Более богатая структура спектра оператора $\mathbf{L}$ по сравнению с оператором Шрёдингера (существование сингулярного спектра и кратных собственных значений) приводит к связацным с ним интегрируемым уравнениям, обладаюцим бо́льшим разнообразием точных решений. Таким образом, кроме солитонных решений, отвечающих этому методу, мы представим также некоторые решения, порожденные как кратными собственными значениями, так и точками сингулярного спектра. Дальнейшие осложнения могут возникнуть в том случае, когда спектр $\sigma$ (L) содержит сингулярную точку дисперсионных соотношений или когда $\Omega
eq$ $
eq-\Omega^{*}$. Однако эти случаи мы рассматривать ие будем. Мы изложим развитие асимптотической техники Захарова-Манакова [1976]. Это позволит нам определить асимптотический вид решений произвольного интегрируемого уравнения в отсутствие солитонных решений. Используя этот метод, мы сможем далее определить область пригодности таких решений. Снова, как в случае уравнения Шрёдингера, будет найдено преобразование Бэклунда, связывающее решения интегрируемых уравиений. Этот материал будет помещен в конце раздела.

Начнем с построения солитонных решений. Они получаются, когда слектр $\sigma(L)$ имеет только простые собственные значения, сингулярный спектр отсутствует и коэффициенты отражения суть нули. Для такого построения можно использовать либо $S_{+}$, либо $S_{-}$. Воспользуемся $S_{+}$и уравнением Марченко (6.2.3). Односолитонные решения для $Q$ и $R$ получаются, если взять
\[
\begin{array}{l}
F_{+}(x, t)=D_{+}(t) e^{i k x+\Omega(k) t}, \\
\bar{F}_{+}(x, t)=\bar{D}_{+}(t) e^{-(l \bar{k} x+\Omega(k) t)},
\end{array}
\]

где
\[
D_{+}(t)=-\frac{i b(k, t)}{a_{k}(k, i)}, \quad \bar{D}_{+}(t)=\frac{i 5(k, t)}{\bar{a}_{k}(k, t)}
\]
– нормировочные константы для связанных состояний, $\sigma(\mathrm{L})=$ $=\{k, k, \operatorname{Im} k>0, \operatorname{Im} k<0\}$. Рассмотрим билинейную форму
\[
\{u, v\}=\int_{x}^{\infty} u(y) v(y) d y
\]

и положим
\[
\{U, V\}=\left\{\left\{u_{1}, v_{1}\right\}, \quad\left\{u_{2}, v_{2}\right\}\right\}^{T} .
\]

Тогда уравнение Марченко (6.2.3) с помощью соответствующих скалярных произведений можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
\left\{\bar{K}_{+}(x, s, t) e^{-i k s}\right\}+\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right) D_{+}(t) e^{i k x}\left\{1, e^{t(k-\bar{k}) s}\right\}+ \\
\quad+D_{+}(t)\left\{1, e^{i(k-\bar{k}) s}\right\}\left\{K_{+}(x, s, t), e^{i k s}\right\}=0, \\
\left\{K_{+}(x, s, t), e^{i k s}\right\}+\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right) \bar{D}_{+}(t) e^{-i k x}\left\{1, e^{i(k-\bar{k}) s}\right\}+ \\
+\bar{D}_{+}(t)\left\{1, e^{(k-\bar{k}) s}\right\}\left\{K_{+}(x, s, t), e^{-i k s}\right\}=0,
\end{array}
\]

где $s$ – переменная интегрирования. Решая (6.3.6) относительно $\left\{K_{+}(x, s)\right.$, exp $(i k s)$ и $\left\{\bar{K}_{+}(x, s)\right.$, exp (-iks)\} и подставляя результаты в уравнение Марченко, получаем решения
\[
\begin{array}{l}
Q(x, t)=-2 K_{+1}(x, x, t)=2 \bar{D}_{+}(t) e^{-2 l k x} E^{-1}(x, t), \\
R(x, t)=-2 K_{+2}(x, x, t)=2 D_{+}(t) e^{2 l k x} E^{-1}(x, t),
\end{array}
\]

где
\[
E(x, t)=1+\frac{D_{+}(t) \bar{D}_{+}(t) e^{2 i(k-k)} x}{(k-\bar{k})^{2}}
\]

и
\[
D_{+}(t)=D_{+}(0) e^{\Omega(k) t}, \quad \bar{D}_{+}(t)=\bar{D}_{+}(0) e^{-\Omega(\bar{k}) t},
\]

в предположении, что $E(x, t)
eq 0$. Если, однако, $E(x, t)=0$, то для $\left\{\bar{K}_{+}, \exp (-i \overline{k s})\right\},\left\{K_{+}(x, s)\right.$, exp (iks) $\}$ существует бесконечно много решений, так что соответствующие уравнения Марченко не обладают единственными решениями.
Из (6.3.7) мы выводим также равенство
\[
\int_{x}^{\infty} Q(y, t) R(y, t) d y=\frac{2 i e^{2 i(k-k) x_{D}(t) \bar{D}_{+}(t)}}{(k-k) E},
\]

которое показывает, что интеграл $\int_{-\infty}^{\infty} t Q(y)_{t} R(y) d y$ не определен
для произвольных значений $t$ даже в том случае, когда начальные функции ограничены. Условня, которым следует подчинить $Q$ н $R$ для того, чтобы задача Коши имела единственное решение, были приведены в разд. 6.2.

Если предположить, что $E(x, t)
eq 0$, то решения можно представить в более солитоноподобном виде:
\[
\begin{array}{l}
Q(x, t)=A \operatorname{sech} \theta e^{-i \varphi}, \\
R(x, t)=\bar{A} \operatorname{sech} \theta e^{t \varphi},
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\theta(x, t)=\gamma+(1 / 2)(\Omega(k)-\Omega(\bar{k})) t+i(k-k) x \\
\Phi(x, t)=(k+\bar{k}) x-(1 / 2) i(\Omega(k)+\Omega(\bar{k})) t \\
e^{2
u}=\frac{D_{+}(0) \bar{D}_{+}(0)}{(\bar{k}-\bar{k})^{2}} \\
A=\bar{D}_{+}^{1 / 2}(0) D_{+}^{-1 / 2}(0)(k-\bar{k}) \\
\bar{A}=D_{+}^{1 / 2}(0) \bar{D}_{+}^{1 / 2}(0)(k-\bar{k}) .
\end{array}
\]

Таким образом, односолитонные решения для интегрируемых уравнений в предположении, что $\theta$ и $\varphi$ вещественны, представляют собой уединенные волновые пакеты с сохраняюцей форму (форму секанса) огибающей. Мы персчислим формы, которые могут принимать солитоны в соответствии со случаями вырождения, приводимыми в лемме 6.10.
(i) $R=+Q, Q$ комплексное
В этом случае решение становится сингулярным за конечное время и не может иметь формы, іриведенной в (6.3.10). В качестве примера положим $\Omega(k)=-8 i k$ и получим интегрируемое уравнение, являюцееся комплексным модифицированным уравнением Кортевега-де Фриза:
\[
Q_{t} \pm 6 Q^{2} Q_{x}-Q_{x x x}=0 .
\]
«Солитонное\” решение имеет вид

где
\[
Q(x, i)=e^{i \lambda(x, t)} f(x, t)+e^{-i \lambda(x, t)} g(x, t),
\]
\[
\begin{array}{l}
f=\xi(\operatorname{ch} \omega-\operatorname{sh} \omega)\left(\operatorname{ch}^{2} \omega-\sin ^{2} \lambda\right)^{-1}, \\
g=\xi(\operatorname{ch} \omega-\operatorname{sh} \omega)\left(\operatorname{ch}^{2} \omega-\sin ^{2} \lambda\right)^{-1}
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{c}
\omega(x, t)=2 \eta x+8 \eta\left(3 \xi^{2}-\eta^{2}\right) t, \quad \lambda=2 \xi x-8 \xi^{2}(\xi- \\
-3 \eta) t+\tau, \\
\gamma=\frac{\ln \left|D_{+}\right|}{4 \xi}-i \tau, \quad k=\xi+i \eta .
\end{array}
\]

Из вида решения становится ясно, что оно превращается в сингулярное за конечное время. Как правило, модели, отвечающне таким ситуациям, не физичны.
(ii) $R=-Q^{*}$
Заметим, что солитонные решения не появляются, когда $R=Q^{*}$, так как в этом случае задача (6.1.13) на собственные значения самосопряженная. Для случая (ii) $A=2 \eta \exp$ (一і ) и $\gamma=\ln \left(\left|D_{+}\right| / 2 \eta\right)$, где $k=\xi+i \eta$. Примером этого случая является нелинейное уравнение Шрёдингера, для которого $\Omega=$ $=4 i k^{3}$ :
\[
i Q_{t}+|Q|^{2} Q+Q_{x x}=0 .
\]

Односолитонное рещение дается выражением
$Q(x, t)=2 \eta \exp \left\{-i\left(2 \xi x+4\left(\xi^{2}-\eta^{2}\right) t+\tau\right)\right\} \operatorname{sech}\left(2 \eta\left(x-x_{0}\right)+8 \eta \xi t\right)$,
где $x_{0}=\gamma / 2 \eta$ есть положение максимума огибающей при $t=0$. Скорость $v$ солитона равна $-4 \xi$, а амплитуда $|A|$ равна $2 \eta$.
(iii) $R=\alpha Q=\alpha Q^{*}, \alpha$ вещественно

Тогда с необходимостью $k=i \eta=-\bar{k}, \eta>0$ и $\bar{D}_{+}=-D_{+} / \alpha=$ $=D_{\ddagger}^{*} / \alpha$, так что $A= \pm 2 \eta \alpha^{-1 / 2}$. В качестве примеров мы имеем
Модифицированное уравнение $К \partial \Phi\left(~\left(\Omega=8 i k^{3}, R= \pm Q\right)\right.$ :
\[
\begin{array}{c}
Q_{t} \pm 6 Q^{2} Q_{x}+Q_{x x x}=0, \\
Q(x, t)=2 \eta \alpha_{ \pm}^{-1 / 2} \operatorname{sech}\left(2 \eta\left(x-4 \eta^{2} t\right)-\gamma\right), \quad \text { где } \alpha_{ \pm}= \pm 1 .
\end{array}
\]

Уравнение $\sin$ Гордон ( $\Omega= \pm 1 / 2 i k, R=-Q=U_{\text {х }} / 2$ ):
\[
\begin{aligned}
U_{x t} & = \pm \sin U \\
Q(x, t) & =2 \eta \operatorname{sech}\left(\frac{1}{2 \eta}\left(4 \eta^{2} \pm t\right)-\gamma\right) \\
U(x, t) & =4 \operatorname{arctg}\left(\exp \left(\gamma-\frac{1}{2 \eta}\left(4 \eta^{2} x \pm t\right)\right)\right) .
\end{aligned}
\]

В этом случае, как было упомянуто в гл. 1 , решение для $U$ называется кинком. Скорость мКдФ-солитона равна $4 \eta^{2}$, а скорость кинка уравнения СГ, соответствующая выбору отрицательного знака у аргумента, равна $1 / 4 \eta^{2}$.

