Мы сейчас оставим в стороне нелинейную оптику и обратимся к проблеме вихрей в механике жидкости. Мы рассмотрим очень — простую модель, демонстрирующую то, что получило название бароклинных волн. Эти волны появляются как в атмосфере, так и в океанах Земли с длиной волны порядка 1000 и 10 км соответственно. Кроме того, они обнаружены в атмосфере некоторых основных планет.

Бароклинная неустойчивость давно была признана одним из основных механизмов, поставляющих кинетическую энергию крупномасштабным системам, влияющим на погоду (зоны пониженного давления и ассоциированные с ними фронтальные структуры) средних широт. Вообще говоря, неустойчивость может появиться, когда возникает равновесное состояние, в котором поверхности постоянной плотности не параллельны поверхностям постоянного гравитационного потенциала. В этом случае частицы газа, движущиеся по траекториям, которые лежат между указанными поверхностями потенциалов и плотностей, могут высвободить часть потенциальной энергии системы и приобрести кинетическую энергию.

Қак следует ожидать, проблема математического моделирования такого поведения, опирающаяся на уравнения Навье Стокса, исключительно трудна, частично из-за геометрии проблемы.

Один из возможных путей, который выбирают исследователи для изучения проблемы такого рода (этого явления), связан с построением простой модели жидкости или газа, которая, будучи идеализированной, тем не менее обнаруживает все черты баро-
клинной неустойчивости. Упомянутое выше состояние равновесия между поверхностями постоянного гравитационного потенциала и постоянного давления может быть достигнуто в атмосфере, океане и лабораторных условиях (экспериментах), когда рассматривается горизонтальный градиент температуры вместе с быстрым вращением всей системы.

Одним из аналогов такой модели, который допускает более простое математическое описание, является так называемая «двухслойная модель» (Филипс [1954]), в которой два слоя несмешивающихся идеальных жидкостей (или газов) различных плотностей, причем легкая расположена над тяжелой, помещены в бесконечный канал и поддерживаются в относительно горизонтальном движении. Вся система вращается вокруг ее вертикальной оси. Разумеется, нельзя претендовать на то, что эта модель точная модель атмосферы, но если вязкость мала и ею можно пренебречь, то такая модель обнаружит баРис. 9.6. роклинную неустойчивость, представляюцую собой дисперсионный тип неустойчивости (категория II в разд. 9.1). Для наших приложений мы будем предполагать, что верхний и нижний слои жидкостей движутся со скоростями $U_1$ н $U_2$ соответственно в направлении $x$ в бесконечном прямолинейном канале с неподверженными давлению боковыми стенками, отвечающими $y=0,1$. (По поводу граничных условий на боковых стенках см. примечания к этой главе.) Қак в разд. 5.4, где мы описали приближение $\beta$-плоскости, в этой ситуации введены эффекты орбитальной сферичности. Для этого применяется приближение $\beta$-плоскости, в котором кориолисов параметр взят равным $2{\mathrm{\Omega }}_0+\beta y$. Эта модель наглядно изображена на рис. 9.6. Совсем не обязательно начинать анализ неустойчивости, отправляясь от уравнений Навье — Стокса, так как модель, изображенную на рис. 9.6, можно значительно упростить, если воспользоваться геострофическим приближением, опнсанным в разд. 5.4. Эта аппроксимация, которая устанавливает баланс между кориолисовой силой и градиентом давления, сводит уравнения Навье Стокса для двухслойной модели к связанной паре уравнений для системы вихрей. $\mathrm{K}$ сожалению, мы не имеем возможности привести вывод этих уравнений для вихрей из первых принципов из-за громоздкости выкладок. В таких моделя х появляются пограничные слои, называемые слоями Эккмана, эффекты от которых должны быть включены в рассмотрение. K сожалению, ограниченность места не позволяет нам подробно рассказать о том, как это делается. С выводом двухслойных вихревых уравнений можно познакомиться по статье Педлосски [1970]. В геострофическом приближении уравнения потенциальной завихренности, описывающие такую модель, имеют вид
$$\begin{array}{l}[\frac{\partial }{\partial t}+\frac{\partial {\psi }_1}{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}-\frac{\partial {\psi }_1}{\partial y}\frac{\partial }{\partial x}][abl{a}^2{\psi }_1+({\psi }_2-{\psi }_1)F+\beta y]=0\\ [\frac{\partial }{\partial t}+\frac{\partial {\psi }_2}{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}-\frac{\partial {\psi }_2}{\partial y}\frac{\partial }{\partial x}][abl{a}^2{\psi }_2+({\psi }_1-{\psi }_2)F+\beta y]=0\end{array}$$

