Мы сейчас оставим в стороне нелинейную оптику и обратимся к проблеме вихрей в механике жидкости. Мы рассмотрим очень – простую модель, демонстрирующую то, что получило название бароклинных волн. Эти волны появляются как в атмосфере, так и в океанах Земли с длиной волны порядка 1000 и 10 км соответственно. Кроме того, они обнаружены в атмосфере некоторых основных планет.

Бароклинная неустойчивость давно была признана одним из основных механизмов, поставляющих кинетическую энергию крупномасштабным системам, влияющим на погоду (зоны пониженного давления и ассоциированные с ними фронтальные структуры) средних широт. Вообще говоря, неустойчивость может появиться, когда возникает равновесное состояние, в котором поверхности постоянной плотности не параллельны поверхностям постоянного гравитационного потенциала. В этом случае частицы газа, движущиеся по траекториям, которые лежат между указанными поверхностями потенциалов и плотностей, могут высвободить часть потенциальной энергии системы и приобрести кинетическую энергию.

Қак следует ожидать, проблема математического моделирования такого поведения, опирающаяся на уравнения Навье Стокса, исключительно трудна, частично из-за геометрии проблемы.

Один из возможных путей, который выбирают исследователи для изучения проблемы такого рода (этого явления), связан с построением простой модели жидкости или газа, которая, будучи идеализированной, тем не менее обнаруживает все черты баро-
клинной неустойчивости. Упомянутое выше состояние равновесия между поверхностями постоянного гравитационного потенциала и постоянного давления может быть достигнуто в атмосфере, океане и лабораторных условиях (экспериментах), когда рассматривается горизонтальный градиент температуры вместе с быстрым вращением всей системы.

Одним из аналогов такой модели, который допускает более простое математическое описание, является так называемая «двухслойная модель» (Филипс [1954]), в которой два слоя несмешивающихся идеальных жидкостей (или газов) различных плотностей, причем легкая расположена над тяжелой, помещены в бесконечный канал и поддерживаются в относительно горизонтальном движении. Вся система вращается вокруг ее вертикальной оси. Разумеется, нельзя претендовать на то, что эта модель точная модель атмосферы, но если вязкость мала и ею можно пренебречь, то такая модель обнаружит баРис. 9.6. роклинную неустойчивость, представляюцую собой дисперсионный тип неустойчивости (категория II в разд. 9.1). Для наших приложений мы будем предполагать, что верхний и нижний слои жидкостей движутся со скоростями $U_{1}$ н $U_{2}$ соответственно в направлении $x$ в бесконечном прямолинейном канале с неподверженными давлению боковыми стенками, отвечающими $y=0,1$. (По поводу граничных условий на боковых стенках см. примечания к этой главе.) Қак в разд. 5.4, где мы описали приближение $\beta$-плоскости, в этой ситуации введены эффекты орбитальной сферичности. Для этого применяется приближение $\beta$-плоскости, в котором кориолисов параметр взят равным $2 \Omega_{0}+\beta y$. Эта модель наглядно изображена на рис. 9.6. Совсем не обязательно начинать анализ неустойчивости, отправляясь от уравнений Навье – Стокса, так как модель, изображенную на рис. 9.6, можно значительно упростить, если воспользоваться геострофическим приближением, опнсанным в разд. 5.4. Эта аппроксимация, которая устанавливает баланс между кориолисовой силой и градиентом давления, сводит уравнения Навье Стокса для двухслойной модели к связанной паре уравнений для системы вихрей. $\mathrm{K}$ сожалению, мы не имеем возможности привести вывод этих уравнений для вихрей из первых принципов из-за громоздкости выкладок. В таких моделя х появляются пограничные слои, называемые слоями Эккмана, эффекты от которых должны быть включены в рассмотрение. K сожалению, ограниченность места не позволяет нам подробно рассказать о том, как это делается. С выводом двухслойных вихревых уравнений можно познакомиться по статье Педлосски [1970]. В геострофическом приближении уравнения потенциальной завихренности, описывающие такую модель, имеют вид
\[
\begin{array}{l}
{\left[\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial \psi_{1}}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y}-\frac{\partial \psi_{1}}{\partial y} \frac{\partial}{\partial x}\right]\left[
abla^{2} \psi_{1}+\left(\psi_{2}-\psi_{1}\right) F+\beta y\right]=0} \\
{\left[\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial \psi_{2}}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y}-\frac{\partial \psi_{2}}{\partial y} \frac{\partial}{\partial x}\right]\left[
abla^{2} \psi_{2}+\left(\psi_{1}-\psi_{2}\right) F+\beta y\right]=0}
\end{array}
\]

