Кристалл магнетика может рассматрнваться как рещетка из матнитных диполей. В парамагнитном материале магнитные ионы, образующие решетку прежде, чем крюсталл обнаружит магиитный момент, должны быть выравнены виешним магнитным полем. Для случая фсрромагитных материалов нет необходимости прилагать такое магнитное поле. Ферромагнитныс кристаллы обладают магнитным диногьным моментом даже в отсутствие внешнего поля. Взанмодействия между магнитныжи ионами в ферромагнитном случае достаточио для того, чтобы индуцировать дальнодействуюцую упорядоченность элементарны диполей, которая пеобхходима для воспронзведения макроскопитеского эффекта.

Ферромагнетик не всегда, однако, может обладать магнитным моментом и иожет нуждаться для этого в «нэанничнанин» приложенным полем. Для этого достаточпо даже ноля с очень низкой интенсивностью. Даже в том случае, когда внеинее магнитное поле удалено, постоянный магитий момент сохраняетея. Это результирующее намагничивание может быть разрупено механическим сотрясеннем или нагрсванием.

При высоких температурах ферроиагннтые вещества ведут себя как парамагнетики, которые спонтанюо разввают постоянный магнитный момент при критической темиературе, известной как темшература Кюри $T_{\mathrm{c}}$. Ниже температуры Кюри взанмное выстраивание происходит в большой обтасти, в которой все диполи параллельны друг другу. Такле области известны как ферромаенитные доменые. Вектор намагниченности меняется от одного домена к другому. Образуется цесколько доменов (больше одного), поскольку это позволяет иагитной энергии кристалла существснно уменьшаться.

Границы, разделяюцие эти области, известны как стенки Блоха. Мы увидим, что для некоторых конфигураций возможно движение этих гранит, которое описызастся уравнением $С Г$. Стенки Блоха представляют собой поверхности внутри ферромагнитной системы, на которых вектор намагниценности не может быть определен. Они являются сингулярными поверхностями, аналогичными линиям дефекта.

В континуальной модели мы рассмотрим решетку, пространственно распределенную в соответствии с некоторой функцией плотности. Вместо $\mathbf{m}_{i}$ – магџитного момента диполя с местоположением $i$ в решетке – мы будем иметь дело с полем магнитного момента $\mathbf{m}(\mathbf{x})$, где $m(\mathbf{x})$ – плотность магнитного момента в точке с координатой $\mathbf{x}$. Функция $\mathbf{m}(\mathbf{x})$ представляет собой типичный параметр порядка. Вектор магнитного момента имеет постоянную длнну
\[
m_{x}^{2}+m_{y}^{2}+m_{z}^{2}=M^{2}
\]

для всех $x$, и, значит, пространство параметров порядка для этой системы совпадает с $S^{2}$.

Если бы каждый из магнитных моментов в кристалле был свободен и независим от других магнитных моментов, то его изменение во времени определялось бы только вшешиим магнитным полем. В интуитивной теории Ландау – Лифшица таких магнитных материалов влияние взаимодействия между различными диполями характеризуется «эффективыым магнитным полемn.

Обозначим ллотность магнитной энергии в отсутствие внешнего поля через $W$. В случае, когда внешнее поле имеется, оно задается выражением
\[
\bar{W}=W-\mathbf{H} \cdot \mathbf{m},
\]

где $\mathbf{H}$ есть интенсивность магнитного поля внутри кристалла. Распредіеление моментов внутри кристалла определяется требованием, чтобы суммарная энергия $\bar{E}$, определенная формулой
\[
\bar{E}=\int d^{3} \mathbf{x} \bar{W}
\]

была минимальной. Сохраняя $\mathbf{H}$ фиксированным и меняя $\mathrm{m}$, получим
\[
\bar{\delta} E=\int d^{3} \mathbf{x}\left\{\frac{\delta W}{\delta \mathrm{m}}-\mathbf{H}\right\} \cdot \delta \mathbf{m}=0 .
\]

Это уравнение показывает, что вектор ( $\delta W / \delta \mathrm{m}-\mathbf{H}$ ) всегда параллелен $\mathbf{m}$. Это следует из того, что $8 \mathbf{m} \cdot \mathbf{m}=0$, поскольку $\mathbf{m}-$ вектор постоянной длины. Магнитные диполи выстранваются под действием поля ( $\mathbf{H}-\delta W / \delta \mathrm{m}$ ), и это обстоятельство позволило Ландау и Лифшицу интерпретировать величику (H – $\mathbf{H} / \delta \mathbf{m}$ ) как «эффективное магнитное поле», обозначаемое через $\mathbf{H}_{\text {еff }}$ :
\[
\mathbf{H}_{\mathrm{eff}}=\mathbf{H}-\left[\frac{\delta \mathrm{W}}{\delta \mathrm{m}}\right] .
\]

