До сих пор мы говорили о решениях в виде уединенных волн, которые, если пользоваться весьма расплывчатым определением, представляют собой просто волны, распространяющиеся без изменения формы и в какой-то мере локализованные. Скотт Расселл особо интересовался уединенными волнами на мелкой воде, и, как отмечалось в разд. 1.1, он дал название этим волнам. Однако существует много уравнений, имеющих решение в виде уединенной волны в смысле того определения, которое было дано выше. Слово «солитон» впервые встречается в работе Забуски и Крускала [1965]. Крускал в течение некоторого времени интересовался задачей ФПУ и в особенности тем, почему имеет место рекуррентность. Он изучал некоторые движения нелинейной цепочки, о которых шла речь в предыдущем разделе. Забуски и Крускал описывают численное изучение уравнения КдФ с множителем $\delta^{2}$ перед членом $\partial^{3} u / \partial x^{3}$. Они выбрали $\delta=0.022$, периодические граничные условия, такие, что $u(x, t)=u(x+2, t)$, и периодическое начальное условие $u(x, 0)=\cos x$. Они заметили, что сначала волна становится круче в тех областях, где ее наклон отрицателен, вследствие того, что нелинейность доминирует над третьей производной благодаря малости $\delta^{2}$. По мере того как волна становится круче, член $\delta^{2} u_{x x x}$ становится более существенным и уравнивается по порядку величины с нелинейностью. Они заметили, что слева от того места, где волна становится круче, развиваются осцилляции, каждая из которых растет и в конце концов достигает устойчивой амплитуды и становится по форме почти идентичной решению в виде уединенной волны (1.2.3), каждая со своим значением $a$. Замечательным свойством этих уединенных волн является их взаимодействие друг с другом, когда они проходят через циклы эволюции, навязанные периодическими граничными условиями. Они проходят друг через друга без изменения форм и лишь с небольшим изменением фаз. Этот фазовый сдвиг приводит к тому, что начальное состояние не повторяется в точности, но все же почти повторяется, как в задаче ФПУ.

Забуски и Крускал назвали эти уединенные волны солитонами именно потому, что когда две или больше уединенных волны

КдФ сталкиваются, то они не разрушаются и не рассеиваются. Греческое окончание «он» обычно используется для частиц, и поэтому слово «солитон» призвано как бы подчеркнуть тот факт, что уединенные волны ведут себя подобно частицам.

Это «частицеподобное» поведение на самом деле не зависит от периодичности в граничных условиях. Мы можем численно ре-

Рис. 1.4. Столкновение двух уединенных волн, описываемых уравнением КдФ.

шить уравнение КдФ при граничных условиях $u \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \infty$ и взять в качестве начальных условий два существенно разных решения уравнения КдФ, имеющих вид уединенных волн, и таких, что более высокая и, соответственно, более быстрая волна расположена левее. С течением времени более быстрая волна нагоняет меньшую и сталкивается с ней. Это изображено на рис. 1.4. Каждый волновой профиль – это график функции $u(x, t)$ от $x$ для некоторого фиксированного момента времени $t$. В целом рисунок представляет собой наложение некоторого количества таких профилей для возрастающей последовательности моментов времени $t$, отделенных равными промежутками.

Два солитона достаточно отделены друг от друга до столкновения, в середине рисунка сходятся и потом снова разделяются. Тот факт, что траектории каждого солитона в плоскости $(x, t)$ не совпадают до и после столкновения, показывает, что каждый из них претерпевает фазовый сдвиг. Заметим, кроме того, что максимум в области столкновения меньше амплитуды большего солитона, что указывает на отсутствие линейной суперпозиции в центре.

Уединенные волны после столкновения сохраняют в точности первоначальную форму, и это удивительно, поскольку можно было бы думать, что сильная нелинейность в процессе столкновения разрушит их. Это свойство важно, поскольку оно показывает, что энергия может распространяться в виде локализованных устойчивых «пакетов» без рассеяния. Такое поведение решений не является свойством одного лишь уравнения КдФ, тем же свойством обладают уравнения мКдФ, уравнение Буссинеска, а также многие другие уравнения.

Важно понимать, что большинство нелинейных уравнений в частных производных, обладающих решениями в виде уединенных волн, не имеют решений, ведущих себя как солитоны. Некоторые из таких уравнений имеют решения, ведущие себя почти как солитоны, в том смысле, что когда две уединенных волны встречаются, то после столкновения они возрождаются с малыми изменениями профиля, и лишь малое количество энергии теряется при этом в виде последующих колебаний. Такое поведение часто называют солитоноподобным, или говорится, что столкновение уединенных волн демонстрирует неупругое солитонное поведение. Однако терминология несколько неупорядоченна и различается в разных областях. Например, в физике частиц и в физике твердого тела взаимная проницаемость волн не так важна в сравнении с другими частицеподобными свойствами, такими как локализуемость и конечность энергии. В связи с этим существуют модели, в которых волны не являются, строго говоря, солитонами в смысле данного выше определения (см. разд. 1.9 этой главы), но специалисты в соответствующих областях называют их солитонами. Однако мы будем строго придерживаться данного выше определения. Форма волны не является важной частью определения солитона. Солитоны уравнения КдФ имеют форму (sech $)^{2}$, в то время как солитоны модифицированного КдФ – только sech. Слово солитон в большей степени указывает на частицеподобные свойства, чем на форму. Очевидно, что солитонное поведение имеет глубокий математический смысл и представляет собой нечто большее, чем просто привлекательный результат. Задачей глав 3,4 и 6 будет, в частности, попытка понять эту проблему и увидеть, чем отличаются уравнения, обладающие солитонными свойствами, от прочих.

