Обратная задача рассеяния для уравнения Шрёдингера состоит в том, чтобы реконструировать потенциал по асимптотическим данным, которые получаются в результате процесса рассеяния. Примеры такой процедуры рассматривались в разд. 2.2. Первые попытки решения обратной задачи были предприняты Фрёбергом [1948] и Х иллераасом [1948]. Однако Баргманн [1949], построив контрпримеры, показал, что их решения не являлись единственными. Их ошибка состояла в том, что они использовали в качестве асимптотических данных лишь матрицу рассеяния вместо данных рассеяния ( $S_{+}$или $S_{-}$). Данные рассеяния полностью определяют (матричную) спектральную функцию распределения, которую можно связать с уравнением Шрёдингера при данных граничных условиях (см. разд. 3.4). В результате исследований некоторых советских математиков было установлено, что задание спектральной функции распределения, подчиненной некоторым условиям, необходимо и достаточно для того, чтобы потенциал мог быть восстановлен единственным образом.

Для нас в этой работе интереснее всего то, что потенциал может быть найден из решения линейного интегрального уравнения, включающего в себя данные рассеяния, так что если $S_{ \pm}(t)$ определено таким способом, который был указан в разд. 3.5, по начальным данным $S_{ \pm}(0)$ при $t=0$, то мы можем в принципе построить $Q(x, t)$ в произвольный последующий момент времени по начальному состоянию $Q(x, 0)$. Это линейное интегральное уравнение называется либо уравнением Гельфанда – Левитана [1951], либо уравнением Марченко (Марченко и Агранович [1963]). Различие состоит в том, что в одном случае граничные условия обратной задачи регулярны, а в другом – нерегулярны. Поскольку фундаментальными решениями для нашей задачи являются решения Йоста, соответствующее интегральное уравнение есть уравнение Марченко.

Главной целью настоящего раздела является вывод уравнения Марченко для уравнения Шрёдингера на вещественной оси и
нахождение таких ограничений на данные рассеяния, которые гарантируют единственность решения $Q$, удовлетворяющего условию
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left(1+x^{2}\right)|Q(x)| d x<\infty .
\]

Самый прямолинейный способ вывода исходит из фундаментального соотношения (3.3.59):
\[
T_{+}(k) \varphi(x, k)=\psi^{*}(x, k)+R_{+}(k) \psi(x, k),
\]

где
\[
T_{+}=a^{-1} \text { и } R_{+}=b a^{-1}
\]
– непрерывные ограниченные функции, и по лемме 3.6
\[
\begin{array}{c}
R_{+}(k)=O(1) \quad \text { при } \quad|k| \rightarrow \infty, \\
T_{+}(k)=O\left(|k|^{-1}\right) \quad \text { при } \quad k \rightarrow \infty .
\end{array}
\]

Эти свойства элементов матрицы рассеяния вместе с граничными условиями, определяющими решения Йоста (3.3.2), гарантируют существование интегралов в преобразовании Фурье от (4.1.1):
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left(T_{+}(k)-1\right) \varphi(x, k) e^{i k y} d k=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} R_{+}(k)\left(\psi(x, k)-e^{i k x}\right) e^{i k y} d k+ \\
+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} R_{+}(k) e^{i k(x+y)} d k+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\psi^{*}(x, k)-e^{-i k x}\right) e^{j k y} d k+ \\
+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{-i k x}-\varphi(x, k)\right) e^{i k y} d k .
\end{array}
\]

Определим преобразование Фурье для функции $f \in L^{\mathbf{1 2}}(\mathbb{R})=$ $=L^{1}(R) \cap L^{2}(R)$ следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
\widehat{f}(x)=(2 \pi)^{-1 / 2} \mathbf{T} f(x) \equiv \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(k) e^{i k x} d x, \\
\widehat{f}(k)=(2 \pi)^{1 / 2} \mathbf{T}^{*} f(k) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{i k x} d x,
\end{array}
\]

где $\mathbf{T}$ – унитарный оператор. Тогда поскольку
\[
\begin{aligned}
\langle f, g\rangle & =\left\langle\mathbf{T}^{*} \mathbf{T} f, g\right\rangle=\langle\mathbf{T} f, \mathbf{T} g\rangle, \\
(2 \pi)^{-1 / 2} \mathbf{T}\left(e^{i k y} f(k)\right) & =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(k) e^{i k(x+y)} d k=f(x+y),
\end{aligned}
\]

то первый интеграл в правой части уравнения (4.1.3) можно записать так:
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} R_{+}(k)(\left.\Psi(x, k)-e^{i k x}\right) e^{i k y} d k= \\
=\frac{1}{2 \pi}\left\langle\mathbf{T}\left(e^{i k y} R_{+}(k)\right), \mathbf{T}\left(\psi(x, k)-e^{i k x}\right)^{*}\right\rangle= \\
=(2 \pi)^{-1 / 2} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{R}_{+}(u+y) \mathbf{T}^{*}\left(\psi(x, k)-e^{i k x}\right)(u) d u .
\end{array}
\]

В разд. 3.4 мы определили операторы преобразования $\mathbf{U}_{+}$, $U_{-}$, имеющие вещественные ядра
\[
\begin{array}{c}
\Psi(x, k)=\mathbf{U}_{+} e^{i k x} \equiv e^{i k x}+\int_{-\infty}^{\infty} K_{+}(x, y) e^{i k y} d y, \\
\varphi(x, k)=\mathbf{U}_{-} e^{-i k x} \equiv e^{-i k x}+\int_{-\infty}^{\infty} K_{-}(x, y) e^{-i k y} d y .
\end{array}
\]

Используя (4.1.7), получим
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{T}^{*}\left(\psi(x, k)-e^{i k x}\right)(u)=\mathbf{T}^{*} \int_{-\infty}^{\infty} K_{+}(x, y) e^{i k y} d y(u)= \\
=(2 \pi)^{-1 / 2} \int_{-\infty}^{\infty} K_{+}(x, y) \int_{-\infty}^{\infty} e^{i k(y-u)} d k d y=(2 \pi)^{1 / 2} K_{+}(x, u) .
\end{array}
\]

Преобразования (4.1.7) и (4.1.8) позволяют и другие члены правой части равенства (4.1.3) переписать с использованием ядер $K_{+}, K_{-}$операторов преобразования:
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left(T_{+}(k)-1\right) \varphi(x, k) e^{i k g} d k= \\
=\int_{x}^{\infty} \hat{R}_{+}(u+y) K_{+}(x, u) d u+\widehat{R}_{+}(x+y)+K_{+}(x, y)-K_{-}(x, y) .
\end{array}
\]

Интеграл в левой части (4.1.10) вычисляется интегрированием по контуру $\Gamma_{R}$, состоящему из отрезка прямой ( $-R, R$ ) и полуокружности $C_{\boldsymbol{R}}$ радиуса $R$ в вер хней полуплоскости переменной $k$, который надо обходить в направлении против часовой стрелки.
Тогда в пределе при $R \rightarrow \infty$ получим
\[
\begin{array}{l}
\lim _{R \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\Gamma_{R}}\left(T_{+}(k)-1\right) \varphi(x, k) e^{i k x} d k\right\}= \\
=\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty}\left(T_{+}(k)-1\right) \varphi(x, k) e^{i k y} d k+ \\
\quad+\lim _{R \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{2 \pi i} \int_{C_{R}}\left(T_{+}(k)-1\right) \varphi(x, k) e^{i k y} d k\right\} .
\end{array}
\]

Второй интеграл в правой части (4.1.11) в пределе обращается в нуль, и поэтому по теореме о вычетах получаем
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty}\left(T_{+}(k)-1\right) \varphi & (x, k) e^{i k y} d k= \\
& =\sum_{j=1}^{M} \operatorname{Res}_{k=i \eta_{j}}\left\{T_{+}(k) \varphi(x, k) e^{i k y}\right\},
\end{aligned}
\]

