Рассмотрим одномерное море частиц, состоящее из электронов, каждый из которых имеет массу $m_{\mathrm{e}}$ и заряд $-e$, с плотностью $n_{\text {e }}$ в единице объема, и ионов, каждый массы $m_{\mathrm{i}}$ и с зарядом $+e$, с плотностью $n_{1}$ в единице объема. Это образование принято называть плазмой электронов и ионов. Поскольку масса электрона много меньше массы любого иона, инерцией электронов можно пренебречь, в то время как электростатическим эффектом электронного заряда пренебрегать нельзя. Нужны какие-то способы выражения этого эффекта. Стандартный метод состоит в том, что электроны рассматривают как «газ» (Пайнз [1968]). Для описания электронного газа можно, используя задачу многих тел, в идеализированной ситуации записать уравнение состояния этого газа
\[
p=k_{B} T_{\mathrm{e}} n_{\mathrm{e}},
\]

где $k_{B}$ — константа Больцмана, а $p$ — давление. Значение электронной температуры $T_{\text {е }}$ является мерой того, насколько энергетичными, или горячими, будут электроны в газе. В рассматриваемой ситуации температура электронов обычно бывает гораздо выше, чем температура ионов. Таким образом, мы имеем дело с газом заряженных энергетичных (горячнх) электронов, наложенным на фон много более массивных, но менее энергетичных (холодных) ионов ( $T_{\mathrm{i}} \ll T_{\mathrm{e}}$ ). Для моделирования этой ситуации нам потребуется несколько уравнений, связывающих электронную плотность $n_{\mathrm{e}}$ с электростатическим потенциалом $р$. Для получения этого соотношения заметим, что электростатическая сила, действующая на электроны и возникающая благодаря потенциалу $\varphi(x, t)$, равна ел $_{\mathrm{e}} \Phi_{x}$ и что в электронном газе эта сила уравновешивается градиентом давления
\[
e n_{\mathrm{e}} \frac{\partial \varphi}{\partial x}=k_{B} T_{\mathrm{e}} \frac{\partial n_{\mathrm{e}}}{\partial x} .
\]

После интегрирования получаем
\[
n_{\mathrm{e}}=n_{0} \exp \left[\frac{e}{k_{B} T_{\mathrm{e}}} \varphi\right] \text {, }
\]

где $n_{0}$ равновесная плотность. Другие уравцения для состояния электронов не нужны, так как (5.2.3) описывает взаимодействие между электронами и ионами через потенциал $\varphi$.
Уравнения сохранения массы и импульса для ионов имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial n_{1}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\left(n_{1} v_{\mathrm{i}}\right)=0, \\
m_{\mathrm{t}}\left(\frac{D}{D t} v_{\mathrm{i}}\right)=-e \frac{\partial \varphi}{\partial x},
\end{array}
\]

где полная производная дается выражением
\[
\frac{D}{D t}=\frac{\partial}{\partial t}+v_{i} \frac{\partial}{\partial x} .
\]

Уравнение Пуассона для электростатического потенциала имеет Вид
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}=4 \pi e\left(n_{\mathrm{e}}-n_{\mathrm{i}}\right)
\]

Схема теории возмущений, упомянутая в разд. 5.1, значительно упростится, если сделать такую замену переменных, при которой исчезнут все неприятные константы. Этот процесс совсем несложен. Вид уравнений (5.2.3) и (5.2.7) указывает, как можно промасштабировать переменные $甲$ и $n_{1}$ :
\[
\Phi=\frac{e}{k_{n} T_{\mathrm{e}}} \varphi^{\prime}, \quad n=n_{\mathrm{i}} / n_{0} .
\]

Используя эти новые переменные в уравнении (5.2.7), легко показать, что можно ввести новую безразмерную переменную $x$ :
\[
\bar{x}=\lambda^{-1} x, \quad \text { где } \lambda=\left(\frac{4 \pi n_{0} e^{2}}{k_{B} T_{\mathrm{e}}}\right)^{-1 / 2} .
\]

