Раздел 3.1

1. Мы используем слово «разрешимость» в том смысле, в котором многие авторы используют слово «интегрируемость». Оно означает, что существует единственное обратимое преобразование уравнения в частных производных к новой системе переменных, в которой преобразованное уравнение в частных производных может быть проинтегрировано в явном виде. Однако в общем случае невозможно выписать решение уравнения в частных производных в явном виде при помощи обратного преобразования, хотя мы знаем, чंто оно существует. Когда начальные условия таковы, что позволяют это сделать, мы будем называть полученное решение точным решением уравнения в частных производных.

Путаница происходит из-за того, что некоторые авторы применяют термин «интегрируемость» для обозначения тех уравнений в частных производных, которые могут быть интерпретированы как бесконечномерные гамильтоновы системы, имеющие бесконечное количество законов сохранения, и, следовательно, nо аналогии с конечномерным случаем, являющиеся интегрируемыми.

2. Альтернативный подход к преобразованиям Бэклунда состоит в том, чтобы исследовать факторизации линейных операторов, ассоциированных с изучаемым уравнением. Результа:ы такого типа в дифференциальной алгебре были получены в статье Бёрчналла и Чанди [1922], хотя эти авторы ставили себе другие цели. Полезный обзор содержится в книге Айнса [1926, гл. 5]. Для того чтобы уравнение Шрёдингера (3.1.15) было факториг зуемо, требуется, чтобы
\[
\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\alpha q}{6}\right) \equiv\left(\frac{\partial}{\partial x}+u\right)\left(\frac{\partial}{\partial x}+v\right) .
\]

Это выполняется, если $u=-v, v_{x}-v^{2}=q / 6$, что является преобразованием Миуры. Перестановка в этой факторизации допустима при условии, что существует такая функция $Q$, что
\[
\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\alpha Q}{6}\right) \equiv\left(\frac{\partial}{\partial x}+v\right)\left(\frac{\partial}{\partial x}-v\right),
\]

а это вместе с предыдущей факторизацией и преобразованием Миуры приводит к автопреобразованию Бэклунда для уравнения КдФ.

Раздел 3.3

1. Лучшим обзором по уравнению Шрёдингера на полуоси является, вероятно, статья Фаддеева [1963]. Книга Аграновича и Марченко [1963] содержит наиболее полный анализ этого случая и его $n$-мерного обобщения. Обзор представляет собой, кроме того, интересный исторический очерк развития идей и технических средств, используемых при разработке этой задачи.

Что касается уравнения Шрёдингера на вещественной оси, $x \in R$, то еще раньше была опубликована статья Кея и Моузеса [1956], но в этой работе авторы применяют технику, развитую в их более ранних работах и применимую в более общей ситуации, что делает статью слишком трудной для чтения. Статья Фаддеева [1964] содержит условия, которым должны удовлетворять данные рассеяния, чтобы потенциал был убывающего типа (мы требуем в нашем случае, чтобы $\left.\int_{-\infty}^{\infty}\left(1+x^{2}\right)|Q(x)| d x<\infty\right)$, и эта статья была взята в качестве основы для этой и следующей главы.
В статье есть ошибка, Фаддеев упустил тот факт, что кроме условия $\int_{-\infty}^{\infty}(1+|x|)|Q(x)| d x<\infty$ требуется еще и второй момент для того, чтобы матрица рассеяния была непрерывна при $k=0$. Это условие впервые было выдвинуто Шаданом и Сабатье [1977], а потом Дейфтом и Трубовицем [1979]. Эта последняя статья содержит наиболее полный и детальный анализ обратной задачи рассеяния на вещественной прямой.

Раздел 3.4

1. Спектральное семейство в гильбертовом пространстве определяется следующим образом. Для $u \in L^{2}(\mathbb{K})$ определим ${ }_{\lambda} P$ :
\[
\begin{array}{c}
{ }_{\Delta} \mathrm{P} u(x)=\frac{1}{4 \pi} \int_{\Delta \cap(0, \infty)} \frac{1}{\lambda^{1 / 2}}\left(\frac{b}{a}\left(\lambda^{1 / 2}\right) \psi\left(x, \lambda^{1 / 2}\right) \psi\left(u, \lambda^{1 / 2}\right)+\right. \\
+\psi^{*}\left(x, \lambda^{1 / 2}\right) \psi\left(u, \lambda^{1 / 2}\right)+\frac{b}{a^{*}}\left(\lambda^{1 / 2}\right) \psi^{*}\left(x, \lambda^{1 / 2}\right) \psi^{*}\left(u, \lambda^{1 / 2}\right)+ \\
+\psi\left(x, \lambda^{1 / 2}\right) \psi^{*}\left(u, \lambda^{1 / 2}\right) d \lambda+\sum_{\lambda_{j} \in \Delta} D_{j} \psi_{j}(x) \psi_{j}(u)
\end{array}
\]

где $\psi\left(u, \lambda^{1 / 2}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} u(x)\left(x, \lambda^{1 / 2}\right) d x$
и $\Delta$ — интервал в $\mathbb{R}$. Оператор
\[
A=\int_{-\infty}^{\infty} A(\lambda) d_{\lambda} \mathbf{P}
\]

определяется как предел суммы $\sum_{i=1}^{n} A\left(\lambda_{i}\right)_{\Delta_{i}} P$, где $\lambda_{i}$ — произвольная точка интервала $\Delta_{i}$ и $\left\{\cup \Delta_{i}\right\}=\mathbb{R}$. В том случае, когда дискретный спектр отсутствует, $h_{1}(x, \lambda)=\psi\left(x, \lambda^{1 / 2}\right), h_{2}(x, \lambda)=$ $=\left(x,-\lambda^{1 / 2}\right)$ или $h_{2}(x, \lambda)=\varphi\left(x, \lambda^{1 / 2}\right)$ служат обобщенным порождающим базисом и матричная функция $H_{j k}(\Delta)=\left(h_{j}(\Delta)\right.$, $h_{k}(\Delta)$ ) является матричной функцией распределения для этого базиса. Они соответствуют в двух случаях (с точностью до множителя) функциям $F$ и $\sigma I$, введенным в разд. 3.4.
2. В теории рассеяния операторы Мёллера определяются так:
\[
\mathbf{U}_{+}==\underset{k \rightarrow \pm \infty}{\operatorname{strong}-\lim }\left(\exp (i k \mathbf{L}) \exp \left(-i k \mathbf{L}_{0}\right)\right) .
\]