На рис. 7.7 изображена серия графиков функции $\psi^{ \pm}(x)=$ $=4 \operatorname{arctg}\left( \pm m\left(x-q_{0}\right)\right.$ ). В каждом случае мы видим, что область изменения функции представляет собой интервал с центром в точке $x=q_{0}$. Кроме того, видно, что с ростом $m$ длина этого интервала уменьшается. Поэтому если такая функция представляет локализованное возмущение, то величину $q_{0}$ можно интерпретировать как его «положение», а величину $m^{-1}$ как жширину» возмущения. Функция $\psi^{ \pm}(x)$ есть стационарное решение массы $m$ уравнения СГ.

Уравнение СГ инвариантно относительно двумерной группы преобразований Лоренца
\[
L(v):(x, t) \rightarrow(\gamma(x-v t), \gamma(t-v x)) .
\]

Односолитонное (антисолитонное) решение
\[
\psi_{v}^{ \pm}(x, t)=4 \operatorname{arctg}( \pm \gamma m(x-q(t))),
\]

где $q(t)=v t+q_{0}$ можно получить из $\psi \pm(x)$ с помощью преобразования Лоренца $L(v)$. Мы видим, что локализованное возмуще-

Рнс. 7.7. Қинк уравнения СГ как функция от $m$.
ние, описанное в (7.2.2), имеет «положение», которое движется с линейной скоростью $v$, и «ширину» $\gamma^{-1}=\left(1-v^{2}\right)$. Следовательно, мы имеем «лоренцево сжатие» имлульса, когда он движется со скоростью $v$. Это точный аналог движения релятивистской частицы. С той же легкостью можно продемонстрировать аналогию между солитонами, антисолитонами и положительно и отрицателью заряженными частицами. Рис. 7.8 показывает развитие во времени начального состояния из двух статичных кинков, локализованных в точках $x=+d$ и $x=-d$ соответственно. Граничные условия те же, что в (7.1.12). Мы видим, что кинки разбегаются, и, стало быть, имеем ситуацию мотталкивания». Аналогично на рис. 7.9 показано развитие во времени начального состояния, образованного кинком и антикинком, расположенными в точках $x=+d$ и $x=-d$ соответственно. В этом случае мы видим, что два возмущения движутся навстречу друг другу, что имитирует ситуацию «притяжения». Причина этого интуитивно ясна из рисунка. Все объясняется граничными условиями. Для двух одинаково ориентированных кинков решение уравнения СГ, развивпееся со временем из начальной конфигурации, должно измениться на $2 \pi$ на коротком промежутке. Это приволит к высоким градиентам поля и, как следствие, к большим вкладам в энергню. Система движется так, чтобы уменьшить свою энергию, и в результате кинки расходятся. Для решения, которое развиваетея из начального условия, состоящего нз двух противоположно ориентированных кинков, не требуется такого быстрого изменения, и чем ближе сходятся кинки, тем ниже становится энергия. Следовательно, два противоположно ориентированных кинка сливаются .

Рис. 7.8. Взанмное отталкивание двух кинков.
Уравнение СГ можно вывести из плотности гамильтониана
\[
\mathscr{H}(\pi, \varphi)=(1 / 2)\left(\pi^{2}+\varphi^{2}, x+4 \sin ^{2}(\varphi / 2)\right)
\]

рис. 7.9. Взаимное притяженне кинка и антикинка.

с помощью гамильтоновых уравнений поля:
\[
\begin{array}{l}
\varphi, t=\frac{\delta \mathscr{H}}{\delta \pi}, \\
\pi, t=\frac{\delta \mathscr{x}}{\delta \varphi}=-(-\varphi, x x+2 \sin (\varphi / 2) \cos (\varphi / 2)) .
\end{array}
\]

Эти уравнения представляют собой непрерывный аналог уравнений (7.1.6). Для любой функции $\Psi$, не обязательно являющейся решением уравнения СГ, определим
\[
\left.\mathscr{E}_{\Psi}(x, t)=\mathscr{H}^{(\Psi, t}(x, t), \Psi(x, t)\right) .
\]