где $\lambda_{j}=-\eta_{j}^{2} \in \sigma(\mathbf{L})$ – спектр. оператора L. B разд. 3.4 мы ввели нормировочные постоянные $D_{+j}^{-1} \equiv i c_{j}^{-1} a_{j}=\left\langle\psi_{j}, \psi_{j}\right\rangle$, где $\varphi_{j}=c_{j} \psi_{j}$ – собственные функции оператора L. Теперь из (4.1.7) мы можем вывести выражение
\[
\begin{array}{r}
\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty}\left(T_{+}(k)-1\right) \varphi(x, k) e^{i k y} d k=i \sum_{j=1}^{M} D_{+j}\left(e^{-\eta_{j}(x+y)}+\right. \\
\left.+\int_{-\infty}^{\infty} K_{+}(x, u) e^{-\eta_{j}(y+u)} d u\right) .
\end{array}
\]

Если мы подставим (4.1.13) в (4.1.10), то после некоторых преобразований мы получим уравнение Марченко, зависящее от времени:
\[
\begin{array}{c}
K_{+}(x, y, t)+\Omega_{+}(x+y, t)+\int_{x}^{\infty} K_{+}(x, u, t) \Omega_{+}(u+y, t) d u=0 \\
y \geqslant x, \quad \text { (4.1.14) } \\
\Omega_{+}(x, t)=\widehat{R}_{+}(x, t)+\sum_{j=1}^{M} D_{+j}(t) e^{-\eta_{j} x}
\end{array}
\]

Зависимость от времени $t$, которое входит в качестве параметра в это уравнение, будет опускаться повсюду до конца этого раздела, так как все расчеты делаются для фиксированного момента времени.

Аналогичное уравнение может быть получено для ядра $K_{-}$:
\[
\begin{array}{c}
K_{-}(x, y, t)+\Omega_{-}(x+y, t)+\int_{-\infty}^{x} K_{-}(x, u, t) \Omega_{-}(u+y, t) d u=0, \\
y \leqslant x, \quad(4.1 .15) \\
\Omega_{-}(x, t)=\widehat{R}_{-}(x, t)+\sum_{l=\mathrm{I}}^{M} D_{-j} e^{\eta_{j} x}
\end{array}
\]

и $D_{-j}^{-1}=i c_{j} \dot{a}_{j}$, так что $D_{-j} D_{+j}=-\dot{a}_{j}^{2}$. Заметим, что $\Omega_{+}$и $\Omega_{-}$ определены, если известны данные рассеяния $S_{+}$или $S_{-}$, и что из (3.4.79) получаем
\[
Q(x, t)=-2 \frac{d}{d x} K_{+}(x, x, t)=2 \frac{d}{d x} K_{-}(x, x, t) .
\]

Таким образом, если решение любого уравнения Марченко определено, при условии, конечно, что оно существует и единственно, то потенциал $Q$ вполне определен.

Теперь мы получим условия, которым должны подчиняться данные рассеяния для того, чтобы потенциал $Q$ удовлетворял условию $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(x)|\left(1+x^{2}\right) d x<\infty$. Условия, которым должны удовлетворять данные рассеяния для того, чтобы выполнялось условие $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(x)|(1+|x|) d x<\infty$, неизвестны до настоящего времени (Дейфт и Трубовиц [1979]). Конечно, данные рассеяния должны подчиняться добавочным условиям, если потенциал $Q$ должен быть решением разрешимого уравнения. Эти особые условия выводятся в разд. 4.2. Читатели, которые главным образом интересуются решениями разрешимых уравнений, могут не заниматься детальным изучением материала этого раздела. Основные его итоги формулируются в теореме 4.3.

Теперь мы будем работать только с уравнением Марченко (4.1.14) и приводить аналогичные результаты для уравнения (4.1.15). Мы начнем с исследования условий, которым должны удовлетворять данные рассеяния, если потенциал $Q$ удовлетворяет условию $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(x)|\left(1+x^{2}\right) d x<\infty$.
Полагая $y=x$ в уравнении (4.1.14), мы получим формулу
\[
K_{+}(x, x)+\Omega_{+}(2 x)+\int_{x}^{\infty} K_{+}(x, u) \Omega_{+}(x+u) d u=0,
\]

которую мы будем рассматривать как уравнение для $\Omega_{+}$. Для простоты обозначений мы будем опускать в дальнейших выкладках нижний индекс «+» в функциях, входящих в это уравнение. Дифференцируя уравнение (4.1.17) по $x$, получим
\[
\begin{aligned}
\Omega_{x}(2 x)- & \frac{1}{2} Q(x)+\int_{x}^{\infty} K_{+}(x, u) \Omega(x+u) d u+ \\
& +\int_{x}^{\infty} K(x, u) \Omega_{x}(x+u) d u-K(x, x) \Omega(2 x)=0 .
\end{aligned}
\]

Если мы определим
\[
I(x)=\int_{x}^{\infty} K_{x}(x, u) \Omega(x+u) d u,
\]

то при использовании (3.4.79) нетрудно показать, что
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d x} I(x) & =Q(x) \int_{x}^{\infty} K(x, u) \Omega(x+u) d u+\int_{x}^{\infty} K_{u u}(x, u) \Omega(x+u) d u+ \\
& +\int_{x}^{\infty} K_{x}(x, u) \Omega_{x}(x+u) d u-K_{x}(x, x) \Omega(2 x)= \\
& =Q(x)\left[\int_{x}^{\infty} K(x, u) \Omega(x+u) d u+K(x, x)+\Omega(2 x)\right]- \\
& -Q(x) K(x, x)-\frac{d}{d x}\left(\int_{x}^{\infty} \Omega(x+u) K_{x}(x, u) d u\right)= \\
& =\frac{d}{d x}\left(K^{2}(x, x)-\int_{x}^{\infty} \Omega(x+u) K_{u}(x, u) d u\right) .
\end{aligned}
\]

Уравнение (4.1.18) теперь можно переписать в виде
\[
\Omega_{x}(2 x)-\frac{1}{2} Q(x)+2 \int_{x}^{\infty} K(x, u) \Omega_{x}(x+u) d u+K^{2}(x, x)=0 .
\]

Из свойств ядра $K(x, u)$ мы можем определить операцию свертки «*» следующим образом:
\[
\left({ }_{x} K *{ }_{x} K\right)(u)=\int_{-\infty}^{\infty} K(x, 2 u-y) K(x, y) d y, \quad u \geqslant x .
\]

Тогда
\[
\begin{aligned}
\int_{x}^{\infty} \Omega_{u}(2 u)\left({ }_{x} K *{ }_{x} K\right)(u) & =\int_{x}^{\infty} K(x, y) \int_{(1 / 2)(x+y)}^{\infty} K(x, 2 u-y) \Omega_{u}(2 u) d u d y= \\
& =-\frac{1}{2} \int_{x}^{\infty} K(x, y)\left(\Omega_{y}(x+y)+K_{y}(x, y)\right) d y= \\
& =\frac{1}{4} K^{2}(x, x)-\frac{1}{2} \int_{x}^{\infty} K(x, y) \Omega_{x}(x+y) d y,
\end{aligned}
\]

где мы использовали производную по $y$ от уравнения Марченко. Комбинация уравнений (4.1.21) и (4.1.23) дает уравнение, которое можно проитерировать для $\Omega_{+}(2 x)$ :
\[
\Omega_{x}(2 x)=\frac{1}{2} Q(x)+\int_{x}^{\infty} P(x, y) \Omega_{y}(2 y) d y,
\]