Важно отметить, что в случае, когда дисперсионное соотношение $(\Omega)$ содержит сингулярный член, хотя мы исключаем возможность совпадения собственного значения с сингулярностью, может оказаться, что собственное значение очень близко расположено от точки сингулярности. Так, в случае уравнения СГ, рассмотренного выше, и уравнения Конно и др. [1974] дисперсионное соотношение имеет сингулярность в точке $k=0$. Скорости соответствующих солитонов равны $1 / 4 \eta^{2}$ и $4 \eta^{2}+\alpha / 4 \eta^{2}$ соответственно. В физической системе координат эти модели имеют солитоны, которые могут передвигаться с предельной скоростью модели (например, скорость света (единица) в уравнении СГ).
$N$-солитонные решения получаются из уравнения Марченко в предположении, что спектр оператора $\mathbf{L}$ состоит лишь из простых собственных значений. В этом случае уравнение Марченко имеет вырожденное ядро и может быть решено с помощью стандартной техники линейной алгебры. Применяя оператор преобразования теоремы 6.7, запишем в таком случае уравнения Марченко (6.2.3) в виде
\[
\begin{array}{l}
\bar{K}_{+}(x, y)+\sum_{l=1}^{N} D_{+j} \psi_{j}(x) e^{i k_{j} y}=0 \\
K_{+}(x, y)+\sum_{j=1}^{N} \bar{D}_{+j} \bar{\psi}_{j}(x) e^{-i \bar{k}_{j} y}=0
\end{array}
\]

где
\[
\psi_{f}(x) \equiv \psi\left(x, k_{j}\right), \quad \bar{\psi}_{j}(x) \equiv \bar{\psi}\left(x, k_{j}\right) .
\]

Если положить
\[
f_{j}=\sqrt{i \bar{D}_{+j}} \psi_{j}, \quad \bar{f}_{j}=\sqrt{i \bar{D}_{+j}} \bar{\psi}_{j}
\]

и
\[
\lambda_{j}=\left(i D_{+j}\right)^{1 / 2} e^{i k} x, \quad \bar{\lambda}_{j}=\left(j \bar{D}_{+j}\right)^{1 / 2} e^{-i k_{j} x},
\]

то уравнения (6.3.11), (6.3.12) примут вид
\[
\begin{array}{l}
f_{s}(x)+\sum_{j=1}^{N} \frac{\lambda_{s} \bar{\lambda}_{j} f_{j}(x)}{\left(k_{s}-\bar{k}_{j}\right)}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right) \lambda_{s}, \\
f_{s}(x)+\sum_{j=1}^{N} \frac{\bar{\lambda}_{s} \lambda_{j} f_{j}(x)}{\left(k_{j}-\bar{k}_{s}\right)}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right) \bar{\lambda}_{s} .
\end{array}
\]

Если ввести в рассмотрение $2 N$-координатные векторы-столбцы $F=\left(f_{s}^{(1)}, \bar{f}_{s}^{(1)}\right)^{T}, \bar{F}=\left(f_{s}^{(2)}, \bar{f}_{s}^{(2)}\right)^{T}$, где индексы в скобках относятся к координатам, а нижний индекс пробегает значения от 1 до $N$, то уравнения (6.3.15) можно будет переписать в виде системы
\[
\begin{array}{l}
A F=\Lambda, \\
A \bar{F}=\bar{\Lambda},
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\Lambda=\left(0, \ldots, 0, \bar{\lambda}_{1}, \ldots, \bar{\lambda}_{N}\right)^{T}, \\
\bar{\Lambda}=\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}, 0, \ldots, 0\right)^{T}
\end{array}
\]

являются $2 N$-коордннатными векторами-столбцами. Тогда, согласно правилу Крамера (в предположении, что $\operatorname{det} A
eq 0$ ), если обозначить через $F(k) \quad k$-координату $F$, получаем, что
\[
F^{(k)}=\frac{\operatorname{det} A_{\{k\}}}{\operatorname{det} A},
\]

где $A_{(k)}$ получается из $A$ заменой $k$-го столбца на $\Lambda$. В частности, заметим, что если $1 \leqslant k \leqslant N$, то
\[
i \lambda_{k} F^{(k)}=\frac{\operatorname{det} A_{k}}{\operatorname{det} A} \text {, }
\]

где $A_{k}$ получается из $A$ дифференцированием $k$-го столбца по переменной $x$. Аналогично из (6.3.16) мы находим для $N+1 \leqslant$ $\leqslant k \leqslant 2 N$, что
\[
i \bar{\lambda}_{k-N} \bar{F}^{(k)}=\frac{\operatorname{det} A_{k}}{\operatorname{det} A} .
\]

Суммируя левые и правые части (6.3.18) и (6.3.19), приходим к выражению
\[
\left.i \sum_{i=1}^{N}\left(\lambda_{f} f\right)^{(1)}+\bar{\lambda}_{i} \bar{f}_{j}^{(2)}\right)=\sum_{i=1}^{2 N} \frac{\operatorname{det} A_{k}}{\operatorname{det} A}=\frac{\partial}{\partial x} \ln (\operatorname{det} A) .
\]

Этим результатом можно воспользоваться для получения точной формулы для произведения $Q$ и $R$. Возьмем асимптотические разложения для $\psi$ и $\Psi$ из леммы 6.10 и соответствующие разложения в $N$-солитонном случае из формул (6.2.2). Тогда мы получим равенства
\[
\left.\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{c}
Q \\
-\int_{x}^{\infty} R(y) Q(y) d y
\end{array}\right)=2 \sum_{j=1}^{N} \bar{D}_{+j} \bar{\psi}_{j} e^{-i k_{j} x}, \\
\left(\int_{x}^{\infty} R(y) Q(y) d y\right. \\
-R
\end{array}\right)=-2 \sum_{i=1}^{N} D_{+j} \psi_{j} e^{i k_{j} x},
\]

из которых вытекает соотношение
\[
\int_{x}^{\infty} R(y) Q(y) d y=i \sum_{j=1}^{N}\left(\lambda_{j} f f^{(1)}+\bar{\lambda}_{j} \bar{f}_{f}^{(2)}\right)=\frac{\partial}{\partial x} \ln (\operatorname{det} A) .
\]

Если продифференцировать это соотношение, мы получим формулу для произведения $R Q$, похожую на $N$-солитонную формулу разд. 4.3:
\[
R Q=-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \ln (\operatorname{det} A),
\]

где
\[
A=1+B \bar{B}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
B_{j s}=i \frac{\sqrt{D_{+j} \bar{D}_{+s}}}{\left(k_{j}-\bar{k}_{s}\right)} \exp \left[i\left(k_{j}-k_{s}\right) x\right], \\
\bar{B}_{j t}=i \frac{\sqrt{\bar{D}_{+j} D_{+s}}}{\left(k_{j}-k_{s}\right)} \exp \left[-i\left(k_{j}-k_{s}\right) x\right] .
\end{array}
\]

Невырожденность системы уравнений (6.3.16) следует, как показано в разд. 6.2, из единственности решения уравнения Марченко. В случае, когда $R=\alpha Q^{*}$ или $R=\alpha Q, Q$ вещественное, формула (6.3.23) дает соответственно модуль $N$-солитонного решення или квадрат $N$-солитонного решения.

Подобно случаю $N$-солитонного решения для интегрируемых уравнений, ассоциированных с изоспектральным уравнением Шрёдингера, здесь можно показать, что при некоторых условиях $N$-солитонное решение распадается на $N$ солитонов при $|t| \rightarrow \infty$. Дополнительные условия в этом случае необходимы, так как более богатая структура интегрируемых уравнений дает возможность солитонам не разделяться при $|t| \rightarrow \infty$. Из (6.3.10) мы находим, что в общем случае скорость солитона равна
\[
v=\operatorname{Re}\left(\frac{\Omega(k)-\Omega(k)}{2 i(k-k)}\right) .
\]

Так что если $k=\xi+i \eta=k=\bar{\xi}+i \bar{\eta}$, то получается уравнение вида
\[
h(\xi, \bar{\xi}, \eta, \bar{\eta} ; v)=0 \text {, }
\]

которое определяет семейство солитонов с одной и той же скоростью v. Если мы временно исключим такую возможность, то мы сможем упорядочить солитоны $N$-солитонного решения по их скоростям:
\[
v_{2}<v_{2}<\ldots<v_{N} .
\]

Мы будем рассматривать лишь тот случай, когда $R= \pm Q$, включающий, в частности, подслучай $R= \pm Q^{*}= \pm Q$. Из (6.3.13) и (6.3.14) легко находим, что
\[
\begin{array}{c}
\left|\lambda_{j}(x, t)\right|=\left|\lambda_{j}(0)\right| \exp \left(-\eta_{j} y_{j}\right), \\
y_{j}=x-v_{j} t .
\end{array}
\]

Итак, оказывается, что
\[
\begin{array}{l}
\text { при } y_{j} \rightarrow+\infty \quad\left|\lambda_{j}\right| \rightarrow 0 \text { для } j<m \text {, } \\
\text { при } \quad y_{j} \rightarrow-\infty \quad\left|\lambda_{j}\right| \rightarrow \infty \text { для } j>m \\
\end{array}
\]

вдоль линии $y_{m}=$ const, когда $|t| \rightarrow \infty$. Таким образом, система (6.3.16) для $N$-солитонных решений сводится в этом пределе к редуцированной системе уравнений вида
\[
\begin{array}{l}
f_{m}^{(1)}+\frac{\left|\lambda_{m}\right|}{2 i \eta_{m}} f_{m}^{(2) *}=-\lambda_{m} \sum_{j=m+1}^{N} \frac{1}{\left(k_{m}-k_{j}^{*}\right)} g_{j}^{(2) *}, \\
\frac{\left|\lambda_{m}\right|^{2}}{2 i \eta_{m}} f_{m}^{(1)}+f_{m}^{(2) *}=\lambda_{m}^{*}+\lambda_{m}^{*} \sum_{j=m+1}^{N} \frac{g_{j}^{(1)}}{\left(k_{m}^{*}-k_{j}\right)}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
\sum_{j=m+1}^{N} \frac{1}{\left(k_{l}-k_{j}^{*}\right)} g_{j}^{(2) *}=-\frac{\lambda_{m}^{*}}{\left(k_{l}-k_{m}\right)} f_{m}^{(2) *}, \\
-\sum_{j=m+1}^{N} \frac{g_{j}^{(1)}}{\left(k_{l}^{*}-k_{j}\right)}=1+\frac{\lambda_{m} f_{m}^{(1)}}{\left(k_{l}^{*}-k_{m}\right)},
\end{array}
\]