где ${\psi }_1$ и ${\psi }_2$ суть функции тока верхнего и нижнего слоев, а $F$ внутреннее вращательное вихревое число Фруда, определенное как $F=4{\mathrm{\Omega }}^2{L}^{2}p/(\mathrm{\Delta }p/\overline{p})gD/2$, где $\mathrm{\Omega }-$ скорость врацения, $L-$ ширина канала, $D$ — его глубина, $\mathrm{\Delta }p/\overline{p}$ — относительная разность плотностей между двумя жидкостями и $g$ — ускорение земного притяжения (или гравитации). Будем считать, что $F$ и $\beta$ фиксированы. Функции тока ${\psi }_i$ представляются в виде суммы постоянного зонального потока и возмущения:
$${\psi }_i=-U_{i}y+{\phi }_i(x,y,t).$$

Сдвиг между двумя слоями $\mathrm{\Delta }U=U_1-U_2$ мы будем рассматривать как переменный параметр, который, как будет видно, играет роль параметра $\mu$, обсуждавшегося в предыдущих разделах. Уравнения (9.4.1) можно теперь записать в виде
$$\begin{array}{r}(\frac{\partial }{\partial t}+U_1\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x}\cdot \frac{\partial }{\partial y}-\frac{\partial {\phi }_1}{\partial y}\cdot \frac{\partial }{\partial x})(abl{a}^2{\phi }_1+({\phi }_2-{\phi }_1)F)+\\ +(\beta +F\mathrm{\Delta }U)\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x}=0,\\ (\frac{\partial }{\partial t}+U_2\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial {\phi }_2}{\partial x}\cdot \frac{\partial }{\partial y}-\frac{\partial {\phi }_2}{\partial y}\cdot \frac{\partial }{\partial x})(abl{a}^2{\phi }_2+({\phi }_1-{\phi }_2)F)+\\ +(\beta -F\mathrm{\Delta }U)\frac{\partial {\phi }_2}{\partial x}=0.\end{array}$$

После их линеаризации получаем
$$\begin{array}{l}(\frac{\partial }{\partial t}+U_1\frac{\partial }{\partial x})(abl{a}^2{\phi }_1+({\phi }_2-{\phi }_1)F)+(\beta +F\mathrm{\Delta }U)\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x}=0\\ (\frac{\partial }{\partial t}+U_2\frac{\partial }{\partial x})(abl{a}^2{\phi }_2+({\phi }_1-{\phi }_2)F)+(\beta -F\mathrm{\Delta }U)\frac{\partial {\phi }_2}{\partial x}=0.\end{array}$$

Следует обратить внимание на форму якобиана нелинейного члена в (9.4.4); эта форма обычна для любой двумерной адвективной задачи. Пару уравнений (9.4.4) можно записать в виде (9.1.1), где оператор $\mathbf{L}$ задается матрицей

$$\left(\begin{array}{lc}(\frac{\partial }{\partial t}+U_1\frac{\partial }{\partial x})(abl{a}^2-F)+(\beta +F\mathrm{\Delta }U)\frac{\partial }{\partial x}& F(\frac{\partial }{\partial t}+U_1\frac{\partial }{\partial x})\\ F(\frac{\partial }{\partial t}+U_2\frac{\partial }{\partial x})& (\frac{\partial }{\partial t}+U_2\frac{\partial }{\partial x})(abl{a}^2-F)+(\beta +F\mathrm{\Delta }U)\frac{\partial }{\partial x}\end{array}\right).$$

Якобиан нелинейных членов легко представить в виде квадратичной формы, залисанной в правой части (9.1.1). Например, якобиан от ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$ можно представить в виде
$$J_{x,v}({\phi }_2,{\phi }_1)=(M\phi )\cdot (N\phi )$$

где
$$M=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{rr}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\frac{\partial }{\partial x};N=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{rr}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\frac{\partial }{\partial y}.$$

Полагая $\det (l)=0$, как в (9.1.5), получаем квадратичное дисперсионное соотношение, корни которого имеют вид
$$\frac{\omega }{k}=\frac{1}{2}(u_1+u_2)+\frac{\beta (F+a^2)}{a^2(2F+a^2)}\pm \frac{[4F^2{\beta }^2-(\mathrm{\Delta }u{)}^2{a}^4{(4F^2-a^4)}^{1/2}}{2a^2(2F+a^2)},$$

где $a^2=k^2+m^2{\pi }^2$. Кроме того, мы находим, что
$$\begin{array}{l}{b}_1=1,\\ b_2=F^{-1}(a^2+F)+(F\mathrm{\Delta }U+\beta ){\left[F(\omega /k-u_1)\right]}^{-1}.\end{array}$$

Будем рассматривать такие значения $k$ и $P$, для которых $a^2<2F$. При этом условии, когда $\mathrm{\Delta }U$ возрастает, выражение под знаком квадратного корня будет менять знак с плюса на минус.

