По поводу экспериментальных и численных исследований см. статьи Юэна и Лейка [1975] и Лейка и др. [19771. Статья Юэна и Лейка [1975] содержит также изящный вывод НЛШ-уравнения в гидродинамике, использующий метод Уизема медленно меняющегося лагранжиана.
(c) Функция $B\left(X_{1}, T_{1}\right)$, которая появляется как постоянная интегрирования в (8.2.15), иногда не определена в порядке $O\left(\varepsilon^{3}\right)$. Для некоторых уравнений секулярные члены, зависящие лишь от медленных переменных, не могут появиться, так что в порядке $O\left(\varepsilon^{3}\right)$ в окончательном амплитудном уравнении сохраняются члены, содержащие $A B$. В этом случае $B$ выражается через $|A|^{2}$ в порядке $O\left(\varepsilon^{4}\right)$, и при проведении любых вычислений такого рода следует включать в рассмотрение приближения по крайней мере до порядка $O\left(\varepsilon^{4}\right)$. Будет ли $B$ уничтожаться операторами быстрых переменных или будет выражаться через $A$ в порндках $O\left(\varepsilon^{3}\right)$ или $O\left(\varepsilon^{4}\right)$, это зависит от рассматриваемой задачи, и в каждом конкретном случае это надо выяснять отдельно.
Раздел 8.3
Очень интересно рассмотреть полное уравнение (8.3.19). Эта задача была ноставлена Захаровым и Сынахом [1976|. Если мы запишем (8.3.19) в осесимметричном виде
\[
2 i \frac{\partial \mathscr{E}}{\partial z}+\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial \mathscr{E}}{\partial r}\right)+\beta \mathscr{E}|\mathscr{E}|^{2}=0,
\]

то можно построить два интеграла движения:
\[
I_{1}=\int_{0}^{\infty} r|\mathscr{E}|^{2} d r, \quad I_{2}=\int_{0}^{\infty}\left[\left|\mathscr{E}_{r}\right|^{2}-1 / 2 \beta|\mathscr{E}|^{4}\right] r d r .
\]

Это проверяется прямым вычислением. Можно также показать, что
\[
I_{2}=\beta \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} \int_{0}^{\infty}|\mathcal{E}|^{2} r^{3} d r,
\]

и непосредственное интегрирование этого соотношения дает формулу
\[
\int_{0}^{\infty}|\mathscr{E}|^{2} r^{3} d r=\frac{1}{2} \beta^{-1} I_{2} z^{2}+c_{1} z+c_{z} .
\]

Далее, если $\beta>0$, то весьма большой класс начальных условий на $\mathscr{8}$ дает $I_{2}<0$. Нужна только огибающая, которая имеет достаточно пологий наклон по сравнению с ее амплитудой, так чтобы подынтегральное выражение в $I_{2}$ было отрицательно. Поскольку $\boldsymbol{\beta}>0$, правая часть равенства (8.7.8) переходит от положительных к отрицательным значениям и, значит, обращается в пуль в некоторой точке $z=z_{0}$, в то время как левая часть (8.7.8) представляет собой интеграл со строго положительной подынтегральной функцией. Такое противоречие указывает на наличие сингулярности у амплитудной функции $\mathscr{E}$ шри некотором конечном значении 2 , и решение перестает существовать. Здесь имеется аналогия с классической механикой. Интеграл в (8.7.8) может быть уподоблен моменту инерции системы, которая сама собой коллапсирует при некотором конечном значении 2 . Беркшир и Гиббон [1982] исследовали глубже эту проблему и показали, что аналогия с классической механикой не случайна. Решение перестает существовать, когда происходит «взрыв», что эквивалентно коллапсу. Позтому непосредственно применимы результаты Сандмана іо коллапсу в задаче $N$ тел (см. Зигель и Мозер [1971]), и, применяя его методы, можіо исследовать природу сингулярности. Захаров и Сынах [1976], а затем Копно и Судзуки [1979] подтвердили этот результат численным интегрированием, вычисляя интегралы (8.7.6) с гауссовым начальным профилем при $z=0$. Амплитуда достигала значений, в 2000 раз больших начального. Разумеется, такой огромный рост делает бессмысленной аппроксимацию, которая использовалась при выводе НЈШШуравнения в разд. 8.3, но такое поведение тем не менее указывает на эгот вид «самофокусировки» эиергии как на важный механизм в оптике. По этой тематике существует обширная литература, и мы отсылаем читателя к работам Дзяо и др. [1964 ], Қелли [1965], Аскаряна [1974], Лугового и Прохорова [1974] и в особенности к статье Захарова и Сынаха и содержащейся в ней библиографии [1976]. Экспериментально показано, что, когда нелинейность кубическая, полевая амилитуда фокусируется в некоторой особой точке; этим подтверждается до некоторой степени утверждение о сингулярном поведении двумерного НЛШ-уравнения. Фокусировка и филамештация энергии играют важную роль в экспериментальной лазерной физике, поскольку позволяют получить значительную информацию о среде, в которой фокусировка имеет место.

