Раздел 4.1
1. После коитриримера Баргмана к работе Фрёберта и Гнлобъясялось налнтем днскретной части спектра. Марченко 1950. \{952] показал, что спектралыная функиня распределения определиет потенінал, и такпм образом связал эту задачу с обратной задатей IIrурма-лиувилл, которая уне изучалась в литера. туре. Аналогичные результаты были выведены Боргом 119191, витану [1951] припадежнт пропедура, при помощи которой можно реконструировать потенінал по спектральнй dункция, репая динейнос интегральне уравнение. Форма ннтегральюго уравнения, которую мы нспользуем, принадлежнт Марченко โ19551. Необходимье и достаточнье условия, которым должыа удовлетворять спектральная функция, были сформульованы Қрейном [1953].

Bо всех этих работах расемтривалось уравнение Iџрёдннера на полуирямой. Распространение этих результатов для уравнения Шрёдингера на всю прямуіо псследовалось Қеем и Мозесом [1956 ]. Детальное исследованне для случая, когда реконструированный потенциал удовнетворяет устовию тина $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(v)|(1+$ – ғ $|t|) d v<\infty$, был проделан Фаддеевым [1964]. Оинбки в этом рассуженни были обнаружены Шаданом и Сабатье [19771 т Тру. бонитем и heïdrom [1979].
2. Нвотоі предложил да метода ды реконструкии функции $Q$ : однн из пих соответствет решенно уравнения Гелыјанда-Левитана, другой теони Марченко, которая в этом коротком резюме была нами опуцена. Его метод в суцности состонт в введении функций $g_{ \pm}(x, k)$, лвляющихся решенияи уравненяя (3.3.1) и, кроме тoro, удовлетворлющих реаулярих граничным условиям при $x=0$ :
\[
\begin{array}{ll}
g_{+}(0, k)=1, & g_{+x}(0, k)=i k, \\
g_{-}(0, k)=1, & g_{-x}(0, k)=-i k .
\end{array}
\]

Затем тєория развивается примерно тем же нутем, чго и в случае полупрямой (Фаддеев [1963]), введением в данном случае матрнчной функци Йста J, связывающей решения Йста с регулярными ренениями:
\[
\left(g_{+}, g_{-}\right)=(\boldsymbol{\psi}, \varphi) \mathbf{J} .
\]

Существует представление Повзнера-Левитана для функиий $g_{ \pm}$,
\[
g_{ \pm}(x)=\exp (. t i k x)-\int_{-x}^{x} d y H(x, y) \exp ( \pm-i k y)
\]

где функия $H$ удовлетворяет волновому уравнению, ананогичному тому уравнению, которому удовлетворяют функции $K_{ \pm}$при $Q_{x} L^{1}(R)$ Уравнение Гельфанда-Левитана, которое при этом получается, имеет вид
\[
H(x, y)-\Theta(x, y)+\int_{-x}^{+x} H(x, u) \Theta(u, y) d u=0,
\]

где
\[
\Theta(x, y)=\sum_{i=1}^{M} P_{j}(x) P_{j}(y)+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(x, k) \exp (i k y) d k
\]

и
\[
\begin{array}{c}
P_{i}(x)=\left(r_{j 1} \exp \left(-\eta_{j} x\right)+r_{j 2} \exp \left(\eta_{i} x\right)\right) \eta_{j}^{-1}, \\
S(x, t)=M_{11}(k) \exp (i k x)+M_{\mathrm{t} 2}(k) \exp (-i k x),
\end{array}
\]

где
\[
\mathbf{M}(k)=\left(\mathbf{J}^{\wedge}(k) \mathbf{J}(k)\right)^{-\mathbf{J}}-\mathbf{I},
\]

$r_{j}=\left(r_{j 1}, r_{j 2}\right)-$ вектор-строка, такой что
\[
i \prod_{j} \mathbf{J} \ddot{r}_{i}=0
\]

H
\[
\eta_{j}^{2}=c_{i}^{l}\left\{i\left(1, c_{i}\right)_{i \eta_{j}} \dot{\mathbf{J}}_{i}\right\}\left\{-i \operatorname{Res}_{k=i \eta_{j}} T_{j}(k)\right\} .
\]

