Оценка отношения относительного ускорения к кориолисовой силе дается выражением
\[
\left(U^{2} / L\right) /(2 U \Omega)=(U / 2 L \Omega)=\mathrm{e},
\]

которое представляет собой число Россби. Как мы видели, число Россби мало для крупномасштабных атмосферных и океанических циркуляций. Поэтому мы предполагаем, что в основном баланс в уравнении Навье – Стокса определяется градиентом давления,
силой Кориолиса и силой тяжести. Математически это выражается равенством
\[
2 \mathbf{\Omega} \times \mathbf{q}=-\rho^{-1}
abla P+
abla \varphi .
\]

Если компоненты вектора q в локальной системе координат задаются тройкой ( $u, v, w)$, то соотношение (5.4.12) можно переписать следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
f u=-\rho^{-1} \frac{\partial P}{\partial y}, \\
f v=\rho^{-1} \frac{\partial P}{\partial x}, \\
0=-\frac{\partial P}{\partial z}-\rho g,
\end{array}
\]

где $f=2 \Omega$.
При выводе этих уравнений мы пренебрегли вертикальными движениями жидкости (или газа). Это пренебрежение вполне оправданно, поскольку движение происходит в тонком сферическом слое с горизонтальным масщтаб́ом в несколько тысяч километров, в то время как вертикальный масштаб порядка всего лишь одного километра. Уравнения (5.4.13)-(5.4.15) были выведены в том приближении, что движения в меридиональном направлении малы, так что можно применить локальную систему координат. Мы обозначаем через $x$ координату в направлении с запада на восток, через $y$ координату в направлении с юга на север и через $z$ вертикальную координату.

Гродифференцируем уравнение (5.4.13) по $z$ и, объединяя получившийся результат с (5.4.15), будем иметь
\[
f \frac{\partial u}{\partial z}=g \rho^{-1}\left(\frac{\partial \rho}{\partial y}\right)+\rho^{-2} \frac{\partial \rho}{\partial z}\left(\frac{\partial P}{\partial y}\right) .
\]

Замечая теперь, что
\[
\frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{\partial P}{\partial z}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{P}=\rho g\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{P},
\]

получим соотношение
\[
f \frac{\partial u}{\partial z}=g \rho^{-1}\left[\left(\frac{\partial \rho}{\partial y}\right)+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{P} \frac{\partial \rho}{\partial z}\right]=\rho^{-1}\left(\frac{\partial \rho}{\partial y}\right)_{P} g .
\]

Если жидкость баротропная, то $(\partial \rho / \partial y)_{P}=0$ и $u$ не зависит от $z$. Тот же результат справедлив также для $v$. Этот результат известен как теорема Тейлора – Прудмана: если жидкость находится в геострофическом равновесии и, кроме того, баротропна, то горизонтальные компоненты скорости не зависят от вертикальной координаты.