Рассмотрим потенциал вида
\[
Q(x)=\left\{\begin{array}{ll}
Q_{0}, & |x| \leqslant \alpha, \\
0, & |x|>\alpha .
\end{array}\right.
\]

Уравнения Шрёдингера в этом случае таковы:
\[
\begin{array}{c}
{\left[\frac{d^{2}}{d x^{2}}+k^{2}+Q_{0}\right] \varphi(x, k)=0 \text { для }|x| \leqslant \alpha,} \\
{\left[\frac{d^{2}}{d x^{2}}+k^{2}\right] \varphi(x, k)=0 \text { для }|x|>\alpha .}
\end{array}
\]

К ним следует добавить дополнительные условия – непрерывность функции $\left({ }_{k} \varphi\right)$ и ее производной $\left({ }_{k} \varphi\right)^{\prime}$ при $x= \pm \alpha$.

Нужно выписать волновые функции для каждой из областей $x>\alpha,|x|<\alpha$ и $x<-\alpha$. Они имеют вид:
\[
\varphi(x, k)=\left\{\begin{array}{ll}
e^{-i k x}, & x \leqslant-\alpha, \\
B(k, \zeta) e^{i \zeta x}+A(k, \zeta) e^{-i \zeta x}, & |x| \leqslant \alpha, \\
b(k, \zeta) e^{i k x}+a(k, \zeta) e_{1}^{-i k x}, & x \geqslant \alpha,
\end{array}\right.
\]

где $\zeta^{2}=k^{2}+Q_{0}^{2}$.
Непрерывность функции ${ }_{k} \varphi$ при $x= \pm \alpha$ означает, что
\[
\begin{array}{l}
A e^{i \zeta \alpha}+B e^{-i \zeta \alpha}=e^{i k \alpha}, \\
A e^{-i \zeta \alpha}+B e^{i \xi \alpha}=a e^{-i k \alpha}+b e^{i k \alpha},
\end{array}
\]

а непрерывность производной $\left({ }_{k} \varphi\right)^{\prime}$ при $x=\mp \alpha$ означает, что
\[
\begin{array}{l}
A e^{i \zeta \alpha}-B e^{-i \zeta \alpha}=\frac{k}{\zeta} e^{i k \alpha}, \\
A e^{-i \zeta \alpha}-B e^{i \zeta \alpha}=\frac{k}{\zeta}\left(a e^{-i k \alpha}-b e^{i k \alpha}\right) .
\end{array}
\]

Из (2.3.51) и (2.3.53) получается
$A(k, \zeta)=\frac{1}{2} e^{-i \zeta \alpha}\left(1+\frac{k}{\zeta}\right) e^{i k \alpha}, B(k, \zeta)=\frac{1}{2} e^{i \zeta \alpha}\left(1-\frac{k}{\zeta}\right) e^{i k \alpha}$,
а из (2.3.52) и (2.3.54) определяются $a$ и $b$ :
\[
\begin{array}{l}
a(k, \zeta)=\frac{1}{2} e^{i k \alpha}\left(1+\frac{\zeta}{k}\right) A e^{-i \zeta \alpha}+\left(1-\frac{\zeta}{k}\right) B e^{i \zeta \alpha}, \\
b(k, \zeta)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{\zeta}{k}\right) A e^{-i \zeta \alpha}+\left(1+\frac{\zeta}{k}\right) B e^{-i k \alpha} .
\end{array}
\]

Сопоставляя последние два выражения с (2.3.55), можно получить окончательный результат:
\[
\begin{array}{l}
a(k, \zeta)=e^{2 i k \alpha}\left[\cos 2 \zeta \alpha-\frac{i}{2}\left(\frac{\zeta}{k}+\frac{k}{\zeta}\right) \sin 2 \zeta \alpha\right], \\
b(k, \zeta)=\frac{i}{2}\left(\frac{\zeta}{k}-\frac{k}{\zeta}\right) \sin 2 \zeta \alpha .
\end{array}
\]

Эти выражения удовлетворяют условию $|a(k, \zeta)|^{2}-|b(k, \zeta)|^{2}-1$ для вещественных $k$ и $\zeta$, что отвечает требованию сохранения потока вероятности, который остается равным $-k / m$ для всех $x$.

Полагая $Q_{0}=\vec{Q}_{0} / 2 \alpha$ и устремляя $\alpha \rightarrow 0$, найдем, что $\zeta \alpha \rightarrow 0$ и $\zeta \sin 2 \zeta \alpha \rightarrow \overline{Q_{0}}$. В пределе при $\alpha \rightarrow 0$ уравнения (2.3.58) и (2.3.59) дадут
\[
\begin{array}{l}
a(k, \zeta) \rightarrow a(k)=1-\frac{i \bar{Q}_{0}}{2 k} \text { при } \alpha \rightarrow 0, \\
b(k, \zeta) \rightarrow b(k)=\frac{i}{2 k} \bar{Q}_{0} \text { при } \alpha \rightarrow 0,
\end{array}
\]

где предельные функции $a(k)$ и $b(k)$ такие же, как и для случая дельта-потенциала (2.3.37). Этого следовало ожидать, потому что семейство потенциалов
\[
Q(x, \alpha)=\left\{\begin{array}{cc}
-Q_{0} / 2 \alpha, & |x| \leqslant \alpha, \\
0, & |x|>\alpha
\end{array}\right.
\]

имеет своим пределом дельта-потенциал при $\alpha \rightarrow 0$. А именно,
\[
\lim _{\alpha \rightarrow 0} Q(x, \alpha)=-\bar{Q}_{0} \delta(x) .
\]