где мы ввели следующие обозначения:
\[
g_{l}=\lambda_{l} f_{t}, \quad f_{t}=\left(f^{(1)}, f_{t}^{(2)}\right)^{T} .
\]

Мы можем решить (6.3.31) тем же путем, каким Захаров и Шабат [1972] решили аналогичную систему уравнений для нелинейного уравнения Шрёдингера ( $v_{j}=-4 \xi_{j}$ ). Решение представляется в виде
\[
g_{j}^{(1)}=a_{i}+\frac{2 i \eta_{m}}{a_{m}} \frac{a_{i} f_{m}^{(2)} \lambda_{m}}{\left(k_{j}-k_{m}\right)}, \quad g_{j}^{(2)}:=\frac{2 i \eta_{m}}{a_{m}} \frac{a_{f} f_{m}^{(1) \lambda_{m}}}{\left(k_{j}-k_{m}\right)},
\]

где
\[
\begin{aligned}
a_{I} & =\prod_{\rho=m+1}^{N}\left(k_{j}-k_{p}^{*}\right) / \prod_{m<p
eq j}\left(k_{j}-k_{p}\right), \\
a_{m} & =2 i \eta_{m} \prod_{p=m+1}^{N} \frac{k_{m}-k_{p}^{*}}{k_{m}-k_{p}} .
\end{aligned}
\]

Наконец, мы получим из (6.3.30) уравнения
\[
\begin{array}{c}
f_{m l}+\frac{\left|\lambda_{m}^{+}\right|^{2}}{2 i \eta_{m}} f_{m 2}^{*}=0, \\
\frac{\left|\lambda_{m}^{+}\right|^{2}}{2 i \eta_{m}} f_{m 1}+f_{m 2}^{*}=\left(\lambda_{m}^{+}\right)^{*},
\end{array}
\]

где
\[
\lambda_{m}^{+}=\lambda_{m} \prod_{p=m+1}^{N} \frac{\left(k_{m}-k_{p}\right)}{\left(k_{m}-k_{p}^{*}\right)} .
\]

Если сравнить эту формулу с выражением (6.3.15) для односолитонного случая, то легко обнаружить, что формула (6.3.34) представляет солитон со смещенным максимумом $x_{0 m}^{+}\left(x_{0}=\operatorname{Re} \gamma / 2 \eta\right)$ и фазой $\tau^{+}(\tau=\arg (A / 2 \eta))$ по сравнению с тем, который при $t=0$ задается формулами:
\[
\begin{array}{c}
x_{0 m}^{+}-x_{0 m}=\frac{1}{\eta_{m}} \sum_{p=m+2}^{N} \ln \left|\frac{k_{m}-k_{p}}{k_{m}-k_{p}^{*}}\right|<0, \\
\tau_{m}^{+}-\tau_{m}=-2 \sum_{p=m+1}^{N} \arg \left(\frac{k_{m}-k_{p}}{k_{m}-k_{p}^{*}}\right) .
\end{array}
\]

Для $t \rightarrow-\infty$ аналогичные формулы получаются из соотношения
\[
\lambda_{m}^{-}=\lambda_{m} \prod_{p=1}^{m-1} \frac{k_{m}-k_{p}}{k_{m}-k_{p}^{*}} .
\]

Эти формулы позволяют дать следующую интерпретацию $N$-солитонному решению. Когда $t \rightarrow-\infty$, решение разбивается на $N$ солитонных решений с самым медленным солитоном впереди и самым быстрым сзади. Когда $t \rightarrow+\infty$, расположение солитонов меняется на обратное. Полное изменение в положении центра и фазы $m$-го солитона в решении, когда $t$ меняется от $-\infty$ до $\infty$, дается формулами
\[
\begin{array}{c}
\Delta x_{0 m}=x_{0 m}^{+}-\overline{x_{0 m}}=\frac{1}{\eta_{m}}\left(\sum_{j=m+1} \ln \left|\frac{k_{m}-k_{j}}{k_{m}-k_{j}^{*}}\right|-\sum_{j=1}^{m-1} \ln \left|\frac{k_{m}-k_{j}}{k_{m}-k_{j}^{*}}\right|\right), \\
\Delta \tau_{m}=\tau_{m}^{+}-\tau_{m}^{-}=2 \sum_{j=1}^{m-1} \arg \left(\frac{k_{m}-k_{j}}{k_{m}-k_{j}^{*}}\right)-2 \sum_{j=m+1}^{N} \arg \left(\frac{k_{m}-k_{j}}{k_{m}-k_{j}^{*}}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, $N$-солитонное решение можно рассматривать как представляющее попарное столкновение $N$ солитонов. Эти столкновения упорядочены по скоростям, так что каждый солитон взаимодействует лишь один раз с другим солитоном. Многочастичные эффекты здесь не возникают.

В случае, упомянутом ранее, когда имелось $N$-солитонное решение, односолитонные компоненты которого движутся с одной и той же скоростью, очевндно, что приведенный выше анализ неприменим, а решение представляет связанное состояние. В случае нелинейного уравнения Шрёдингера связанное состояние получается из мультисолитонных решений, солитонные компоненты которых характеризуются различными собственными значениями, удовлетворяющими уравнению $\operatorname{Re} k=k_{0}$. Для уравнений мКдФ и $\mathrm{C}$ ограничения на собственные значения имеют вид $4(\operatorname{Re} k)^{2}-$ – $|k|^{2}=k_{0}$ и $|k|=k_{0}$ соответственно. Частный случай для уравнения СГ задается парой собственных значений ( $\left.k,-k^{*}\right)$, $\operatorname{Im} k>0$ :
\[
\begin{array}{c}
U(x, t)=4 \operatorname{arctg}\left(\frac{\eta \cos \xi\left(2 x \mp t / 2 k_{0}^{2}+\alpha\right)}{\xi \operatorname{ch} \eta\left(2 x \pm i / 2 k_{0}^{2}+\beta\right)}\right), \\
\alpha=\left(\gamma+\gamma^{*}\right) / 2 \xi, \quad \beta=-i\left(\gamma-\gamma^{*}\right) / 2 \eta .
\end{array}
\]

В частности, в физической системе координат $X=x+t, T=$ $=x-t$ значение $|k|=1 / 2$ дает колебательное решение с фиксированным местоположением. Решения могут быть получены непосредственно, либо прямым решением уравнения Марченко, либо с помощью метода Хироты, обсуждавшегося в гл. 1. В конце этой главы мы покажем, как эти решения можно получить с помощью преобразований Бэклунда. Зачастую этот метод оказывается наиболее простым, особенно в двухсолитонном случае.

Другое полезное применение техники преобразования Бэклунда относится к нахождению решений, соответствующих кратным собственным значениям. В общем методе требуется решить уравнение Марченко с подходящими нормировочными многочленами. Другой способ – рассматривать решения такого тила как результат слияния двух или более простых собственных значеннй, хотя прямое применение этой идеи к $N$-солитонным решениям пока не было осуществлено. В случае кратных собственных значений нормировочные многочлены нелинейного уравнения Щрёдингера (6.1.87) можно записать в виде

где
\[
P_{+}(x, t)=\left(a_{1}(t)+a_{2}(t) x\right) e^{i k x},
\]
\[
\begin{array}{l}
a_{1}(t)=a_{1}(0)(1+8 \gamma k t) e^{4 i k^{2} t}, \\
a_{2}(t)=a_{2}(0) e^{4 i k^{2} t} .
\end{array}
\]

Захаров и Шабат [1972] получили решение

где
\[
Q(x, t)=\left(\frac{-4 \eta f^{*} 2 a_{2}^{*}}{1+\left|a_{2}\right|^{2}|f|^{4}}\right) \times\left(\frac{-2+|f|^{4} g a_{2}^{*}}{1+|g|^{2}|f|^{4}}\right),
\]
\[
g=\frac{2 \eta\left(a_{1}+2\left(x+\frac{1}{2 \eta}\right) a_{2}\right)}{1+\left|a_{2}\right|^{2}|f|^{4}}, \quad f=\frac{e^{i k x}}{2 \eta},
\]

прямо решая уравненне Марченко. Фактически в этом случае они показали, что связанное состояние, отвечающее двум различным собственным значениям ( $\left.k_{1}=i \eta_{1}, k_{2}=i \eta_{2}\right)$, является периодическим с частотой, характеризуемой разностью $\eta_{1}^{2}-\eta_{2}^{2}$. В пределе, когда $k_{2} \rightarrow 0$, колебания затухают и решение превращается в солитон. Переход к пределу $k_{2} \rightarrow k_{1}$ дает апериодическое решение, представленное формулой (6.3.42). Асимптотнческий анализ при $|t| \rightarrow \infty$ показывает, что решение представляется в виде суперпознции двух солитонов с амплитудой $\eta$, расстояние между которыми увеличивается со временем как $\ln \left(4 \eta^{2} t\right)$. В конце этого раздела мы покажем, как можно получить некоторые из этих решений, используя преобразования Бэклунда.

Остается еще один тип частных решений, который стоит рассмотреть, – это те решения, которые возникают вследствие наличия сингулярного спектра у начального оператора $\mathbf{L}_{\mathbf{0}}=$ $=\mathbf{L}(Q(x, 0))$. Этот вид решений, по-видимому, нигде не изучался подробно, исключая однн частный случай, когда $a(0)=0$, $\bar{a}(0)=0$ (Абловиц и др. [1974]).

