Для иллюстрации приведенной выше конструкции рассмотрим группу унитарных матриц $2 \times 2$ с определителем, равным +1 . Такая группа называется группой $S U(2)$. Любая матрица, принадлежащая $S U(2)$, может быть параметризована парой комплексных чисел $a$ и $b$ и записана в виде
\[
g=\left[\begin{array}{rr}
a & b \\
-b & \bar{a}
\end{array}\right], \quad a \bar{a}+b \bar{b}=1,
\]

откуда ясно, что $S U(2) \cong \mathrm{S}^{3}$. Матрицы этого вида могут быть представлены формулой
\[
g=\exp \left[i S_{A} \beta^{A}\right]
\]

где матрицы $S_{A}(A=1,2,3)$ удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
\[
\left[S_{A}, S_{B}\right]=i \varepsilon_{A B C} S_{C} .
\]

Множество эрмитовых матриц, удовлетворяющих этим соотношениям, таково, что $S_{A}=(1 / 2) \sigma_{A}$, где $\sigma_{A}$ — матрицы Паули, определениые формулами
\[
\sigma_{1}=\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right], \quad \sigma_{2}=\left[\begin{array}{cc}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right], \quad \sigma_{3}=\left[\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right] .
\]

Если мы запишем равснства
\[
A_{a}=A_{a}^{R} S_{\Gamma}, \quad(1)=\Phi^{R} S_{R},
\]

где $\boldsymbol{\Phi}$ и $\mathbf{A}_{a}$ веществениы, то $D \Phi, G_{a b}$ и $\|\Phi\|$ можно будет выразить через веществснные векторы $\Phi=\left(\Phi^{1}, \Phi^{2}, \Phi^{3}\right)$ и $\mathbf{A}_{a}=\left(A_{a}^{1}, A_{a}^{2}\right.$, $A_{a}^{3}$ ). Применяя коммутационные соотношения (7.9.21), легко показать, что
\[
\begin{aligned}
D_{a} \boldsymbol{\Phi} & =\boldsymbol{\Phi}_{, a}+\left(\mathbf{A}_{a} \wedge \boldsymbol{\Phi}\right), \\
\mathbf{G}_{a b} & =\mathbf{A}_{b, a}-\mathbf{A}_{a, b}+\mathbf{A}_{a} \wedge \mathbf{A}_{b}, \\
\|\Phi\|^{2} & =\left(\Phi^{1}\right)^{2}+\left(\Phi^{2}\right)+\left(\Phi^{3}\right)^{2}=|\boldsymbol{\Phi}|^{2},
\end{aligned}
\]

где нормированное скалярное произведение на $\mathrm{L}$ есть $\langle a, b\rangle=$ $=2 \operatorname{tr}\left(a^{+} b\right)$ и $\left\langle S_{A}, S_{B}\right\rangle=\delta_{A B}$.

Размерность алгебры Ли равна $p=3$, и, значит, поскольку $\pi_{2}\left(S^{2}\right)=\mathbf{Z}$, то петривиальный топологическнй заряд мы получим, если выберем $d=3$. С таким выбором дейстие (7.9.14) может быть выражено через векторные поля равенством
\[
\begin{aligned}
\mathscr{E}_{\boldsymbol{\Phi}, C}= & \frac{1}{2}\left[\sum_{a=1}^{3}\left|\left(\boldsymbol{\Phi}, a \cdot+\mathbf{A}_{a} \wedge \boldsymbol{\Phi}\right)\right|^{2}+\right. \\
& \left.+\frac{1}{2} \sum_{a b}\left|\left(\mathbf{A}_{b, a}-\mathbf{A}_{a, b} \cdot+\mathbf{A}_{a} \wedge \mathbf{A}_{b}\right)\right|^{2}+2 V(|\Phi|)\right] .
\end{aligned}
\]

Соответствующие этому действию полевые уравнения имеют вид
\[
\begin{aligned}
D_{a}^{2} \boldsymbol{\Psi} & =\frac{\partial}{\partial \varphi_{i}} V(\boldsymbol{\Psi} \|), \\
D_{b} \mathrm{G}_{a b} & =-\boldsymbol{\varphi} \wedge D a \boldsymbol{\Psi} .
\end{aligned}
\]

Если мы выберем потенциальную функцию в виде (7.5.37), то полученные уравнения как раз являются уравнениями неабелевой модели Хигzса SU(2).

Аналогом формулы (7.5.35) является следующая интегральная формула для топологического заряда:
\[
N=\frac{1}{4 \pi} \int_{R^{3}}\left\langle\varepsilon_{a b c} G_{a b}, D_{c} \Phi\right\rangle d^{3} x .
\]

Эта формула дает топологический заряд отображения $\widetilde{\Phi}: \mathrm{S}^{2} \rightarrow \mathrm{S}^{2}$, определенного в (7.9.18).

Для модели Хиггса $S U(2)$ мы можем, используя (7.9.30), переписать (7.9.14) в виде, аналогичном (7.5.43):
$\mathscr{E}_{\Phi .0}=\frac{1}{2}\left\|\frac{1}{2} \varepsilon_{a b c} G_{b c} \mp D_{a} \Phi\right\|^{2}+\frac{\lambda}{4}\left(\|\Phi\|^{2}-1\right)^{2} \pm 4 \pi\left\langle\varepsilon_{a b c} G_{a b}, D_{c} \Phi\right\rangle$.

Отсюда мы находим, что

причем равенство здесь имеет место только если $\lambda=0$ и выполняются следующие уравнения:
\[
\frac{1}{2} \varepsilon_{a b c} G_{b c}=-\varepsilon D_{a} \Phi, \quad e N>0, \quad \varepsilon= \pm 1 .
\]

Эти уравнения можно переписать следующим образом через векторы $\boldsymbol{\Phi}$ и $\mathbf{A}_{a}$ :
\[
\mathbf{A}_{b, a}-\mathbf{A}_{a, b}+\mathbf{A}_{a} \wedge \mathbf{A}_{b}=-\varepsilon \boldsymbol{\varepsilon}_{a b c}\left(\boldsymbol{\Phi}, a+\mathbf{A}_{a} \wedge \boldsymbol{\Phi}\right) .
\]

Существует несколько способов, с помощью которых можно найти частные решения этих уравнений. Мы предпочитаем применить для этой системы преобразование Бэклунда, поскольку с его помощью можно показать, что кинк-решения являются солитонами именно того типа, какие рассматриваются в нашей книге. Уравнения (7.9.33) известны как уравнения Богомольного.