Примечательный факт появления самофокусирующихся сингулярностей имеет значение не только в нелинейной оптике, потому что, как мы видели, процедура получения НЛШ-уравнения – весьма общая и приложима очень широкому классу систем. Рассмотрим, например, нашу задачу из разд. 8.2 с двумя пространственными переменными:
\[
\varphi_{x x}+\varphi_{y y}-\varphi_{t t}=\alpha \varphi-\beta \varphi^{3} \quad(\alpha>0),
\]

которая может также описывать малые амплитудные возмущения двумерного уравнения $С Г$. Вводя в рассмотрение медленные переменные $X=\varepsilon x, Y=\varepsilon y, T_{1}=\varepsilon t, T_{2}=\varepsilon^{2} t$ н поступая, как обычно, мы находим соотношения, справедливые в порядке $O(\varepsilon)$ :
\[
\begin{array}{c}
\varphi^{(1)}=A\left(X, Y, T_{1}, T_{2}\right) \exp (i \theta)+\text { c. c. } \\
\theta=k x+l y-\omega t+\delta, \\
\omega^{2}=k^{2}+l^{2}+\alpha \quad(\alpha>0) .
\end{array}
\]

В порядке $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ надо, как обычно, удалить секулярные члены, и это дает
\[
\frac{\partial A}{\partial T_{1}}+\left(\frac{\partial \omega}{\partial k}\right) \frac{\partial A}{\partial X}+\left(\frac{\partial \omega}{\partial t}\right) \frac{\partial A}{\partial Y}=0,
\]

а в порядке $O\left(e^{3}\right)$ окончательное амплитудное уравнение для $A$ принимает вид
\[
2 i \omega \frac{\partial A}{\partial T_{2}}+\beta A^{2} A^{*}+\left(\frac{d^{2}}{\partial X^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial Y^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial T_{1}^{2}}\right) A=0 .
\]

Мы можем, конечно, исключить из (8.7.13) производную по $T_{1}$, что приводит к уравнению
\[
\begin{array}{l}
{\left[1-\left(\frac{\partial \omega}{\partial k}\right)^{2}\right] \frac{\partial^{2} A}{\partial X^{2}}+\left[1-\left(\frac{\partial \omega}{\partial t}\right)^{2}\right] \frac{\partial^{2} A}{\partial Y^{2}}-} \\
-2\left(\frac{\partial \omega}{\partial k}\right)\left(\frac{\partial \omega}{\partial t}\right) \frac{\partial^{2} A}{\partial X \partial Y}+\beta A^{2} A^{*}+2 i \omega \frac{\partial A}{\partial T_{2}}=0 .
\end{array}
\]