Константа $\lambda$ известна под названием дебаевской длины для плазмы. Подставляя выражения для переменных $\mathscr{\Phi}, n$ и $\tilde{x}$ в уравнения (5.2.4) и (5.2.5), легко найти безрвзмерные переменные скорости и времени:
\[
\bar{t}=\omega_{p} t ; \quad v=\left(\lambda \omega_{p}\right)^{-1} v_{\mathrm{i}} ; \quad \omega_{p}=\left(\frac{4 \pi t_{0} e^{\mathrm{s}}}{k_{B} T_{\mathrm{e}}}\right)^{1 / 2},
\]

где $\omega_{p}$ известна как плазменная частота, а $\lambda \omega_{p}$ — как скорость ионного звука. Уравнения (5.2.4) и (5.2.5) теперь превращаются в набор гораздо более простых безразмерных уравнений движения:
\[
\begin{array}{c}
n_{\bar{t}}+(n v)_{\bar{x}}=0, \\
v_{\bar{f}}+v v_{\bar{x}}=-\Phi_{\bar{x}}, \\
\Phi_{\bar{x} \bar{x}}=\exp \Phi-n .
\end{array}
\]

Граничные условня теперь имеют вид $n \rightarrow 1, v, \Phi \rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow$ $\rightarrow \infty$.

Применим теперь процедуру, описанную в разд. 5.1, и запишем асимптотические разложения для $n, \Phi$ и $v$ :
\[
\begin{aligned}
n=1 \div \varepsilon n^{(1)}+\varepsilon^{2} n^{(2)}+\cdots, & & n^{(i)} \rightarrow 0 \text { при }|x| \rightarrow \infty, \\
\Phi=\varepsilon \Phi^{(1)}+\varepsilon^{2} \Phi^{(2)}+\cdots, & & \mathbb{Q}^{(i)} \rightarrow 0 \text { при }|x| \rightarrow \infty, \\
v=\varepsilon v^{(1)}\left\llcorner\varepsilon^{2} v^{(2)}+\cdots,\right. & & v^{(i)} \rightarrow 0 \text { при }|x| \rightarrow \infty .
\end{aligned}
\]

Разложения (5.2.12) можно использовать для линеаризации уравнений (5.2.11). Исключая $v^{(1)}, n^{(1)}$ из линеаризованных уравнений, получим уравнение для $\Phi^{(1)}$ :
\[
\Phi_{\bar{x} \bar{x} t i}^{(1)}+\Phi_{\bar{x} \bar{x}}^{(1)}-\Phi_{i \bar{t}}^{(1)}=0 .
\]

Ему соответствует дисперсионное соотношение $\omega^{2}=k^{2}\left(1+k^{2}\right)^{-1}$. Таким образом, для малых $k$ ( $k=\varepsilon_{3}^{p x} ; p>0$ ) первые два члена разложения $\omega(k)$ имеют порядки $k$ и $k^{3}$. Ислользуя соображения, приведенные в разд. 5.1, введем новые переменные $\xi$ и $\tau$ вместо переменных $x$ и $t$ по формулам
\[
\xi=\varepsilon^{p}(x-a t), \quad \tau=\varepsilon^{3 p T} .
\]