Поскольку дельта-потенциал имеет связанное состояние $\left(Q_{0}>\right.$ $>0$ ), можно ожидать, что потенциальная яма тоже будет иметь связанные состояния. Для того, чтобы их найти, необходимо исследовать мнимые нули $k=i k(k>0)$ функции $a(k, \zeta)$. При $k=i x$ функция $a(k, \zeta)$ приобретает вид
\[
a(i x, \chi)=e^{-x \alpha}\left(\cos 2 \chi \alpha-\frac{1}{2}\left(\frac{\chi}{x}-\frac{x}{\chi}\right) \sin ^{2} \chi \alpha\right),
\]

где $\chi^{2}=\left(Q_{0}-x^{2}\right)^{1 / 2}$. Если $\chi^{2}<0$, то легко показать, что функция $a(i \chi, \chi)$ не имеет нулей. Однако если $\chi^{2}>0$, то $k=i \chi$ является нулем функции $a(k, \chi)$ при условии
\[
\operatorname{tg} 2 \chi \alpha=\frac{2 x \chi}{\chi^{2}-x^{2}} .
\]

Введя новые переменные $\xi=\chi \alpha$ и $\beta^{2}=Q_{0} \alpha^{2}$, можно записать (2.3.65) в виде
\[
\operatorname{tg} 2 \xi=\frac{2\left(\beta^{2}-\xi^{2}\right)^{1 / 2}}{\left(2 \xi^{2}-\beta^{2}\right)} .
\]

Будем искать решения этого уравнения для $\xi \leqslant \beta$. Уравнение (2.3.66) можно решить графически. Для этого надо нарисовать графики кривых $y=\operatorname{tg} 2 \xi$ и $y=2\left(\beta^{2}-\xi^{2}\right)^{1 / 2}\left(2 \xi^{2}-\beta^{2}\right)^{-1}$ и проследить, где они пересекаются.

Из графика на рис. 2.6 видно, что если $N \pi / 2 \leqslant \beta \leqslant(N+$ $+1) \pi / 2$, то существует $(N+1)$ решение $\{\gamma\}_{1}^{N+1}$. Если $Q_{0}=$ $=\overline{Q_{0}} / 2 \alpha$, то $\beta \rightarrow 0$ при $\alpha \rightarrow 0$, и мы получаем в точности одно

Рис. 2.6.

связанное состояние в пределе при $\alpha \rightarrow 0$. Это согласуется с проделанным выше анализом дельта-потенциала. В качестве простого примера можно рассмотреть потенциал
\[
Q(x)=\left\{\begin{array}{ll}
2, & |x| \leqslant \pi / 4, \\
0, & |x|>\pi / 4,
\end{array}\right.
\]

имеющий единственное связанное состояние с энергией $E=$ $=-h^{2} / 2 m$ и с волновой функцией
\[
\varphi(x, i)=\left\{\begin{array}{ll}
e^{-x}, & x \geqslant \pi / 4, \\
e^{-\pi / 4} \sqrt{2} \cos x, & |x| \leqslant \pi / 4, \\
e^{x}, & x \leqslant-\pi / 4 .
\end{array}\right.
\]

График этой функции приведен на рис. 2.7. Нормированная форма этой волновой функции имеет вид $\sqrt{C} \varphi(x, i)$, где $C$ можно найти из формулы
\[
\begin{array}{r}
C^{-1}=\int_{-\infty}^{\infty}[\varphi(x, i)]^{2} d x=\int_{\pi / 4}^{\infty} e^{-2 x} d x+2 \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} e^{-\pi / 2} \cos ^{2} x d x+ \\
+\int_{-\infty}^{-\pi / 4} e^{2 x} d x=\left(2+\frac{\pi}{2}\right) e^{-\pi / 2} .
\end{array}
\]

Поскольку волновая функция $\varphi(x, i)$ вещественна, то ее нормировка совпадает с нормировкой в квантовомеханическом смысле и, следовательно, вероятность нахождения частицы в яме равна $(2+\pi / 4+\pi)$, что составляет приблизительно $70 \%$.

Если взять $k=\sqrt{2}$, то рассеянная волновая функция с положительной энергией $E=h^{2} / m$ – это
\[
\varphi(x, 2)=\left[\begin{array}{ll}
\exp (-i \sqrt{2} x), & x \leqslant-\pi / 4, \\
-\exp (i \pi / 2 \sqrt{2}) \cdot\{\sin 2 x+(\cos 2 x) / \sqrt{2}\}, & |x| \leqslant \pi / 4, \\
\exp \{-i \sqrt{2} x+i \pi(1+1 / \sqrt{2})\}, & x \geqslant \pi / 4 .
\end{array}\right.
\]

Рис. 2.7.

Это выражение описывает частицу, которая не отразилась потенциалом, а прошла сквозь него на $+\infty$ с коэффициентом прохождения $b=\exp [i \pi(1+1 / \sqrt{2})]$, имеющим модуль, равный единице. Можно сказать, что при прохождении через потенциал волна претерпела фазовый сдвиг, равный $\pi(1+1 / \sqrt{2})$. Значения $k$, которые, подобно $k=\sqrt{2}$, являются нулями коэффициента отражения $R(k, \zeta)$, изолированы, и поэтому волновой пакет, составленный из волн, имеющих импульсы в интервале вблизи $\sqrt{2}$, всегда будет разрушаться при прохождении через потенциал. Чем уже границы для величины $k$ вокруг $\sqrt{2}$, тем ближе ситуация к полному прохождению. Сигнал с такой достаточно узкой полосой частот будет проходить через потенциал, почти не разрушаясь, при этом будет происходить только фазовый сдвиг. Как показывает этот пример, существуют специальные значения величины $k$, допускающие полное прохождение. В следующем разделе мы займемся специальным видом потенциалов, для которых такая прозрачность наблюдается в более общих ситуациях.