Оператор второго порядка, действующий на $A$, можно прнвести к более простому виду, выполнив следующее преобразование координат:
\[
\xi=X, \quad \eta=\omega a^{-1 / 2}\left\{\left[1-\left(\frac{d \omega}{d k}\right)^{2}\right] Y+\left(\frac{d \omega}{d k}\right)\left(\frac{d \omega}{d l}\right) X\right\} .
\]

Окончательно получим
\[
2 i \omega \frac{\partial A}{\partial T_{2}}+\beta A^{2} A^{*}+\left[1-\left(\frac{d \omega}{d k}\right)^{2}\right] \cdot\left[\frac{\partial^{2} A}{\partial \zeta^{2}}+\frac{\partial^{2} A}{\partial \eta^{2}}\right]=0 .
\]

Поскольку
\[
\frac{d \omega}{d k}=k \omega, \quad \frac{d \omega}{d l}=l / \omega,
\]

то
\[
1-\left(\frac{d \omega}{d k}\right)^{2}=\left(a+l^{2}\right) \omega^{-2}>0 .
\]

Следовательно, в (8.7.16) мы имеем ту же ситуацию, что и в (8.7.6), и в некоторый конечный момент времени $T_{2}$ (медленное время) произойдет «взрыв». Тот факт, что двумерное НЛШ-уравнение допускает взрыв за конечное время, попросту указывает на то, что $A \gg \varepsilon^{-1}$, и, как следствие, процедура теории возмущений оказывается непригодной. Поэтому в отличие от одномерного случая амплитуда осцилляций будет расти, и здесь следует принять во внимание уже полностью нелинейные решения системы.

Двумерные НЛШ-уравнения возникают и в других областях. Они появляются как амплитудные уравнения в докритической области для двухслойной неустойчивости Қельвина-Гельмгольца (без вязкости), и при некоторых обстоятельствах может возникнуть фокусировка (Гиббон и Магиннес [1980]). Это показывает, что система может быть линейно устойчивой и в то же время нелинейно неустойчивой. По поводу общего обсуждения нелинейной самофокусировки см. Ньюэлл [1978; 1979$].$

Весьма интересный эксперимент был описан Молленауэром и др. [1980], которые послали по 700-метровому одномодовому силикатному стекловолокну семипикосекундный импульс с длиной волны 1,55 мкм. Они подобрали волокно и частоту света так, чтобы $\gamma>0$ и $\partial^{2} \omega / \partial k^{2}>0$ для уравнения (8.2.16), при этом НЛШ уравнение является подходящим уравнением для описания распространения опчческого импульса вдоль волокна, Очень близко к тому, как было выведено НЛШШуравнение (8.1.5), Хасегава [1975] и Хасегава и Тапперт [1973] доказали, что показатель преломления, квадратично зависящий от огибающей электрического поля, приведет к НЛШ-уравнению для эволюции этой огибающей. Так будет при условии, что имеет место продольная дисперсия, т. е. $d^{2} \omega / d k^{2}
eq 0$. Эксперимент Молленауэра и др. [1980] прекрасно это подтвердил. Устойчивость солитонов на длине порядка 700 метров показывает, насколько нечувствительны они к возмущениям.
Раздел 8.4
Выводу НЛШ-уравнения в физике плазмы для различных ситуаций посвящена обширная литература. В примечания к разд. 1 мы уже привели большой перечень работ. Дальнейцие ссылки можно пайти в статьях Итикавы [1979], Вейланда, Итикавы и Вильхельмсона [1979] и Вейланда и Вильхельмсона [1977], гз которых излагаются методы, связанные с рассмотрением НЛШI-уравнений с цозиций теории возмущений и охватывающие такие физические эффекты, как затухание Јандау (см. также Карıмаи и Маслов [1978| и Маклохлин [1977]).
Раздел 8.6
(a) Что касается уравнений (8.6.12) и (8.6.15), то здесь проще отмасштабировать постоянные. Если $\widetilde{\beta}$ и $\tilde{\gamma}$ положительны, то это можно сделать так, чтобы получить уравнения
\[
\begin{array}{l}
i \frac{\partial S}{\partial t}+\frac{\partial^{2} S}{\partial x^{2}}=L S, \\
\frac{\partial L}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial x}\left(\mid S^{2}\right),
\end{array}
\]