Уравнения (5.2.11) при этом приобретут вид
\[
\begin{array}{l}
0=\left(\varepsilon^{3 p} \frac{\partial}{\partial \tau}-a \varepsilon^{\rho} \frac{\partial}{\partial \xi}\right)\left[1+\varepsilon n^{(1)}-\left.\right|^{2} n^{(2)}-1-\cdots\right]+ \\
+\varepsilon^{D} \frac{\partial}{\partial \xi}\left[\varepsilon v^{(1)}+\varepsilon^{2}\left(v^{(2)}+\cdots+n^{(1)} v^{(1)}\right) \ldots\right], \\
0=\left(\varepsilon^{3 p} \frac{\partial}{\partial \tau}-a \varepsilon^{p} \frac{\partial}{\partial \xi}\right)\left(\varepsilon v^{(1)}+\varepsilon^{2} v^{(2)} \ldots\right)-+ \\
+\frac{1}{2}-\varepsilon^{p} \frac{\partial}{\partial \xi}\left[\varepsilon^{2}\left(v^{(1)}\right)^{2}\right]-\varepsilon^{p} \frac{\partial}{\partial \xi}\left(e \Phi^{(1)}+\varepsilon^{2} \Phi^{(2)}+\cdots\right), \\
\end{array}
\]

\[
\begin{aligned}
0= & \varepsilon^{2 p} \frac{\partial^{2}}{\partial \xi^{2}}\left(\varepsilon \Phi^{(1)}+\varepsilon^{2} \Phi^{(2)}+\cdots\right)-\varepsilon\left(\Phi^{(1)}-n^{(1)}\right)- \\
& -\varepsilon^{2}\left[\Phi^{(2)}-n^{(2)}+\frac{1}{2}\left(\Phi^{(1)}\right)^{2}\right] \ldots
\end{aligned}
\]

Сначала приведем подобные и вылишем коэффициенты при различных степенях $\varepsilon$, не приравнивая их пока к нулю, и используем соглашение о том, что нижние индексы означают частные производные по соответствующим переменным. Для уравнения (5.2.15) имеем:
\[
\begin{array}{ll}
\varepsilon^{p+1}: & -a n_{\xi}^{(1)}+v_{\xi}^{(1)}, \\
\varepsilon^{p+2}: & -a n_{\xi}^{(2)}+v_{\xi}^{(2)}+\left(n^{(1)} v^{(1)}\right)_{\xi}, \\
\vdots & \\
\mathrm{e}^{3 p+1}: & n_{\tau}^{(1)} .
\end{array}
\]

Для уравнения (5.2.16):
\[
\begin{array}{ll}
\mathrm{e}^{p+1}: & -a v_{\xi}^{(1)}+\Phi_{\xi}^{(1)}, \\
e^{p+2}: & -a v_{\xi}^{(2)}+\Phi_{\xi}^{(2)}+v^{(1)} v_{\xi}^{(1)}, \\
\vdots & \\
e^{30+1}: & v_{\tau}^{(1)} .
\end{array}
\]

Для уравнения (5.2.17):
\[
\begin{array}{ll}
\text { e: } & -\left(\Phi^{(1)}-n^{(1)}\right), \\
\varepsilon^{21} & -\left(\Phi^{(2)}-n^{(2)}+\frac{1}{2}\left(\Phi^{(1)}\right)^{2}\right), \\
\varepsilon^{2 \rho+1} ; & \Phi_{\xi \xi}^{(1)}, \\
\varepsilon^{2 p+2}: & \Phi_{\xi \xi}^{(2)} .
\end{array}
\]

Естественно, нам нужно, чтобы $p$ было положительным; поэтому, используя граничные условия для слагаемых низших степеней (т. е. $\varepsilon^{p+1}$ и в), мы получим
\[
n^{(1)}=v^{(1)}=\Phi^{(1)}
\]

