Создание мощной вычистительной техники и измерительных приборов высокой точности изменило тип задач, которые ставят современная наука и техника. Например, современного инженера может не особенно интересовать температура как функция времени в некоторой точке тела, поскольку эту величину можно измерить с высокой точностью. Однако если имеется смесь материалов и теплопроводность смеси неизвестна, то у инженера нет способов измерить эту теплопроводность. Соответствующая задача состоит в следующем: можно ли по результатам измерений температурного профиля в теле определить теплопроводность (которая часто зависит от температуры) экстраполяцией назад? Задачи такого типа, приводящие к обратной экстраполяции, известны под названием обратных задач.

Типичным примером такой обратной задачи является анализ сейсмических данных. Он позволяет не только следить за активностью землетрясений в земной коре, но и является мощным инструментом в геофизических исследованиях детальной структуры земной мантии и ядра. Из анализа сейсмических волн, отраженных и преломленных слоями пород, через которые они проходят, может быть получена информация о плотности и других свойствах этих пород. Это пример обратной задачи рассеяния: зная приходящие и уходящие волны из известного источника, определить природу неизвестного рассеивателя волн.

Обратные задачи рассеяния обычно встречаются в ситуациях, когда невозможны непосредственные измерения. Типичный пример — исследование состояния стенок артерий с помощью ультразвука. Ослабленный участок стенки артерии, скажем аневризму, можно определить с помощью спектрального анализа ультразвуковых колебаний.

В медицине, химии, физике и технике часто требуется получить детальную информацию о строении макромолекул, скажем для молекул ДНК или для нового вида искусственного волокна. Наиболее распространен метод рентгеноструктурного анализа. По фотографии в рентгеновских лучах можно определить природу молекул, рассеивающих эти лучи. Теоретически эта обратная задача сводится к определению преобразования Фурье для полученного распределения плотности изображения в рентгеновских лучах.

Материалы, непроницаемые для рентгеновских лучей, можно исследовать с помощью пучков нейтронов или мезонов. Для того, чтобы обнаружить повреждения в таких недоступных областях, как внутренность ядерного реактора, инженеры могут использовать нейтронные пучки точно так же, как геологи используют рентгеновские лучи. Сканирующая техника, развитая для рентгеновских лучей, может быть просто приспособлена для определения поперечных сечений активной зоны реактора, и таким образом можно находить потенциально опасные трещины. Эта проблема тоже требует разрешения обратной задачи, и в этом случае задача сводится к обращению другого линейного преобразования, известного как преобразование Радона.

Внутренность атома, нуклона и других субъядерных частиц еще недоступнее, чем тепловыделяющий элемент атомного реактора. На исследуемые частицы-мишени направляются высокоэнергетические пучки других частиц, скажем электронов или протонов, и путем «эксперимента на разрушение» пытаются определить структуру мишеней. Такая процедура похожа на попытку определить форму предмета, направляя на него струю воды и фиксируя затем количество воды, разлетающейся от него под разными углами. В случае рассеяния в ядерной физике определяют число частиц из пучка, разлетающихся под разными углами относительно мишени, и их тип. По количеству этих частиц можно попытаться определить природу мишени. Это является сущностью обратной задачи рассеяния.

В этой книге будет показано, как при помощи некоторой математической обратной задачи можно точно решить многие уравнения, упомянутые в гл. 1. В настоящей главе мы начнем собирать воедино некоторые идеи, приведшие к созданию так называемой теории обратного преобразования рассеяния (ОПР). Их корни лежат в квантовой механике, откуда взялась большая часть описательного языка, связанного с этим методом, но затем эти названия проникли в различные разделы математики, такие, например, как спектральная теория. Строгое изложение метода начнется в гл. 3 и 4 и будет продолжено в более общем виде в гл. 6. Целью этой главы является подготовка к этой более абстрактной теории. Для этого мы введем обозначения и различные функции, возникающие в конкретных примерах.

Математическую формулировку начнем с обозначений, которыми будем пользоваться в этой и следующих главах. В дальнейшем мы часто будем иметь дело с функцией двух переменных $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^n$. Часто только одна из двух переменных будет играть существенную роль, а другая будет оставаться фиксированной. Для того. чтобы подчеркнуть главную переменную, другую будем добавлять в качестве индекса к символу функции — либо перед символом внизу, либо после символа наверху. Точнее, определим функцию ${}_{k}f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^n$ формулой
$${}_{k}f(x)=f(x,k),$$

и функцию $f^x(k):{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^n$ формулой
$$f^x(k)=f(x,k).$$

За исключением числовых индексов, мы оставляем место после символа функции внизу для обозначения частных производных. Например, мы будем обозначать ${\partial }^{2}f/\partial x^2$ и ${\partial }^{2}f/\partial k^2$ соответственно $f_{xx}$ и $f_{kk}$. Иногда мы можем переходить от одного обозначения к другому, если это будет удобно для лучшего выражения какоголибо утверждения. В тех случаях, когда надо будет рассмотреть функцию от трех переменных $Y:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^n$, тоже часто удобно определить функцию ${}_{k}Y:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$ таким образом: ${}_{k}Y(t,x)=$ $=Y(t,x,k)$.

