Раздель 1 и 2
Общая идея использования растянутых координат для анализа длинных волн, как в дисперсионных системах, описываемых уравнением КдФ, так и в диссипативных системах, описываемых уравнением Бюргерса
$$u_t+u{u}_x=\delta u_{xx}$$
(см. разд. 1.8), применялась достаточно давно. Коул [1951] пользовался этим методом для того, чтобы получить уравнение Бюргерса (5.6.1) для диссипативных ударных волн в газовой динамике. Мы не будем повторять здесь этих вычислений, поскольку они предложены в качесгве одного из упражнений к этой главе. Рассматривал общий вывод как уравнения КдФ, так и уравнения Бюргерса, Су и Гарднер [1969] локазали, что общий класс дисперсионных систем будет давать уравнение КдФ, а класс диссипативных систем — соответственно уравнение Бюргерса в длинноволновом масштабе. Таниути и Вей [1968] дали систематическое описание вывода уравнения КдФ для общих систем, применяя теорию возмущений. Кодама и Таниути [1978] и Итикава и др. [1976] рассмотрели более высокие порядки возмущений в этой теории. Общий перечень результатов и ссылок по общему методу теории возмущений, развитому Таниути и соавторами, можно найти в этой последней статье. Дальнейшая литература, в которой можно найти обсуждение различных методов теории возмущений, — это монографии Найфз [1973] и Бендера и Орзага [1978]. Проницательный читатель может заинтересоваться общими принципами, которыми руководствуются при выборе величины $\epsilon$. Во всех задачах, которые мы рассмотрели, уравнения движения переписывались в безразмерном виде и поэтому оказались обладающими внутренними масштабами длины и времени. Величина в, которая использовалась как мера амплитуды, в каждой задаче задается начальными данными и на этих масштабах длины и времени должна быть достаточно малой, чтобы в можно было бы использовать как параметр разложения. Если все же эта величина велика, то приближение слабой нелинейности оказывается непригодным.

В отношении разнообразия применений уравнение КдФ является вездесущим, и работы, на которые мы ссылаемся в конце этих примечаний, несмотря на их многочисленность, были выбраны из многих других. Начиная с Кортевега и де Фриза [1895] обычное модифицированное уравнение КдФ наиболее часто встречалось в теории волн в нелинейных цепочках и решетках и в плазме. Гарднер и Морикава [1960] в неопубликованном сообщении отметили сходство между результатом, который они получили для слабых гидромагнитных длинных волн в плазме, и волнами на воде: в обоих случаях получалось уравнение ҚдФ. Васими и Таниути [1966] получили уравнение КдФ для слабо нелинейных ионноакустических волн сжатия в плазме, и в разд. 2 мы следовали их вычислениям. Березин и Қарпман [1964, 1967] и Карпман [1967] получили независимо (численно и аналитически) сходные результаты — по поводу этих результатов см. книгу Карпмана [1973]. Статья Джеффри и Қакутани [1969] содержит обзор результатов, относящихся к выводу уравнений КдФ для ионноакустических волн и гидромагнитных волн в плазме, в том qисле ранних результатов. Қак к основному руководству по методам в физике плазмы мы отсылаем к монографин Дейвидсона [1972]. Дальнейшие важные статьи, перечень которых далеко не исчерпывающий, — это работы по ионноакустическим солитонам Тапперта и Забуски [1971 1, Тапперта и Джудиса [1972], Тапперта [1972] и Конно и др. [1977] и по гидромагнитным волнам Кавахары [19691, Кевера и Морикавы [1969], Мортона [1964], Таниути и Васими [1968] и Какутани и др. [1968]. Исчерпывающую библиографию по длинноволновым КдФ-солитонам в плазме можно найти у Итикавы [1979] и в обзоре Скотта, Чу и Маклохлина [1973]. Экслерименты по ионным акустическим уединенным волнам были выполнены Икези, Тейлором и Бейкером [1970] и Коном и Маккензи [1973]. Как упомянуто в тексте, Хершковиц, Ромессер и Монтгомери [1972] вычислили количество дискретных собственных значений и их величины для уравнения Шрёдингера при некоторых выбранных начальных данных и затем показали, что имеется хорошее согласие эксперимента с теорией.

