Рассмотрнм теперь вместо гармонических волн Россби длинноволновые решения уравнения (5.4.25). Сделанные приближения позволяют нам следить за распространением длинных воли лишь в $x$-направлении, но не в $y$-направлении.

В силу (5.4.13), горизонтальная компонента скорости $u$ и геострофическая функция тока ф связаны соотношением
\[
u(x, y)=-(\partial \psi / \partial y) .
\]

Поэтому частное решение уравнення (5.4.25) можно выбрать в виде
\[
\psi^{D}(y)=-\int^{y} U(s) d s,
\]

где $U$ – произвольный профиль скоростей, зависящий только от $y$. Поэтому соответствующее течение направлено строго по оси $x$. Рассмотрим телерь решения, представляющие собой возмущения течения (5.4.30):
\[
\Psi(x, y, t)=\psi^{U}(y)+\Psi(x, y, t) .
\]

Для возмущения $\Psi(x, y, t)$ получается уравиение
\[
\left[\frac{\partial}{\partial t} \left\lvert\, U \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial \Psi}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y}-\frac{\partial \Psi}{\partial y} \frac{\partial}{\partial x}\right.\right]\left(
abla^{2} \Psi\right)+\left(\beta-U^{\prime \prime}\right) \frac{\partial \Psi}{\partial x}=0 .
\]

Очевидно, что если $U
eq$ const, то уравнение (5.4.32) не имеет гармонических волновых решений, однако при $U=U_{0}$ существуют гармонические волновые решения с дисперсионным соотношением
\[
\omega=k U_{0}-\beta k\left(k^{2}+l^{2}\right)^{-1},
\]

которое для малых $k$, отвечающих длинноволновым движениям, может быть аппроксимировано рядом Тейлора
\[
\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}_{1} k+\omega_{3} k^{3}+\ldots
\]

Тем самым, как в разд. 5.1, мы можем ввести в этом случае растянутые координаты
\[
\xi=e^{\mathrm{I} / 2}(x-a t), \quad \tau=\varepsilon^{3 / 2} t
\]

и применить стандартную теорию возмущений. В общем случае, когда $U
eq$ const, мы все же можем пытаться применять эту технику с той же формой растянутых координат, но следует ожидать, что для ее успешного нспользования понадобятся некоторые изменения.
Рассмотрим разложение функцин $\Psi$ :
\[
\Psi(x, y, t)=\sum_{m=1}^{\infty} e^{m \Psi^{(m)}}(\xi, y, \tau)
\]

и, подставляя (5.4.35) и (5.4.36) в (5.4.32), найдем, что
\[
\begin{array}{l}
{\left[\varepsilon^{3 / 2} \frac{\partial}{\partial \tau}+\varepsilon^{1 / 2} \bar{U} \frac{\partial}{\partial \xi}+e^{1 / 2} \frac{\partial}{\partial \xi}\left(\varepsilon \Psi^{(1)}+\cdots\right) \frac{\partial}{\partial y}-\right.} \\
\left.-\boldsymbol{e}^{1 / 2}-\frac{\partial}{\partial y}\left(\boldsymbol{e}^{(1)}+\mathbf{e}^{2 \Psi(2)}+\cdots\right) \frac{\partial}{\partial \xi}\right] \times \\
\times\left[\left(\mathrm{e} \frac{\partial^{2}}{\partial \xi^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\right)\left(\mathrm{e} \Psi^{(1)}+\varepsilon^{2} \Psi^{(2)}+\cdots\right)\right]+ \\
+\beta \mathrm{e}^{1 / 2}\left(\beta-\bar{U}^{\prime}\right) \frac{\partial}{\partial \xi}\left(\mathrm{e} \Psi^{(1)}+\varepsilon^{2} \Psi^{(2)}+\cdots\right)=0, \\
\bar{U}=U-a . \\
\end{array}
\]

В двух нижних порядках по $\varepsilon$ получим следующие уравнения:
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon^{3 / 2}: \frac{\partial}{\partial \xi}\left[\bar{U} \frac{\partial^{2} \Psi^{(1)}}{\partial y^{2}}+\left(\beta-\bar{U}^{\pi}\right) \Psi^{(1)}\right]=0, \\
\boldsymbol{\varepsilon}^{5 / 2}: \frac{\partial}{\partial \xi}\left[\bar{U} \frac{\partial^{2} \Psi^{(1)}}{\partial y^{3}}+\left(\beta-\bar{U}^{\prime \prime}\right) \Psi^{(2)}\right]+ \\
+\frac{\partial}{\partial \tau} \frac{\partial^{2} \Psi^{(1)}}{\partial y^{2}}+\bar{U} \frac{\partial^{3} \Psi^{(1)}}{\partial \xi^{3}}+\frac{\partial \Psi^{(1)}}{\partial \xi} \frac{\partial^{3} \Psi^{(1)}}{\partial y^{3}}-\frac{\partial \Psi^{(1)}}{\partial y} \frac{\partial^{5} \Psi(1)}{\partial \xi \partial y^{2}}=0 .
\end{array}
\]