В гл. 1 мы решали линейную задачу теплопроводности при помощи преобразования Фурье. Методы, которые будут развиты в этой книге, можно рассматривать как обобщение метода преобразования Фурье на некоторые классы специальных нелинейных уравнений. Поэтому сейчас стоит рассмотреть способ применения преобразования Фурье для решения линейной задачи Коши
$$(\frac{\partial }{\partial t}+c_0\frac{\partial }{\partial x})q(t,x)=0,q(0,x)=q^0(x),$$

имеющей точное решение
$$q^t(x)=q(t,x)=q^0(x-c_{0}t).$$

Если $q$-комплекснозначная абсолютно интегрируемая функция при всех $t⩾0$, т. е.
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|q(t,x)|dx<\mathrm{\infty }$$

то преобразование Фурье от функции $q^t$ определяется формулой
$$\left(\mathcal{F}{q}^t\right)(k)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-ikx}q(t,x)\frac{dx}{(2\pi {)}^{1/2}}=B^t(k).$$

Обозначим через $A(\mathbb{R})$ пространство непрерывно дифференцируемых и абсолютно интегрируемых функций на вещественной оси. Тогда
$$\mathcal{F}:A(\mathbb{R})\to A(\mathbb{R}).$$

Преобразование $\mathcal{F}$ обратимо на $A(\mathbb{R})$, и обратное к нему определяется так:
$$\begin{array}{rl}\left({\mathcal{F}}^{-1}{B}^t\right)(x)=& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{ikx}B(t,k)\frac{dk}{(2\pi {)}^{1/2}}=q^t(x),\\ & {\mathcal{F}}^{-1}:A(\mathbb{R})\to A(\mathbb{R}).\end{array}$$

Уравнение (2.1.3) определяет эволюцию во времени функции $q^t\in A(\mathbb{R})$, которая при $t=0$ совпадает с функцией $q^0$. Когда $t$ меняется, точка $q^t$ описывает кривую в функциональном пространстве $A(\mathbb{R})$.

Рис. 2.1. показывает, как этот график преобразуется под действием отображения $\mathcal{F}$. Преобразованный график тоже представляет собой кривую в пространстве $A(R)$, исходящую из начальной точки $B^0$. Преимущество, которое дает применение преобразования Фурье $\mathcal{F}$, состоит в том, что уравнение, описывающее кривую в преобразованном пространстве, много проще исходного и может быть точно решено. Из (2.1.3) найдем, что
$$[\frac{\partial }{\partial t}+ik{c}_0]B(t,k)=0,B(0,k)=B^0(k).$$

Это уравнение может быть проинтегрировано, что дает
$$B^t(k)=B(t,x)=B^0(k)e^{-ik{c}_{0}t}.$$

Если теперь применить обратное преобразование ${\mathcal{F}}^{-1}$, то получится
$$q^t(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{ik(x-c_{0}t)}{B}^0(k)\frac{dk}{(2\pi {)}^{1/2}}=q^0(x-c_{0}t).$$

Весь процесс проиллюстрирован на рис. 2.2 , на котором схематически изображен развиваемый нами метод. На этом рисунке $U^t$

и $V^t$ — эволюционные операторы для уравнений (2.1.3) и (2.1.10), определяемые следующим образом:
$$U^t:q^0\to q^t,V^t:B^0\to B^t$$

Для уравнения (2.1.3) существует и другой способ построения преобразования, подобного $\mathcal{F}$. Рассмотрим задачу на собственные значения
$$[\frac{d^2}{d{x}^2}+q(t,x)]Y(t,x,k)=-k^{2}Y(t,x,k).$$

Рис. 2.2.

