Мантон [1978] предложил параметризацию, относительно которой уравнения (7.9.34) принимают наиболее простую форму. Эта параметризация основана на переходе к цилиндрическим координатам, в соответствии с которыми
\[
\begin{aligned}
\mathbf{\Phi} & =\left(0, \varphi_{1}, \varphi_{2}\right), \\
\mathbf{A}_{\oplus} & =\left(0, \eta_{1}, \eta_{2}\right), \\
\mathbf{A}_{z} & =\left(w_{1}, 0,0\right), \\
\mathbf{A}_{p} & =\left(w_{2}, 0,0\right),
\end{aligned}
\]

где $x=\rho \cos \varphi, y=\rho \sin \varphi$, а $\eta_{a}, \varphi_{a}$ и $\omega_{a}$ являются функцнями только от $z$ и $\rho$. Полярные компоненты калибровочного поля связаны с декартовыми формулами
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{A}_{x}=\mathbf{A}_{p} \cos \varphi-\mathbf{A}_{\varphi} \frac{\sin \varphi}{\rho}, \\
\mathbf{A}_{y}=\mathbf{A} \rho \sin \varphi+\mathbf{A}_{\varphi} \frac{\cos \varphi}{\rho}, \\
\mathbf{A}_{z}=\mathbf{A}_{z} .
\end{array}
\]

В этих переменных уравнения (7.9.34) принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\rho^{-1}\left(\mathbf{A}_{\varphi, \rho}+\mathbf{A}_{\rho} \wedge \mathbf{A}_{\varphi}\right)=-\left(\boldsymbol{\varphi}, \mathrm{H} \mathbf{A}_{z} \wedge \varphi\right), \\
\mathbf{A}_{z, \rho}-\mathbf{A}_{\rho, z}+\mathbf{A}_{\rho} \wedge \mathbf{A}_{z}=\rho^{-1} \mathbf{A}_{\varphi} \wedge \varphi, \\
\rho^{-\mathbf{1}}\left(\mathbf{A}_{\varphi, \tau}-\mathbf{A}_{\varphi} \wedge \mathbf{A}_{z}\right)=\left(\varphi_{, \rho}+\mathbf{A}_{\rho} \wedge \varphi\right) .
\end{array}
\]

Подставляя выражения (7.9.35)-(7.9.38) в эти уравнения, мы получим следующую систему скалярных уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{1, z}-w_{1} \varphi_{2}=\rho^{-1}\left(\eta_{1, \rho}-w_{2} \eta_{2}\right), \\
\varphi_{2, z}+w_{1} \varphi_{1}=\rho^{-1}\left(\eta_{2, \rho}+w_{2} \eta_{1}\right), \\
w_{1, \rho}-w_{2, z}=\rho^{-1}\left(\varphi_{1} \eta_{2}-\varphi_{2} \eta_{1}\right), \\
\varphi_{1, \rho}-w_{2} \varphi_{2}=-\rho^{-1}\left(\eta_{1, z}-w_{1} \eta_{2}\right), \\
\varphi_{2, \rho}+w_{2} \varphi_{2}=-\rho^{-1}\left(\eta_{2, z}+w_{1} \eta_{1}\right)
\end{array}
\]

Это позволяет нам определить важный подкласс решений уравнений (7.9.34), в который включены мультикинковые решения. равнения (7.9.45)-(7.9.49) могут быть далее сведены к единому комплексному уравнению, если ввести две вещественные функции $f$ и $\psi$ и параметризовать поля Мантона следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{1}=f^{-1} \Psi, z=-w_{1}, \\
\varphi_{2}=-f^{-1} f_{, z}, \\
\eta_{1}=-\rho f^{-1} \psi, \rho=\rho w_{2}, \\
\eta_{2}=\rho f^{-1} f_{, \rho} .
\end{array}
\]

Тогда можно показать, что комплексное поле $E$, определенное формулой
\[
E=f+i \psi,
\]

удовлетворяет единственному комплексному уравнению
\[
\operatorname{Re} E\left(E_{, \rho \rho}+\rho^{-1} E_{, \rho^{+}} E_{, 2 z}\right)+\left(E_{\rho}^{2}+E_{z}^{2}\right) .
\]

Это и есть знаменитое уравнение Эрнста, которое дает другую формулировку задачи о статическом осесимметрическом гравитационном поле.

Для уравнения Эрнста можно определить преобразование Бэк. лунда тем же путем, как это было сделано в предыдущих главах. Ситуация здесь усложняется тем, что линейная задача рассеяния, отвечающая уравнению Эрнста, более запутана, чем для обыкновенной АКНС-ЗШ-системы.

Мы не будем заниматься выводом преобразования Бэклунда, а попросту покажем, как его можно применить для получения однокинкового решения уравнения Богомольного.

