В 1977 г. Бенни открыл новый вид триадного резонанса между тремя волнами с волновыми числами $k_{1}$, $k_{2}$ и $k_{3}$ и тремя частотами $\omega_{1}, \omega_{2}$ и $\omega_{3}$. Возьмем
\[
\begin{array}{l}
k_{1}=k_{2}+k_{8}, \\
\omega_{1}=\omega_{2}+\omega_{3}
\end{array}
\]

и будем предполагать, что $k_{1}$ и $k_{2}$ близки, т. е. $k_{1}=k+8 x$, $k_{2}=\hbar-\varepsilon \chi$ и $k_{3}=2 \varepsilon x(k, x \sim O(1), \varepsilon \ll 1)$. Соотношение (8.6.1) для триады волновых чнсел при таком выборе автоматически выполняется, но соотношение (8.6.2) для частотной триады будет выполняться, лишь если справедливо равенство
\[
\omega(k+\varepsilon k)-\omega(k-e k)=\omega_{3},
\]

которое в порядке $O(\varepsilon)$ можно записать в виде
\[
2 \varepsilon k \frac{d \omega}{d k}=\omega_{3} \text {. }
\]

Из (8.6.4) видно, что (8.6.2) удовлетворяется в порядке $O(\varepsilon)$, если групповая скорость короткой волны (с волновым числом $k$ ) равна фазовой скорости длиной волны (с волновым числом $2 \varepsilon x$ ). Бенни называет это длинно-коротковолновым резонансом. На первый взгляд кажется, что достичь такого резонанса трудно, но на рис. 8.3 представлена геометрическая картинка, показывающая, как этого можно добиться. Для того чтобы выполнялось условие резонанса, требуется дисперсионноесоот-
Рис. 8.5.

ношение специального вида. Много более реалистичный и более общий тип систем, для которых $c_{p}(2 \varepsilon k)=c_{g}(k)$-это системы, имеющие двойные ветви. На рис. 8.4 и 8.5 изображены два типа двойных ветвей. Предполагая, что градиенты различиых ветвей одного и того же порядка по абсолютной величине, получаем, что $c_{p}=$ $=c_{g}$. Дисперсионные соотношения с двойными или вообще кратными ветвями весьма обычны в физике, так что существует множество примеров, позволяющих изучить этот вид резонанса. В самом деле, системы с двумя ветвями дают конфигурацию в $(\omega, k)$ пространстве, которая допускает возможность появления этого специального триадного резонанса, в то время как обычные трехволновые резонансы не могут быть получены в одномерном пространстве. В частности, рис. 8.4 представляет дисперсионное соотношение с двумя ветнями, типичное для целой категории систем, имеющих верхнюю (олтическую) ветвь и нижню (акустическую) ветнь. Механизм длинно-коротковолнового резонанса работает очено просто. Мы можем представлять себе две волны $k+\varepsilon x, k-\varepsilon x$ как побочные частоты главной волны $k$, которые в результате «биений» дают медленную осцилляцию. Математически это может быть выражено следующей формулой:
\[
\begin{aligned}
\varphi & =a \exp \left(i \theta_{1}\right)+a \exp \left(i \theta_{2}\right)+\text { c. c. } \\
& =4 a \cos (k x-\omega t) \cos [\varepsilon(k x-\Omega t)] .
\end{aligned}
\]

Быстрая осцилляция в верхней ветви слишком быстра для тoro, чтобы ее почувствовала нижняя ветвь на масштабах $k^{-1}$ и $\omega^{-1}$ (пространственном и временно́м), но медленная осцилляция, порожденная (в результате биений) верхней ветвью, может «подкачивать» или возбуждать ннжнюю ветвь. Две половины системы, которые обычно считают независимыми, теперь оказываются связанными. Вопрос о том, достижима ли такая связь («спаривание»), можно решить геометрически, как на рис. 8.4-8,5, если соответствующим образом изобразить семейство дисперсионных кривых.

