Одной из наиболее ранних моделей теории поля было линейное уравнение Клейна-Гордона:
\[
\varphi_{x x}-\varphi_{t t}=m^{2} \varphi .
\]

Уравнение (1.5.1) выводится из плотности лагранжиана:
\[
L=\frac{1}{2}\left(\varphi_{x}^{2}-\varphi_{t}^{2}\right)+\frac{1}{2} m^{2} \varphi^{2} .
\]

Скирм [1958] предложил нелинейную теорию поля, которая для скалярного случая и для случая одномерного пространства сво-

Рис. 1.5. Одиночный кинк уравнения sin-Гордон.

дится, грубо. говоря, к нелинейному обобщению лагранжевой плотности (1.5.2). Член $\mathrm{m}^{2} \varphi^{2} / 2$ заменяется его простым периодическим обобщением $m^{2}(1-\cos \varphi) / 2$. Теперь уравнение поля приобретает вид
\[
\varphi_{x x}-\varphi_{t t}=m^{2} \sin ^{2} .
\]

Это уравнение стало впоследствии известно под названием уравнения sin-Гордон (С-Г). Будем снова искать волны с неизменным профилем. Принимая во внимание лоренц-инвариантность для $(1.5 .3)$ и используя граничные условия $\varphi \rightarrow 0(\bmod 2 \pi)$, после двух интегрирований получим:
\[
\begin{aligned}
\varphi & =4 \operatorname{arctg} \exp [m \gamma(x-v t)+\delta], \\
\gamma^{2} & =\left(1-v^{2}\right)^{-1}, \\
\varphi_{x} & =2 m \gamma \operatorname{sech}[m \gamma(x-v t)+\delta], \\
\sin \left(\frac{1}{2} \varphi\right) & =\operatorname{sech}[m \gamma(x-v t)+\delta] .
\end{aligned}
\]

На рис. 1.5 показан график зависимости $\varphi(x, t)$ от $t$. Это решение было названо «кинк» ${ }^{1}$ ), поскольку оно представляет перегиб
1) Английское слово kink переводится как «петля» или «перегиб», – Прим. neper.

по переменной $\varphi$, который происходит при переходе системы от одного решения при $\varphi=0 \mathrm{к}$ другому, соседнему решению при $\varphi=2 \pi$. Для этого графика был выбран случай положительного корня для $\gamma$. Состояния $\varphi=0(\bmod 2 \pi)$ известны как вакуумные состояния, поскольку они являются постоянными решениями нулевой энергии.

В 1962 г. Перринг и Скрим [1962] нашли в результате численного эксперимента аналитическое решение, представляющее собой

Рис. 1.6. Столкновение кинка и антикинка уравнения $\sin -$ Гордон.
лобовое столкновение двух кинков, движущихся навстречу друг другу с равными скоростями, – кинк, движущийся налево, назывался антикинком, поскольку имел противоположный изгиб, и он соответствовал случаю отрицательного корня для $\gamma$. Этот результат предварил работу Забуски и Крускала, но точно так же, как было найдено позже, в 1965 г., когда изучалось столкновение двух уединенных волн уравнения КдФ, столкновение этих кинков не привело ни к их взаимному уничтожению (аннигиляции), ни к осцилляции. Эта ситуация показана на рис. 1.6, где кинк и антикинк сталкиваются и потом разделяются. Процесс столкновения переводит систему из соседних вакуумных состояний 0 и $2 \pi$ в соседние состояния $-2 \pi$ и 0 .

При столкновении волны совершают переход к двум соседним вакуумным состояниям. Волны не уничтожают одна другую в центре, поскольку $\varphi_{x}$ не является нулем в этой точке. Эти волны, следовательно, имеют солитонное свойство в том смысле, что при столкновении сохраняют свою форму. Однако название «кинк» прочно утвердилось за волнами такой формы (1.5.4), и поэтому в дальнейших главах мы будем продолжать придерживаться этого термина.

Одним из важных свойств решения в виде кинка является то, что его энергия конечна. Это можно легко доказать, интегрируя плотность гамильтониана уравнения $\sin -Г$ Гордон
\[
\mathscr{H}=\frac{1}{2}\left(\varphi_{x}^{2}+\varphi_{t}^{2}\right)+m^{2}(1-\cos \varphi)
\]

по действительной оси. В результате получится $8 m \gamma$, что доказывает ожидаемую релятивистскую форму для массы кинка. Постоянные решения $\varphi=\pi(\bmod 2 \pi)$ нельзя рассматривать как вакуумные состояния, поскольку их энергия бесконечна.