При $k=0$ решения Поста уравнения (6.1.13) могут быть точно указаны, если $R=\alpha Q$ :
\[
\begin{array}{l}
{ }_{0} \varphi(x)=\left(\begin{array}{c}
\operatorname{ch}\left(\alpha^{1 / 2} \int_{-\infty}^{x} Q(y) d y\right) \\
\alpha^{1 / 2} \operatorname{sh}\left(\alpha^{1 / 2} \int_{-\infty}^{x} Q(y) d y\right)
\end{array}\right), \\
{ }_{0} \psi(x)=\left(\begin{array}{c}
\alpha^{-1 / 2} \operatorname{sh}\left(-\alpha^{1 / 2} \int_{x}^{\infty} Q(y) d y\right) \\
\operatorname{ch}\left(-\alpha^{1 / 2} \int_{x}^{\infty} Q(y) d y\right)
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

В этом случае
\[
\bar{a}(0)=a(0)=\operatorname{ch}\left(\alpha^{1 / 2} \int_{-\infty}^{\infty} Q(y) d y\right),
\]

так что требование $a(0)=0$ равносильно равенству
\[
\alpha^{1 / 2} \int_{-\infty}^{\infty} Q(y) d y=i\left(\frac{\pi}{2}+m \pi\right), \quad m \in Z .
\]

В частности, для уравнения $\operatorname{C\Gamma } U_{x} / 2=Q=R$ и $U$ удовлетворяет граничным условиям ( $\pi / 2+m \pi$ )-импульса (имеется в виду площадь под $Q$ ):
\[
\begin{array}{lll}
U \rightarrow 0 & \text { при } & x \rightarrow-\infty, \\
U \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}+m \pi\right) & \text { при } & x \rightarrow+\infty .
\end{array}
\]

Как показал Лэм [1977], эти решения получаются из автомодельной формы уравнения СГ. Поскольку уравнение СГ обладает масштабной симметрией $x \rightarrow l x, t \rightarrow t^{-1} t$, то соответствующей автомодельной переменной является $z=x t$, и СГ-уравнение преобразуется к следующему виду:
\[
z V_{z z}+V_{z}-\sin V=0, \quad V(z)=U(x t) .
\]

В действительности это уравнение преобразуется к каноническому виду – уравнению, определяющему третий трансцендент Пенлеве (Айнс (1956]). Нужные нам решения – это, очевидно, решения уравнения (6.3.48) с граничными условиями (6.3.47).

Возможность присутствия сингулярного спектра делает анализ устойчивости солитонов технически трудным. В случае, когда такой спектр отсутствует, Захаров и Шабат [1972] показали, что солитон остается устойчивым относительно возмущений, вызываемых непрерывным спектром, для (самофокусирующегося) нелинейного уравнения Шрёдингера. Работа Абловица и Сегура [1977] показала, что сингулярный спектр приводит к бесстолкновительным ударным волнам в длинноволновых асимптотических разложениях решений нелинейного уравнения Шрёдингера в случаях, когда солитоны отсутствуют. Этот результат, возможно, применим к другим интегрируемым уравнениям. Он соответствует аномальному поведению коэффициента отражения в уравнении Марченко для изоспектрального оператора Шрёдингера (разд. 4.3).
Если функция рассеяния а удовлетворяет условию
\[
|a(k)-1|<1 \text {, }
\]

то очевидно, что $a$ не имеет нулей в полуплоскости $\operatorname{Im} k \geqslant 0$. В этом случае из интегрального представления (6.1.38) для $a$ мы находим, что
\[
\begin{array}{l}
|a(k)-1| \leqslant \int_{-\infty}^{\infty}|Q(y)| e^{l k y} \varphi_{2}(y, k) \mid d y \leqslant \\
\leqslant \int_{-\infty}^{\infty}\left|P(y) \| e^{i k y} \varphi(y, k)\right| d y \leqslant \exp \left(S_{0}(\infty)\right)-1 . \\
\end{array}
\]

Таким образом, условие, обеспечивающее отсутствие солитонов или решений, отвечающих сингулярному спектру в начальном операторе, имеет вид
\[
S_{0}(\infty, 0)<\ln 2 \text { или } \int_{-\infty}^{\infty}(|Q(x, 0)|+R(x, 0) \mid) d x<0.35 \text {. }
\]

Более точный анализ для начального оператора $\mathbf{L}_{0}$, имеющего лиш непрерывный спектр, дает оценку
\[
\left(\int_{-\infty}^{\infty}|R(x, 0)| d x\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty}|Q(x, 0)| d x\right)<0.817 .
\]

Оценка для наибольшего по абсолютной величине собственного значения $k_{0}$ может быть получена из асимптотических разложений леммы 6.3. Таким образом, предполагая, что
\[
\operatorname{Re}\left\{\int_{-\infty}^{\infty} R(x, 0) Q(x, 0) d x\right\}<0,
\]

получаем соотношение
\[
2 i k_{0} \approx \int_{-\infty}^{\infty} R(x, 0) Q(x, 0) d x .
\]

Лучшие оценки для $k_{0}$ можно получить, если включить дальнейшие члены в асимптотическое разложение для $a(k)$ и решить полиномиальное уравнение, получающееся после приравнивания правой части разложения к нулю, полагая, что $k=k_{0}$. Получается, что если
\[
\operatorname{Re}\left\{\int_{-\infty}^{\infty} R(x, 0) Q(x, 0)\right\} d x>0,
\]

то начальный оператор не имеет дискретного спектра.
До сих пор мы не рассматривали общего решения интегрируемого уравнения. Когда начальные данные таковы, что начальный оператор $\mathrm{L}_{0}=(Q(x, 0))$ имеет лишь непрерывный спектр, можно дать описание решения в асимптотической (большие времена) области, используя вполне стандартные асимптотические методы. Как было упомянуто в разд. 4.3, существует много других подходов, и обычно для получения равномерно пригодных решений на всей вещественной оси пользуются комбинацией этих методов. Один из интересных аспектов такого анализа, приводящий к изуqению интегрируемых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, связан с существованием области, определяемой решениями эволюционного уравнения в автомодельной форме. Для АКНС-системы некоторые из этих решений не приводятся к известным трансцендентным функциям анализа и поэтому называются трансцендентами Пенлеве. Мы не даем полного асимптотического описания решений для больших времен для системы $\mathrm{AKHC}$, за исключением случая нелинейного уравнения Шрёдингера.

Мы снова отсылаем читателя к разд. 4.3, где приводятся результаты асимптотического анализа для уравнения КдФ, иллюстрирующие комментарии, изложенные выше.

Здесь мы опишем и применим технику, созданную Захаровым и Манаковым для получения решений интегрируемых уравнений в одной из почти-линейных асимптотических областей. Этот метод интересен по многим причинам, Во-первых, поскольку метод отталкивается от задачи рассеяния, результаты могут быть получены для целого класса интегрируемых уравнений. Специфическая информация об индивидуальном уравнении (в действительности, дисперсионное соотношение $\Omega$ ) добавляется лишь на фннальной стадии. Во-вторых, метод восстанавливает решение в терминах начальных данных. По существу этот метод следовало бы назвать асимптотическим методом обратной задачи рассеяния.

Этот метод может быть применен к двум типам уравнений, принадлежащим к тем интегрируемым уравнениям, для которых $\bar{\Omega}=-\Omega$ :
(i) $R= \pm Q^{*}$.
(ii) $R= \pm Q^{*}= \pm Q$.

Если мы сделаем замену переменных в $(6,1,13$ )
\[
u_{1}=-i y_{2} e^{-i k x}, \quad u_{2}=y_{1} e^{i k x},
\]

то получим систему, примененную Захаровым и Манаковым для нелинейного уравнения Шрёдингера (ii):
\[
\begin{array}{l}
i u_{1 x}-\left(R e^{i \lambda x}\right) u_{2}=0 . \\
i u_{2 x}+\left(Q e^{-i \lambda x}\right) u_{1}=0 . \\
\end{array}
\]

Мы сейчас предположим, что мы находимся в асимптотической области, характеризуемой почти линейным поведением типа ВКБ. Тем самым мы предполагаем, что $R$ и $Q$ могут быть представлены как медленно меняющиеся амплитуды, модулирующие быстро меняющуюся фазу. Итак, предполагается, что $Q$ допускает следующие представления в каждом из двух случаев:
(i) $\quad Q=\varepsilon^{1 / 2} A(\varepsilon x) e^{i \Phi}, \quad \Phi=\varepsilon^{-1} p(e x)$;
(ii) $Q=\varepsilon^{1 / 2} A(\varepsilon x) \cos \Phi, \quad \Phi=\varepsilon^{-1} p(\varepsilon x)$.

Параметр $\varepsilon$ еще подлежит определению, но уже ясно, что он должен зависеть от $t$. Позже будет оправдана форма $\varepsilon^{1 / 2} A(\varepsilon x)$, в которой представлена амплитуда. В случае (i) мы применяем метод многомасштабных разложений, который в этом случае оперирует только с двумя масштабами ( $X=\varepsilon x, \theta=\Phi-\lambda)$, в то время как случай (ii) требует трех масштабов ( $X=\varepsilon x, \theta_{1}=$ $\left.=\Phi-\lambda x, \theta_{2}=\Phi+\lambda x\right)$. Здесь мы подробно излагаем случай (ii) и приводим результаты для случая (i). Уравнения, которыми мы будем заниматься, имеют вид
\[
\begin{array}{l}
i u_{1 x} \mp \varepsilon^{1 / 2} A\left(e^{i \theta_{1}}+e^{-i \theta_{1}}\right) u_{2}=0, \\
i u_{3 x}+\varepsilon^{1 / 2} A\left(e^{i \theta_{1}}+e^{-i \theta_{2}}\right) u_{1}=0 .
\end{array}
\]

Из сделанных нами предположений вытекает, что
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial x}=\varepsilon \frac{\partial}{\partial X}+\theta_{1 x} \frac{\partial}{\partial \theta_{1}}+\theta_{2 x} \frac{\partial}{\partial \theta_{2}}, \\
u_{1}(x) \equiv U\left(X, \theta_{j}, \varepsilon^{1 / 2}\right)=\sum_{i=0} U_{i}\left(X, \theta_{j}\right)\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)^{i} \quad \text { при } \quad \varepsilon \rightarrow 0, \\
u_{2}(x) \equiv V\left(X, \theta_{j}, \varepsilon^{1 / 2}\right)=\sum_{i=0} V_{i}\left(X, \theta_{j}\right)\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)^{i} \quad \text { при } \quad \varepsilon \rightarrow 0 .
\end{array}
\]

Запишем равенства, получающиеся при приравнивании коэффициентов разложения по степеням $\varepsilon^{1 / 2}$ :
\[
\begin{array}{l}
i\left(\theta_{1 x} U_{1 \theta_{1}}+\theta_{2 x} U_{2 \theta_{3}}\right) \mp A\left(e^{i \theta_{3}}+e^{-i \theta_{1}}\right) V_{0}=0, \\
i\left(\theta_{1 x} V_{2 \theta_{1}}+\theta_{2 x} V_{2 \theta_{3}}\right)+A\left(e^{i \theta_{1}}+e^{-i \theta_{2}}\right) U_{0}=0 \quad\left(e^{1 / 2}\right), \\
i\left(\theta_{1 x} U_{2 \theta_{1}}+\theta_{2 x} U_{2 \theta_{2}}\right)+i U_{0 x} \mp A\left(e^{i \theta_{3}}+e^{-i \theta_{1}}\right) V_{1}=0, \\
i\left(\theta_{1 x} V_{2 \theta_{1}}+\theta_{2 x} V_{2 \theta_{3}}\right)+i V_{0 x}+A\left(e^{i \theta_{1}}+e^{-i \theta_{2}}\right) U_{1}=0
\end{array}
\]

