Потенциал
\[
Q(x)=Q_{0} \delta(x),
\]

где $\delta(x)$ – дельта-распределение Дирака, можно считать предельной функцией семейства гауссовых потенциалов $\pi^{-1 / 2} \alpha \exp \left(-x^{2} \alpha^{2}\right)$ при $\alpha \rightarrow-\infty$.

Уравнение Шрёдингера для дельта-потенциала (2.3.37) принимает форму
\[
\left[\frac{d^{2}}{d x^{2}}+k^{2}+Q_{0} \delta(x)\right] \varphi(x, k)=0 .
\]

Поскольку $\delta(x)$ равна нулю для всех $x
eq 0$, то это, по существу, задача о свободной частице. При $x=0$ дельта-распределение приводит к следующим граничным условиям. Интегрируя уравнение (2.3.38) в окрестности ( $-\varepsilon, \varepsilon$ ) точки $x=0$, получим
\[
\left[\frac{d}{d x} \varphi(x, k)\right]_{-\varepsilon}^{\varepsilon}+\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\left\{Q_{0} \delta(x)+k^{2}\right\} \varphi(x, k) d x=0 .
\]

Если использовать непрерывность ${ }_{k} \varphi$ при $x=0$ и основное свойство функции $\delta(x)$, то в пределе при $\varepsilon \rightarrow 0$ получим
\[
\frac{d}{d x}\left({ }_{k} \varphi\right)\left(0^{+}\right)-\frac{d}{d x}\left({ }_{k} \varphi\right)\left(0^{-}\right)=Q_{0}\left(\varphi_{k}(0)\right),
\]

что приводит к противоречию с нашим обычным условием непрерывности первой производной от функции ${ }_{k} \varphi$.
Запишем
\[
\varphi(x, k)=\left\{\begin{array}{ll}
b(k) e^{i k x}+a(k) e^{-i k x}, & x \rightarrow+\infty, \\
e^{-i k x}, & x \rightarrow-\infty .
\end{array}\right.
\]

Условие непрерывности функции ${ }_{k} \varphi$ при $x=0$ дает
\[
a(k)+b(k)=1 \text {, }
\]

а условие на разрыве (2.3.40) дает
\[
i k-i k[a(k)-b(k)]=-Q_{0} .
\]

Из этих двух уравнений можно найти $a(k)$ и $b(k)$ :
\[
a(k)=1+\frac{Q_{0}}{2 i k}, \quad b(k)=-\frac{Q_{0}}{2 i k} .
\]

В качестве проверки легко установить, что для любого вещественного $k$ выполняется $|a|^{2}-|b|^{2}=1$, что согласуется с требованием сохранения потока вероятности $j$.

Если допустить, что $k$ – чисто мнимое число, что соответствует состоянию с отрицательной полной энергией, то функция ${ }_{k} \varphi$ может быть нормирована при условии, что $a(k)$ имеет нуль на положительной части мнимой оси в комплексной плоскости $k$. Поэтому мы требуем $Q_{0}>0$, чтобы нуль функции $a(k)$, равный, как видно из (2.3.44), $k=i Q_{0} / 2$, лежал на положительной части мнимой оси. Уравнение (2.3.41) тогда определяет решение в виде
\[
\varphi\left(x, \frac{i Q_{0}}{2}\right)=e^{-Q_{0}|x| / 2} .
\]

Если бы мы рассматривали эти волновые функции только с точки зрения квантовой механики, то можно было бы нормировать их так, чтобы их норма в $L^{2}(\mathbb{R})$ была равна единице. Однако для той техники, которая развивается в этой книге, удобнее принять другие способы нормировки волновых функций. В гл. 3 и 4 будет показано, что для наших целей нормировка $\int_{-\infty}^{\infty} Y^{2}(x) d x=1$ удобнее нормировки $\int_{-\infty}^{\infty}|Y(x)|^{2} d x=1$. Для волновой функции дельта-потенциала (2.3.45) нормированная волновая функция будет иметь вид $\sqrt{c} \varphi\left(x, i Q_{0} / 2\right)$, где
\[
c^{-1}=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\varphi\left(x, \frac{i Q_{0}}{2}\right)\right]^{2} d x=\frac{2}{Q_{0}} .
\]

В данном случае вид нормированной функции совпадает с квантовомеханической нормировкой, поскольку $\varphi\left(x, i Q_{0} / 2\right)$ является вещественной. Волновая функция (2.3.45) описывает частицу с центром в точке $x=0$, т. е. в точке локализации потенциала. Такое состояние, локализованное вокруг потенциального центра, называется связанным состоянием. Это состояние представляет собой квантовый аналог замкнутой орбиты, например такой, как орбита Луны вокруг Земли. Решение (2.3.45) принято называть волновой функцией связанного состояния. Из (2.3.30) следует, что энергия этого состояния равна $E=h^{2} k^{2} / 2 m=-Q_{0}^{2} h^{2} / 8 m$, т. е. отрицательна.