где
\[
P(x, y)=4\left(K(x, 2 y-x)+\left({ }_{x} K *{ }_{x} K\right)(y)\right) .
\]

Поскольку итерации интегрального уравнения Вольтерры всегда сходятся, мы можем использовать оценку
\[
\begin{array}{r}
K(x, y) \leqslant C(x) R_{0}\left(\frac{1}{2}(x+y)\right) \leqslant C(a) R_{0}\left(\frac{1}{2}(x+y)\right), \\
-\infty<a \leqslant x \leqslant y,
\end{array}
\]

выведенную из неравенства (3.4.61), чтобы получить оценку для $\Omega_{+}(2 x)$. Здесь и в следующем разделе $C_{j}(x)$ – монотонная функция, ограниченная при $x \rightarrow+\infty$ и, вообще говоря, возрастающая при $x \rightarrow-\infty$. Нетрудно показать, что $k R_{+} T_{+}^{-1} \in L_{1}(\mathrm{R}),\left(T_{+}-\right.$ -1) $\in L^{2}(\mathbb{R})$ и что
\[
k R_{+}=k R_{+} T_{+}^{-1}+k R_{+}\left(T_{+}-1\right) T_{+}^{-1}
\]

отсюда следует, что
\[
\frac{d}{d x} \tilde{R}_{+}(x)^{2}=\tilde{g}_{1}+\tilde{g}_{2},
\]

где $g_{1} \in L^{1}(\mathbb{R})$ и $g_{2} \in L^{2}(\mathbb{R})$. Итерация уравнения (4.1.24) и использование оценки (4.1.25) вместе с разложением (4.1.27) позволяют вывести следующую оценку:
\[
\left|\frac{1}{2} Q(x)-\Omega_{x}(2 x)\right|<C_{1}(x) R_{0}^{2}(x) .
\]

Поскольку $\Omega_{+}(2 x)$ локально принадлежит $L^{1}$, мы отсюда выводим, что $\Omega_{+}(2 x)$ абсолютно непрерывна.

Предположим, что $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(x)|\left(1+|x|^{n}\right) d x<\infty$; тогда поскольку
\[
\begin{aligned}
\left|\Omega_{x}(2 x)\right| & =\left|\left(\frac{1}{2} Q(x)-\Omega_{x}(2 x)\right)-\frac{1}{2} Q(x)\right| \leqslant \\
& \leqslant\left|\frac{1}{2} Q(x)-\Omega_{x}(2 x)\right|+\left|\frac{1}{2} Q(x)\right|,
\end{aligned}
\]

то для $-\infty<a<x$
\[
\begin{array}{l}
\int_{x}^{\infty}\left|\Omega_{y}(2 y)\right|\left(1+|y|^{n}\right) d y \leqslant \frac{1}{2} \int_{x}^{\infty}|Q(y)|\left(1+|y|^{n}\right) d y+ \\
+\int_{x}^{\infty} C_{1}(y) R_{0}^{2}(y)\left(1+|y|^{n}\right) d y \leqslant
\end{array}
\]
$\leqslant \frac{1}{2} \int_{x}^{\infty}|Q(y)|\left(1+|y|^{n}\right) d y+C_{1}(a) \int_{x}^{\infty} R_{0}(y) d y \int_{y}^{\infty}|Q(s)|\left(1+|s|^{n}\right) d s \leqslant$ $\leqslant \int_{x}^{\infty}|Q(y)|\left(1+|y|^{n}\right) d y\left(\frac{1}{2}+C_{1}(a) \int_{x}^{\infty}(x-a)|Q(x)| d x\right)<C_{2}(x)<\infty$ (4.1.30)

при условии, что, кроме того, $P_{1}(\infty)<\infty$. Таким образом, если $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(x)|\left(1+x^{2}\right) d x<\infty$, то $\Omega_{x}$ удовлетворяет условию $\int_{a}^{\infty}\left|\Omega_{x}(x)\right|\left(1+x^{2}\right) d x<\infty,-\infty<a \leqslant x$. Поскольку функция $\Omega$ абсолютно непрерывна с граничным условием $\Omega(\infty)=0$, то из этого условия мы получаем
\[
\int_{a}^{\infty}|\Omega(x)| d x \leqslant \int_{a}^{\infty} d x \int_{a}^{\infty}\left|\Omega_{y}(y)\right| d y=\int_{a}^{\infty}(x-a)\left|\Omega_{x}(x)\right| d x \leqslant C_{3}(a)<\infty .
\]

В случае $\Omega_{-}$функции $C_{i}$ и $R_{0}$ заменяются функциями $D_{i}$ и $P_{0}$ в соотношения х, подобных (4.1.28), (4.1.30) и (4.1.31). В этом случае, однако, $D_{i}$ – монотонно неубывающие функции, ограниченные при $x \rightarrow \infty$ и, вообще говоря, возрастающие при $x \rightarrow$ $\rightarrow+\infty$.

Функции $\hat{R}_{+}, \hat{R}_{-}$отличаются от $\Omega_{+}, \Omega_{-}$только экспоненциально убывающими слагаемыми при $x \rightarrow \infty, \bar{x} \rightarrow-\infty$ соответственно. Поэтому кроме условий теоремы 3.7, данные рассеяния должны удовлетворять дополнительным условиям, данным в теореме 4.1, если потенциал $Q$ удовлетворяет условию $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(x)|\left(1+x^{2}\right) d x<$ $<\infty$.

Теорема 4.1. Преобразования Фурье $\widehat{R}_{+}, \widehat{R}_{-}$от козффициентов рассеяния $R_{+}=b a^{-1}, R_{-}=-b^{*} a^{-1}$ абсолютно непрерывны удовлетворяют условиям
\[
\begin{array}{l}
\int_{a}^{\infty}\left|R_{+x}(x)\right|\left(1+x^{2}\right) d x<C_{3}(a)<\infty, \\
\int_{-\infty}^{b}\left|\widehat{R}_{-x}(x)\right|\left(1+x^{2}\right) d x<D_{3}(a)<\infty
\end{array}
\]

для всех $a>-\infty, \quad b<\infty$, если $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(x)|\left(1+x^{2}\right) d x<\infty$.
Теперь мы видим, что необходимые условия, которые даются теоремами 3.7 и 4.1 для данных рассеяния, являются также достаточными для единственности восстанавливаемой функции $Q$ рассеивающего потенциала для уравнения Шрёдингера и, кроме того, обеспечивают выполнение условия $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(x)|\left(1+x^{2}\right) d x<\infty$. Этот результат может быть доказан, если мы докажем справедливость утверждений, содержащихся в следующих пяти шагах, в которых мы предполагаем, без ограничения общности, что $S_{+}$задано. Сначала мы опишем в общих чертах шаги доказательства, а затем обсудим каждый из шагов более детально.
Uаe 1 .
Пусть дано, что $S_{+}$удовлетворяет условиям
\[
\left|R_{+}(k)\right| \leqslant 1, \quad R_{+}(-k)=R_{+}^{*}(k) \text { и } \int_{a}^{\infty}\left|\widehat{R}_{+x}(x)\right|\left(1+x^{2}\right) d x<C_{3}(a),
\]
$a>-\infty$, где $C_{3}$ – неубывающая функция, ограниченная при $x \rightarrow+\infty$ и возрастающая при $x \rightarrow-\infty$. Построим
\[
\Omega_{+}(x)=\widehat{R}_{+}(x)+\sum_{j=1}^{M} D_{+j} e^{-\eta_{j} x} .
\]

Здесь $M$ – число всобственных значений $\lambda_{j}=-\eta_{i}^{2}, \eta_{j}>0_{i}$ а положительные вещественные числа $D_{+j}, j=1, \ldots, M_{1}$ – соответствующие внормировочные постоянные». Построим унитарную матрицу рассеяния $\tilde{\mathrm{S}}(k)$ и проверим, тто она является непрерывной функцией от переменной $k$ и что выполняются условия
(i) $T_{+}(k)=\alpha k+O\left(\left|k^{2}\right|\right)$ при $|k| \rightarrow 0$,
(ii) $T_{+}(k) \geqslant C
eq 0$ при $|k| \rightarrow 0$.