где $\xi=x \tilde{\beta}^{1 / 2}, \tau=t, \tilde{\gamma} n=L$ и $S=\left(\Delta \gamma \beta^{-1 / 2}\right)^{1 / 2} A$.
Ма [1978] и Ядзима и Оикава [1976] показали, что уравнения (8.7.17) и (8.7.18) интегрируемы методом обратной задачи рассеяния. Для простоты совершим преобразования
\[
\begin{array}{l}
S=\sqrt{2} A(-x ;-t / 2), \\
L=B(-x ;-t / 2),
\end{array}
\]

которые приводят (8.7.17) и (8.7.18) к виду
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} i \frac{\partial A}{\partial t} & =\frac{\partial^{2} A}{\partial x^{2}}+A B, \\
\frac{\partial B}{\partial t} & =-4 \frac{\partial}{\partial x}(|A|)^{2} .
\end{aligned}
\]

Пара Лакса $\widehat{L}$ и $\widehat{P}$ для задачи на собственные значения
\[
\tilde{L} \tilde{\psi}=i \hat{\imath} \tilde{\psi} .
\]

с собственными функциями, зависящими от времени согласно уравнению
\[
\tilde{\psi}_{i}=\widehat{P} \tilde{\psi}
\]

задается матрицами
\[
\widehat{L}=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{1}{3} \frac{\partial}{\partial x} & -\frac{1}{3} A-i \frac{B}{3} \\
0 & \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x} & -\frac{1}{2} A^{*} \\
i & 0 & \partial / \partial x
\end{array}\right)
\]

и
\[
\widehat{P}=\left(\begin{array}{ccc}
i \lambda^{2} & 2(\lambda A-i A) & 2 i|A|^{2} \\
-2 A^{*} & i \lambda^{2} & 2\left(i A^{*}-\lambda A^{*}\right) \\
0 & -2 A & i \lambda^{2}
\end{array}\right) .
\]

Условием интегрируемости для постоянных собственных आачений олератора $\widehat{L}$ служит условие Лакса $\hat{L}_{t}=[\hat{P}, \widehat{L}$. Это дает уравнения (8.7.20). Различные солитонные решения привсдены в статьях Ядзимы и Оикавы [1976] и Ма [1978]. Односолитонное решение дается формулами
\[
\begin{array}{l}
B=-2 b^{2} \operatorname{sech}^{2} \theta, \\
A=i b \sqrt{2 A} \exp (\eta) \operatorname{sech} \theta,
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\theta=b x+4 a b t+8, \\
\eta=2 a x+2 i\left(a^{2}-b^{2}\right) t .
\end{array}
\]

Поскольку система (8.7.21) представляет собой задачу на собственные значения третьего порядка, получить решение довольно трудно, как и в случае трехволновых резонансных взанмодействий; подробности читатель может найти в указанных выше работах. Ньюэлл [1978] показал, что некоторый класс уравнений, представляющих собой модификацию уравнений (8.7.17), (8.7.18), также может быть проннтегрирован методом обратной задачи рассеяния.
(c) Уравнения Захарова (Захаров [1972]) нашли приложение в физике плазмы как модельные уравнения, описывающие взаимодействие между ионным звуком (плотности $N$ ) и ленгмюровскими волнами (с амплитудой огибающей $E$ ), которое не было принято во внимание в разд. 8.4. В вычислениях этого раздела ионы играли просто роль статичного заряженного фона. Уравнения Захарова имеют вид
\[
\begin{array}{c}

abla^{2} E+i E_{t}=E N, \\
N_{t t}-c_{p}^{2}
abla^{2} N=
abla^{2}\left(|E|^{2}\right) ;
\end{array}
\]

второе уравнение представляет собой волновое уравнение, «сдвинутое» электрическим полем. В статическом пределе для ионов $N \sim|E|^{2}$ и уравнение (8.7.27) становится НЛШ-уравнением. В примечаниях к разд. 8.3 мы показали, что в случае отрицательной энергии возможен коллапс ( $E \rightarrow \infty$ за конечное время), что было интерпретировано как возможный механизм объяснения ленгмюровской турбулентности (Захаров [1972]), Николсон и Голдман [1978 J).

