Мы обратимся теперь к двойному уравнению СГ (ДСГ), рассматривая сначала знак -+ . Оно имеет устойчивое кинковое решение (Абловиц и др. [1979]):
\[
\begin{array}{l}
u=-4 \operatorname{arctg}(\sqrt{5} \operatorname{cosec} 0), \\
\theta=1 / 2 \sqrt{5}(x-v i)\left(1-v^{2}\right)^{-1 / 2}
\end{array}
\]

которое может быть представлено в более интересной форме «двойного кинка»:
\[
u=4 \operatorname{arctg}[\exp (\theta+\Delta)]+4 \operatorname{arctg}[\exp (0-\Delta)],
\]

где
\[
\Delta=\ln (\sqrt{5}+2)=2.1180339 \ldots .
\]

Заметим, что хотя решение (10.3.14) вылядит как двойной кинк, оно все же представляет собой одну движущуюся волну с фиксированным значением $\Delta$, заданным формулой (10.3.15). График пространственной пронзводной функцни $и$ ясно показывает наличие двойного пика (см. рис. 10.6).

Рис. 10.4. Столкновение кинка с антикипком, модсль $\Phi^{4}, v=0.223$.

Рнс. 10.5. Столкновение кипка с антикинком, модель $\varphi^{4}, v=0.224$.

Кинк (10.3.14) меняет значение $u$ на 4 л от любой величины, кратной 4л, до следующей такой величины.

С другим выбором $\Delta$, отличным от приведенного в (10.3.15), решение (10.3.14) больше не является точной движущейся волной. Буллаф и Кодри [1978] изучали численюо это уравнепие, используя схему высокого порядка предиктор-коррсктор ннтегрирования вдоль характеристик. Выбранная ими форма уравнения несколько отличалась от приведенной нами выше, поскольку опи изучали уравнение ДСГ в другой координатной систсме, связапной с приложениями в нелиней пой оптике. Рассматривая малые

Рис. 10.6. График производной по $x$ от решения (10.3.14).
возмущения $\Delta$, они нашли, что рассояние между пиками осцил. лирует относительно расстояпия, разделяющего их в точной движущейся волне, и они назвали такие объекты «вобблерами». Аналитические решения, описывающие такое поведение, еще не найдены. Когда были рассмотрены большие возмущепия величины $\Delta$, была обнаружена любопытная форма поведепия «чехарда», при которой каждый пик поочерсдно растет, обгоняет другой, а затем затухает, и такая картина повторяется бесконечно. Было прослежено также за процессом столкновения двух кинков и найдено, что в пределах разумной точности счета кинки ведут себя как настоящие солитоны и восстанавлнвают свою форму после столкновения. Однако когда сталкиваются кинковое и аптикинковое решения, появляются очевидные потсри эцергии в виде излучения, что позволяет предполагать отсутствие настоящих двухкинковых решений. Это было подтверждено псследованиями Абловица и др.

Абловиц и др. [1979] изучали «плюсовое» уравнение ДСГ более общего внда:
\[
F(u)=\sin u+\lambda \sin 2 u .
\]

Это уравнение при $\lambda=2$ можно привести к виду (10.3.4). Эти авторы обнаружили, что при столкновениях кинка с аңтикинком при высоких скоростях потери энергии с излучением очень малы, но эти потери возрастают при низких скоростях столкновения. Для некоторых значений $\lambda$ при низких скоростях столкновения образуются связанные состояния, подобные связанным состояпиям, обнаруженным ранее для уравнения $\varphi^{4}$.

Китченсайд и др. [1979] изучали также вариант уравнения ДСГ со знаком минус. В этом варианте имеются две различные формы кннковых решсний, одна со скачком $4 \pi-2 \delta$, другая со скачком $2 \delta$ соотвстственно. Аналитически эти решения представляются в виде
\[
\begin{array}{l}
u=2 \pi+4 \operatorname{arctg}(\sqrt{3 / 5} \text { th } \theta / 2), \\
u=4 \operatorname{arctg}(\sqrt{5 / 3} \text { th } \theta / 2) .
\end{array}
\]

Здесь постояниая $\delta$ равна $2 \cos ^{-1}(-1 / 4)$ и $\theta=x(x-v t), x=$ $=\sqrt{15 / 16}\left(1-v^{2}\right)^{-1 / 2}$. ІІри соответстующих грапичных условиях только некоторые кинковые и антикинковые пачалыные конфигурации топологически возможны. Однако число возможных комбинаций все же велико, и мы отсылаем читателя к оригинальной статье, где приведены юодробные результаты. Во всех случаях найдено, что кинк-кинковые и кинк-антикинковые столкновения ириводят к некоторым потерям энергии на излучение, так что кажется маловероятным, что существуют какие-нибудь точные мультикиновые решения. Как обнаружено в предыдущих случаях. при низких скоростях столкновения могут образоваться бризерные решения (связанные состояния).