где $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$ суть функции тока верхнего и нижнего слоев, а $F$ внутреннее вращательное вихревое число Фруда, определенное как $F=4 \Omega^{2} L^{2} p /(\Delta p / \bar{p}) g D / 2$, где $\Omega-$ скорость врацения, $L-$ ширина канала, $D$ – его глубина, $\Delta p / \bar{p}$ – относительная разность плотностей между двумя жидкостями и $g$ – ускорение земного притяжения (или гравитации). Будем считать, что $F$ и $\beta$ фиксированы. Функции тока $\psi_{i}$ представляются в виде суммы постоянного зонального потока и возмущения:
\[
\psi_{i}=-U_{i} y+\varphi_{i}(x, y, t) .
\]

Сдвиг между двумя слоями $\Delta U=U_{1}-U_{2}$ мы будем рассматривать как переменный параметр, который, как будет видно, играет роль параметра $\mu$, обсуждавшегося в предыдущих разделах. Уравнения (9.4.1) можно теперь записать в виде
\[
\begin{array}{r}
\left(\frac{\partial}{\partial t}+U_{1} \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x} \cdot \frac{\partial}{\partial y}-\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial y} \cdot \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(
abla^{2} \varphi_{1}+\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right) F\right)+ \\
+(\beta+F \Delta U) \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x}=0, \\
\left(\frac{\partial}{\partial t}+U_{2} \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x} \cdot \frac{\partial}{\partial y}-\frac{\partial \varphi_{2}}{\partial y} \cdot \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(
abla^{2} \varphi_{2}+\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right) F\right)+ \\
+(\beta-F \Delta U) \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x}=0 .
\end{array}
\]

После их линеаризации получаем
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial}{\partial t}+U_{1} \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(
abla^{2} \varphi_{1}+\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right) F\right)+(\beta+F \Delta U) \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x}=0 \\
\left(\frac{\partial}{\partial t}+U_{2} \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(
abla^{2} \varphi_{2}+\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right) F\right)+(\beta-F \Delta U) \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x}=0 .
\end{array}
\]

Следует обратить внимание на форму якобиана нелинейного члена в (9.4.4); эта форма обычна для любой двумерной адвективной задачи. Пару уравнений (9.4.4) можно записать в виде (9.1.1), где оператор $\mathbf{L}$ задается матрицей

\[
\left(\begin{array}{lc}
\left(\frac{\partial}{\partial t}+U_{1} \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(
abla^{2}-F\right)+(\beta+F \Delta U) \frac{\partial}{\partial x} & F\left(\frac{\partial}{\partial t}+U_{1} \frac{\partial}{\partial x}\right) \\
F\left(\frac{\partial}{\partial t}+U_{2} \frac{\partial}{\partial x}\right) & \left(\frac{\partial}{\partial t}+U_{2} \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(
abla^{2}-F\right)+(\beta+F \Delta U) \frac{\partial}{\partial x}
\end{array}\right) .
\]

Якобиан нелинейных членов легко представить в виде квадратичной формы, залисанной в правой части (9.1.1). Например, якобиан от $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ можно представить в виде
\[
J_{x, v}\left(\varphi_{2}, \varphi_{1}\right)=(M \varphi) \cdot(N \varphi)
\]

где
\[
M=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{rr}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{array}\right) \frac{\partial}{\partial x} ; \quad N=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{rr}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{array}\right) \frac{\partial}{\partial y} .
\]

Полагая $\operatorname{det}(l)=0$, как в (9.1.5), получаем квадратичное дисперсионное соотношение, корни которого имеют вид
\[
\frac{\omega}{k}=\frac{1}{2}\left(u_{1}+u_{2}\right)+\frac{\beta\left(F+a^{2}\right)}{a^{2}\left(2 F+a^{2}\right)} \pm \frac{\left[4 F^{2} \beta^{2}-(\Delta u)^{2} a^{4}\left(4 F^{2}-a^{4}\right)^{1 / 2}\right.}{2 a^{2}\left(2 F+a^{2}\right)},
\]

где $a^{2}=k^{2}+m^{2} \pi^{2}$. Кроме того, мы находим, что
\[
\begin{array}{l}
b_{1}=1, \\
b_{2}=F^{-1}\left(a^{2}+F\right)+(F \Delta U+\beta)\left[F\left(\omega / k-u_{1}\right)\right]^{-1} .
\end{array}
\]

Будем рассматривать такие значения $k$ и $P$, для которых $a^{2}<2 F$. При этом условии, когда $\Delta U$ возрастает, выражение под знаком квадратного корня будет менять знак с плюса на минус.