Если $\Psi$ является решением уравнения $С Г$, то энергия этого решения дается формулой
\[
E_{\Psi}=\int_{-\infty}^{\infty} d x \mathscr{E}_{\Psi}(x, t) .
\]

Для уединенного решения-кинка (7.2.2), имеющего единичную массу, мы получим, что
\[
E_{\mathrm{Y}_{v}^{ \pm}}=8 \gamma
\]
т. е. энергия зависит от скорости у стандартным образом, а именно как в специальной теории относительности. Решение-кинк является поэтому примером решения с конечной энергией. Такие решения представляют независимые от времени пакеты энергии, которые сохраняют свою целостность благодаря сильным самовзаимодейст вням.

Рассмотрим систему, у которой возможные значения энергии ограничены снизу. Нижние энергетические состояния такой системы называются ее основными состояниями. Может существовать одно или несколько решений с одной и той же наименьшей энергией, которую можно положить равной нулю. Пусть $\mathscr{C}$ есть плотность гамильтониана такой системы. Если величина $E_{\Psi}$, отвечающая $\mathscr{C}$, обладает тем свойством, что лля всех несингулярных решений $\Psi$ она положительна и равна нулю лишь для основных состояний системы, то в случае, когда
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \max _{x} \mathscr{E} \Phi(x, t)=0,
\]

мы будем говорить, что решение Ф диссипативно. Решения большннства классических линейных полевых уравнений, таких, например, как уравнения Максвелла, являются диссипативными. Решение-кинк $\psi_{v}^{ \pm}$дает пример недиссипативного решения, и существование таких решеннй является отличительной чертой нелинейных полевых теорий. Заметим, что свойства недиссилативности решения не равносильно свойству обладания конечной энергией. Недиссипативные решения не являются солитонами того типа, на рассмотрении которых сосредоточены наши усилия в этой книге. В гл. 1 мы рассмотрели уравнения $\varphi^{4}$, возникающие в физике частиц. Для вещественного поля $\varphi$ они принимают вид
\[
\varphi, x x-\varphi, t t=\lambda \varphi^{3}-m^{2} \varphi .
\]

Плотность гамильтониана $\mathscr{H}$ можно взять равной
\[
\mathscr{F}(\pi, \varphi)=(1 / 2)\left(\pi^{2}+\varphi_{. x}^{2}+(1 / 2) \lambda\left(\varphi^{2}-m^{2} / \lambda\right)^{2}\right),
\]

и уравнение (7.2.9) выводится из уравнения Гамильтона вида
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{, t}=\frac{\delta \mathscr{H}}{\delta \pi}, \\
\pi_{, t}=-\frac{\delta \mathscr{H}}{\delta \varphi}=-\left(-\varphi, x x+\lambda \varphi^{3}-m^{2} \varphi\right) .
\end{array}
\]

Энергия $F_{\Psi}(x, t)$ для решений положительна и обращается в нуль лишь для двух основных состояний:
\[
\varphi^{ \pm}= \pm\left(m^{2} / \lambda\right)^{1 / 2} .
\]

Решение уравнения (7.2.9) задается формулой
\[
\varphi_{0}^{ \pm}=\varphi^{ \pm} \text {th }\left(\frac{m}{\sqrt{2}} \gamma(x-v t)+\delta\right) .
\]

График этого решения изображен на рис. 7.10.

Рис. 7.10. Решение уравнения $\varphi^{4}$ в виде одиночного кинка.
Это решение имеет локальную плотность знергии
\[
\mathscr{E}_{\Phi_{0}^{ \pm}}(x, t)=\frac{1}{2} \gamma^{2}\left(m^{4} / \lambda\right) \operatorname{sech}^{4}\left(\frac{m}{\sqrt{2}} \gamma(x-v t)+\delta\right),
\]

а его полная энергия равна
\[
E_{\varphi_{v}^{+}}=(2 \sqrt{2} / 3)\left(m^{3} / \lambda\right) \gamma .
\]

Поэтому решение-кинк модели $\varphi^{4}$ недиссипативно и обладает конечной полной энергией. Однако, как мы видели при численном моделировании в гл. 1, эти решения-кинки не обладают столкновительными свойствами солитонов, которые нас интересуют. Мы сохраним термин солитоны лишь для решений-кинков, обладающих свойством сохранять свою целостность даже после столкновения. Обозначение «кинк» мы оставим для более общих недиссипативных решений, таких как $\varphi^{4}$-кинк, рассмотренный выше.