Переменная $t$ играет в этом уравнении роль параметра. При изменении $t$ будут меняться как допустимые значения $k^2$ (спектр оператора), так и собственные функции ${}_{k}Y$. Если эволюция $q^t$ определена конкретным уравнением, скажем (2.1.3), то зависимость ${}_{k}Y$ от $t$ тоже будет строго определена. Предположим, что эволюция ${}_{k}Y$ подчинена уравнению
$$[\frac{\partial }{\partial t}+c_0\frac{\partial }{\partial x}]Y(t,x,k)=\alpha (k)Y(t,x,k).$$

Уравнения (2.1.14) и (2.1.15) совместны в том смысле, что
$$\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial t}Y(t,x,k)=\frac{{\partial }^2}{\partial t\partial x}Y(t,x,k)\text{, }$$

если
$$[\frac{\partial }{\partial t}+c_0\frac{\partial }{\partial x}]q(t,x)=0$$

и поэтому
$$\frac{\partial }{\partial t}\left(k^2\right)=0.$$

Следовательно, эволюционное уравнение (2.1.3) заменяется уравнениями (2.1.15) и (2.1.18). На этом шаге может показаться,

что мы только усложнили положение, поскольку (2.1.15) сложнее, чем (2.1.3), которое соответствует $\alpha =0$. Однако мы можем двигаться дальше, рассматривая функцию ${}_{k}Y$, в то время как для функции $q^t$ это было невозможно. Предположим, что функция $q^t$ удовлетворяет граничным условиям
$$q^t(x)\to 0\text{ для }|x|\to \mathrm{\infty }.$$

Тогда асимптотически уравнение (2.1.14) приобретает вид
$$[\frac{d^2}{d{x}^2}+k^2]Y(t,x,k)=0.$$

Уравнение (2.1.20) имеет общее решение
$$Y(t,x,k)=(A{e}^{-ikx}+B{e}^{+ikx}),$$

где $A$ и $B$ могут быть функциями от $t$ и $k$. Можно показать, что если асимптотика решения при $x\to -\mathrm{\infty }$ выбрана, то тем самым фиксируется единственная асимптотика решения при $x\to +\mathrm{\infty }$. Выберем решение уравнения (2.1.14), имеющее асимптотическую форму
$$\phi (t,x,k)\sim \{\begin{array}{ll}{e}^{-ikx},& x\to -\mathrm{\infty },\\ b^t(k)e^{ikx}+a^t(k)e^{-ikx},& x\to +\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Тогда если перейти к пределу $x\to -\mathrm{\infty }$ и использовать асимптотическую форму (2.1.22) в (2.1.15), получим
$$\alpha (k)=-ik{c}_0.$$

Если мы возьмем другой предел $x\to \mathrm{\infty }$ вместе с уравнением (2.1.23), то получим, что эволюция асимптотических коэффициентов $b^t$ и $a^t$ такова:
$$\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial t}b(t,k)=-2ik{c}_{0}b(t,k),\\ \frac{\partial }{\partial t}a(t,k)=0.\end{array}$$

Очевидно, что уравнение (2.1.24) аналогично уравнению (2.1.10). Решая уравнение (2.1.24), найдем, что
$$\phi (t,x,k)\sim \{\begin{array}{ll}{e}^{-ikx},& x\to -\mathrm{\infty },\\ b^0{e}^{ik(x-2c_{0}t)}+a^0{e}^{-ikx},& x\to +\mathrm{\infty },\end{array}$$

где асимптотическое решение уравнения (2.1.14), соответствующее $q^0(x)$, имеет вид
$$\phi (0,x,k)\sim \{\begin{array}{ll}{e}^{-ikx},& x\to -\mathrm{\infty },\\ b^0{e}^{ikx}+a^0{e}^{-ikx},& x\to +\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Следовательно, асимптотическая форма, соответствующая $q^0(x-$ — $c_{0}t$ ), дается формулой
$$\phi (t,x,k)\sim \{\begin{array}{ll}{e}^{-ik(x-c_{0}t)},& x\to -\mathrm{\infty },\\ b^0{e}^{ik(x-c_{0}t)}+a^0{e}^{-ik(x-c_{0}t)},& x\to +\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Можно нормировать асимптотический коэффициент $e^{ik{c}_0}$ при $x\to -\mathrm{\infty }$, приравняв его единице, поскольку уравнение (2.1.14) линейно. Далее, если установить взаимно однозначное соответствие ${\mathcal{T}}^{-}$между $q^t$ и асимптотическими условиями ( $b^t,a^t$ ), можно получить
$$q(t,x)=q^0(x-c_{0}t),$$

в соответствии с (2.1.12).
Далее, можно показать, что если определено отображение ${\mathcal{T}}^{-1}$, то уравнение (2.1.5) может быть решено по схеме, представленной на рис. 2.3. Здесь
$$W^t:(b^0,a^0)\to (b^t,a^t)$$

есть оператор эволюции во времени для уравнений (2.1.24) и (2.1.25).