Докажем, что при этих условиях решение $K_{+}(x, y)$ уравнения Марченко (4.1.14) существует и единственно. Докажем, что производные от $K_{+}(x, y)$ существуют, и выведем оценки для $K_{+}$и ее производных. Hlaz 2.
\[
\begin{array}{l}
\text { Постронм } u_{1}(x, k)=e^{i k x}+\int_{x}^{\infty} K_{+}(x, y) e^{i k g} d y \text { и } \\
v_{1}(x, k)=u_{1}(x,-k)+R_{+}(k) u_{1}(x, k), \operatorname{Im} k=0
\end{array}
\]

и покажем, что если $R_{+}(k)=O(1 /|k|)$ при $|k| \rightarrow \infty$, то из шага 1 следует, что $u_{1}$ и $v_{1}$ являются единственными функциями, такими что:
(a) $u_{1}$ н $v_{1}$ могут быть аналитически продолжены в области $\operatorname{Im} k>0$ таким образом, что $\exp (-i k x) u(x, k)$ ограннчена для $\operatorname{Im} k \geqslant 0$, $k
eq 0$, и $v_{1}$ имеет простые полюсы в точках $k_{j}=i \eta_{j}, j=1, \ldots, M$. (b) Вычеты функции $v_{1}$ связаны со значениями функции $u_{3}$ для $k=i \eta_{j}$ соотношениями
\[
\operatorname{Res}_{k=i \eta_{j}}\left(v_{1}(x, k)\right)=-i D_{+j} u_{1}\left(x, i \eta_{j}\right), j=1, \ldots, M .
\]
(c) На вещественной оси
\[
u_{1}(x,-k)=u_{i}^{*}(x, k), \quad v_{1}(x,-k)=v_{i}^{*}(x, k) .
\]
(d) Для $|k| \rightarrow \infty, \operatorname{Im} k \geqslant 0$,
\[
u_{1}(x, k) e^{-i k x}=1+O\left(\frac{1}{|k|}\right), \quad v_{1}(x, k) e^{i k x}=1+O\left(\frac{1}{|k|}\right) .
\]

HIaz 3.
Исходя из матрнды рассеяния $\tilde{\mathrm{S}}$, проверим, что
\[
\int_{-\infty}^{t}\left|\widehat{R}_{-x}(x)\right|\left(1+x^{2}\right) d x<D_{3}(b),
\]

где $D_{\mathfrak{s}}$ – неубышающая функция, ограниченная при $x \rightarrow-\infty$. Вычислим $D_{-j}=-a_{j} D_{+j}, j=1, \ldots, M$, где $a(k) \equiv T_{+}^{-1}=T_{-}^{-1}$. Построим
\[
\Omega_{-}(x)=\widehat{R}_{-}(x)+\sum_{j=1}^{M} D_{-j} e^{\eta_{j} x^{x}}
\]

и повторим шаги 1 и 2, используя уравнение Марченко (4.1.15) для ядра $K_{-}(x, y)$ н функций
\[
\begin{array}{l}
u_{2}(x, k)=e^{-i k x}+\int_{-\infty}^{x} K_{-}(x, y) e^{-i k y} d y, \\
v_{2}(x, k)=R_{-}(k) u_{2}(x, k)+u_{2}(x,-k), \quad \operatorname{Im} k=0 .
\end{array}
\]

Заменим в шаге 2 функции $u_{1}, v_{1}, R_{+}$на $u_{2}, v_{2}, R_{-}$, тогда в части (b) имеем соотношение
\[
\operatorname{Res}_{k=i \eta_{j}}\left(v_{2}(x, k)\right)=i D_{-j} a_{2}\left(x, i \eta_{j}\right), j=1, \ldots, M .
\]

Wae 4.
Установим, что функции $u_{t}$ являются решениями уравнения Шрёдингера
\[
-u_{i x x}(x, k)+Q_{i}(x) u_{i}(x, k)=k^{2} u_{i}(x, k), \quad i=1,2,
\]

где $Q_{1}(x)=-2 \frac{d}{d x} K_{+}(x, x), Q_{2}(x)=2 \frac{d}{d x} K_{-}(x, x), \quad$ и, кроме тoro,
\[
\int_{a}^{\infty}\left|Q_{1}(x)\right|\left(1+x^{2}\right) d x<\infty, \quad \int_{-\infty}^{b}\left|Q_{2}(x)\right|\left(1+x^{2}\right) d x<\infty .
\]

Waz 5.
Функции $u_{i}$ удовлетворяют соотношениям
\[
\begin{array}{l}
T_{-} u_{1}(x, k)=R_{-}(k) u_{2}(x, k)+u_{2}(x,-k), \\
T_{+} u_{2}(x, k)=R_{+}(k) u_{1}(x, k)+u_{1}(x,-k),
\end{array}
\]

где $T_{+}=T_{-}$. Из этого мы заключаем, что $Q \equiv Q_{\mathbf{1}}=Q_{2}$ и что обратиая задача имеет единственное решение $Q$, удовлетворяющее ограничению $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(x)|\left(1+x^{2}\right) d x<\infty$. Функцни $u_{1}$, $u_{2}$ являются решениями Йоста $\psi, \Psi$.

Телерь, когда мы описали в общих чертах эти пять эталов, обсудим каждый из них более детально.

IITaz 1 .
$T_{+}^{-1}(k)$ строится с использованием (3.4.61) (см. тем не менее примечания к этому разделу в конце главы). Условия шага 1 проверяются для матрицы расселния

где $\left|T_{+}\right|^{2}+\left|R_{+}\right|^{2}=1$ и $R_{+}=b a^{-1}, R_{-}=-b^{*} a^{-1}$. Перепишем уравнение (4.1.14), опуская зависимость от $t$, как операторное уравиение:
\[
{ }_{x} h(y)+{ }_{x} g(y)+{ }_{x}{ }^{N}{ }_{x} h(x)=0,
\]

где $x^{h}(y) \equiv K_{+}(x, y), y \geqslant x ;{ }_{x} g(y) \equiv \Omega_{+}(x+y), y \geqslant x$ и ${ }_{x} \mathrm{Nf}(y)=$ $=\int_{x}^{\infty} \Omega_{+}(u+y) f(u) d u, \quad y \geqslant x, \quad f \in L^{1}(x, \infty)$. Уравнение (4.1.32) – уравмение Фредгольна второго рода. Функция абсолотно интегрируема и ограничена на интервале $[x, \infty[$ (см. уравнение (4.1.31)). Из этого следует, что она, кроме того, квадратично интегрир уема, т. е. $x g \in L^{12}(x, \infty)$. Для того чтобы доказать существование и единственность решения уравнения (4.1.32), которое тоже принадлежит пространству $L^{2}(x, \infty)$, применим теоремь альтеркативы фредольма. Для начала докажем, что ${ }_{x} \mathbf{N}$ является вполке нелрерывным оператором в пространстве $L^{12}(x, \infty)$. Положим
\[
p(x)=\int_{x}^{\infty}\left|\Omega_{+u}(u)\right| d u .
\]

Используя условия на $S$, видим, что $p(x)$ абсолютно интегрируема на интервале $[a, \infty[, a>-\infty$, и
\[
\left|\Omega_{i}(x)\right| \leqslant \int_{i}^{\infty}\left|\Omega_{+1}(u)\right| d u=p(x),
\]

так что
\[
\int_{x}^{\infty} d u \int_{x}^{\infty} d y\left|\Omega_{+}(u+y)\right|^{2} \leqslant\left(\int_{2 x}^{\infty} p(y) d y\right)^{2}<\infty,
\]

и, следовательно, оператор ${ }_{x} \mathrm{~N}$ вполне непрерывен в пространстве $L^{2}(x, \infty)$. Аналогнчным образом легко показать, что ${ }_{2} \mathbf{N}$ вполне непрерывен в пространстве $L^{1}(x, \infty)$, что является следствием абсолютной ингегрируемости функции $p$.