Все приведенные выше расчеты по теории возмущений были выполнены для одномерного пространства. Кадомцев и Петвиашвили [1970] рассмотрели эволюцию слабо нелинейных длинных волн в днспергирующей среде, причем они учитывали поперечную координату $y$. Они получили двумерный вариант уравнения КдФ
$${(u_{xxx}+6u^2+u_x+u_t)}_x-u_{yv}=0,$$

который был также получен Қако и Роулендзом [1976] для двумерного распространения нонноакустических солитонов.

Одновременно с появлением уравнения КдФ в различных областях физики плазмы оно появилось также как модельное уравнение в исследованиях по нелинейным решеткам, где основной вопрос был в том, как в нелинейной системе распредсляется энергия по различным модам Фурье в решетке. Мы рассмотрели задачу ФПУ в разд. 1.3 , и большая часть последующей работы по нелинейным решеткам и цепочкам выросла из этой задачи, причем работа Забуски, Крускала и других была основополагающей (см. Забуски [1967, 1968, 1969, 19731, Забуски и Крускал [1965]). Забуски, Дим и Крускал [19681 и один из авторов настоящей книги (Дж. К. Эйлбек) сделали фильмы, которые могут быть предоставлены для просмотра, показывающие распространение и взаимодействие солитонов.

Как показали Су и Гарднер [1969] и Таниути и Вей [1968], уравнение КдФ есть эволюционное уравнение, получения которого следует ожидать для некоторых видов слабонелинейных дисперсионных систем. Мы в основном ссылались на работы, описывающие различные случаи его появления в физике плазмы и нелинейных решеток. Очевидно, что существуют другие области, в которых это уравнение было найдено при моделировании различных физических ситуаций, отличающихея от примера волн на воде из следующего раздела. Тапперт и Варма [1970] и Нараянамурти и Варма [1970] отметили, что оно возникает при изучении распространения тепловых импульсов в твердых телах. Наирболи [1970] вывел его для описания распространешия продольных дисперсионных волн в упругих стержнях; Лейбовиц [1970] и Вейнгаарден [1968] также вывели уравнение КдФ для слабо нелинейных волн во вращающихся жидкостях и двухфазных системах жидкость — газ с пузырями соответственно. Различные другие ссылки могут быть найдены в сборнике статей, изданном Лейбовицем и Сибасом [1968] (см. статью Р. Миуры), у Буллафа и Кодри [1980 ], Лоннгрена и Скотта [1978 I и у Қалоджеро [1978]. По поводу различных аспектов слабо нелинейных волн в различных видах сред смотрите также книги Карпмана [1973 I, Уизема [1974] и Бхатнагара [1980].
Раздел 3
Вычисления этого раздела, хотя в основном и следуют Кортевегу и де Фризу [1895], все же имеют некоторые отличия, заключающиеся в том, что для упорядочения величин различных членов в разложения были применены рассуждения, связанные с масштабными преобразованиями переменных и теорией возмущений. Фриман и Джонсон [1970] показали, что те же вычисления проходят при наличии сдвигового течения в жидкости; коэффициенты полученного уравнения КДФ окажутся интегралами по сдвигу. Мадсен и Мей [1969] взяли уравнения Эйлера для описания движения жидкости по каналу с наклонным дном и численно обнаружили, что хотя уединенные волны и появляются, они разрушаются, проходя над наклонным дном. Нспользуя этот численный результат, Джонсон [1973] показал, что в этом случае возникает разновидность уравнения КдФ с модифицированным нелинейным членом. Смотрите также Забуски и Галвин [1971] по поводу обсуждения уравнений КдФ и волн на мелкой воде. Если при изучении волн в мелком канале