Результат (7.2.7) означает, что даже для получения статичного кинкэ потребуется минимальная энергия по крайней мере в 8 единиц. Поэтому для возбуждения кинковых мод в систему должна быть подана энергия. В связи с этим обстоятельством физически важным оказывается другое решение. На рис. 7.11 показывается решение уравнения $С \Gamma$, называемое бризером. Это решение задается формулой
$q_{B v}=4 \operatorname{arctg}\left(\left(1-\omega^{2}\right)^{1 / 2} \omega^{-1} \sin \omega \gamma(t-v x) \operatorname{sech}\left(\gamma\left(1-\omega^{2}\right)^{1 / 2}(x-v t)\right)\right)$.
$(7.2 .16)$

Рис. 7.11. Два бризера уравнения СГ, один покоющийся, другой движущийся.

Важность этого решения объясняется тем. что его энергия покоя имеет вид
\[
E_{\varphi_{B 0}}=16\left(1-\omega^{2}\right)^{1 / 2}
\]

и меняется от 16 , массы покоя двух солитонов, до нуля, когда $\omega$ стремится к единице. Следовательно, даже малого количества энергии может оказаться достаточным для возбуждення бризерных мод.

Если мы введем в рассмотрение граничные условия (7.1.12), то сохраняющаяся величина, отвечающая числу скруток, задается выражением
\[
\begin{array}{r}
Q^{i}(\varphi)=(2 \pi)^{-1} \int_{-\infty}^{\infty} d x \varphi^{t}, x(x)=(2 \pi)^{-1}\left(\varphi^{t}(\infty)-\varphi^{t}(-\infty)\right)= \\
=\text { (число кинков) }- \text { (число антикинков) }
\end{array}
\]

и, очевидно, принимает лишь целочисленные зачения. Поскольку $Q^{t}(\varphi)$ непрерывно зависит от $t$ и принимает лишь целые значения, то единственный способ совместить эти два свойства состоит в требовании сохранения величины $Q^{t}(\varphi)$ независимо от динамики системы. Это наблюдение отвечает тому факту, что с динамической точки зрения это тривиальный закон сохранения, вытекающий из уравнения непрерывности
\[
\rho, t+j, x=0,
\]

где кинковая плотность заряда $\rho$ и кинковая плотность тока $;$ даются формулами
\[
\rho=\varphi, \boldsymbol{x}, j=-\varphi, \boldsymbol{t} .
\]

Эти уравнения никак не связаны с динамикой и попросту накладывают на $\varphi$ требование глацкости. Важным обстоятельством являются граничные условия и тот факт, что поле принимает значения, принадлежащие единичной окружности $\mathcal{S}^{\mathbf{1}}$. Величина $Q=(2 \pi)^{-1} \int d x \rho(x)$, принимающая целочисленные значения, обычно называется тополоеическим зарядом.

Отвлекаясь от специфической роли такой нелинейной теории поля во многих физических моделях, мы надеемся сейчас выяснить, какие элементы нужны для построения моделей более высоких размерностей, чем 2, имеющих частицеподобные решения. Важным элементом многих полевых теорий, допускающих кинковые решения, является топологический заряд. Поэтому целесообразно обобдить это понятие на случай более высоких размерностей. Соответствующие уравнения, описывающие такие модели, можно рассматривать как многомерные аналоги уравнения СГ. В последнем разделе мы встретимся с физнческой реализацией такой модели в связи с ферромагнетизмом.