По заданному решению $E^{0}$ уравнения Эрнста (7.9.55) построим следующие выражения:
\[
\begin{array}{l}
M_{1}^{0}=(1 / 2) f_{0}^{-1} E_{, \zeta}^{0}, \\
M_{2}^{0}=(1 / 2) f_{0}^{-1} \bar{E}_{, \zeta}^{0}, \\
N_{1}^{0}=(1 / 2) f_{0}^{-1} \bar{E}_{, \bar{\xi}}^{0}=\bar{M}_{1}^{0}, \\
N_{2}^{0}=(1 / 2) f_{0}^{-1} E_{, \tilde{b}}=\bar{M}_{2}^{0},
\end{array}
\]

где $\zeta$ – комплексная переменная вида
\[
\zeta=\rho+i z .
\]

Если можно решить уравнение Риккати
\[
\begin{array}{l}
q_{.}=-\left[\left(M_{2}^{0}-M_{1}^{0}\right) q+\gamma(w)\left(M_{2}^{0}-M_{1}^{0} q^{2}\right)\right], \\
\text { q. } \bar{\zeta}=-\left[\left(N_{1}^{0}-N_{2}^{0}\right) q+\gamma^{-1}(w)\left(N_{1}^{0}-N_{2}^{0} q^{2}\right)\right],
\end{array}
\]

где
\[
\gamma(w)=\left[(w-i \bar{\zeta})(w+i \zeta)^{-1}\right]^{1 / 2}
\]

а $w$ – вещественное число, которое итрает роль спектрального параметра для обратной задачи рассеяния, отвечающей уравнению Эрнста, то новое решение уравнения Эрнста дается формулами
\[
\begin{array}{l}
M_{1}=\left[\frac{\gamma+q}{1+\gamma q}\right]\left[q^{-1} M_{2}^{0}+\frac{\gamma}{4 \rho}\right]=\bar{N}_{1}, \\
M_{2}=\left[\frac{\gamma+q}{1+\gamma q}\right]\left[q N_{2}^{0}+\frac{1}{4 \gamma \rho}\right]=\bar{N}_{2} .
\end{array}
\]

Однокинковое решение можно построить, если исходить из начального решения вида
\[
f=e^{z}, \quad \psi=0,
\]

которое соответствует тривиальному решению уравнения Богомольного
\[
\Phi(0,0,-1), \quad \mathbf{A}_{\varphi}=\mathbf{A}_{z}=\mathbf{A}_{\rho}=0 .
\]

Уравнения Риккати (7.9.61), (7.9.62) принимают вид
\[
\begin{array}{l}
q_{, \zeta}=\frac{i}{4}\left(1-q^{2}\right) \gamma(w), \\
q_{, \zeta}=-\frac{i}{4}\left(1-q^{2}\right) \gamma^{-1}(w) .
\end{array}
\]

Объединяя их, получим уравнение
\[
\frac{d q}{\left(1-q^{2}\right)}=\frac{1}{2} d\left[(w-i \bar{\zeta})^{1 / 2}(w+i \zeta)^{1 / 2}\right]=\frac{1}{2} d R, \quad R^{2}=(w-z)^{2}+\rho^{2},
\]

которое легко проинтегрировать и получить для $q$ выражение
\[
q(\zeta, \bar{\zeta})=\text { th }((1 / 2) R+K),
\]

где $K$ – постоянная. Если мы выберем $K=0$, то мы получим следующие выражения для $M_{1}$ и $N_{2}$ из равенств (7.9.64), (7.9.65):
\[
\begin{aligned}
M_{1} & =\left[\frac{\gamma+\operatorname{th}(R / 2)}{1+\gamma \operatorname{th}(R / 2)}\right]\left[-\frac{i}{4} \operatorname{cth}(R / 2)+\gamma / 4 \rho\right], \\
N_{2} & =\left[\frac{\gamma+\operatorname{th}(R / 2)}{1+\gamma \operatorname{th}(R / 2)}\right]\left[\frac{i}{4} \operatorname{th}(R / 2)+\frac{1}{4 \gamma \rho}\right] .
\end{aligned}
\]

Поля Мантона связаны с $M_{1}$ и $N_{2}$ формулами
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{1}+i \varphi_{2}=2\left(M_{1}-N_{2}\right), \\
\eta_{2}+i \eta_{1}=2 \rho\left(M_{1}+N_{2}\right) .
\end{array}
\]

Используя тот факт, что
\[
\gamma(w)=\frac{1}{R}\{(w-z)-i \rho\},
\]

и формулу двойного угла для гиперболической функции, мы получим, что
\[
\Phi_{1}+i \varphi_{2}=-\frac{i}{2}\left[\frac{w-z+R \operatorname{th}(R / 2)-i \rho}{R+(w-z) \operatorname{th}(R / 2)-i \rho \operatorname{th}(R / 2)}\right]\left[\operatorname{cth} R-\frac{1}{R}\right] .
\]

Из последней формулы определяются $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$.
Вследствие специального вида уравнений Богомольного можно показать, что заряд $N$ выражается только через поля $\varphi_{i}$ в виде
\[
N=\frac{1}{8 \pi} \lim _{r \rightarrow \infty} \int_{|x|=r} d S \cdot
abla\left(\varphi_{1}^{2}+\varphi_{2}^{2}\right) .
\]

Из формулы (7.9.77) мы находим, что
\[
\varphi_{1}^{2}+\Phi_{2}^{2}=\left[\operatorname{cth} R-\frac{1}{R}\right]^{2},
\]

и на рис. 7.30 показана зависимость этой функции от $R$. Подстановка этой функции в (7.9.78) и несложные вычисления показывают, что мы имеем решение с $N=1$. Аналогично случаю уравнения СГ принцип нелинейной суперпозиции можно построить по уравнениям Риккати (7.9.68), (7.9.69) и использовать его для нахождения точных решений уравнения Эрнста. Указанный принцип суперпозиции и то обстоятельство, что однокинковое решение мы уже определили, позволяет найти точные $N$-кинковые решения. Эти функции выглядят исключительно сложно, но в принципе их найти не труднее, чем $N$-солитонные решения уравнения $С$.

Pис. 7.30 .
Эти кинк-решения известны как монополи, поскольку они аналогичны сингулярным решениям уравнений Максвелла, отвечающим изолированным магнитным зарядам.