принять во внимание поперечное измерение, то возникает двумерное уравнение КдФ, подобное тому, что получилось у Қадомцева и Петвиашвили для плазмы, но с измененным знаком у члена $u_{yy}$. Фриман и Дэйви [1975] предприняли тщательный анализ предельных случаев двумерных волн на воде, рассматривая различные возможные преобразования координат, учитывающие в качестве характерных масштабов амплитуду волн, глубину и длину волны, и для длинных волн на мелкой жидкости они показали, что (5.6.2) с положительным знаком у члена $u_{yy}$ является адекватным уравнением. В другом приближении они получили так называемые уравнения Дэйви Стюартсона, которые обобщают на случай двух измерений уравнение НЛШ гл. 1 — см. примечания к гл. 8. Хаммак [1973] и Хаммак и Сигур [1974] попытались сравнить теорию и эксперимент, рассматривая эволюцию начальных данных в экспериментах с волнами в резервуаре и сравнивая их с предсказаниями, сделанными с помощью обратной задачи рассеяния.
Раздел 4
(a) Геофизическая гидродинамика — трудная тема, требующая тщательного изучения, если пытаться достичь хоть какой-то глубины. Часть этих трудностей заключается в том факте, что имеющиеся методы прикладной математики позволяют нам решать уравнения Навье — Стокса лишь для в высшей степени идеализированных и очень упрощенных ситуаций. Различные приближения и различные применяемые методы масштабирования должны поэтому приниматься с осторожностью. Недавняя книга Педлоски [1980] по геофизической динамике жидкости и книга Гринспана [1968] по вращающимся жидкостям представляют собой руководства, которые могут быть прочитаны без предварительного знакомства с предметом. Серия лекций Педлоски [1971] очень полезна для начинающих. Книга Дрейзина и Рейда [1981] по гидродинамической устойчивости является хорошим пособием для тех, кто желает изучать свойства устойчивости и распространения волн во вращающихся и параллельных течения $\mathbf{x}$.
(б) Уравнение завихренности (5.4.25) содержит член $\beta \partial \mathrm{\Psi }/\partial x$, который в свою очередь порождается членом $\beta y$, добавленным к $abl{a}^2\mathrm{\Psi }$. Происхождение этого члена связано с наклоном канала из-за кривизны Земли. Этот член математически эквивалентен тому, что известно как приближение бета-плоскости Россби (Педлоски [1971]), которое очень просто локально учитывает сферичность планеты. Это обычно выводится следующим образом. Из рис. 5.2 ясно, что для канала с жидкостью в средних широтах уравнение потенциальной завихренности (5.4.19) должно в действительности записываться в виде
$$\rho \mathrm{\Pi }=(\zeta +2\mathrm{\Omega }\sin \theta )/H,$$

где $2\mathrm{\Omega }\sin \theta$ заменяет член $2\mathrm{\Omega }$. Разлагая $\theta$ вблизи некоторого угла ${\theta }_0$, можно переписать (5.6.3) приближенно в виде
$$\rho \mathrm{\Pi }=(\zeta +f_0+\beta y)/H,$$

где
$$f_0=2\mathrm{\Omega }\sin {\theta }_0;\beta =2\mathrm{\Omega }{R}^{-1}\cos {\theta }_0;y=R\delta \theta .$$

Уравнение (5.6.4) можно получить из (5.4.2), если воспользоваться сферическими координатами. В этом случае $f=2\mathrm{\Omega }$ в уравнения х (5.4.13)-(5.4.15) заменяется на $f=2\mathrm{\Omega }\sin \theta$.
(в) Вывод уравнения КдФ, данный в этом контексте, принадлежит Редекоппу [1977], который аналогичным образом получил также уравнение мКдФ для стратифицированной жидкости. В той же самой статье Редекопп показывает, как вывести уравнение КдФ в случае, когда присутствуют критические слои.