Интегрируя (5.4.39) по $\xi$ и полагая постоянную интегрирования равной нулю, мы немедленно обнаруживаем, что $\Psi^{(1)}$ удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению по $y$. Поэтому мы можем ввести в рассмотрение произвольную функцию $A(\xi, \tau)$, такую что
\[
\Psi^{(1)}=A(\xi, \tau) Y(y)
\]

где функция $Y(y)$ удовлетворяет уравнению
\[
Y^{\prime \prime}(y)+v(y) Y(y)=0,
\]

где
\[
v(y)=\left(\beta-\bar{U}^{\prime \prime}\right) \bar{U}
\]

и $Y$ удовлетворяет на боковых стенках граничным условиям $Y\left(y_{1}\right)=Y\left(y_{2}\right)=0$. Мы теперь видим, что а играет роль собственного зиачения в задаче (5.4.42) на собственные значения, если задан профиль скорости сдвига $U(y)$, см. (5.4.38).

Предположим телерь для простоты, что не возникает критического слоя, в котором существовало бы критическое значение $y_{\mathrm{c}}\left(y_{1}<y_{\mathrm{c}}<y_{\mathrm{s}}\right)$, такое что $U\left(y_{\mathrm{c}}\right)=$ а. В противном случае наш анализ оказался бы несостоятельным, так как $v \rightarrow \infty$ при $y \rightarrow y_{\mathrm{c}}$.

Рассматривая члены следующего порядка и пользуясь (5.4.41), мы находим, что $\boldsymbol{\Psi}^{(2)}$ удовлетворяет уравнению
\[
\begin{array}{l}
-\frac{\partial}{\partial \xi}\left[\bar{U} \frac{\partial^{2} \Psi^{(2)}}{\partial y^{2}}+\right.\left.\left(\beta-\bar{U}^{\prime \prime}\right) \Psi^{(2)}\right]= \\
=\bar{U} Y A_{\mathrm{\zeta E}}+\left(Y Y^{\prime \prime}-Y^{\prime} Y^{\prime \prime}\right) A A_{\xi}+Y^{\prime \prime} A_{\tau} .
\end{array}
\]

Умножая левую часть этого уравнения на $Y / \bar{U}$ и интегрируя по $y$ от $y_{1}$ до $y_{2}$, мы приведем левую часть к виду
\[
-\frac{\partial}{\partial \xi}-\int_{y_{2}}^{y_{1}} Y(s)\left[\frac{\partial^{2} \Psi(2)}{\partial s^{2}}(s)+v(s) \Psi^{(2)}(s)\right] d s .
\]

Дважды интегрируя по частям, получим
\[
-\frac{\partial}{\partial \bar{\xi}}\left[\left(Y \frac{\partial \Psi^{(2)}}{\partial s}-\Psi^{(2)} \frac{\partial Y}{\partial s}\right)_{y_{2}}^{\psi_{1}}\right]+\int_{y_{2}}^{y_{1}} \Psi(2)\left(\frac{\partial^{2} Y}{\partial s^{2}}+v Y\right) d s .
\]

Граничные условия и уравнение (5.4.39) показывают, что это выражение равно нулю. Поэтому те же самые операции, произведешыле шад правой частью (5.4.44), также должны давать нуль. Это приводит к следующему требованию к ранее произвольной функции $A(\xi, \tau)$ :
\[
A_{\tau}+\mu A A_{\xi}+\gamma A_{\mathrm{E} 5 \tilde{5}}=0,
\]

где
\[
\mu=\left(\int_{y_{2}}^{y_{2}}\left(v Y^{3} / \bar{U}\right) d s\right) /\left(\int_{y_{2}}^{y_{1}}\left(v Y^{2} / \bar{U}\right) d s\right)
\]

и
\[
\gamma=\left(\int_{y_{2}}^{y_{1}}\left(Y^{2}\right) d s\right) /\left(\int_{y_{2}}^{y_{1}}\left(v Y^{2} / \bar{U}\right) d s\right) .
\]

Уравнение (5.4.47) является, разумеется, уравнением КдФ с постоянными коэффициентами. Как упоминалось выше, если существует критический слой, весь нан анализ не проходит. Это связано с тем обстоятельством, что интегралы, определяющие $\mu$ и $\gamma$, становятся в этой ситуации расходящимися.

Мы затратили много времени для того, чтобы изложить в этой главе некоторые элементы геофизической гидродинамики и дать некоторую основу не только для этого примера, но и для другого примера в гл. 10, который будет построен с использованием материала этого раздела. В частности, мы рассмотрим разновидность уравнения потенцияьной завихренности (5.4.30), которая будет представлять собой уравнение СГ.