Единственность реконструированной функции $Q$ гарантируется единственностью ренения уравнения (1) при условия теоремы 4.3. Функция $H$ может быть едниственным образом реконструиро вана по $S_{+}$. Однако подход, использованный Ньютоном, состоит в том, чтобы показать, что J единствениым образом воссталавлива\” строенная из $S_{+}$путем удаления собственных आачений $1 з T_{+}$. Таким образом, решение уравнения Гельфанда-.. Певнтана приводит к потенциалу $Q_{\text {(редуим.). Собственные }}$ значения потом снова добавляются при помоши преобразования Бэклунда, оиисанного в разд. 4.3, для того, чтобы построить иолный потендиал $Q(x)$. Дейфт и Грубовиц выбрали совершенно другой подход. Они показали, что функция $Q$ опрсделена в теринах решений Иоста и данных рассеяния при помоци так называемой формулы следа:
\[
\left.Q(x)=\frac{2 i}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} k R_{+}(k) \Psi^{2}(x, k) d k+\sum_{i=1}^{M}\left\{2 c_{i} \exp \left(\ldots 2 \eta_{i} x\right)\right\} \psi^{4}\right\}(x) .
\]

Они работали с редушированным потенциалом $Q$ и затем добав ляли в него решения типа связанного состояния, используя преобразования Бэклунда, т. е. нспользовали
\[
Q_{\text {(редуцир ) }}(x)=\frac{2 i}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} k R_{+}(k) \exp (2 i k x) h^{2}(x, k) d k,
\]

где $h(x, k)=\exp (-i k x) \psi(x, k)$. Уравнение Шрёдингера можно при этом записать в виде
\[
\left(\begin{array}{l}
h(x, k) \\
l(x, k)
\end{array}\right)_{x}=\left(\begin{array}{l}
\exp (-2 i k x) l(x, k) \\
\exp (2 i k x) h(x, k) Q_{+}(x, h)
\end{array}\right), \quad x \in R_{(3)}
\]

где $Q_{+}(x, h)$ определяется кақ выражение в правой части (2).
Таким образом, в их методе дожжна быть решена обратіая задача (3) с начальными (сингулярными) даннымн
\[
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\begin{array}{l}
h(x, k) \\
l(x, k)
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right) .
\]

Надо показать, что для определенного подходяцим образом $R_{+}$ глобальное решение задачи (3), (4) существует и единственно. После этого можно показать, что функция $Q_{\text {(редуцир.), опреде- }}$ ляемая (2), имеет коэффициент отражения $R_{+}$.

Раздел 4.2
1. Существует обширная литература по пернодическим и условно пернодическим задачам. Наверное, наилучший обзор литературы и библиография по этим задачам содержится в статье Кричекера [1977].
2. Для того, чтобы доказать лемму 4.9, необходимо изучить асимлтотическое поведение функции
\[
\widehat{R}_{+}(x, t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} R_{+}(k, 0) \exp (i \theta(k)) d k,
\]

где $\theta=k\left(x-2 C\left(k^{2}\right) t\right)$. Здесь мы все время предлолагаем, тто $C(k)=-\sum_{\Sigma}^{\Sigma} a_{i} R^{2 i}$ и $a_{i}>0$. Рассмотрим спучай, когца $x>1$. Введем оператор $D$ при номощи определения
\[
D(f(k))=-\frac{d}{d k}\left(\frac{f(k)}{x+\omega^{1 / t}}\right),
\]

где $\omega=-2 k C\left(k^{2}\right)$. Затем, интегрируя по частям, найдем, что
\[
\widehat{R}^{+}(x, t)=\frac{1}{2 \pi}(-i)^{-m} \int_{-\infty}^{\infty} D_{m}\left\{R_{+}(k, 0)\right\} \exp (i \theta(k)) d k .
\]

Этот интеграл определен при следующих условиях: (a) $x+\omega^{(1)}$ не равен нулю нигде в области определения (это условие удовлетворяется, поскольку $x>1$ и $0 \leqslant t$; (b) $D^{m}(R(k, 0))$ суцествует и убывает по крайней мере не медленнее, чем $O(1 / k)$ при $|k| \rightarrow \infty$. Условие (b) тоже удовлетворястся, когда $m \leqslant l-3$ (см. лемму 4,8). Исследование нодыитегралыной функции в последнем уравнении показывает, что главный џен $T_{h i j}$ в разложении для $D^{m}\left(R_{+}(k, 0)\right)$, знаменатель которого равен $\left(x+\omega^{(1)} t\right)^{-(h+m)}$, равняется
\[
R_{+}^{(0)}(k, 0)\left(\omega^{(2)}\right)^{\prime} t^{h}\left\{x+\omega^{(1)} t\right\}^{-(h+-m)} .
\]