Приравнивание коэффициентов при $\varepsilon^{0}$ дает $U_{0}=U_{0}(X), V_{0}=$ $=V_{0}(X)$. Поскольку $\theta_{i x}=\theta_{i x}(X)$, то мы можем легко проинтегрировать (6.3.65) после следующей замены независимой переменной:
\[
\begin{array}{c}
U_{1}=\mp A\left(\frac{e^{i 0_{2}}}{\theta_{2 x}}-\frac{e^{-i \hat{0}_{1}}}{\theta_{1 x}}\right) V_{0}, \\
V_{1}=A\left(\frac{e^{i \theta_{1}}}{\theta_{1 x}}-\frac{e^{-i \theta_{2}}}{\theta_{2 x}}\right) U_{0} .
\end{array}
\]

Эти формулы имеют смысл, если мы не находимся в резонансной области, где
\[
\theta_{1 x} \approx 0 \text { или } \theta_{2 x} \approx 0 .
\]

В противном случае асимптотические разложения (6.3.62) (6.3.64) оказываются некорректными. Для того чтобы предотвратить появление секулярных членов при порядке е, когда в (6.3.66) подставляется (6.3.67), (6.3.68), мы потребуем, чтобы
\[
\begin{array}{l}
i U_{0 x} \mp A^{2}\left(\frac{1}{\theta_{1 x}}-\frac{1}{\theta_{2 x}}\right) U_{0}=0, \\
i V_{0 x} \pm A^{2}\left(\frac{1}{\theta_{1 x}}-\frac{1}{\theta_{2 x}}\right) V_{0}=0 .
\end{array}
\]

Если мы отождествим вышенаписанные разложения с решением, для которого $\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(u_{1}, u_{2}\right)=(0,1)$, то мы сможем проинтегрировать (6.3.70) и получить
\[
U_{0}=0 \text {, }
\]
\[
V_{0}=\exp \left[ \pm i \int_{-\infty}^{X} A^{2}\left(\frac{i}{\theta_{1 x}}-\frac{1}{\theta_{2 x}}\right) d X\right] .
\]

Мы будем предполагать, что для заданного $\lambda$ существует единственная точка $x_{0}$, удовлетворяющая уравнению
\[
\Phi_{x}\left(x_{0}\right) \pm \lambda=0,
\]

для которой выше написанные разложения теряют смысл. Это предположение совместимо с классом уравнений, который мы рассматриваем в данном методе. Поскольку $x_{0}$ меняется, можно записать, что $x_{0}=x(\lambda)$. Предположим дополнительно, что $\lambda>0$. В резонансной области, определенной формулой (6.3.72), введем переменную
\[
Z=\left(x-x_{0}\right) \Phi_{x x}^{1 / 2}\left(x_{0}\right)
\]

и предположим, что $\Phi_{x x}\left(x_{0}\right)>0$. Принимая во внимание, что при $x \rightarrow x_{0}$
\[
\Phi(x)=\Phi\left(x_{0}\right)+\lambda\left(x-x_{0}\right)+\frac{1}{2}\left(x-x_{0}\right) \Phi_{x x}\left(x_{0}\right)+O\left(\left(x-x_{0}\right)^{3}\right),
\]

перепишем уравнения $(6.3 .61)$ в виде
\[
\begin{array}{l}
i\left(\Phi_{x x}^{1 / 2}\left(x_{0}\right) u_{1 z}+\theta_{1 x} u_{1 \theta_{1}}+\theta_{2 x} u_{1} \theta_{2}\right) \mp \\
\mp \varepsilon^{1 / 2} A\left(X_{0}\right)\left(e^{2 i \Phi}+1\right) \exp \left[-i\left(\Phi\left(x_{0}\right)-\lambda x+\frac{1}{2} Z^{2}\right) u_{2}\right]=0 \\
i\left(\Phi_{x x}^{1 / 2}\left(x_{0}\right) u_{2 z}+\theta_{1 x} u_{2 \theta_{1}}+\theta_{2 x} u_{2 \theta_{2}}\right) \\
\left.\quad+\varepsilon^{1 / 2} A\left(X_{0}\right)\left(e^{-2 i \Phi}+1\right) \exp \left[i\left(\Phi\left(x_{0}\right)-\lambda x_{0}+\frac{1}{2} Z^{2}\right) u_{1}\right]=0.75\right)
\end{array}
\]

Из предположения о форме $\Phi, \Phi=\mathbf{e}^{-1} p(\varepsilon x)$, выводим, что $\Phi_{x x}=$ $=\varepsilon \ddot{p}$. Следовательно,
\[
\Phi_{x x}\left(x_{0}\right)=\varepsilon \ddot{p}\left(X_{0}\right) \equiv \varepsilon g^{2}\left(X_{0}\right) .
\]

Соответствующие асимптотические разложения для $u_{1}, u_{2}$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
u_{1}(x) \equiv \bar{U}\left(Z, \Phi, \varepsilon^{1 / 2}\right)=\sum_{i=0} \bar{U}_{i}(Z, \Phi)\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)^{i}, \\
u_{2}(x) \equiv \bar{V}\left(Z, \Phi, e^{1 / 2}\right)=\sum_{i=0} V_{i}(Z, \Phi)\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)^{i}
\end{array}
\]

В этом случае, приравнивая коэффициенты при степенях $\mathbf{e}^{1 / 2}$, мы получим в качестве уравнений порядка $O(1)$ соотношения $\bar{U}_{0}=\bar{U}_{0}(Z), \bar{V}_{0}=\bar{V}_{0}(Z)$.

Для того, чтобы предотвратить появление сингулярностей при $O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)$, нужно требовать, чтобы выполнялись соотношения
\[
\begin{array}{c}
\bar{V}_{0 z z}-i Z \bar{V}_{0 z} \pm \alpha^{2} V_{0}=0 \\
\bar{U}_{0}=-i \exp \left[-i\left(\Phi\left(x_{0}\right)-\lambda x_{0}+\frac{1}{2} Z^{2}\right)\right] \bar{V}_{0 z} / \alpha
\end{array}
\]

где
\[
\alpha^{2}(\lambda)=A^{2}\left(X_{0}\right) g^{-2}\left(X_{0}\right), \quad x_{0}=x_{0}(\lambda) .
\]

Из (6.3.75), (6.3.76) следует, что для получения нетривиального результата в этом порядке необходимо требовать, чтобы амплитуда имела вид $\left(\varepsilon^{1 / 2} A(X)\right.$ ) – тот самый, который мы вначале выбрали. Следовательно, наш начальный выбор оправдан. Решения (6.3.78) могут быть выражены через функции параболического цилиндра (А. Эрдейи и др. [1953])
\[
\bar{V}_{0}=e^{i Z^{1 / 4}}\left(c_{1} D_{-1 \mp i \alpha^{*}}\left(Z i^{-1 / 2}\right)+c_{2} D_{-1 \mp i \alpha^{s}}\left(-Z i^{-1 / 2}\right)\right) .
\]

Для сшивки решений в резонансной и асимптотической областях нам понадобятся пределы $Z \rightarrow-\infty$ в (6.3.79) и $X \uparrow X_{0}(\lambda)$ в (6.3.71). Нужное нам асимптотическое поведение функций параболического цилиндра представляют следующие формулы:
\[
\begin{array}{c}
D_{-1 \mp i \alpha^{2}}\left(Z e^{-i \pi / 4}\right)=e^{-i \pi / 4} e^{i Z^{2} / 4} e^{\mp \pi \alpha^{3} / 4} Z^{\mp i \alpha^{2}-1}+O\left(|Z|^{-2}\right) \\
\text { при } Z \rightarrow+\infty, \quad(6.3 .80) \\
D_{-1 \mp i \alpha^{3}}\left(-Z e^{-i \pi / 4}\right)=\frac{\sqrt{2 \pi}}{\Gamma\left(1 \pm i \alpha^{3}\right)} e^{ \pm \pi \alpha^{z} / 4} Z^{ \pm i \alpha^{z}} e^{-i Z^{z} / 4}+ \\
+e^{-3 \pi i / 4} e^{ \pm 3 \pi \alpha^{2} / 4} Z^{-1 \pm i \alpha^{z}} e^{i Z^{1} / 4}+O\left(|Z|^{-2}\right) \text { при } Z \rightarrow+\infty .
\end{array}
\]

В области перекрытия, интегрируя (6.3.71) по частям, получим, что
\[
\begin{array}{l}
U_{0}=0 \\
V_{0}=\left|\frac{\left(X-X_{0}\right) g^{2}}{2 \lambda}\right|^{ \pm i \alpha^{2}} \exp \left[\mp i \int_{-\infty}^{X_{0}} \ln \left|\frac{\theta_{1 x}}{\theta_{2 x}}\right| \frac{d}{d X}\left(\frac{A^{2}}{\Phi_{x X}}\right) d X\right] .
\end{array}
\]

Из равенств (6.3.79) и (6.3.82) находим, что
\[
\begin{array}{l}
c_{2}=c_{1} e^{ \pm \pi \alpha^{4}}, \\
c_{1}=\left(\frac{g \varepsilon^{1 / 2}}{2 \lambda}\right)^{ \pm i \alpha^{2}} \frac{\Gamma\left(1 \pm i \alpha^{2}\right)}{\sqrt{2 \pi}} e^{\mp \pi \alpha^{2} / 4} \exp \left[\mp i \int_{-\infty}^{X_{0}} \ln \left|\frac{\theta_{1 x}}{\theta_{2 x}}\right| \frac{d}{d X}\left(\frac{A^{2}}{\Phi_{x x}}\right) d X\right] .
\end{array}
\]

При $X \rightarrow+\infty$ имеем $\left(u_{1}, u_{2}\right)=(-i b, a)$, и (6.3.70) в этой области дает
\[
\begin{array}{l}
U_{0}=-i b \exp \left[ \pm i \int_{X}^{\infty} A^{2}\left(\frac{1}{\theta_{1 x}}-\frac{1}{\theta_{3 x}}\right) d X\right] \\
V_{0}=\alpha \exp \left[\mp i \int_{X}^{\infty} A^{2}\left(\frac{1}{\theta_{1 x}}-\frac{1}{\theta_{3 x}}\right) d X\right] .
\end{array}
\]

Когда $X ! X_{0}(\lambda)$, эти функции сшиваются с $\bar{U}_{0}, \bar{V}_{0}$ в пределе при $Z \rightarrow+\infty$ :
\[
\begin{array}{l}
U_{0}=-i b\left[\frac{\left(X-X_{0}\right) g^{2}}{2 \lambda}\right]^{\mp i \alpha^{2}} \exp \left[\mp i \int_{X_{0}}^{\infty} \ln \left(\frac{\theta_{1 x}}{\theta_{2 x}}\right) \frac{d}{d X}\left(\frac{A^{2}}{\Phi_{x X}}\right) d X\right], \\
V_{0}=a\left[\frac{\left(X-X_{0}\right) g^{2}}{2 \lambda}\right]^{ \pm i \alpha^{2}} \exp \left[ \pm i \int_{X_{0}}^{\infty} \ln \left(\frac{\theta_{1 x}}{\theta_{2 x}}\right) \frac{d}{d X}\left(\frac{A^{2}}{\Phi_{x X}}\right) d X\right] .
\end{array}
\]