Вместо того чтобы пытаться получить общие амплитудные уравнения методом, описанным в предыдущем разделе (для трехволиового резонанса путем согласования $\theta_{1}$-члена с $\left(\theta_{2}+\theta_{3}\right)$ членом), проще скомбинировать метод многомасштабных растяжений, с помощью которого находится медленная амплитудная осцилляция, отвечающая верхней ветви, и метод растяжения координат из гл. 5, с помоцью которого определяется длинная волна, отвечающая нижней ветви.

Расщепим уравнения движения на две части, отвечающие верхней и нижней ветви. Обращаясь вначале к нижней ветви, запищем эту часть уравнений движения в общем виде
\[
L^{(n)}\left\{\frac{\partial}{\partial x} ; \frac{\partial}{\partial t}\right\}=f(\varphi, N),
\]

где $\varphi$ и $N$ – зависимые переменные, отвечающие верхней и нижней ветви. Запишем разложения
\[
\begin{aligned}
\varphi & =\varepsilon \varphi^{(1)}+\varepsilon^{2} \varphi^{(2)}+\cdots \\
N & =\varepsilon^{2} n+\cdots
\end{aligned}
\]

и введем медленные переменные $X=\varepsilon x, T=\varepsilon t, \tau=\varepsilon^{2} t$. Разлагая (8.6.6) в ряд Тейлора, получаем
\[
\begin{array}{l}
L^{(u)} \varphi^{(1)}=0, \\
L^{(u)} \varphi^{(2)}=-\left(L_{1}^{(u)} \frac{\partial}{\partial T}+L_{2}^{(u)} \frac{\partial}{\partial X}\right) \varphi^{(1)},
\end{array}
\]

где нижние индексы 1 и 2, как обычно, обозначают дифференцирование соответственно по первой и второй переменным $L^{(u)}$. Положим
\[
\varphi^{(1)}=A(X, T, \tau) \exp (i \theta)+\text { c. c. }
\]

Мы должны, как обычно, связать $X$ и $T$, выбрав систему отсчета, движущуюся с групповой скоростью, с тем чтобы убрать секулярные члены в порядке $O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Поэтому введем новую переменную $\xi=\mathrm{e}\left(x-c_{g} t\right)$. Используя эту переменную в порядке $O\left(\varepsilon^{3}\right)$, находим, что
\[
L^{(u)} \varphi^{(3)}=-\frac{1}{2}\left\{\beta \frac{\partial^{2}}{\partial \xi^{2}}+i \frac{\partial}{\partial \tau}\right\} \varphi^{(1)}+\gamma n \varphi^{(1)} ;
\]

последний член в этом уравнении возникает из квадратичных членов, связывающих ч и $N$ в (8.6.6). Окончательное амплитудное уравнение имеет вид
\[
i \frac{\partial A}{\partial \tau}+\tilde{\beta} \frac{\partial^{2} A}{\partial \xi^{2}}=\tilde{\gamma} A n,
\]

где $\tilde{\beta}$ и $\tilde{\gamma}$ – постоянные. Второе уравнение, отвечающее пижней ветви, получить труднее, и тут требуется некоторая изобретательность, Модели с нижними ветвями изображенного на рис. 8.4 вида (например, плазма) обычно ведут себя как волновые уравнения, связанные с верхней ветвы нелинейным вынуждающим членом:
\[
\begin{array}{c}
L^{(t)}\left\{\frac{\partial}{\partial t} ; \frac{\partial}{\partial x}\right\}=g(\varphi, N), \\
L^{(l)} \equiv \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-c_{p}^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}},
\end{array}
\]

где $c_{p}$ – фазовая скорость волны в нижней ветвн. Заменяя переменные $x$, $t$ на $\xi$, $\tau$ и используя эти растянутые координаты, как в гл. 5, можно привести волновой оператор в (8.6.13) к виду
\[
L^{(l)}=\varepsilon^{2}\left(c_{\dot{g}}^{2}-c_{p}^{2}\right) \frac{\partial^{3}}{\partial \xi^{2}}-2 \varepsilon^{3} c_{g} \frac{\partial^{2}}{\partial \xi \partial \tau}+\varepsilon^{4} \frac{\partial^{2}}{\partial \tau^{2}} .
\]