Один солитон в виде бегущей волны легко найти простым интегрированием, но в этом мало пользы, если мы захотим описать аналитической формулой столкновение двух солитонов, которые получены при численном интегрировании (рис. 1.4). В гл. 3 и 4, в частности, будут рассматриваться аналитические методы, позволяющие описывать столкновение целой цепочки солитонов, а также при некоторых условиях находить функцию $u(x, t)$ по известным начальным данным $u(x, 0)$. Эта задача трудна, и поэтому мы предпошлем некоторым результатам этих глав вычисление двухсолитонных решений другими средствами. Это позволит нам изучить некоторые свойства солитонных столкновений, не запутываясь слишком глубоко в более сложных выкладках, которые мы собираемся описать в гл. 3 и 4 . Для нахождения этого решения мы сделаем вначале преобразование, которое сведет уравнение КдФ к однородному уравнению.
Рассмотрим уравнение КдФ
\[
u_{x x x}+12 u u_{x}+u_{t}=0,
\]

которое при замене $u=w_{x^{\prime}}$ сводится к виду
\[
w_{x x x}+6 w_{x}^{2}+\omega_{i}=0 .
\]

Преобразование
\[
w=\frac{\partial}{\partial x} \log f
\]

сводит уравнение КдФ к однородному уравнению относительно функции $f(x, t)$ (Хирота [1971]):
\[
f f_{x x x x}-4 f_{x} f_{x x x}+3 f_{x x}^{2}+f f_{x t}-f_{x} f_{i}=0 .
\]

Преобразование (1.4.3) известно под названием преобразования Коула-Хопфа (Коул [1951], Хопф [1950]). Мы его обсудим ниже в разд. 1.8. Константа перед производной в (1.4.3), которая в данном случае равна единице, может быть подобрана в зависимости от значения множителя перед нелинейным членом в (1.4.1) таким образом, чтобы члены третьей и четвертой степени относительно функции $f$ и ее производных взаимно погасились. Пытаясь решить (1.4.4), заметим для начала, что единственная форма солитонной волны, представленная формулой (1.2.3), получается в том случае, если положить
\[
f=1+\exp \theta_{1} ; \theta_{i}=a_{1} x-a_{i}^{3}(t)+\delta_{i} .
\]

Это наводит на мысль рассмотреть решение в форме
\[
f=1+\sum_{n=1}^{N} \varepsilon^{n(n)} .
\]

Множитель $\varepsilon$ является удобным параметром разложения. Подставляя (1.4.6) в (1.4.4) и приравнивая коэффициенты при разных степенях $\varepsilon$, получаем следующие уравнения:
\[
\begin{aligned}
\varepsilon: & f_{x x x x}^{(1)}+f_{x t}^{(1)}=0, \\
\varepsilon^{2}: & f_{x x x x}^{(2)}+f_{x t}^{(2)}=-\left[f^{(1)} f_{x x x x}^{(1)}-4 f_{x}^{(1)} f_{x x x}^{(1)}+\right. \\
& \left.+3 f_{x x x}^{(1)^{3}}+f^{(1)} f_{x t}^{(1)}-f_{x}^{(1)} f_{t}^{(1)}\right],
\end{aligned}
\]

\[
\begin{aligned}
\varepsilon^{3}: & f_{x x x x}^{(3)}+f_{x t}^{(3)}=-\left[f^{(1)} f_{x x x x}^{(2)}-4 f_{x}^{(1)} f_{x x x}^{(2)}-4 f_{x x x}^{(1)} f_{x}^{(2)}+\right. \\
& +6 f_{x x}^{(1)} f_{x x}^{(2)}+f^{(2)} f_{x x x}^{(1)}+f^{(2)} f_{x t}^{(1)}-f_{x}^{(1)} f_{t}^{(2)}+ \\
& \left.+f^{(1)} f_{x t}^{(2)}-f_{t}^{(1)} f_{x}^{(2)}\right] .
\end{aligned}
\]

В порядке $O(\varepsilon)$ мы можем легко найти в качестве точного решение с одной экспонентой (1.4.5). Однако поскольку это линейное уравнение, то мы можем рассматривать в качестве решения сумму любого числа экспоненциальных слагаемых. Здесь мы ограничимся двумя:
\[
\begin{aligned}
f^{(1)} & =\exp \theta_{1}+\exp \theta_{2}, \\
\theta_{i} & =a_{i} x-a_{i}^{3} t+\delta_{i} .
\end{aligned}
\]