Уравнение $\sin$-Гордон имеет более длинную историю, чем уравнение КдФ. Особенно интересны исследования, проведенные шведским математиком Бэклундом в 1875 г. Он рассматривал задачу дифференциальной геометрии, связанную с теорией поверхностей постоянной отрицательной кривизны (Эйзенхарт [1960], Форсайт [1959]). Вклад Бэклунда состоял в том, что он показал, как можно строить иерархии решений, каждое из которых конструируется из предыдущих. Используемые при этом преобразования были названы преобразованиями Бэклунда, и они играют важнейшую роль в развитии теории и по сей день. Поэтому мы покажем, как найти преобразования Бэклунда для уравнения $\sin$ Гордон. Методы для других уравнений будут развиты позже, в частности в гл. 3 и 6.

Рассмотрим нелинейное уравнение Клейна-Гордона общего вида
\[
\varphi_{\xi \tau}=F(\varphi),
\]

выраженное в характеристических координатах: $\xi=(x-t) / 2$, $\tau=(x+t) / 2$.

Предположим, что можно определить зависимость между двумя независимыми решениями (1.5.7) в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка. Пусть эти два независимых решения уравнения (1.5.7) будут $\varphi=u+v$ и $\bar{\varphi}=u-v$, и рассмотрим пару уравнений
\[
u_{\xi}=f(v), \quad v_{\tau}=g(u)
\]

относительно переменных $u(\xi, t)$ и $v(\xi, t)$. Поскольку мы не задали никакой специальной формы для функций $F, g$ и $f$, форма системы (1.5.8) продиктована только желанием разнести частные производные по $\xi$ и $\tau$ из уравнения (1.5.7) в два разных уравнения.

Дифференцируя уравнения (1.5.8) по $\tau$ и $\xi$ соответственно, получим уравнения
\[
\begin{array}{l}
u_{\xi \tau}=g(u) f^{\prime}(v), \\
v_{\xi \tau}=g^{\prime}(u) f(v) .
\end{array}
\]

Хотя уравнения (1.5.9) имеют структуру, похожую на (1.5.7), мы все еще не можем рассматривать $u$ и $v$ по отдельности как решения (1.5.7), потому что правая часть (1.5.9) содержит произведение функций от $u$ и $v$. Однако складывая и вычитая эту пару уравнений, мы можем получить уравнения
\[
\begin{array}{l}
(u+v)_{\xi \tau}=g(u) f^{\prime}(v)+g^{\prime}(u) f(v), \\
(u-v)_{\xi \tau}=g(u) f^{\prime}(v)-g^{\prime}(u) f(v) .
\end{array}
\]

Поскольку $\varphi$ и $\bar{\varphi}$ являются независимыми решениями уравнения (1.5.7), то
\[
\begin{array}{l}
F(u+v)=g(u) f^{\prime}(v)+g^{\prime}(u) f(v), \\
F(u-v)=g(u) f^{\prime}(v)-g^{\prime}(u) f(v) .
\end{array}
\]

Дифференцируя первое уравнение сначала по $u$, а потом по $v$, мы легко найдем, что
\[
\frac{g^{\prime \prime}(u)}{g(u)}=\frac{f^{\prime \prime}(v)}{f(v)}=-\lambda .
\]

Второе уравнение даст тот же самый результат. Поскольку левая часть уравнения (1.5.12) является функцией только от $u$, а правая часть – только от $v$, то $\lambda$ должна быть константой. Теперь функции $f$ и $g$ удовлетворяют уравнениям
\[
g^{\prime \prime}+\lambda g=0, \quad f^{\prime \prime}+\lambda f=0 .
\]

Абсолютная величина $\lambda$ не так важна, как ее знак, поэтому возьмем сначала $\lambda=1$ и найдем, что
\[
g(u)=\beta \sin u, f(v)=\alpha \sin v .
\]

Сопоставив это с (1.5.11), немедленно получим
\[
F(\varphi)=\sin \varphi, \quad \beta=1 / \alpha .
\]