для $a=+1$. Рассмотрим сначала случай $a=+1$, а случай $a=$ $=-1$ пока оставим. Результат (5.2.28) не зависит от выбора величины $p(p>0)$, поэтому для определения $p$ придется рассмотреть члены более высоких порядков. Уравнення (5.2.18)(5.2.23) показывают, что если $3 p+1>p+2$, то в членах порядка $p+2$ производные по $\tau$ не встречаются. Это неудовлетворительно, так как из условия $3 p+1>p+2$ следует, что $p>$ $>1 / 2$, что в свою очередь означает, что в выраженин (5.2.26) вторая производная от $\Phi^{(1)}$ в порядке $\varepsilon^{2 p+1}$ имеет порядок выше, чем $\varepsilon^{2}$. Тогда из трех уравнений можно исключить переменные $\Phi^{(2)}, n^{(2)}$ и $v^{(2)}$, после чего окажется, что $n^{(1)}=0$. Если мы примем этот результат, то окажемся перед необходимостью использовать более высокне порядки теории возмущений для того, чтобы получить эволюционное уравнение для $n^{(1)}$. Однако если положить $3 p+1=p+2$, то $p=1 / 2$ и члены с $n^{(\mathrm{I})}$ и $v^{(1)}$ окажутся одного и того же порядка $\varepsilon^{p+2}$, что и члены, в которых встречается квадратичная нелинейность от переменной $n^{(1)}$. Этот результат оказывается удовлетворительным и для третьего набора уравнений, так как собирает вместе слагаемое с квадратичной нелинейностью $\left(\Phi^{(1)}\right)^{2}$ и дисперсионное слагаемое $\Phi_{\xi}$ : $_{5}$.

Таким образом, полагая $p=1 / 2$, заменяя $v^{(1)}$, (1) на $n^{(1)}$ и приравнивая нулю коэффициенты при каждой степени $\varepsilon$, получим уравнения
\[
\begin{array}{c}
v_{\xi}^{(2)}-n_{\xi}^{(2)}+2 n^{(1)} n_{\xi}^{(1)}+n_{\tau}^{(1)}=0, \\
\Phi_{\xi}^{(2)}-v_{\xi}^{(2)}+n^{(1)} n_{\xi}^{(1)}+n_{\tau}^{(1)}=0, \\
n_{\xi_{\xi}^{\prime}}^{(1)}-\frac{1}{2}\left(n^{(1)}\right)^{2}=\Phi^{(2)}-n^{(2)} .
\end{array}
\]

Исключиғ $v^{(2)}$ из $(5.2 .29)$, (5.2.30) сложением, получим производную по $\xi$ от выражения $\Phi^{(2)}-n^{(2)}$, которое, к счастью, содержится также и в уравнении (5.2.31). Теперь три уравнения вместе дают
\[
\frac{1}{2} n_{\xi \xi}^{(1)}+n^{(1)} n_{\xi}^{(1)}+n_{\tau}^{(1)}=0,
\]

что есть в точности уравнение КдФ. Солитоны представляют собой волны сжатия, потому что из выражений для линейного преобразования переменных (5.2.14) следует, что их скорости сравнимы с единицей скорости (скорость ионного звука) и что скорости солитонов положительны при той форме уравнения КдФ, которая дана в (5.2.32). Если выбрать $a=-1$, то результат от зтого несколько изменится, так что получится $v^{(1)}=-n^{(1)}=-\Phi^{(1)}$, и окончательное уравнение примет вид
\[
\frac{1}{2} n_{\xi}^{(1)}+n^{(1)} n_{\leftarrow}^{(1)}-n_{\tau}^{(1)}=0 .
\]

Эта форма уравнения КдФ показывает, что солитоны двигаются налево, как в (5.2.14) при $a=-$ — (обращение времени).

Физическая интерпретация этого результата в свете предыдущих глав достаточно проста. Если в первоначально однородную плазму внесено возмущение электростатическим зондом (образующее начальные данные для уравнения КдФ), то число солитонов, которые при этом возникнут, в точности равно числу связанных состояний начального возмущения. Например, если начальное
возмущение имеет форму прямоугольной волны, которую легко воспроизвести экспериментально, то она распадается на такое количество солитонов, сколько было точек дискретного спектра. Это было проверено Хершковицем, Ромессером и Монтгомери [1972], которые рассчитали теоретически количества и энергию связанных состояний данной прямоугольной волны на входе, а затем воспроизвели этот же вход экспериментально. Расчет дискретного спектра начальных условий в виде прямоугольной ямы дается в упражнениях к главе (см. также вычисления и упражнения гл. 2).