Если вращающий момент $\mathbf{\Gamma}$ элементарного магнитного момента пропорционален $\mathbf{H}_{\text {егі }}$,
\[
\Gamma=\gamma \mathbf{H}_{\text {eff }},
\]

то мы получаем уравнение двнжения
\[
\mathbf{m}_{, t}=-\gamma \mathbf{H}_{\text {eff }} \wedge \mathbf{m} .
\]

Макросколическое поле н определяется уравнениями Максвелла магнитостатики внутри кристалла. Эти уравнения принимают вид
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{rot} \mathbf{H}=0, \\
\operatorname{div}(\mathbf{H}+4 \pi \mathrm{m})=0,
\end{array}
\]

и к ним нужно присоелинить траничные условия. На границе между двумя различными срсдами I и 2 должны выполняться условия
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{H}_{\mathbf{l t}}=\mathbf{H}_{2 t}, \\
(\mathbf{H}+4 \pi \mathrm{m})_{1 \mathrm{n}}=(\mathbf{H}+4 \pi \mathbf{m})_{2 n},
\end{array}
\]

где нижние индексы $t$ и $n$ означают тангенцальную и нормальную компоненты вектора у граннцы.

Часто экспериментально обнаруживается, что ферромагнитные кристаллы легче намагничиваются вдоль одной осп, нежели другой. Такие оси назынаются лежими осями. Если мы ограпичнмся ситуацией, когда намагниченшыс слои располагаются перпендикулярно легкой оси, которую мы выберем в качестве $z$-оси, то мы можем пытаться искать решения, которые зависят только от горизоитальной $x$-координаты в слое. Аналогия между этим случаем и случаем краевой дислокации, рассмотренным в разд. 7.9, ясно прослежнвается.

Для этого одномсрного случая уравнения Максвелла (7.7.8) сводятся к следующей системе:
\[
H_{y, x}=0, \quad H_{z, x}=0, \quad\left(H_{x}+4 \pi m_{x}\right)_{x}=0 .
\]

Если внешнее поле отсутствует, то решение этих уравпений, подчипенное граничным условиям (7.7.9) на поверхности кристалла, которая предполагается горизонтальной, имеет вид
\[
H_{x}=-4 \pi m_{x}, \quad H_{y}=0, \quad H_{z}=0 .
\]

Это решение может быть переписано в виде
\[
\mathbf{H}=-\frac{\delta}{\delta \mathrm{m}}\left(2 \pi m_{\hat{x}}^{2}\right)
\]

Используя этот результат, уравнения движения можно записать в виде
\[
\mathbf{m}_{, t}=-\gamma \frac{\delta \bar{W}}{\delta \mathbf{m}} \wedge \mathbf{m}
\]

где
\[
\bar{W}=W+-2 \pi m_{x}^{2}
\]

есть суммариая магнитная энсргия. Мы будем пазывать уравнсние (7.7.13) уравпением Jaндаy – Iuфиuца.

Рассмотрим ферромагнитный крнсталл с легкой осью. В теории Ландау – Лифшица суммарная плотность магнитной эшергии таких кристаллов $W$ предполагается состоящей из двух вкладов, $W_{\mathrm{I}}$ и $W_{\mathrm{A}}$ :
\[
W=W_{\mathrm{I}}+W_{A} .
\]

Вклад $W_{\text {I }}$ вызван неоднородным расырецелепием магнитных моментов витри кристалла. Энергия на единицу объема, получакцаяся из-за этой неоднородности, моделируется выражением
\[
W_{\mathrm{I}}=A\left[\left(
abla m_{x}\right)^{2}+\left(
abla m_{y}\right)^{2}+\left(
abla m_{z}\right)^{2}\right] .
\]

В одномерном случае это выражение превращается в
\[
\tilde{W}_{\mathrm{I}}=A\left(\mathbf{m}_{x}\right)^{2} .
\]

Вклад $W_{\text {А }}$ вызван существовачием легкой оси. Если мы выберем систему координаг так, чтобы ось $z$ была налравлена влоль легкой оси, то эта энергия магнипной анизотролии на единицу объема моделируется выражением
\[
W_{\mathrm{A}}=K\left(m_{x}^{2}+m_{y}^{2}\right)
\]

которое обращается в нуль, когда $\mathbf{m}$ направлен вцоль легкой оси. Поскольку вектор in имест постоянную абсолютную величину, мы можем заменить $W_{A}$ на
\[
\widetilde{W}_{\mathrm{A}}=-K m_{z}^{2} .
\]

Это добавляет лишь постоянный член к суммарной энсргии системы и не оказывает влияния на уравепие Ландау- Лифщица (7.7.13).