Так как $u=(\varphi+\ddot{\varphi}) / 2$ и $v=(\varphi-\bar{\varphi}) / 2$, исходные уравнения (1.5.8) теперь будут иметь вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2}(\varphi+\bar{\varphi})_{\xi}=\alpha \sin \frac{1}{2}(\varphi-\bar{\varphi}), \\
\frac{1}{2}(\varphi-\bar{\varphi})_{\tau}=\frac{1}{\alpha} \sin \frac{1}{2}(\varphi+\bar{\varphi}) .
\end{array}
\]

Получилась пара уравнений относительно двух частных решений $\varphi$ и $\bar{\varphi}$ уравнения $\sin -Г$ Годон $\varphi_{\tau \xi}=\sin \varphi$. Равенства (1.5.16) это и есть преобразования, введенные Бэклундом.

Выбор $\lambda=-1$ приводит к синусу гиперболическому вместо синуса, а выбор $\lambda=0$ приводит к линейному уравнению КлейнаГордона. Таким образом, мы показали, что при тех ограничениях на выбор, который был сделан в (1.5.8), уравнение $\sin -$ Гордон (или sh-Гордон) – единственное нелинейное уравнение КлейнаГордона с преобразованиями Бэклунда; результат, делающий это уравнение весьма специальным случаем!

Если дано одно решение $\varphi_{0}$ уравнения sin-Гордон, coотношение (1.5.16) позволяет сформировать двухпараметрическое семейство зависимых решений. Простейшее решение уравнения $\sin -\Gamma$ ордон – это $\varphi_{0}=0$; подставляя его в (1.5.16), мы получим два очень простых обыкновенных дифференциальных уравнения для $\dot{\varphi}$, которые после интегрирования дают:
\[
\bar{\Phi}=4 \operatorname{arctg} \exp \left(a \xi+\frac{1}{a} \tau+\delta\right), \alpha=-a .
\]

Это решение типа единичного кинка (1.5.4), выраженное в характеристических координатах. Из этого единичного кинка мы можем построить другое решение при помощи (1.5.16). Сделать это из дифференциальных уравнений (1.5.16) прямым интегрированием трудно, но можно применить более простой геометрический способ. Начнем с решения $ч$ и построим два решения того же типа, $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$, отличающиеся только тем, что мы берем $\alpha=-a_{1}$ для $\varphi_{1}$ и $\alpha=-a_{2}$ для $\varphi_{2}$. Третье решение может быть получено из них, если мы предположим, что преобразования Бэклунда, схематически изображенные на рис. 1.7, коммутируют:

Рис. 1.7.
Возьмем последовательность пар $\varphi_{0}, \varphi_{1} ; \varphi_{1}, \varphi_{3} ; \varphi_{2}, \varphi_{3}$ и $\varphi_{0}, \varphi_{2}$, затем сложим первую и третью, а вторую и четвертую вычтем. После этого члены с производными в (1.5.16) взаимно уничтожаются и получается
\[
a_{1} \sin \frac{1}{4}\left(\alpha_{0}-\varphi_{1}+\varphi_{2}-\varphi_{3}\right)=a_{2} \sin \left(\varphi_{0}+\varphi_{1}-\varphi_{2}-\varphi_{3}\right),
\]

что после несложных преобразований дает
\[
\operatorname{tg} \frac{1}{4}\left(\varphi_{0}-\varphi_{3}\right)=\left[\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{2}-a_{1}}\right] \operatorname{tg} \frac{1}{4}\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right) .
\]

Если взять $\varphi_{0}=0$, то $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ будут решениями типа единичного кинка (1.5.17) с $a=-a_{1}$ и $a=-a_{2}$ соответственно. Решение $\varphi_{3}$ получится таким:
\[
\varphi_{3}=4 \operatorname{arctg}\left[\left(\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{1}-a_{2}}\right) \frac{\exp \theta_{1}-\exp \theta_{2}}{1+\exp \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)}\right] .
\]

Это и есть двухкинковое решение при $a_{1}, a_{2}<0$, показанное на рис. 1.6. Это обобщение формулы Перринга и Скирма, описывающее лобовое столкновение кинка и антикинка с противоположными и разными скоростями. Решение (1.5.20) и другие решения из нескольких кинков могут быть получены также при использовании метода преобразования Коула-Хопфа. Это описывается в замечаниях к главе.