Поскольку сдвиг $\mathrm{\Delta }U$ играет роль бифуркационного параметра $\mu$, нейтральная кривая задается уравнением
$$\mu =\mathrm{\Delta }U(k)=2\beta F/a^2{(4F^2-a^4)}^{1/2}.$$

Когда $\mu <\mathrm{\Delta }U(k)$, система нейтрально устойчива, и, следовательно, неустойчивость будет чисто дисперсионной, но когда $\mu >\mathrm{\Delta }U(k)$, возникает бароклинная неустойчивость. Кривая нейтральной устойчивости, заданная в (9.4.10), имеет вид, изображенный на рис. 9.1. Она имеет минимум в точке
$$a_{\mathrm{c}}^2=k_{\mathrm{c}}^2+m^2{\pi }^2=\sqrt{2F}$$

и
$${\mu }_{\mathrm{c}}=(\mathrm{\Delta }U{)}_{\mathrm{c}}=\beta /F\text{. }$$

Объединяя это с результатами разд. 9.1, мы находим в критической точке ( $(\mathrm{\Delta }U{)}_0,k_{\mathrm{c}})$, что, в то время как фазовая скорость однозначна и равна $U_2$, групповая скорость имеет два значения, которые мы обозначаем через $c_1$ и $c_2$ :
$$c_{\mathrm{I}}=u_2+\beta k_{\mathrm{c}}^2{(1+b_{\mathrm{c}})}^2{F}^{-2},c_2=u_2,$$

где $b_{\mathrm{c}}=\sqrt{2}-1$. Имеются также линейно независимые решения с $b_{\mathrm{c}}=\sqrt{2}+1$, отвечающие нефизическому полному волновому числу $a^2=-2F$. Қак объяснялось в разд. 9.1, для сдвигов, несколько бо́льших $(\mathrm{\Delta }U{)}_{\mathbf{c}}$, волноподобные решения будут усиливаться до тех пор, пока нелинейные члены в уравнения (9.4.4) не станут существенными. Лабораторные эксперименты показывают, что для широкого диалазона значений рассматриваемых параметров существует режим высоко организованных «регулярных бароклинных» волн, Обзор Хайда и Мейзона [1975] содержит много подробностей о таких волнах.

Педлоски [1972] первым произвел многомасштабное растяжение в окрестности критической точки. Единственная разница между его вычислениями и нашим общим подходом заключается в его-выборе разложения вблизи $\beta /F$. Педлоски принял
$$\mathrm{\Delta }\mathrm{U}=\beta /F\pm {\epsilon }^2$$

вместо того, чтобы рассматривать формальное тейлоровское разложение, как в разд. 9.2. Это, однако, лишь изменяет численное значение $\alpha$, квадрат скорости роста. Представляя возмущения функций тока в виде
$${\phi }_i=\epsilon {\phi }_i^{(1)}+{\epsilon }^2{\phi }_i^{(2)}+\cdots ,$$

при порядке $O(\epsilon )$ получим
$$\left(\begin{array}{l}{\phi }_1^{(1)}\\ {\phi }_2^{(1)}\end{array}\right)=A(X_1,T_1)\left(\begin{array}{l}1\\ b_2\end{array}\right)\sin (m\pi y)\exp [i(kx-\omega t)]+c.c.$$

Теория возмущений, применяемая к уравнениям (9.4.4), развивается таким же образом, как описано в разд. 9.2. Поскольку L дисперсионный оператор (мы рассматриваем здесь только невязкий случай), то можно применить результаты разд. 9.1, из которых следует, что в бифуркационной точке не возникает секулярных членов. Кроме того, линейный оператор $L$ имеет первые производные в каждом элементе и, следовательно, при анализе появляется вектор $\mathbf{D}(X_1,T_1)$. Ситуация, в которой он появляется, усложняется присутствием переменной $y$. Функция $B$ ( $X_1$, $T_1$ ) включает интегрирование по $y$, так как для удаления секулярных членов должна быть применена сопряженная форма оператора L (см. Найфэ [1973]). Выражение для $B$ тогда имеет вид
$$B(X_1,T_1)=\frac{-4\beta }{m\pi F^2}{\int }_0^1[\frac{{\partial }^2{D}_2}{\partial y^2}+F(D_1-D_2)]\sin (2m\pi y)dy.$$

