_{+}(x, t)\right| \leqslant C(a, t) e^{-\varepsilon x}, \quad-\infty<a \leqslant x .
\]

Теперь, поскольку $\mathbf{K}_{+}(x, t)$ определяется однозначно, то, рассуждая подобно тому, как мы делали при выводе (6.2.20) из уравнения Марченко и леммы 6.13 , мы находим, что для рассматриваемого случая $\Omega(k)=i k^{3}$ функция $C(a, t)$ является монотонно растущей функцией от $t$. Итак, оказывается, что решение лишь тогда принадлежит классу функций $|U(x, t)| \leqslant C e^{-2 e|x|}$, когда обратная задача решается на конечном интервале по времени. В конце концов любое такое начальное решение, для которого $R_{+}$ не является тождественным нулем, выйдет за рамки этого класса

(см. асимптотическое поведение ренений интегрируемых уравнений для больших времен, рассмотренное в разд. 6.3). Проблемы такого рода не возникают в случае, когда $R_{+}(k, 0), \bar{R}_{+}(k, 0)$ суть тождественные нули в $S_{+}(0)$. Класс интегрируемых уравнений, определенных функцией $\Omega_{1}(k)$, также допускает решения по началыным значениям в соответствии с теоремой $6.2 \overline{5}$, остающиеся внутри требуемого класса функций в течение конечного времени.

В итоге получается, что хотя мКдФ может быть решено для конечных времен в предположении, что выполнены условия теоремы 6.25, все же для нелинейного уравнения Шрёдингера мы не охватили случая негірерывного спектра; наши ограничения на класс решений исключают это. Что в действительности необходимо, так это оперирование с сингулярным спектром в случае, когда начальные данные удовлетворяют уравнению для моментов (см. теорему 6.1).

В упражнении в конце этой главы мы устанавливаем существование решений в задачах типа (6.2.61) для редуцированного класса уравнений $R=-Q^{*}$.

В заключение мы упомянем о необходимости изучения интегрируемых уравнений, определяемых сингулярными дисперсионными соотношениями. Если воспользоваться процедурой из разд. 6.4, то можно вывести формально из (6.1.130), что
\[
\left(\mathrm{L}_{1}^{A}-k \mathbf{I}\right)^{-1} U=-2 a^{-1} \varphi \circ \psi .
\]

Следовательн, если дисперсионное соотношение имеет вид $\Omega(k)=\left(k-k_{1}\right)^{-1}$, то из (6.1.112) в качестве интегрируемого уравнения получается
\[
\sigma_{3} U_{t}=\left(\mathrm{L}_{1}^{A}-k_{1} \mathrm{I}\right)^{-1} U=-2\left(\frac{\varphi \circ \psi}{a}\right)_{k=k_{i}} .
\]

Аналогично если $\Omega(k)=\left(k-k_{1}\right)^{-n}$, то интегрируемое уравнение имеет вид
\[
\sigma_{3} U_{t}=\frac{-2}{(n-1) !} \frac{\partial^{n-1}}{\partial k^{n-1}}\left(\frac{\varphi \circ \psi}{a}\right)_{k=k_{\mathrm{i}}} .
\]

Если Im $k_{1}=0$, то из асимптотического представления (6.2.79) при $|\dot{x}| \rightarrow \infty$ мы находим дополнительные условия, которым должны удовлетворять функции рассеяния $R_{+}$и $\bar{R}_{+}$. Легко видеть, что эти условия таковы:
\[
\left.\frac{\partial^{m}}{\partial k^{m}} R_{+}(k)\right|_{k=k_{1}}=0,\left.\quad \frac{\partial^{m}}{\partial k^{m}} \bar{R}_{+}(k)\right|_{k=k_{1}}=0, \quad m=0, \ldots,(n-1) .
\]

Тщательное изучение интегрируемых уравнений, подобных (6.2.79), еще предстоит выполнить.