Поскольку величина $N$ порядка $\varepsilon^{2}$, единственные члешы в правой части (8.6.13), которые могут конкурировать с $O\left(\varepsilon^{4}\right)$, – это члены типа $\partial^{2}|A|^{2} / \partial \xi^{2}$. Отсюда немедленно следует, что $n$ пропорционально $|A|^{2}$. Этот результат показывает, что нижния нетвь будет безинерционной, поскольку она в точности будет следовать движениям верхіей ветви. Члены низщего порядка в левой части (8.6.14) можно удалить, применяя резонапсное условие Бенни $c_{p}=c_{g}$, и правая часть оказывается связанной с левой лишь членами порядка $O\left(\mathrm{e}^{5}\right)$. Фактически для этого, при указанной растяжке переменных, нужна слабая связывающая постоянная порядка $O(\varepsilon)$ в членах правой части (8.6.13). Пругие замены переменных обсуждаются в примечаниях к этой главе. В конце концов мы получим уравнение
\[
\frac{\partial n}{\partial \tau}=-\Delta \frac{\partial}{\partial \xi}\|A\|^{2} .
\]

Амплитудные уравнения (8.6.15) и (8.5.12) вместе составляют интегрируемую систему. Этот результат обсуждается в примечаниях к главе, где приводятся и соответствующие ссылки на литературу. Поскольку решение $n$ должно быть вецественным, оно очень похоже на КдФ-солитоны; функция же $A(\xi, \tau$ ) комплексная и является огибающей волной, очень похожей на солитоны огибающей нелинейного уравнения Шрёдингера. Эти уравнения образуют мост между длинноволновыми солитонами, ассоциированными с нижней ветвью, и солитонами огибающей, ассоциированными с верхней ветвью, причем допускается обмен энергией между ними, несмотря на то что действуют они в разных масштабах. Во многих вопросах длинные и короткие волны рассматриваются как независимые, и этот обмен энергией между длинными и короткими волнами имеет важные физические следствия в ряде физических моделей, в частности в моделях молекулярных цепей. Мы хотели бы, однако, подчеркнуть, что вывод второго уравнения зависит от рассматриваемой модели, и данный выше набросок вывода уравнения (8.6.15) в случае других моделей нуждается в соответствующих модификациях.

Хороший пример двойного ветвления возникает в теории плазмы из электронов и ионов. Мы уже изучили ионноакустические эффекты в гл. 5, где мы рассматривали длинные ионные волны на фоне горячих электронов, которые (электроны) моделировались как заряженный газ. С другой стороны, в разд. 8.4 мы изучали эволюцию ленгмюровских волн плотности (электронов) на статичном ионном фоне. Қаждая из двух частей, на которые расщеплены нащи уравнения, имеет свое дисперсионное соотношение. В безразмерном виде ленгмюровская ветвь, как мы видели, может быть представлена в виде
\[
\omega^{2}=1+k^{2} \text { (верхняя ветвь), }
\]

а ионноакустическая ветвь – в виде
\[
\omega^{2}=k^{2}\left(1+k^{2}\right)^{-1} \text { (нижняя ветвь). }
\]

Взаимодействие между ленгмюровскими осцилляциями и ионным звуком может быть достигнуто через механизм резонанса Бенни. Захаров [1972] изучил эту проблему и получил уравнение (8.6.12) и «двухпутный» вариант уравнения (8.6.15), который преобразуется в само это уравнение, если ввести примененные выше переменные $\xi, \tau$. Эти уравнения часто называют уравнениями Захарова. Они появились в связи с длинно-коротковолновым взаимодействием, и потому далее мы будем называть этот вид резонанса длинно-коротковолновым резонансом Захарова-Бенни. Задачи типа упомянутой выше задачи о взаимодействии в плазме подробно разбираются в работах Гиббонса и др. [1977] и Гиббонса [1978].

Бенни [1977] первоначально сформулировал свою идею о резонансе такого типа в связи с задачей взаимодействия капиллярных мод с гравитационными в теории волн на воде; см. также Гримшоу [1978] и Джёрджевич и Редекопп [1977].