Давыдовские уравнения цепочки (8.6.26), (8.6.27) имеют тот же самый вид, что и уравнения Захарова. Сами по себе, в случае
одного измерения, они не образуют вполне интегрируемой системы. В пределе длинно-коротковолнового резонанса или в НУШ-пределе они уже дают такую систему. В разд. 8.6 мы привели соображения, позволяющие хотя бы в общих чертах понять, как с помощью выбора одного специального масштаба может быть получена интегрируемая система (8.6.12)-(8.6.15). Эги рассуждения допускают обобщение, и необходимое изменение масштаба зависит от постоянной взаимодействия в правой части (8.6.13). В случае уравнений Давыдова она равна $\gamma D R M^{-1}$. Возьмем любую постоянную взаимодействия $G$, записанную в виде $G=\boldsymbol{\varepsilon}^{8} \bar{G}$, и разложим $\varphi(\equiv a$ в (8.6.26)) в ряд
\[
\varphi=e^{\boldsymbol{c}_{\varphi}(1)}+\varepsilon^{q+1} \varphi^{(2)}+\cdots,
\]

служащий обобщением ряда (8.6.7). Число $q$ определяется через g. Уравнения (8.6.13) (или в давыдовском случае (8.6.27)) принимают тогда вид
\[
\begin{array}{c}
{\left[\varepsilon^{2}\left(c_{g}^{2}-c_{p}^{2}\right) \frac{\partial^{2}}{\partial \xi^{2}}+2 \varepsilon^{2} c_{\mathfrak{g}} \frac{\partial^{2}}{\partial \tau \partial \xi}+\varepsilon^{4} \frac{\partial^{2}}{\partial \tau^{2}}\right]\left(\varepsilon^{2} n\right)=} \\
=\varepsilon^{2+g+2 q} \bar{G} \frac{\partial^{2}}{\partial \xi^{2}}\left[\left(|A|^{2}\right)+\cdots\right] .
\end{array}
\]

Сразу выделяются два случая: (i) $c_{g}
eq c_{p}$, (ii) $c_{g}=c_{p}$.
(i) $c_{g}
eq c_{p}$. В этом случае положим $q=(2-g) / 2$ и найдем, что $n \sim|A|^{2}$ дает НЛШ-предел в качестве окончательного уравнения для $A$.
(ii) $c_{g}=c_{p}$. Выбираем $q=(3-g) / 2$ и получаем
\[
n_{\tau}=-\bar{G}\left(|A|^{2}\right)_{\xi} / 2 c_{\boldsymbol{g}},
\]
т. е. длинно-коротковолновый предел.

Очевидно, что значение $k$, для которого $c_{g}=c_{p}$, дает специальный резонанс; в плазменной физике оно известно как $k^{*}$. предел. Для других значений $k$, для которых $c_{g}
eq c_{p}$, акустическая ветвь «копирует» оптическую. Это тот безынерционный случай, который олисан в разд. 8.6. Однако при $c_{g}=c_{p}$ акустическая ветвь обладает некоторой свободой. В масштабах, используемых в разд. 8.6, когда $q=1$, для того чтобы получить $c_{g}=$ $=c_{p}$, надо иметь $g=1$. В этом случае акустическая ветвь не привязана столь строго к оптической, чтобы исключить любую акустическую инерцию. Используя более общую формулу $q=$ $=(3-g) / 2$, можно обобщить разложение для $\varphi$ в предельном случае $c_{g}=c_{p}$.