Таким образом, приравнивая эти два предела, мы получаем, что
\[
\begin{array}{l}
a(\lambda, t)=\exp \left( \pm \pi \alpha^{2} \mp i\left(L_{1}+L_{2}\right)\right), \\
b(\lambda, t)=\mp \frac{i \sqrt{2 \pi}}{\alpha \Gamma\left(\mp i \alpha^{2}\right)} e^{ \pm \pi \alpha^{2} / 2} \exp i\left[\lambda x_{0}-\Phi\left(x_{0}\right)-\frac{3 \pi}{4} \pm\right. \\
\left.\quad \pm\left(L_{1}-L_{2}\right) \pm \alpha^{2}\left(\ln \Phi_{x x}-2 \ln 2 \lambda\right)\right],
\end{array}
\]

где
\[
\begin{aligned}
L_{1}(\lambda, t) & =\int_{x_{0}(\lambda)}^{\infty} \ln \left(\frac{\theta_{1 x}}{\theta_{2 x}}\right) \frac{d}{d X}\left(\frac{A^{2}}{\Phi_{x X}}(X, t)\right) d X= \\
& =\int_{\lambda}^{\infty} \ln \left(\frac{\xi-\lambda}{\xi+\lambda}\right) \frac{d}{d \xi}\left(\alpha^{2}(\xi, t)\right) d \xi, \\
L_{2}(\lambda, t) & =\int_{-\infty}^{x_{0}(\lambda)} \ln \left(\frac{\theta_{1 x}}{\theta_{2 x}}\right) \frac{d}{d X}\left(\frac{A^{2}}{\Phi_{x x}}(X, t)\right) d X= \\
& =\int_{-\infty}^{\lambda} \ln \left|\frac{\xi-\lambda}{\xi+\lambda}\right| \frac{d}{d \xi}\left(a^{2}(\xi, t)\right) d \xi .
\end{aligned}
\]

Если мы воспользуемся формулой
\[
\left|\Gamma\left( \pm i \alpha^{2}\right)\right|^{2}=\pi\left(\alpha^{2} \operatorname{sh} \pi \alpha^{2}\right)^{-1},
\]

то сможем непосредственно проверить, что
\[
|b(\lambda)|^{2} \mp|a(\lambda)|^{2}=1 \text { для } \lambda>0
\]

в двух случаях: $R= \pm Q= \pm Q^{*}$. Кроме того, из (6.3.86) следует, что функцня $a(\lambda)$ аналитическая в полуплоскости $\operatorname{Im} \lambda>0$ и не имеет нулей в этой полуплоскости.

После исследования прямой задачи проблема теперь сводится к тому, чтобы решить обратную задачу с начальнымн данными, определенными формулами (6.3.86), при больших $t$. Согласно теории разд. 6.1, мы имеем для класса рассматриваемых уравнений
\[
\begin{array}{c}
b_{t}(\lambda, t)=\omega(\lambda) b(\lambda, 0), \\
a(\lambda, t)=a(\lambda, 0), \quad \omega(\lambda) \equiv \Omega\left(-\frac{1}{2} \lambda\right) .
\end{array}
\]

Поэтому мы можем непосредственно привязать нашу проблему к начальным данным $a(\lambda, 0), b(\lambda, 0)$, которые получаются из начальной функции $Q(x, 0)$. Мы немедленно убеждаемся в том, что $L_{1}, L_{2}$ не зависят от $t$ и что
\[
\alpha^{2}(\lambda)=\frac{A^{2}}{\Phi_{x X}}= \pm \frac{1}{\pi} \ln |\alpha(\lambda)| .
\]

Для того, чтобы получить $\Phi$, определим
\[
\widetilde{\Theta}_{ \pm}(\lambda, t)=\mu_{ \pm}+\Theta(\lambda, t) \mp\left(L_{1}(\lambda)-L_{2}(\lambda)\right)+\arg \Gamma\left(\mp i \alpha^{2}\right)-\frac{\pi}{2},
\]

где
\[
\tilde{\theta}(\lambda, t)=\arg b(\lambda, t), \quad\left(\mu_{+}, \mu_{-}\right)=\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right) .
\]

Тогда из (6.3.91) мы получим
\[
\begin{aligned}
\tilde{\Theta}_{ \pm}(\lambda, t) & =\operatorname{Im}(\omega(\lambda)) t+\tilde{\Theta}_{0 \pm}(\lambda), \\
\tilde{\Theta}_{0 \pm}(\lambda) & =\tilde{\Theta}_{ \pm}(\lambda, 0) .
\end{aligned}
\]

Формулы (6.3.86) приводят к соотношениям
\[
\begin{array}{c}
\Delta_{ \pm}(\lambda, t)=\lambda x-\Phi(x, t) \pm \alpha^{2} \ln \Phi_{x x}(x, t) . \\
\Phi_{x}=\lambda
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{c}
\Delta_{ \pm}(\lambda, t): \widetilde{\Theta}_{ \pm}(\lambda, t) \pm 2 \alpha^{2} \ln 2 \lambda=(\operatorname{Im} \omega(\lambda))_{t}+\Delta_{0 \pm}(\lambda), \\
\Delta_{0 \pm}(\lambda)=\Delta_{ \pm}(\lambda, 0) .
\end{array}
\]

Дифференцируя затем известную функцию $\Delta_{ \pm}(\lambda, t)$ в (6.3.96) по $\lambda$, приходим при $t \rightarrow \infty$ к соотношению
\[
\frac{\partial}{\partial \lambda}(\operatorname{Im} \omega(\lambda))=\frac{x}{t} \equiv X,
\]

в котором мы отождествили $\mathrm{e}^{-1}=t$. Тем самым получено единственное решение $\lambda$, для которого (6.3.95) превращается в тождество
\[
\mathrm{e}^{-1} H(X)+K_{ \pm}(X)-\mathrm{e}^{-1} X \lambda(X) \equiv \Phi(x, \varepsilon) \pm \alpha_{ \pm}^{2}(X) \ln \left[\Phi_{x x}(x, \varepsilon)\right],
\]

где $H(X)=\omega(\lambda(X))$ и $K_{ \pm}(X)=\Delta_{0 \pm}(\lambda(X))$.

Тогда стандартное асимптотическое разложение для (D имеет вид (Додд н Моррис [1982])
\[
\begin{array}{r}
\varphi(x, \varepsilon)=\varepsilon^{-1}\left(X \lambda(X)-\operatorname{Im} \omega(\lambda(X)) \pm \alpha^{2} \ln \varepsilon-\Delta_{0 \pm}(\lambda(X)) \pm\right. \\
\pm \alpha_{ \pm}^{2} \ln \frac{\partial \lambda(X)}{\partial X} .
\end{array}
\]

Таким образом, решая алгебраическое уравнение (6.3.97), можно получить требуемый асимптотический вид решения интегрируемого нелинейного уравнения. Формулы значительно упрощаются, если предположить, что $\omega(\lambda)=-i \lambda^{2 n+1}, n \geqslant 0$, или что $\omega(\lambda)=$ $=i^{\lambda-\{2 n+1)}, \quad n \leqslant 0$. Полагая $X=[-x /(2 n+1) t]$, мы приходим в этих двух случаях к следующему виду для решения:
\[
\begin{array}{l}
\omega=-i \lambda^{2 n+1} ; n \geqslant 0 \\
\left(\varepsilon A^{2}\right)=\frac{1}{(2 n+1) 2 n \pi t}(X)^{1 / 2 n-1} \ln \left(\left|a\left(X^{1 / 2 n}\right)\right|^{\mp 1}\right), \\
\Phi(x, t)=-t\left[2 n X^{1 / 2 n+1}\right] \mp \alpha^{2}[\ln (2 n+1) t+ \\
\left.+\left(1+\frac{1}{2 n}\right) \ln X\right]+\varphi_{0}, \\
\varphi_{0}=\mp i \pi \alpha^{2}+\tilde{\Theta}_{0 \pm}\left(X^{1 / 2 n}\right) \mp \alpha^{2} \ln 8 n \text {. } \\
\omega=i \lambda^{-(2 n+1)} ; n \geqslant 0 \\
\left(\varepsilon A^{2}\right)=\frac{1}{(2 n+2)(2 n+1) \pi i}(X)^{-\left(\frac{2 n+3}{2 n+2}\right)} \ln \left(\left\lvert\, a\left(X^{\left.-\frac{1}{(2 n+2)}\right)\left.\right|^{ \pm 1}}\right)\right.,\right. \\
\Phi(x, t)=-t\left[(2 n+2) X^{-\left(\frac{2 n+1}{2 n+2}\right)}\right] \alpha^{2}[\ln (2 n+1) t+\ln X]+\Phi_{0}, \\
\text { (6.3.101) } \\
\varphi_{0}=\tilde{\Theta}_{0 \pm}\left(X^{-\frac{1}{(2 n+2)}}\right) \mp \alpha^{2} \ln 8(n+1) . \\
\end{array}
\]

Заметим, что в этих выражениях $\varepsilon=1 /(2 n+1) t$, в то время как область применимости соответствующих разложений имеет вид $(-x) \gg[(2 n+1) t]$ для $\omega=i \lambda^{-(2 n+1)}, \quad n>0$ и $(-x) \gg$ $\geqslant 1(2 n+1) t]^{1+(2 n+2) /(2 n+3)}$ для $\quad \omega=i \lambda-(2 n+1), \quad n \geqslant 0$. В частности, $\omega=i \lambda^{3}$ и $\omega=i \lambda^{-1}$ дают результаты для уравнений мКдФ и СГ соответственно. Для СГ-уравнения $U_{x, t}= \pm \sin U$ результаты даются в терминах функции $Q=-U_{x} / 2$, но результаты для $U$ легко найти ннтегрированнем. Если $\lambda<0$, то для проверки того обстоятельства, что формулы для $A$ и $Ф$ остаются справедливыми в этом случае, необходимо повторить проведенные выше выкладки.

Для случая (i) результат может быть формально получен заменой $\Delta_{ \pm}$на $\Theta_{ \pm}$в соответствующих формулах. Нелинейное уравнение Шрёдингера дает особенно иптересный пример этого случая, и именно его исследовали Захаров и Манаков [1976]. Абловиц и Сигур [1977] и Сигур и Абловиц [1976] исследовали соответственно действие сингулярного спектра и дискретных собственных значений (солитонов) на асимптотический вид решений нелинейного уравнения Шрёдингера.