Поскольку сдвиг $\Delta U$ играет роль бифуркационного параметра $\mu$, нейтральная кривая задается уравнением
\[
\mu=\Delta U(k)=2 \beta F / a^{2}\left(4 F^{2}-a^{4}\right)^{1 / 2} .
\]

Когда $\mu<\Delta U(k)$, система нейтрально устойчива, и, следовательно, неустойчивость будет чисто дисперсионной, но когда $\mu>\Delta U(k)$, возникает бароклинная неустойчивость. Кривая нейтральной устойчивости, заданная в (9.4.10), имеет вид, изображенный на рис. 9.1. Она имеет минимум в точке
\[
a_{\mathrm{c}}^{2}=k_{\mathrm{c}}^{2}+m^{2} \pi^{2}=\sqrt{2 F}
\]

и
\[
\mu_{\mathrm{c}}=(\Delta U)_{\mathrm{c}}=\beta / F \text {. }
\]

Объединяя это с результатами разд. 9.1, мы находим в критической точке ( $\left.(\Delta U)_{0}, k_{\mathrm{c}}\right)$, что, в то время как фазовая скорость однозначна и равна $U_{2}$, групповая скорость имеет два значения, которые мы обозначаем через $c_{1}$ и $c_{2}$ :
\[
c_{\mathrm{I}}=u_{2}+\beta k_{\mathrm{c}}^{2}\left(1+b_{\mathrm{c}}\right)^{2} F^{-2}, \quad c_{2}=u_{2},
\]

где $b_{\mathrm{c}}=\sqrt{2}-1$. Имеются также линейно независимые решения с $b_{\mathrm{c}}=\sqrt{2}+1$, отвечающие нефизическому полному волновому числу $a^{2}=-2 F$. Қак объяснялось в разд. 9.1, для сдвигов, несколько бо́льших $(\Delta U)_{\mathbf{c}}$, волноподобные решения будут усиливаться до тех пор, пока нелинейные члены в уравнения (9.4.4) не станут существенными. Лабораторные эксперименты показывают, что для широкого диалазона значений рассматриваемых параметров существует режим высоко организованных «регулярных бароклинных» волн, Обзор Хайда и Мейзона [1975] содержит много подробностей о таких волнах.

Педлоски [1972] первым произвел многомасштабное растяжение в окрестности критической точки. Единственная разница между его вычислениями и нашим общим подходом заключается в его-выборе разложения вблизи $\beta / F$. Педлоски принял
\[
\Delta \mathrm{U}=\beta / F \pm \varepsilon^{2}
\]

вместо того, чтобы рассматривать формальное тейлоровское разложение, как в разд. 9.2. Это, однако, лишь изменяет численное значение $\alpha$, квадрат скорости роста. Представляя возмущения функций тока в виде
\[
\varphi_{i}=\varepsilon \varphi_{i}^{(1)}+\varepsilon^{2} \varphi_{i}^{(2)}+\cdots,
\]

при порядке $O(\varepsilon)$ получим
\[
\left(\begin{array}{l}
\varphi_{1}^{(1)} \\
\varphi_{2}^{(1)}
\end{array}\right)=A\left(X_{1}, T_{1}\right)\left(\begin{array}{l}
1 \\
b_{2}
\end{array}\right) \sin (m \pi y) \exp [i(k x-\omega t)]+c . c .
\]

Теория возмущений, применяемая к уравнениям (9.4.4), развивается таким же образом, как описано в разд. 9.2. Поскольку L дисперсионный оператор (мы рассматриваем здесь только невязкий случай), то можно применить результаты разд. 9.1, из которых следует, что в бифуркационной точке не возникает секулярных членов. Кроме того, линейный оператор $L$ имеет первые производные в каждом элементе и, следовательно, при анализе появляется вектор $\mathbf{D}\left(X_{1}, T_{1}\right)$. Ситуация, в которой он появляется, усложняется присутствием переменной $y$. Функция $B$ ( $X_{1}$, $T_{1}$ ) включает интегрирование по $y$, так как для удаления секулярных членов должна быть применена сопряженная форма оператора L (см. Найфэ [1973]). Выражение для $B$ тогда имеет вид
\[
B\left(X_{1}, T_{1}\right)=\frac{-4 \beta}{m \pi F^{2}} \int_{0}^{1}\left[\frac{\partial^{2} D_{2}}{\partial y^{2}}+F\left(D_{1}-D_{2}\right)\right] \sin (2 m \pi y) d y .
\]