Физически $B(X_1,T_1)$ есть мера поправки к среднему потоку, возникающей из-за саморектификации нелинейной волны. Окончательные амплитудные уравнения относятся к категории (9.1.17), (9.1.18) и приводятся к виду
$$\begin{array}{c}(\frac{\partial }{\partial T_1}+c_1\frac{\partial }{\partial X_1})(\frac{\partial }{\partial T_1}+c_2\frac{\partial }{\partial X_1})=\pm \alpha A-NAB,\\ (\frac{\partial }{\partial T_1}+c_2\frac{\partial }{\partial X_1})B=(\frac{\partial }{\partial T_1}+c_1\frac{\partial }{\partial X_1})|A{|}^2.\end{array}$$

Вид якобиана нелинейных членов показывает, что вторые гармонические члены не вносят вклада в (9.3.18) в порядке $O\left({\epsilon }^2\right)$. Қвадрат \»скорости роста» $\alpha$ и постоянная $N$ определены выражениями
$$\begin{array}{l}\alpha =\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{c}}^2{b}_i^2\beta F^{-1},\\ N={\left(\frac{1}{2}{k}_c{b}_{\mathrm{c}}m\pi \right)}^2.\end{array}$$

Применение такого анализа к реальным физическим системам, таким, как атмосфера или лабораторные эксперименты с кольцеобразными слоями, требует осторожности по двум принципиальным причинам. Во-первых, отклонение сдвига от критических значений ( $\sim {\epsilon }^2$ ) не всегда мало. Следовательно, временны́е переменные $t,T_1$ и $T_2$ не всегда хорошо разделяются, и многомасштабный анализ может оказаться несостоятельным. Во-вторых, физические размеры системы ограничивают растяжку в пространстве. Например, в атмосфере и во многих лабораторных экспериментах система вмещает пять или шесть длин волн, так что длина падающей волны не может быть очень короткой по сравнению с характерным продольным масштабом изменения огибающей. Тем не менее этот анализ оказывается полезным в механике жидкостей, поскольку он приводит к результатам, которые имеют сходные черты с лабораторными экспериментальными наблюдениями.

Обратим теперь внимание на двухслойную модель для случая, когда $\beta$-эффект исключается. Уравнения (9.4.8) теперь принимают вид
$$\omega /k=\frac{1}{2}(u_1+u_2)\pm \mathrm{\Delta }U{(a^4-4F^2)}^{1/2}{(2F+a^2)}^{-4}.$$

Очевидно, что значение $\mathrm{\Delta }U$ теперь не играет роли в неустойчивости, но если $a^2<2F$, то в выражении (9.4.21) появляется мнимая часть. Так как $P$ содержит значения плотности жидкости, то мы используем эту величину как параметр $\mu$ и нейтральная кривая теперь будет иметь вид
$$\mu =F=(1/2)a^2=(1/2)(k^2+m^2{\pi }^2).$$

Минимальнос значенне $k$ есть $k_{\mathrm{c}}-0$ с $F_{\mathrm{c}}=(1/2)m^2{\mathrm{a}}^2$. Қак мы показали в разд. 9.1, пеобхолимо рассмотреть неустойчивые моды вверху от нейтральюй кривой вдалін от $k_{\mathrm{c}}-0$, которье исключают появление переменной $X_1$, но допускают применение переменной $X_2$. Поскольку персменная $X_1$ отсутствует, уравне!ие эквивалентное (9.1.34), можно проичтегрировать и получить, что $B=|A{|}^2$, и окончательное змплитудное уравиение принимаст вид
$$i\chi \frac{\partial A}{\partial X_2}=\pm {\alpha }_{3}A-{\beta }_{3}A|A{|}^2+{\gamma }_3\frac{{\partial }^{2}A}{\partial T_1^2}.$$

Поскольку член $\pm {\alpha }_{3}A$ может быть «поглощен» левой частью уравнения (9.4.23), мы приходим к НЛШ-уравнспию, где $T_1$ и $X_2$ меняются мсстами как иространственная и времсина́я переменные по сравнению с ббычной формулировкой обратной задачи рассеяния гл. 6. Технически мы не решаем задачу Коши для этого уравнепия; вместо этого нреобразование обратной задачи рассеяния опрсделяет данные для $A$ при, скажем, $X_2=0$, которые образуют краевую задачу.