Преобразования Бэклунда для интегрируемых уравнений, удовлетворяющих условию $\bar{\Omega}=-\Omega$, может быть определено точно таким же образом, как оно было введено для изоспектрального оператора Шрёдингера в разд. 3.5. Итак, мы получим вначале соотношение между функциями рассеяния $A, A^{\prime}$ и соответствующими множествами потенциалов $(Q, R),\left(Q^{\prime}, R^{\prime}\right)$, удовлетворяющими (6.1.13), с фундаментальными решениями $\Phi$, ‘ $\Phi^{\prime}$ соответственно:
\[
\left(A^{\prime}\right)^{-1} \Delta A=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\Phi^{\prime}\right)^{-1} \Delta \mathbf{P} \Phi d x,
\]

где
\[
\Delta F \equiv F^{\prime}-F, \quad \mathbf{P}=\left(\begin{array}{cc}
-i k & Q \\
R & +i k
\end{array}\right), \quad \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}
b & \bar{a} \\
a & b
\end{array}\right) .
\]

В этом случае можно показать, что собственные функции ${ }_{k} V$, ${ }_{k} Y^{\prime}$ операторов $\mathrm{L}, \mathrm{l}^{\prime}$, имеющих одинаковый непрерывный спектр, но отличающихся дискретным спектром, удовлетворяют соотношениям
\[
\begin{array}{r}
y_{2}^{\prime} v_{1}(x)=y_{2}^{\prime} v_{1}(-\infty)+\int_{-\infty}^{x}\left(Q(s) y_{2}^{\prime}(s) v_{2}(s)+R^{\prime}(s) y_{1}^{\prime}(s) v_{1}(s)\right) d s, \\
y_{1}^{\prime} v_{2}(x)=y_{1}^{\prime} v_{2}(-\infty)+\int_{-\infty}^{x}\left(Q^{\prime}(s) y_{2}^{\prime}(s) v_{2}(s)+R(s) y_{1}^{\prime}(s) v_{1}(s)\right) d s .
\end{array}
\]

Эти соотношения можно объединить формулой
\[
B_{1} V \circ Y^{\prime}=k V \circ Y^{\prime}-\frac{1}{2 \pi}\left(\begin{array}{l}
Q(x) y_{1}^{\prime} v_{2}(-\infty)+Q^{\prime}(x) y_{2}^{\prime} v_{1}(-\infty) \\
-R(x) y_{2}^{\prime} v_{1}(-\infty)-R^{\prime}(x) y_{1}^{\prime} v_{2}(-\infty)
\end{array}\right),
\]

где
\[
B_{1} \equiv \frac{1}{2 i}\left(\begin{array}{l}
-\frac{\partial}{\partial x}+Q \int_{-\infty}^{x} d s R+Q^{\prime} \int_{-\infty}^{x} d s R^{\prime}, Q \int_{-\infty}^{x} d s Q^{\prime}+Q^{\prime} \int_{-\infty}^{x} d s Q \\
-R \int_{-\infty}^{x} d s R^{\prime}-R^{\prime} \int_{-\infty}^{x} d s R,-R \int_{-\infty}^{x} d s Q-R^{\prime} \int_{-\infty}^{x} d s Q^{\prime}+\frac{\partial}{\partial x}
\end{array}\right) .
\]

Переходя затем к пределу в (6.3.105)-(6.3.107) при $x \rightarrow+\infty$, получим для решений $\varphi, \varphi^{\prime}$ следующие соотношения:
\[
\begin{array}{c}
B_{1} \varphi \circ \varphi^{\prime}=k \varphi \circ \varphi^{\prime} \\
a^{\prime} b+b^{\prime} a=\int_{-\infty}^{\infty}\left(U+U^{\prime}\right) \cdot{ }_{k}\left(\varphi \circ \varphi^{\prime}\right) d x \equiv\left(U+U^{\prime}{ }_{k}\left(\varphi \circ \varphi^{\prime}\right)\right) .
\end{array}
\]

Равенства (6.3.102) можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
1+\bar{b}^{\prime} b-\bar{a}^{\prime} a \equiv-I_{\Delta}\left(\bar{\varphi}^{\prime}, \varphi\right), \\
\Delta \bar{R}_{+}=-\frac{1}{\bar{a} \bar{a}^{\prime}} I_{\Delta}\left(\bar{\varphi}^{\prime}, \bar{\varphi}\right), \\
\Delta R_{+}=\frac{1}{a a^{\prime}} I_{\Delta}\left(\varphi^{\prime}, \varphi\right), \\
1+b^{\prime} \bar{b}-a^{\prime} \bar{a}=I_{\Delta}\left(\varphi^{\prime}, \bar{\varphi}\right),
\end{array}
\]

где $I_{\Delta}(.,$.$) – очевидная подгонка определения (6.1.100) к на-$ стоящей ситуации. Теперь из формул (6.3.111), (6.3.112) и (6.3.109) получим, что
\[
\begin{array}{c}
\Delta R_{+}-\Lambda(k)\left(R_{+}^{\prime}+R_{+}\right)=\frac{1}{a a^{\prime}}\left(\sigma_{2} \Delta U-\Lambda(k)\left(U+U^{\prime}\right)_{k}\left(\varphi \circ \varphi^{\prime}\right)\right), \\
\Delta \bar{R}_{+}-\bar{\Lambda}(k)\left(\bar{R}_{+}^{\prime}+\bar{R}_{+}\right)=-\frac{1}{\tilde{d} \bar{a}^{\prime}}\left(\sigma_{2} \Delta U+\bar{\Lambda}(k)\left(U+U^{\prime}\right)_{k}\left(\varphi \circ \varphi^{\prime}\right)\right) .
\end{array}
\]

Функции $\Lambda(k)$ и $\bar{\Lambda}(k)$ суть произвольные многочлены от переменной $k$ или рациональные функции от $k$. Если образовать оператор, сопряженный к $B$ по отношению к билинейной форме $($,$) , определенной в (6.3.109), то в предположении, тто \bar{\Lambda}(k)=$ $=-\Lambda(k)$, можно определить обобщенное преобразование Бэклунда

для интегрируемых уравнений. Оно задается формулами
\[
\begin{array}{c}
B_{1}^{A}=\frac{1}{2 i}\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial x}+R \int_{x}^{\infty} d s Q+R^{\prime} \int_{x}^{\infty} d s Q,-R \int_{x}^{\infty} d s R^{\prime}-R^{\prime} \int_{x}^{\infty} d s R \\
Q \int_{x}^{\infty} d s Q^{\prime}+Q^{\prime} \int_{x}^{\infty} d s Q,-\frac{\partial}{\partial x}-Q^{\prime} \int_{x}^{\infty} d s R-Q \int_{x}^{\infty} d s R
\end{array}\right) \\
U=(R, Q)^{T},
\end{array}
\]

Соответствуюцая сяязь между коэффициентами отражения задается равенствами
\[
\begin{array}{l}
R_{+}^{\prime}=\frac{(1+\Lambda(k))}{(1-\Lambda(k))} R_{+} \\
\bar{R}_{+}^{\prime}=\frac{(1-\Lambda(k))}{(1+\Lambda(k))} \vec{R}_{+} .
\end{array}
\]

Вначале эти результаты были получены Қалоджеро и Дегасперисом [1976]. Изложенный здесь метод их вывода принадлежит Додду и Буллафу [1977].

Простейшее преобразование в этом множестве, $\Lambda=$ const $=\alpha$, попросту означает изменение масштаба переменных: $R^{\prime}=\lambda R$, $Q^{\prime}=\lambda^{-1} Q, \quad \lambda=(1+\alpha)(1-\alpha)^{-1}$. Следующее простейшее преобразование возникает, когда $\Lambda(k)=(a k+b)^{-1}$, а числа $k_{1}=$ $=(1-b) / a, k_{1}=-(1+b) / a$ удовлетворяют условиям Im $k_{1}>$ $>0, \operatorname{Im} \hat{k}_{1}<0$. В этом случае коэффициенты отражения связаны формулами
\[
R_{1+}=\frac{\left(k-\bar{k}_{1}\right)}{\left(k-\bar{k}_{1}\right)} R_{0+}, \quad \bar{R}_{1+}=\frac{\left(k-k_{1}\right)}{\left(k-\bar{k}_{1}\right)} \bar{R}_{0+} .
\]

Можно интерпретировать это преобразование, сказав, что $\sigma\left(\mathbf{L}_{\mathbf{1}}\right)$ содержит дополнительные к $\sigma\left(\mathbf{L}_{0}\right)$ собственные значения $k_{1}$, $k_{1}$. Соответствующее преобразование Бэклунда для интегрируемых нелинейных уравнений задается равенствами
\[
\begin{array}{c}
\left(R_{1}-R_{0}\right)_{x}+\left(R_{1}+R_{0}\right) J_{10}+p_{1} R_{1}-\bar{p}_{1} R_{0}=0, \\
\left(Q_{1}-Q_{0}\right)_{x}+\left(Q_{1}+Q_{0}\right) J_{10}-\bar{p}_{1} Q_{1}+p_{1} Q_{0}=0, \\
J_{i j}(x)=\int_{x}^{\infty}\left(R_{i}(y) Q_{i}(y)-R_{j}(y) Q_{j}(y)\right) d y, \\
\bar{p}_{j}=-2 i k_{j} \quad p_{j}=-2 i k_{j} .
\end{array}
\]

Эти формулы соответствуют «половине» классического преобразования Бэклунда, другая половина получается с помощью их
подстановки в конкретное интегрируемое уравнение, которому удовлетворяют $\left(R_{1}, Q_{1}\right),\left(R_{0}, Q_{0}\right)$, и такой перестройки в нем, чтобы уравнения оказались уравнениями первого порядка относительно пронзводных по $t$ от переменных $\left(R_{1}, Q_{1}\right.$ ) и $\left(R_{0}, Q_{0}\right)$.
Заметим по этому поводу, что если
\[
\begin{array}{c}
R_{+0 t}=\Omega R_{+0}, \\
R_{+1 t}=\left(\frac{k-k_{1}}{k-\tilde{k}_{1}}\right) R_{+0 t}=\Omega R_{+1},
\end{array}
\]