В последующих разделах мы определим асимптотические условия $(b^t,a^t)$ для некоторых конкретных функций $q(t,x)$. Это поможет нам решить, является ли отображение $\mathcal{T}$ обратимым. Для того, чтобы отображение $\mathcal{T}$ было обратимо, необходимо, чтобы асимптотические данные были единственным образом связаны с функцией $q(t,x)$. Окажется, что требуется больше информации, чем содержится в паре чисел ( $b^t,a^t$ ), и что, кроме того, требуются довольно сильные ограничения на $q(t,x)$.

Уравнение (2.1.14) встречается в физических моделях, и возможность обращения преобразования $\mathcal{T}$ представляет самостоятельный интерес. Рассмотрим колебания одномерной упругой среды с переменной плотностью $\rho (y)$. Соответствующее уравнение представляет собой ньютоновское уравнение движения для скорости $v(y,t)$,
$$\rho (y)\frac{\partial }{\partial t}v(y,t)=\frac{\partial S}{\partial y}(y,t),$$

где напряжение $S(y,t)$ выражается через поле смещений $u(y,t)$ формулой
$$S(y,t)=x(y)\left[\frac{\partial u}{\partial y}\right](y,t).$$

Модуль упругости $x(y)$ предполагается зависящим от $y$, а $v(y,t)$ и выражается через $u(y,t)$ следующим образом:
$$v(y,t)=\frac{\partial u}{\partial t}(y,t).$$

Определим преобразование Фурье по переменной $t$ от функции $f(x,t)$ формулой
$$f(y,k)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-ikt}f(y,t)\frac{dt}{(2\pi {)}^{1/2}}.$$

Тогда уравнения (2.1.31)-(2.1.33) могут быть сведены к уравнениям
$$\begin{array}{l}iw\rho (y)\tilde{v}(y,k)=\frac{\partial \tilde{S}}{\partial y}(y,k),\\ ik\tilde{S}(y,k)=x(y)\frac{\partial \tilde{v}}{\partial y}(y,k).\end{array}$$

Рис. 2.3.
Если исключить из этих уравнений функцию $\tilde{v}(x,w)$, то получится уравнение Штурма — Лиувилля
$$\frac{\partial }{\partial y}[\frac{1}{\rho (y)}\frac{\partial S}{\partial y}(y,k)]+\frac{k^2}{\chi (y)}\tilde{S}(y,k)=0.$$

Вводя новую независимую переменную
$$x={\int }^{\theta }{\left[\frac{\rho (u)}{k(u)}\right]}^{1/2}du$$

и новую зависимую переменную $Y(y,k)$,
$$Y(y,k)=\tilde{S}(y,k)(x(y)\rho (y){)}^{-1/2},$$

мы сможем преобразовать уравнение (2.1.35). к канонической форме:
$$[\frac{d^2}{d{x}^2}+k^2+Q(y)]Y(x,k)=0,$$

где
$$Q(x)=-\frac{1}{\phi }\frac{{\partial }^2\phi }{d{x}^2}\text{ и }\phi (x)=(x(y)\rho (y){)}^{-1/4}.$$

Таким образом мы вернулись к уравнению вида (2.1.14).
Нам понадобится одна важная идея, которая состоит во введении понятий прямой и обратной задач. В примере, разобранном
выше, прямая задача — вычислить скорость и поле смещений $v(y,t)$ и $u(y,t)$ по заданным плотности $\rho (y)$ и модулю упругости $x(y)$. Точно так же, как в упомянутой выше задаче теплопроводности, эта задача не имеет практического значения. Можно сделать очень точные измерения скорости и поля смещений, но модуль упругости может быть неизвестен. Действительно, модуль может зависеть от поля смещений. Поэтому гораздо более реалистичная задача — определение модуля упругости $x(y)$ по данным измерений поля смещений. Это пример обратной задачи, соответствующей прямой задаче определения $u(y,t)$ и $v(y,t)$ по данным $\rho (y)$ и $x(y)$. Для того, чтобы решить обратную задачу определения $x(y)$ по данной функции $\rho (y)$, мы должны будем определить функцию $Q(x)$, решая обратную задачу для уравнения (2.1.35), и затем решить (2.1.41) и найти $x(y)$.

Уравнение (2.1.40) чаще всего встречается в квантовой механике, где оно известно как уравнение Шрёдингера, а функция $Q(x)$ называется потенциальной функцией. В разд. 2.3 мы увидим, как уравнение (2.1.40) возникает в квантовой механике. Для того, чтобы понять методы, которые мы станем развивать, вовсе не обязательно знать что-либо о квантовой механике. Однако она является источником многих идей, используемых в дальнейшем, и поэтому исходная терминология во многом сохранилась.

Прежде чем перейти к дальнейшему изучению, мы хотели бы ввести эту терминологию путем рассмотрения классической задачи, которая служит для иллюстрации понятий прямой и обратной задачи.