Дпя того чтобы установить существование и едииственность репения в пространстве $L^{12}(x, \infty)$, мы должны показать только, что однороднос уравнение
\[
{ }_{x} h(y)+{ }_{x} \mathbf{N}_{x} h(y)=0
\]

имеет только тривиальное решение в пространстве $L^{12}(x, \infty)$. Предиоложим, что это не так и тто решение $\boldsymbol{x} h(y) \in L^{2}(x, \infty)$ негривиа.ино. ГЈоскольку $\Omega_{\perp}(x)$ вещественна, то мы без ограничения общности иожем считать, что решение $x^{h}(g)$ тоже веществениое. Определим $\boldsymbol{x}(y)=0$, если $y<x$, умножим (4.1.35) на

$x^{h}$ и затем проинтегрируем это выражение по всей оси $]-\infty, \infty[$ :
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} x^{2}(y) d y & \div \int_{-\infty}^{\infty} d y \int_{-\infty}^{\infty} d u_{x} h(y) \times \\
& \times\left\{\sum_{j=1}^{n} D_{+j} e^{–\eta_{j}(u+y)}+R_{+}(u+y)\right\} x h(u)=0 .
\end{aligned}
\]

Так как $\left\langle\mathbf{T}_{x} h, \mathbf{T}_{x} h\right\rangle=\left\langle{ }_{x} h,{ }_{x} h\right\rangle$, то отсюда следует, что это можно записать в терминах преобразований Фурье следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left({ }_{x} h(k)_{x} h(-k)+R_{+}(k)_{x} h^{2}(k)\right) d k+ \\
+\sum_{j=1}^{M} D_{+t x} h^{2}\left(i \eta_{j}\right) e^{-2 \eta} j^{x}=0 .
\end{array}
\]

Полагая
\[
\begin{array}{l}
x_{x}={ }_{x} \hbar(-k)+R_{+}(k){ }_{x} h(k), \\
x g=\left|T_{+}(k)\right|_{x} \hbar(k)_{4}
\end{array}
\]

мы найдем, что (4.1.37) можно записать в виде
\[
\frac{1}{4 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\left.\left.\right|_{x} f(k)\right|^{2}+\left.\left.\right|_{x} g(k)\right|^{2}\right) d k+\sum_{j=1}^{M} D_{-j x} h^{2}\left(i \eta_{j}\right) e^{-2 \eta_{j} x}=0 .
\]

Поскольку решение ${ }_{x} h(y)$ венественно, то и $x^{h}(i \eta)$ вещественио, так что левая часть уравнения (4,1.39) содержит только положительные члены, Отсюда мы заключаем, что
\[
x(k)=x g(k)=0 .
\]

Из (4.1.38) и (4.1.40) можно вывести, что либо $x^{\text {h }}(k)=0\left(T_{+}(k)>\right.$ $>C$ при $|k| \rightarrow 0)$, либо, в цротивном елуче, $x(k)=0$, за нсклочением $k=0\left(T_{x}(k)=\alpha k+O(\mid k)\right.$ при $\left.|k| \rightarrow 0\right)$. В постеднем случае $R_{+}(0)=-1$ и первое соотнопение из (4.1.38) дает тогда, что ${ }_{x} h_{2}(k)=0$ для всех $k$. Позтому однороднье уравнение (4.1.35) имеет только тривиальные решения. Таким образом. из того факта, что оператор ${ }_{x} \mathbf{N}$ вполие непрерывен в пространстве $L^{2}(x, \infty)$, и теоремы альтернативы Фредгольма следует, что решение уравнения (4.1.32) существует и еципственно в пространстве $L^{2}(x, \infty)$. Более того, оно разрешино и в пространстве $L^{1}(x$, о), поскольку
\[
|x h(y)| \leqslant\left.\int_{x}^{\infty}\left|\Omega_{+}(u \mid y)\right|\right|_{x} h(u)\left|d u \leqslant p(y+x) \int_{x}^{\infty}\right|_{x} h(u) \mid d u
\]

и $p(x)$ ограничена на интервале $[x, \infty$ [, причем $p(\infty)=0$. Таким образом, любое решение из $L^{\mathbf{1}}(x, \infty)$ чринадлежит также и $L^{2}(x, \infty)$, потому что неравенство (4.1.41) показывает, что оно квадратично интегрируемо.

Для того чтобы закончить шаг 1, выведем теперь оценку для ядра $K_{+}(x, y)$ и его пронзводных. Поскольку
\[
\begin{aligned}
\int_{x}^{\infty}\left|{ }_{x} f(y)\right| d y & \leqslant \int_{x}^{\infty} d y \int_{x}^{\infty}|f(u)|\left|\Omega_{+}(u+y)\right| d u \leqslant \\
\leqslant & \left(\int_{x}^{\infty}|f(y)| d y\right)\left(\int_{x}^{\infty}\left|\Omega_{+}(y)\right| d y\right), \\
& -\infty<a<x<\infty, f \in L^{\mathbf{1}}(a, \infty),
\end{aligned}
\]

то верна оценка
\[
\left\|{ }_{x} \mathbf{N}\right\|_{1} \leqslant \int_{x}^{\infty}\left|\Omega_{+}(y)\right| d y \leqslant C_{3}(x) .
\]

где \|\|$_{I}$ – операторная норма в пространстве $L^{1}(x, \infty), x \geqslant$ родное уравнение имеют единственное решение, так что оператор $\left(\mathbf{I}+{ }_{x} \mathbf{N}\right)^{-1}$ существует и ограничен на [a, $[$ [. Следуя рассуждениям Аграновича и Марченко [Ј964], можно показать, что $\|\left(\mathbf{I}+{ }_{x} \mathbf{N}\right)^{-1}{ }_{x}$ – непрерывная функция от $x$. Поскольку $\left\|{ }_{x} \mathbf{N}\right\| \rightarrow 0$ лри $x \rightarrow \infty$, то
\[
\max _{\rightarrow \infty<\infty<\infty<\infty}\left\|\left(\mathbf{I}+{ }_{x} \mathbf{N}\right)^{-1}\right\|_{1}=C(a) .
\]

Из (4.1.14) мы получаем
\[
\left|K_{+}(x, y)\right| \leqslant p(x+y)\left(1+\int_{x}^{\infty}\left|K_{+}(x, u)\right| d u\right)
\]
\[
\int_{x}^{\infty}\left|K_{+}(x, y)\right| d u \leqslant\left\|\left(\mathbf{I}+{ }_{x} \mathbf{N}\right)^{-1}\right\|_{1} \int_{x}^{\infty}\left|\Omega_{+}(x-u)\right| d u \leqslant C(a) C_{s}(2 x),
\]

Так что
\[
\left|K_{+}(x, y)\right| \leqslant C_{4}(x) p(x+y) .
\]

Исходя из (4.1.14), можно установить существование частных производиы от ядра $K_{+}(x, y)$. Д.ля того чтобы получить оценки производых, заметим сначала, что
\[
\begin{aligned}
\int_{x}^{\infty}\left|K_{+}(x, u)\right|\left|\Omega_{+y}(u+y)\right| d u & \leqslant C_{4}(x) \int_{x}^{\infty} p(x+u)\left|\Omega_{+y}(u+y)\right| \leqslant \\
& \leqslant C_{4}(x) p(x+y) p(2 x), \\
\left|K_{+y}(x, y)\right|+\left|\Omega_{+y}(x+y)\right| & \leqslant C_{4}(x) p(2 x) p(x+y) .
\end{aligned}
\]