Для одномерного случая плотность суммаргой энергии дается равенством
\[
\widetilde{W}=\left[2 \pi m_{x}^{3}+m(m, x)^{2}-K m_{2}^{3}\right] .
\]

Подстановка этого выражения в уравнение Јандау – Лифшица. приводит к уравнению движения дия одномерной модели.
Перейдем к представленню $\mathrm{m}$ в полярных координатах:
\[
\mathrm{m}=M(\sin \theta \cos \psi, \sin \theta \sin \psi, \cos \theta) .
\]

Это показано на рис. 7.23.

Уравцение Јандау – Лифшица (7.7.13) можно записать в видє
\[
\begin{array}{l}
M \sin \theta \Downarrow, t=\gamma \frac{\delta \tilde{W}}{\delta \theta}, \\
M \sin \theta \theta_{t}=-\gamma \frac{\delta \tilde{w}}{\delta v},
\end{array}
\]

где $\widetilde{W}$ принимает вид
$\tilde{W}=2 \pi M^{2} \sin ^{2} \theta \cos ^{2} \psi-K \cos ^{2} \theta+A\left[\sin ^{2} \theta(\psi, x)^{2}+(0, x)^{2}\right]$.

Оконательные уравнения имеют вид
\[
\gamma^{-1} M{ }_{, t}, \sin \theta=4 \pi M^{2} \cos ^{2} \psi \cos \theta \sin \theta+2 K \sin \theta \cos \theta-2 A \theta_{, x x},
\]
$\gamma^{-1} M \theta, t \sin \theta=4 \pi M^{2} \sin ^{2} \theta \sin \psi \cos \psi-2 A\left(\sin ^{2} \theta \psi, x\right), x$.
Теперь предположим, что
\[
\psi=\pi / 2+\varepsilon,
\]

где $\varepsilon \ll 1$ и $\downarrow$ настолько медлено меняющаяся фуикция переменной $x$, что последним членом во втором уравлении (7.7.23) можно пренебречь. Уравнения (7.7.23) принимают тогда следующий приближенный вид:
\[
\begin{array}{c}
M \gamma^{-1} \varepsilon, t \sin \theta \sim K \sin 2 \theta-2 A \theta, x_{x}, \\
M \gamma^{-1} \theta, t \sim 4 \pi M^{2} \sin \theta \varepsilon .
\end{array}
\]

Исключая $\varepsilon$, мы получим уравнение
\[
0, t t=-4 \pi \gamma^{2}(K \sin 2 \theta-2 A \theta, x x) .
\]

После замен
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\Phi}=2 \theta, X=\left(\frac{A}{K}\right)^{-1 / 2} x, \\
T=\left(8 \pi \gamma^{2} K\right)^{-1 / 2} t \quad(7.7 .2
\end{array}
\]

уравнение (7.7.26) примет стандартную форму
\[
\Phi,_{t t}-\Phi, x x+\sin \Phi=0
\]

уравнения $С$. Солитонные решения этого уравнения СГ представляют собой ферромагнитные доменные стенки с изменением ориентации на $180^{\circ}$. Солнтоны интер-
полируют мсжду двумя состояниями равновесия, отличающимися на угол, кратный $2 \pi$, определяемый топологическим зарядом решения. Следовательно, они описывают изменение намагниченности между доменами, ориентированными вверх и вииз. Одиночный солитон отвечает движущейся стенке между зонами с намагниченностью «вверх» и «вниз». Солитон-антисолитонное репение и солитоп-солитонне решение отвенают двум стенкам, разделяющим три домена: два домена с ориегтацией «вверх» разделяются одним с ориентацией «вниз». Решение в форме бризера периодично во времени и представляет собой локализованное отклонение плотности намагничснности от направления, параллельного легкой осн (может быть выбрано одно из двух возможных направлений).