Это точное решение мы можем подставить в правую часть уравнения для порядка $O\left(\varepsilon^{2}\right)$. При этом получится:
\[
f_{x x x x}^{(2)}+f_{x t}^{(2)}=3 a_{1} a_{2}\left(a_{1}-a_{2}\right)^{2} \exp \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right),
\]

что после интегрирования дает
\[
f^{(2)}=\left(\frac{a_{1}-a_{2}}{a_{1}+a_{2}}\right)^{2} \exp \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) .
\]

Большинство итерационных процессов приводят к бесконечным рядам. В нашем случае подстановка $f^{(1)}$ и $f^{(2)}$ в правую часть уравнения для $O\left(\varepsilon^{3}\right)(1.4 .7)$ дает замечательный результат: эта правая часть равна нулю. Этот результат сводит уравнение для $O\left(\varepsilon^{3}\right)$ к виду
\[
f_{x x x x}^{(3)}+f_{x t}^{(3)}=0 .
\]

Теперь можно взять решение $f^{(3)}=0$ и легко убедиться в том, что при таком решении для $f^{(3)}$ все последующие $f^{(n)}=0(n>3)$. Эта конечность рядов для $f$ чрезвычайно важна для нахождения точного решения. Множители $\varepsilon$ могут быть ликвидированы путем соответствующих изменений фаз $\theta$, и таким образом мы получим точное двухсолитонное решение:
\[
\begin{array}{l}
u=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \log f(x, t), \\
f=1+\exp \left(\theta_{1}\right)+\exp \theta_{2}+A \exp \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right), \\
A=\left(\frac{a_{1}-a_{2}}{a_{1}+a^{2}}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Точно такой же процесс пригоден и для трехпараметрического решения, но алгебраические выкладки становятся довольно громоздкими. Хирота [1971] нашел таким образом $N$-солитонное решение уравнения КдФ, и использованный выше метод редукции уравнения к одному или нескольким билинейным уравнениям стал известен под названием метода Хироты (Хирота [1974]).

Можно проанализировать формулу (1.4.13) для случая, когда два солитона достаточно далеки друг от друга. Возьмем $a_{1}>$ $>a_{2}>0$. Для первого солитона, характеризующегося $\theta_{1}$, находим, что область его максимума находится вблизи $\theta_{1} \simeq 0$, т. е. в области на оси $x$, где $x \simeq a_{1}^{2} t$. Отсюда следует, что $\theta_{2}=\left(a_{1}^{2}-a_{2}^{2}\right) t$, и, таким образом,
\[
\begin{array}{lll}
\theta_{2} \simeq 0: & \theta_{1} \rightarrow+\infty & t \rightarrow+\infty, \\
& \theta_{1} \rightarrow-\infty & t \rightarrow-\infty
\end{array}
\]

Аналогично в области расположения второго солитона имеем
\[
\theta_{2} \approx 0: \quad \theta_{1} \rightarrow \mp \infty, \quad t \rightarrow \pm \infty .
\]

Прежде чем продолжать, полезно заметить, что любая комбина: ция экспонент может быть вынесена за скобки в выражении для $f$, если принять во внимание преобразование Коула-Хопфа в (1.4.13). Используя это своӥство и беря пределы, вычисленные выше для $f$, найдем, что асимптотически решение получается таким:
\[
u \sim \sum_{i=1}^{2} \frac{1}{4} a_{i}^{2} \operatorname{sech}^{2} \frac{1}{2}\left(\theta_{i}+\Delta_{i}^{ \pm}\right), \quad t \rightarrow \pm \infty,
\]

где
\[
\begin{array}{ll}
\Delta_{1}^{(+)}=\log A, & \Delta_{1}^{(-)}=0, \\
\Delta_{2}^{+}=0, & \Delta_{2}^{(-)}=\log A .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\Delta_{1}^{(+)}-\Delta_{1}^{(-)}=\log A<0, \\
\Delta_{2}^{(+)}-\Delta_{2}^{(-)}=-\log A>0 .
\end{array}
\]

Результат, выражаемый равенствами (1.4.17), состоит в том, что больший солитон $\left(a_{1}\right)$ сдвинулся вперед, а меньший солитон $\left(a_{2}\right)$ – назад в сравнении с тем, как они двигались бы, если бы взаимодействия между ними не произошло.

Траектории максимумов солитонов на рис. 1.4 отчетливо иллюстрируют этот результат. Считать ли, что столкновение солитонов – это процесс, при котором они проходят друг через друга, или же считать, что они при этом меняются ролями, – это только вопрос интерпретации. В конце концов уравнение (1.4.17) показывает, что общий фазовый сдвиг системы равен нулю, и это означает, что центр масс остается неподвижным.