Подобным же образом из уравнения, которому удовлетворяет пронзводная по $x$ от $K_{+}$, мы полутим
\[
\begin{array}{l}
\int_{x}^{\infty}\left|K_{+x}(x, y)\right| d y \leqslant\left\|\left(\mathbf{1}-{ }_{x} \mathbf{N}\right)^{-1}\right\|_{1}\left(\int_{x}^{\infty}\left|\Omega_{+x}(x+y)\right| d y+\right. \\
+\left|K_{+}(x, x)\right| \int_{x}^{\infty}|\Omega(x+y)| d y \mid \leqslant C(a) p(2 x)\left(1+C_{3}(x) C_{4}(x)\right), \\
\end{array}
\]

так что
\[
\left|K_{+x}(x, y)\right| \Omega_{x}(x-y) \mid \leqslant C_{5}(x) p(2 x) p(x+y) .
\]

и, следовательно,
\[
\left|\frac{d}{d x} K_{+}(x, x)+\frac{d}{d x} \Omega_{+}(2 x)\right| \leqslant C_{6}(x) p^{2}(2 x) .
\]

Наконец, в результате получится
\[
\begin{array}{r}
\left.\int_{a}^{\infty}\left(1 \mid x^{2}\right)\left|\frac{d}{d x} K_{+}(x, x)\right| d x \leqslant \int_{a}^{\infty}\left(1+x^{2}\right) \right\rvert\, \frac{d}{d x} K_{+}(x, x)+ \\
\left.\quad+\frac{d}{d x} \Omega_{+}(2 x)\left|d x \div \int_{a}^{\infty}\left(1+\frac{x^{2}}{4}\right)\right| \frac{d}{d x} \Omega_{+}(x) \right\rvert\, d x .
\end{array}
\]

Второй интеграл в правой части (4.1.53) существует по нашему прелияложению. Дия первого интеграла имеем
\[
\begin{array}{l}
\int_{a}^{\infty}\left(1+x^{2}\right)\left|\frac{d}{d x} K_{+}(x, x)-\frac{d}{d x} \Omega_{+}(2 x)\right| d x \leqslant \\
\leqslant C_{0}(a) \int_{a}^{\infty}\left(1+x^{2}\right) p^{2}(2 x) d x \leqslant C_{7}(a) \int_{a}^{\infty} p(2 x) d x<\infty .
\end{array}
\]

Последнее неравенство получается путем деления области интегрирования на интерваты $[a,-1[,[-1,1]] 1,, \infty[$. Подведем итогн шага 1 в следующей пемме.
Лемма 4.2. Ecли $\Omega_{+}$noтроемнал по $S_{+}$, yдовлепворяет условия
\[
\int_{a}^{\infty}\left|\Omega_{+x}(x)\right|\left(1-x^{2}\right) d x<\infty, \quad a>-\infty,
\]

и если $\widehat{\mathrm{S}}(\mathrm{k})$, построенная из $\mathrm{S}_{+}$, мепрерывна, укитарна и обладает свойспесай
(i) $R_{+}(-k)=R_{*}^{*}(k)$,
(ii) либо (a) $T_{+}(k)=T_{-}(k)=\alpha k+0(|k|)$ mpu $|k| \rightarrow 0$, $\operatorname{Im} k \geqslant 0$, $R_{ \pm}(k)+1=\beta_{ \pm} k+o(|k|)$ при $|k| \rightarrow 0, k$ венестеенное,
либо (b) $T_{+}(k)=T_{-}(k)=$ const $>0$ nou $|k| \rightarrow 0$,
$\operatorname{Im} k \geqslant 0$,

то речение уравнения Марченко (4.1.14), $K_{+}(x, y)$, единотенно. них вылолнотся следнющие оденки:
\[
\begin{array}{l}
\left|K_{+}(x, y)\right| \leqslant C_{6}(x) p(x+y), \\
\left|K_{+y}(x, y)-\Omega_{+y}(x+y)\right| \leqslant C_{4}(x) p(x+y) p(2 x), \\
\left|K_{+x}(x, y)+\Omega_{+x}(x-y)\right| \leqslant C_{6}(x) p(2 x) p(x+y), \\
\left.\left|\frac{d}{d x} K_{+}(x, x)\right| \frac{d}{d x} \Omega_{+}(2 x) \right\rvert\, \leqslant C_{\mathrm{B}}(x) p^{2}(2 x) \\
\partial \pi s-\infty \leqslant a<x<\infty u \\
\int_{a}^{\infty}\left|\frac{d}{d x} K_{+}(x, x)\right|\left(1+x^{2}\right) d x<\infty .
\end{array}
\]

Wą 2.
\[
\begin{array}{l}
u_{1}(x, k)=e^{i k x}-\int_{x}^{\infty} K_{+}(x, y) e^{i k y} d y, \\
v_{1}(x, k)=u_{1}(x,-k)-R_{+}(k) u_{1}(x, k), \quad \operatorname{Im} k=0 .
\end{array}
\]

Заметим, что из определення функцни $u_{1}(x, k)$ следует, что $u_{1}(x$, $-k)=u_{1}^{*}(x, k), \operatorname{Im} k=0$.

Из свойств ядра $K_{+}(x, y)$ мы сразу получаем, что $u_{1}(x, k)$ аналисична при Im $k>0$, и для $|k| \rightarrow \infty$ ниеем
\[
u_{\mathbf{1}}(x, k) e^{-i k x}=1 \cdot \left\lvert\, O\left(\frac{1}{|k|}\right)\right. \text { при }|k| \rightarrow \infty .
\]

Это слелует из того, что $K_{\text {:с }}(x, y)$ существует. Иитегрируя по частям выражение для $u_{1}(x, k)$ и использя оценк у из леммы 4.2 , получим (4.1.55).
Из (4.1.14) мы попучим
\[
\begin{aligned}
K_{+}(x, y)+\hat{R}_{+}(x-y)+\int_{x}^{\infty} K_{+}(x, u) \hat{R}_{+}(u-y) d u & = \\
& =\tilde{K}_{+}(x,-y), \quad y \geqslant x_{1}
\end{aligned}
\]

где
\[
\tilde{K}_{+}(x, y)=-\left(\sum_{j=1}^{M} D_{+j}\left(e^{-\eta_{j}(x-y)}-\int_{j}^{\infty} K_{+}(x, y) e^{-\eta_{j}(j-y)} d u\right)\right),
\]
\[
y \leqslant x \text {. }
\]

Если взять преобразование Фурье от (4.1.56), то получим представтение
\[
v_{l}(x, k)=e^{-i k x}+\int_{-\infty}^{x} \tilde{K}_{+}(x, y) e^{i k y} d y
\]

для $v_{1}(x, k)$. Отсюда мы заключаем, что $v_{1}(x, k)$ мероморфна при $\operatorname{Im} k>0$, и если
\[
R_{+}(k)=O\left(\frac{1}{|k|}\right) \text { при }|k| \rightarrow \infty,
\]

тo
\[
v_{1}(x, k) e^{i k x}=1 \div O\left(\frac{1}{|k|}\right) \text { при }|k| \rightarrow \infty .
\]

Применение теоремы Коши к (4.1.58) и (4.1.57) показывает, что
\[
\operatorname{Res}_{k=i \eta_{j},}
u_{1}(x, k)=-i D_{+j} \mu_{1}\left(x, i \eta_{j}\right)
\]