Физически $B\left(X_{1}, T_{1}\right)$ есть мера поправки к среднему потоку, возникающей из-за саморектификации нелинейной волны. Окончательные амплитудные уравнения относятся к категории (9.1.17), (9.1.18) и приводятся к виду
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{1} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right)\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{2} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right)= \pm \alpha A-N A B, \\
\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{2} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right) B=\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{1} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right)|A|^{2} .
\end{array}
\]

Вид якобиана нелинейных членов показывает, что вторые гармонические члены не вносят вклада в (9.3.18) в порядке $O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Қвадрат \”скорости роста» $\alpha$ и постоянная $N$ определены выражениями
\[
\begin{array}{l}
\alpha=\frac{1}{2} k_{\mathrm{c}}^{2} b_{i}^{2} \beta F^{-1}, \\
N=\left(\frac{1}{2} k_{c} b_{\mathrm{c}} m \pi\right)^{2} .
\end{array}
\]

Применение такого анализа к реальным физическим системам, таким, как атмосфера или лабораторные эксперименты с кольцеобразными слоями, требует осторожности по двум принципиальным причинам. Во-первых, отклонение сдвига от критических значений ( $\sim \varepsilon^{2}$ ) не всегда мало. Следовательно, временны́е переменные $t, T_{1}$ и $T_{2}$ не всегда хорошо разделяются, и многомасштабный анализ может оказаться несостоятельным. Во-вторых, физические размеры системы ограничивают растяжку в пространстве. Например, в атмосфере и во многих лабораторных экспериментах система вмещает пять или шесть длин волн, так что длина падающей волны не может быть очень короткой по сравнению с характерным продольным масштабом изменения огибающей. Тем не менее этот анализ оказывается полезным в механике жидкостей, поскольку он приводит к результатам, которые имеют сходные черты с лабораторными экспериментальными наблюдениями.

Обратим теперь внимание на двухслойную модель для случая, когда $\beta$-эффект исключается. Уравнения (9.4.8) теперь принимают вид
\[
\omega / k=\frac{1}{2}\left(u_{1}+u_{2}\right) \pm \Delta U\left(a^{4}-4 F^{2}\right)^{1 / 2}\left(2 F+a^{2}\right)^{-4} .
\]

Очевидно, что значение $\Delta U$ теперь не играет роли в неустойчивости, но если $a^{2}<2 F$, то в выражении (9.4.21) появляется мнимая часть. Так как $P$ содержит значения плотности жидкости, то мы используем эту величину как параметр $\mu$ и нейтральная кривая теперь будет иметь вид
\[
\mu=F=(1 / 2) a^{2}=(1 / 2)\left(k^{2}+m^{2} \pi^{2}\right) .
\]

Минимальнос значенне $k$ есть $k_{\mathrm{c}}-0$ с $F_{\mathrm{c}}=(1 / 2) m^{2} \mathrm{a}^{2}$. Қак мы показали в разд. 9.1, пеобхолимо рассмотреть неустойчивые моды вверху от нейтральюй кривой вдалін от $k_{\mathrm{c}}-0$, которье исключают появление переменной $X_{1}$, но допускают применение переменной $X_{2}$. Поскольку персменная $X_{1}$ отсутствует, уравне!ие эквивалентное (9.1.34), можно проичтегрировать и получить, что $B=|A|^{2}$, и окончательное змплитудное уравиение принимаст вид
\[
i \chi \frac{\partial A}{\partial X_{2}}= \pm \alpha_{3} A-\beta_{3} A|A|^{2}+\gamma_{3} \frac{\partial^{2} A}{\partial T_{1}^{2}} .
\]

Поскольку член $\pm \alpha_{3} A$ может быть «поглощен» левой частью уравнения (9.4.23), мы приходим к НЛШ-уравнспию, где $T_{1}$ и $X_{2}$ меняются мсстами как иространственная и времсина́я переменные по сравнению с ббычной формулировкой обратной задачи рассеяния гл. 6. Технически мы не решаем задачу Коши для этого уравнепия; вместо этого нреобразование обратной задачи рассеяния опрсделяет данные для $A$ при, скажем, $X_{2}=0$, которые образуют краевую задачу.