то преобразования связывают решения одного и того же уравнения. Это наблюдение, очевидно, остается справедливым в случае произвольного преобразования Бэклунда, для которого $\Lambda$ не зависит от $t$. Если мы допустим, чтобы $\Lambda$ зависело от $t$, то, как в случае преобразования Бэклунда, связанного с изоспектральным уравнением Шрёдингера, мы получим формальные преобразования между различными элементами интегрируемого семейства. Преобразование не является взаимнооднозначным ни в каком направлении. Это можно увидеть, выбирая либо $\left(R_{1}, Q_{\mathbf{1}}\right)$, либо $\left(R_{0}, Q_{0}\right)$ нулевым и интегрируя (6.3.119). Для фиксированных $k_{1}$, $k_{1}$ и $\Omega$ получается семейство солитонов (6.3.7). Ясно, что для решений, связанных преобразованием Бэклунда, существует теорема о перестановочности. Таким образом, для четырех решений $\left(R_{i}, Q_{i}\right), i=0,1,2,3$, связанных соотношением Бэклунда (6.3.119), мы имеем
\[
\begin{aligned}
R_{3+} & =\frac{\left(k-k_{2}\right)}{\left(k-k_{2}\right)} R_{1+}=\frac{\left(k-k_{2}\right)}{\left(k-k_{2}\right)} \times \frac{\left(k-k_{1}\right)}{\left(k-k_{1}\right)} R_{0+}= \\
& =\frac{\left(k-k_{1}\right)}{\left(k-k_{1}\right)} \times \frac{\left(k-k_{2}\right)}{\left(k-k_{2}\right)} R_{0+}=\frac{\left(k-k_{1}\right)}{\left(k-k_{2}\right)} R_{1+}
\end{aligned}
\]

и, конечно, подобные соотношения имеются между $\bar{R}_{i+}$. Это устанавливает взаимоотношения между связанными преобразованнем Бэклунда решениями $\left(R_{i}, Q_{i}\right), i=0, \ldots, 3$. В том частном случае, когда $R_{i}$ связано с $Q_{i}$ посредством леммы 6.10 , эта взаимосвязь алгебранческая; она обеспечивает принцип суперпозиции для решений, связанных преобразованием Бэклунда. Гаким образом, новое решение интегрируемого уравнения $\left(Q_{3}\right)$ может быть определено в этом случае алгебраическими средствами по данному решению $\left(Q_{0}\right)$ и его двум преобразованиям Бэклунда (6.3.119), т. е. по $Q_{1}, Q_{2}$. Общий принцип суперпозиции дается следующими соотношениями:
\[
\begin{array}{l}
R_{8}\left(J_{21}+\left(p_{2}-p_{1}\right)\right)+R_{2}\left(\left(\bar{p}_{1}-p_{2}\right)-J_{30}\right)+ \\
\left.\quad+R_{1}\left(\left(p_{1}-\bar{p}_{2}\right)+J_{30}\right)+R_{0}\left(\bar{p}_{2}-\bar{p}_{1}\right)+J_{12}\right)=0 \\
Q_{3}\left(J_{21}-\left(\bar{p}_{2}+\tilde{p}_{1}\right)\right)+Q_{2}\left(\left(\bar{p}_{2}-p_{1}\right)-J_{30}\right)+ \\
+Q_{1}\left(\left(p_{2}-\bar{p}_{1}\right)+J_{30}\right)+Q_{0}\left(\left(p_{1}-p_{2}\right)+J_{12}\right)=0
\end{array}
\]

Умножая затем (6.3.123) на $\left(Q_{1}-Q_{2}\right)$ и (6.3.124) на $\left(R_{1}-R_{2}\right)$ и вычитая из одного уравнения другое, получим алгебраическое соотиошение между $Q_{3}$ и $R_{3}$ и решениями $Q_{i}, i=0,1,2$, но $Q_{3}$ или $R_{3}$ по-прежнему нужно определять из интегрального уравнения.

В случае, когда $R= \pm Q$, преобразование Бэклунда (6.3.119) имеет вид
\[
\left(Q_{1}-Q_{0}\right)_{x} \pm\left(Q_{1}+Q_{0}\right) \int_{x}^{\infty}\left(Q_{1}^{2}(y)-Q_{0}^{2}(y)\right) d y=p\left(Q_{1}+Q_{0}\right)
\]

Если мы умножим это уравнение на ( $Q_{1}-Q_{0}$ ), проинтегрируем и затем решим квадратное уравнение, то мы получим
\[
\int_{x}^{\infty}\left(Q_{1}^{2}(y)-Q_{0}^{2}(y)\right) d y= \pm\left(p-\left(p^{2} \pm\left(Q_{1}-Q_{0}\right)^{2}\right)^{1 / 2}\right) .
\]

Отсюда, дифференцируя, сокращая на $a$ и затем снова интегрируя, мы находим, что в случае $R=-Q$ справедливы равенства
\[
\begin{array}{c}
Q_{\mathrm{I}}=Q_{0}+p \sin \left(W_{1}+W_{0}\right), \\
W(x)=\int_{x}^{\infty} Q(y) d y .
\end{array}
\]

В случае когда $R=+Q, \sin$ заменяется на sh. Для различных собственных значений $k_{1}, k_{2}$, Im $k_{i}>0$, принцип суперпозиции залисынается в виде
\[
\begin{aligned}
\sin W_{3}= & {\left[\sin W_{0}\left(\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right) \cos \left(W_{1}-W_{2}\right)-2 p_{1} p_{2}\right)+\right.} \\
& \left.+\left(p_{1}^{2}-p_{2}^{2}\right) \cos W_{0} \sin \left(W_{1}-W_{2}\right)\right]\left[p_{1}^{2}+p_{2}^{2}-\right. \\
& \left.-2 p_{1} p_{2} \cos \left(W_{1}-W\right)\right]^{-1} .
\end{aligned}
\]

Принцип суперпозиции для кратного собственного значения $k_{2}=k_{1}$ легко может быть получен из этой формулы, если положить $Q_{2}=Q_{1}+\delta Q, k_{2}=k_{1}+\delta k$ и затем взять предел при $\delta k \rightarrow 0$ или воспользоваться правилом Лопиталя. Это приведет к соотношениям
\[
\begin{array}{c}
\sin W_{3}=\sin W_{0}+2 p_{1} \dot{W}_{1}\left(\cos W_{0}-p_{1} W_{1} \sin W_{0}\right)\left(1+p_{1}^{2} \dot{W}_{1}^{2}\right)^{-1} \\
\dot{W}_{1}=\left.\frac{i}{2} W_{1 k}\right|_{k=k_{1}} .
\end{array}
\]

Мы подчеркиваем, что обе эти формулы применимы к целому классу интегрируемых уравнений, для которых $R=-Q$. В частности, если мы рассмотрим СГ-уравнение, $U=2 W, \Omega(k)=$ $= \pm 1 / 2 i k$, то непосредственно из этих формул мы сможем получить как двухсолитонное решение, рассмотренное ранее в этом разделе, так и решение, отвечающее кратному собственному значению. В обоих случаях мы предполагаем, что мы начинаем с $Q_{0}=$ $=0$, так что преобразованные по Бэклунду решения (6.3.118) являются солитонами. В первом случае для днух собственных значений $k=i \eta_{1}$ и $k_{2}=i \eta_{2}$ (см. лемму 6.10) мы получаем двухсолитонное решение. Сначала заметим, что
\[
\operatorname{tg} \frac{1}{2} W_{3}=\left(\frac{p_{1}+p_{2}}{p_{1}-p_{2}}\right) \operatorname{tg} \frac{1}{2}\left(W_{1}-W_{2}\right),
\]

так что, полагая $W_{i}=2 \operatorname{arctg}\left(\exp \left(\theta_{i}\right)\right), \theta_{i}=\gamma_{i}-1 / 2 \eta_{i}\left(\eta_{i}^{2} x-t\right)$, получаем решение
\[
U=4 \operatorname{arctg}\left\{\frac{\left(\eta_{1}+\eta_{2}\right)}{\left(\eta_{1}-\eta_{2}\right)} \cdot \frac{\operatorname{sh}\left[\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right) / 2\right]}{\operatorname{ch}\left[\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) / 2\right]}\right\} .
\]

Подобным образом для этого случая можно найти решение в виде связанного состояния (6.3.40) (см. задачи в конце этой главы). Наконец, мы найдем решение СГ-уравнения, отвечающее кратному собствеиному значению $k_{1}=i \eta_{1}$. Из (6.3.129) получаем
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{tg} W=\frac{4 \eta_{1} \dot{W}_{1}}{\left(1-4 \eta_{1}^{2} \dot{W}_{1}^{2}\right)}, \\
\dot{W}=-\left(2 x+\frac{1}{2 \eta_{1}^{2}} t\right) \operatorname{sech} \theta_{1}
\end{array}
\]

так что
\[
U=2 \operatorname{arctg}\left(\frac{2\left(2 \eta_{1} x+\frac{1}{2 \eta_{1}} t\right) \operatorname{ch} \theta_{1}}{2\left(2 \eta_{1} x+\frac{1}{2 \eta_{1}} t\right) \operatorname{ch}^{2} \theta_{1}}\right) .
\]

Для случая $R= \pm Q^{*}$ принцип суперпозиции дается равенствами (6.3.125)-(6.3.126). Для кратного собственного значения $p=-2 i k$ вариацин $\delta p$ и $\delta p^{*}$ независимы, и тогда, если $Q_{0}=0$, то из (6.3.125)-(6.3.126) получается, что
\[
Q_{3}=\frac{-\left[Q_{1}+Q_{1 p}\left((\bar{p}-p) \mp \int_{x}^{\infty}\left|Q_{8}(y)\right|^{\mathrm{p}} d y\right)\right]}{ \pm \int_{x}^{\infty}\left|Q_{1}(y)\right|_{p}^{2} d y},
\]

\[
\begin{array}{l}
\int_{x}^{\infty}\left|Q_{3}(y)\right|^{2} d y= \\
\frac{\left(1 \mp \int_{x}^{\infty}\left|Q_{1}\right|_{\bar{p}}^{2} d y\right)\left[Q_{1}+Q_{1 p}(\bar{p}–p)\right] \pm \int_{x}^{\infty}\left|Q_{1}\right|_{\bar{p}}^{2} d y\left[Q_{1}+Q_{1 p}(\bar{p}-p)\right]}{Q_{p} \int_{x}^{\infty}\left|Q_{1}\right|_{p}^{2} d y \pm\left(1 \mp \int_{x}^{\infty}\left|Q_{1}\right|_{p}^{2} d y\right) Q_{1 p}} .
\end{array}
\]

Если взять односолитонное решение для нелинейного уравщения Шрёдингера, то эта формула воспроизведет решение (6.3.42).

В заключение мы заметим, что КдФ-уравнение (интегрируемое методом обратной задачи рассеяния для уравнения Шрёдингера) связано с мКдФ-уравнением (интегрируемым методом обратной задачи рассеяния для АКНС-системы) специальным видом преобразования Бэклунда, называемым преобразованием Миуры (см. разд. 3.2).

В действительности целое семейство уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния для уравненнй Шрёдингера, можно подобным образом связать с подсистемой уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния для системы АКНС, определенных равенством $R=+Q$. Этот материал развит в упражнениях.