поскольку числа $\eta_{j}$ различны. Қроме того, из урарнения (4.1.58) мы имеем
\[
v_{1}(x,-k)=v_{1}^{*}(x, k), \quad \text { Iп } k=1 .
\]

IIIazt 3 u 4.
Шаг 3 представляет собой непосредственное ґиторение выкладок, проделанных в шагах 1 и 2. Займемся шагом 4. Предположим Для простоты, пто
\[
\int_{a}^{\infty}\left(1+x^{2}\right)\left|\Omega_{+x x}(x)\right| d x<\infty, \quad-\infty<a .
\]

Тогда мы сможем доказать существование $K_{+x x}$ и $K_{+y y}$, удовлетворяющих уравнениям
\[
\begin{aligned}
K_{+y y}(x, y)= & -\Omega_{+y y}(x+y)-\int_{x}^{\infty} K_{+}(x, u) \Omega_{+y y}(u+y) d t \\
K_{+x x}(x, y)= & -\Omega_{+y y}(x+y)+\frac{d}{d x} K_{+}(x, x) \Omega_{+}(x+y)+ \\
& +\left.K_{+-}(x, x) \Omega_{+-x}(x+u)\right|_{u=x} \Omega_{+}(x-y)- \\
& -\int_{a}^{\infty} K_{+x x}(x, u) \Omega_{+}(u+y) d u .
\end{aligned}
\]

Если проинтегрировать по частям уравнение (4.1.63) и вычесть из него (4.1.64), то мы придем к уравнению
\[
\begin{array}{l}
K_{+x x}(x, y)-K_{+y y}(x, y)-Q_{1}(x) K_{+}(x, y)+ \\
+\int_{x}^{\infty}\left(K_{+x x}(x, u)-K_{+u u}(x, u)-Q_{1}(x) K_{+}(x, u)\right) \Omega_{+}(u+y) d u=0,
\end{array}
\]

rде
\[
Q_{1}(x)=-2 \frac{d}{d x} K_{+}(x, x) .
\]

Поскольку это уравнение имеет только тривиальное решение, то $K_{+x x}(x, y)-K_{+y y}(x, y)-K_{+}(x, y)-Q_{1}(x) K_{+}(x, y)=0 .(4.1 .66)$ Далее, при наших предположениях
\[
\lim _{(x, y) \rightarrow \infty} K_{+}(x, y)=0, \quad \lim _{(x, y) \rightarrow \infty} K_{+x}(x, y)=0 .
\]

Если взять преобразование Фурье от (4.1.66), то мы сразу получим
\[
\text { – } u_{1 x x}(x, k)+Q_{1}(x) u_{1}(x, k)-k^{2} u_{1}(x, k),
\]

и по лемме 4.2
\[
\int_{a}^{\infty}\left|Q_{1}(x)\right|\left(1+x^{2}\right) d x<\infty, \quad-\infty<a .
\]

На самом деле, как показали Агранович и Марченко [1964], функция $u_{1}$ удовлетворяет уравнению (4.1.68), даже если не предполагать, чго $\Omega_{+}$имеет вторую производную. Таким же способом можно показать, что
\[
-u_{2 x x}(x, k)+Q_{2}(x) u_{2}(x, k)=k^{2} u_{2}(x, k),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\int_{-\infty}^{b}\left|Q_{2}(x)\right|\left(1-x^{2}\right) d x<\infty, \quad b<\infty, \\
Q_{2}(x)=2 \frac{d}{d x} K_{-}(x, x) .
\end{array}
\]

Wae 5.
Қак было показано на шаге 3, имеются единственные функции $u_{2}, v_{2}$, которые для вещественного $k$ удовлетворяют соотношению
\[
J_{2}(x, k)=R_{-}(k) u_{2}(x, k)+u_{2}(x,-k) .
\]

Умножив (4.1.71) на $R_{-}$( $-k$ ), это соотношение можно переписать в следующем внде:
\[
\left|R_{-}(k)\right|^{2} u_{x}(x, k)+R_{-}(-k) u_{2}(x,-k)=R_{-}(-k) v_{2}(x, k) .
\]

Затем из унитарности матрицы $\hat{\mathrm{S}}$ получим
\[
-\left|T_{+}(k)\right|^{2} u_{2}(x, k)-v_{2}(x,-k)=R_{-}(-k) v_{2}(x, k) .
\]

Определим функции
\[
u(x, k)=v_{2}(x, k) T_{-1}^{-1}(k) ; \quad v(x, k)=u_{2}(x, k) T+(k) .
\]

Тогда (4.1.73) можно будет записать в другом виде:
\[
v(x, k)=u(x,-k)+R_{+}(k) u(x, k) .
\]

Из определеннй этих функций (4.1.74) можно непосредственно устанювить, что функцни и г обладают свойствами, определяюшұни функции $u_{1}$ н $u_{1}$, поэтому из теоремы единственности следует $u \equiv u_{1}, v \equiv v_{1}$, и мы заключаем, что
\[
Q=Q_{1}: Q_{2}
\]

Шаги 1-5 ренают обратную задацу рассеяния.
Tеорема 4.3. Mroжестео $S_{i}=\left\langle R_{+}, \hat{A}_{j}=\left(\eta_{j}\right)^{2}, D_{+j}, j=\right.$ циала $Q$, удовлетворяющего условию $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(x)|\left(1+x^{2}\right) d x<\infty$ в том слудае, если вылолняютоя следуюцци условия:
(ii) Mamриuа рассеяния $\tilde{\mathrm{S}}=\left(\begin{array}{l}T_{+} R_{-} \\ R_{+} T_{-}\end{array}\right)$, ade $T_{+}(k)=T_{-}(k) \doteqdot T(k)$, $T(k)=$
$=\left\{\begin{array}{c}\prod_{j=1}^{M}\left(\frac{k+i \eta_{j}}{k-i \eta_{j}}\right) \exp \frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty}(\xi-k)^{-1} \log \left[1-\left|R_{+}(\xi)\right|^{2}\right] d_{\delta}^{i}, \operatorname{In} k>0, \\ \lim _{e \rightarrow 0} T(k+i \varepsilon), \quad \operatorname{Im} k=0,\end{array}\right.$
uмеen cлedyюut caonicma:
(a) $T(k)=T^{*}(-k), R_{ \pm}(k)=R_{ \pm}^{*}(-k)$, (вецественность);
(b) $T$ (k) $R_{+}^{*}(k)-R_{-}(k) T^{*}(k)=0$;
$|T(k)|^{2}+\left|R_{+}(k)\right|^{2}=1=|T(k)|^{2}+\left|R_{-}(k)\right|^{2} \quad$ (gkumapносто);
(c) $\widetilde{\mathrm{S}}$ (k) кепрерьнята;
(d) $T(k)=1 \div O(1|k|)$ при $|k| \rightarrow \infty$;
\[
R_{ \pm}(k)=O(1|\hbar| \text { npu }|k| \rightarrow \infty, \quad \operatorname{lm} k=0 ;
\]
(e) либо $T(k)=\alpha k+O(k), \alpha
eq 0$ пpu $k \rightarrow 0$, Im $k \geqslant 0$, $u R_{ \pm}(k)=\beta_{ \pm} k+o(k), \beta_{ \pm}
eq 0 n p u|k| \rightarrow 0, \operatorname{Im} k=0$, ust $|T(k)| \geqslant$ const $>0$ npu $|\kappa| \rightarrow 0$, Im $k \geqslant 0$.

(iii) Функции $\tilde{R}_{ \pm}$абсолютно непрерьвны $u$
\[
\begin{array}{r}
\int_{a}^{\infty}\left|R_{+x}(x)\right|\left(1+x^{2}\right) d x<\infty, \quad \int_{-\infty}^{b}\left|R_{-x}(x)\right|\left(1+x^{2}\right) d x<\infty \\
\quad \text { дA }-\infty<a ; \quad b<\infty .
\end{array}
\]
(iv) Числа $D_{+j}$ положительны.