Раздел 5
Модифицированное уравнение КдФ, выведенное в этом разделе, как мы показали, появляется почти так же, как и уравнение КдФ, но с использованием несколько иного выбора масштабов в растянутых координатах. Оно возникает, например, для некоторых ангармонических решеток (Забуски [1967]), алвеновских волн в плазме (Қакутани и Оно [1973]), длинных волн в стратифицированной вращающейся жидкости (Редекопп [1977]), а также в примере с электрическим контуром, рассмотренным в этом разделе.

В связи с ангармонической решеткой в разд. 1.3 мы рассмотрели нелинейную цепочку с квадратичной и кубической нелинейностями, заданными соотношениями (1.3.2), (1.3.3), с уравнениями движения вида
$${\ddot{Q}}_n=f(Q_{n+1}-Q_n)-f(Q_n-Q_{n-1}).$$

Точно так же, как в электрическом контуре, в котором мы выбрали зависимость емкости от напряжения в виде $c_1\left(v_1\right)=c11-$ — $\alpha v_1$ l, мы рассмотрим нелинейности в $f(Q)$ вида
$$f(Q)=Q+{\beta }_n{Q}^n.$$

Следуя вычислениям разд. 1.3, мы придем к уравнению
$$\frac{{\partial }^2}{\partial n^2}[\frac{1}{12}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial n^3}+{\beta }_n{u}^n\cdot |\cdot u]-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=0.$$

Так же, как и прежде, мы введем «растянутые» координаты $\xi ={\epsilon }^p(n-\alpha t);\tau ={\epsilon }^{3p}t$ и представим $u$ в виде
$$u=\epsilon u^{(1)}+{\epsilon }^2{u}^{(2)}\dots$$

Уравнение (5.6.8) теперь принимает вид
$$\begin{array}{c}{\mathrm{e}}^{2p}\frac{{\partial }^2}{\partial {\xi }^2}[{\epsilon }^{2p}\frac{{\partial }^2}{\partial {\xi }^2}(\epsilon u^{(1)}+{\epsilon }^2{u}^{(2)}+\dots +{\epsilon }^m{u}^{(m)}\dots )+{\beta }_m{(\epsilon u^{(1)}\dots )}^n+\\ +(\epsilon u^{(1)}+\dots {\epsilon }^m{u}^{(m)}\dots )]=\\ ={({\epsilon }^{3p}\frac{\partial }{\partial \tau }-\alpha {\epsilon }^p-\frac{\partial }{\partial \xi })}^2(\epsilon u^{(1)}+\dots {\epsilon }^m{u}^{(m)}\dots ).\end{array}$$

При различных порядках по е мы получим:
$$\begin{array}{ll}Q\left({\epsilon }^{2p+1}\right):& u_{\xi \xi }^{(1)}-{\alpha }^2{u}_{\xi \xi }^{(1)},\\ Q\left({\epsilon }^{2p+m}\right):& u_{\xi \xi }^{(n)}-{\alpha }^2{u}_{\xi \xi }^{(m)},\\ Q\left({\epsilon }^{4p+m}\right):& u_{\xi E\xi \xi }^{(m)}+2\alpha u_{\xi \tau }^{(m)},\\ Q\left({\epsilon }^{2p+m}\right):& {\beta }_n[{{\left(u^{(1)}\right)}^n|}_{E\xi }\end{array}$$

Для получения баланса между дисперсией и нелинейностью мы должны выбрать $4p+m=2p+n$. Қроме того, очевидно, что нет необходимости брать значения $m$ больше единицы, так что окончательно мы получаем $\alpha =1$ и $p=(1/2)(n-1)$. Это дает нам окончательное уравнение

которое представляет собой то же самое уравненне КдФ, что и (5.5.23).