Теорема 4.3 является главным результатом этого раздела. В заключение этого раздела мы обсудим другие методы решения обрратюой задачи рассеяния. Мы начнем с того, что нз отношения полноты, установленного в разд. 3.4, выведем уравнение Марченко, связывающее данные рассеяния для двух разыы рассеивающих потенциалов $Q_{1}, Q_{2}$. Пусть $\psi^{(1)}, \Psi^{(2)}$ – решения Иоста, соотиетстующие этим потениалам, определениые условиями, аналогичными условиям (3.3.2). Рассмотрим операторы преобразования
\[
\begin{array}{l}
\psi^{(2)}(x, k)=\psi^{(1)}(x, k)+\int_{x}^{\infty} K(x, k) \psi^{(1)}(y, k) d y . \\
\psi^{(1)}(y, k)=\psi^{(2)}(y, k) \cdots \int_{j}^{\infty} \tilde{K}(v, y) \psi^{(2)}(v, k) d v .
\end{array}
\]

Мы пе будем сейчас говорить о свойствах ядер этих операторов и сконцентрируем вннмание на кратком выводе результата. Из отыоцения полноты (3.4.31) для решений Иоста $\psi^{(1)}, \psi^{(2)}$ имеем
\[
\begin{array}{l}
\delta(x-y)-\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left(R_{+}^{(i)}(k) \psi^{(i)}(x, k) \psi^{i}(y, k)+\right. \\
\left.\quad+\psi^{*(i)}(x, k) \psi^{(i)}(y, k)\right) d k+\sum_{j=1}^{\mu^{(l)}} D_{-j}^{(i)} \psi^{(i)}(x) \psi_{j}^{(i)}(y), \quad i=1,2,
\end{array}
\]

Уножим обе части (4.1.79) на ( $R_{+}^{(2)}(x, k)+\psi^{*}(x, k)$ и проннтегриуем по $k$; затем ислользуем (4.1.80) при $i=2$ для попученяя уравнения
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d k^{n}(y, k)\left(R_{-}^{(b)}(k)\left(R_{+}^{(2)}(k) \psi^{2)}(x, k)+\psi^{*}(x, k)\right)\right)+ \\
\sum_{j=1}^{M} D_{+j}^{2} y^{2}(x) \psi^{i 1}\left(y, i \eta_{j}^{(n)}\right)=\int_{y}^{\infty} d v \delta(x-v) \tilde{K}(v, y) \div \delta(x-y) . \\
\end{array}
\]

Применяя те же процедуры к (4.1.78) и используя (4.1.81), мы получим
\[
\begin{array}{l}
\int_{x}^{\infty} d v K(x, v)\left\{\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d k \psi^{i !}(y, k) R_{+}^{(2)}(k)+\sum_{j=1}^{M(2)} D_{+j}^{(2 ;} \psi^{(1)}\left(v, i \eta_{j}^{(2 !}\right)\right\}+ \\
+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \psi^{(1)}(x, k) \psi^{(1)}(y, k) R_{+}^{(2)}(k) d k+ \\
+\sum_{j=1}^{M(2)} D_{j}^{2 j^{(2)}}\left(x, i \eta^{(2)}\right) \uparrow^{(2)}\left(y, i \eta^{(2)}\right)- \\
+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d k \psi^{\prime \prime}(y, k) \psi^{*}(x, k)-\cdots \\
-\int_{-\infty}^{\infty} d v \delta(x-v) \tilde{K}(v, y)-\delta(x-y)=0 . \\
\end{array}
\]

Тогда уравнение (4.1.80) для $i=1$ приведет к уравнению Марченко
\[
K(x, y)+\Omega(x, y)+\int_{x}^{\infty} K(x, v) \Omega(v, y) d v=0, \quad y \geqslant x,(4.1 .83)
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\Omega(x, y)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d k \psi^{(1)}(x, k) \psi^{(1)}(y, k)\left(R_{+}^{(2)}(k)-R_{+}^{i j}(k)\right)+ \\
\quad+\sum_{j=1}^{M(2)} D_{+j}^{(2)} \psi^{(1)}\left(x, i \eta^{(2)}\right) \psi^{1}\left(y, i \eta_{j}^{(2)}\right)-\sum_{j=1}^{M(2)} D_{+l}^{(1)} \psi_{j}^{(1)}(x) \psi_{j}^{(1)}
\end{array}
\]

Потенциалы связаны с уравнением Марчснко соотношением
\[
Q_{2}(x)-Q_{1}(x)=-2 \frac{d}{d x} K(x, x) .
\]

Если $Q_{i x} \in L^{1}(R)$, то $K$ удоптстворяет уравнению
\[
K_{x x}(x, y)-K_{y y}(x, y)+\left(Q_{1}(x)-Q_{2}(y)\right) K(x, y)=0
\]

с граничнымн условиями
\[
\lim _{(x, y)} K_{x}(x, y)=0, \quad \lim _{(x, y)} K_{y}(x, y)=0 .
\]

Очевидно, пто уравнение Марченко (4.1.83) идентично уравнению (4.1.14) при $Q_{1} \equiv 0$. При подходе, используемом Захаровым и Фаддеевым [1971], уравнение (4.1.83) является основным уравнением, используемым в доказательстве того, что уравнение КдФ предегавляет собой интегрируемую гаминтонову систему. Один из решающих моментов в доказательстве состоит в том, чтобы показать, что обратное преобразопание рассеяния или спектральное преобразование является симплектическим иреобразованием дтя многообразий (бесконечномернх), определенных локальными координатами $(Q)$ и $\left(S_{+}\right)$. Авторы доказывают, что симплектическая форма
\[
\omega(Q, P)=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\delta_{1} Q(x) \delta_{2} P(x)-\delta_{1} P(x) \delta_{2} Q(x)\right) d x
\]
\[
P(x)=\int_{-\infty}^{x} Q(y) d y
\]

отображается на симплектическую форму $\omega\left(S_{+}\right)$, что доказывает требуемый результат. Здесь $\delta_{i} Q$ – пронзвольные касательные векторы в бесконечномерном пространствс. Из (4.1.83) и (4.1.85) легко видеть, что
$\delta Q=-2\left\{\frac{1}{2 \pi}-\int_{-\infty}^{\infty} d k \eta^{2}(x, k) \delta R_{+}(x)+\right.$
\[
\left.+\sum_{j=1}^{M}\left(\delta D_{+j} \psi_{j}^{2}(x)+2 i D_{+j} \psi_{j} \psi_{j} \delta \eta_{j}\right)\right\}
\]

где $Q=Q_{1}$ и $\quad \psi=\Psi^{(1)}$.
Другие мегоды восстановления потенциала $Q$ по данным рассеяния принадлежат Ньютону [1980I и Дейфту и Трубовицу [1979].

В этом разделе мы полутили точные утверждения, касающиеся восстановления по данным рассеяния $\dot{S}_{+}$потенциала $Q$, такого, что $\int_{-\infty}^{\infty}\left\{Q(x) \backslash\left(1+x^{2}\right) d x<\infty\right.$ (теорема 4.3). В следующем разделе мы будем пользоваться техникой, развитой в этом разделе, и теоремой 4.3 при решенни задачи Қоши дтя разрешимого эволюцжонного уравнения. Ясно, что на начальные условия должны быть наложены дополнительные условня дифференцируемости, но оказываетея, что эти усповия (1о крайней мере в простейшем случае, когда начальны данные совершенно гладкие) приводят личь к небольшим изменениям в теории, изложенной выше, чтобы были гарантированы существование и единственность решения задачи с начальными условиями.