Главная часть его разложения имеет вид
\[
R_{+}^{(i)}(k, 0) k^{(2 s-1)} i t^{h}\left\{x+\omega^{(1)} t\right\}^{-(h+m)},
\]

где $i+h=m, \quad 0 \leqslant j \leqslant h \leqslant m$. Отсюда мы получаем
$\left\|T_{i j k}\right\| \leqslant\left\|R_{+}^{(i)}(k, 0)\right\|_{L_{1}} \sup _{k}\left\{k^{(2 s-1) i} t^{h}\left(x+\omega^{(1)} t\right)^{-(h+m)}\right\} \leqslant$.
\[
\leqslant \text { const } \cdot|x|^{-m-j / 2 s t} t^{\{h-(2 s-1) / / 2 s\}} .
\]

Наконец, из неравенства
\[
\left|\widehat{R}_{+}(x, i)\right| \leqslant \text { const } \cdot t^{t n} x^{-m}
\]

мы получасм поведение $\widehat{R}_{+}(x, t)$ при $x, t \rightarrow+\infty$. Легко установить существование интегралов
\[
\begin{array}{l}
\widehat{R}_{+x}(x, t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}(i k) R_{+}(k, 0) \exp (i \theta) d k, \\
\widehat{R}_{+x x}(x, t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left(-k^{2}\right) R_{+}(k, 0) \exp (i \theta) d k,
\end{array}
\]

из которых получим, ирименяя метод вывода предыдущего результата, что при $0<t<T$
\[
\left|\hat{R}_{+}^{(i, 0)}(x, t)\right|<\text { const } \cdot x^{-m+i / 2 s}
\]

для $x>0$. Отсюда следует, что $\left|x^{2} \hat{R}_{+x x}(x, t)\right| \leqslant$ const $\cdot x^{-t+5+1 / s}$. Поведение при $x \rightarrow-\infty$ дается методом стацнонарной фазы. C точностью до главного порядка
\[
\hat{R}_{+}^{(i, 0)}(x, t)=0\left\{|x|^{-(j+1 n+1) / 2 s}\right\} \quad \text { при } x \rightarrow-\infty .
\]

Раздел 4.3
1. Этот результат получнии Абловни, Крускал и Сигур [1959]. Набросок их рассуждений выглядит так. Для $Q$, такого что $-\infty$ $\int_{\infty}^{-\infty}|Q|\left(1+v^{2}\right) d v<\infty$, определим потенциал $Q_{L}$, имеющий компактный носитель, так: $Q_{L}=Q \cdot I_{L}, I_{L}=1$ при $|x| \leqslant L$ и $I_{L}=0$ во всех остальных случаях. Функция $\mu=\Phi_{x} / \varphi$ удовлетворяет уравнению
\[
\mu_{x}+\mu^{2}-Q+k^{2}=0 .
\]

В частности,
\[
\begin{aligned}
\mu_{L}(-L, k) & =-i k, \\
\mu_{L}(L, k) & =\frac{i k\left(e^{i k L}+R_{L+}(k) e^{i k L}\right)}{\left(e^{-i k L}+R_{L+}(k) e^{i k L}\right)},
\end{aligned}
\]

откуда мы выводим, что
\[
e^{2 l k L} R_{L_{+}}(k)=\frac{i k+\mu_{L}(L, k)}{i k-\mu_{L}(L, k)} .
\]

Из разд. 3.3 мы знаем, что либо
(i) $R_{+}(k)=-1+O(k)$ при $k \rightarrow 0$, либо
(ii) $R_{+}(0)=$ const $<1$, и поэтому существует разложение функции $\mu$ по теорин возмущений при малых $k$ :
\[
\mu=\mu^{0}+k \mu^{1}+O\left(k^{2}\right) \text { при } k \rightarrow 0 .
\]

Из этого мы получаем, что
(i) $\mu_{L}^{0}(L)
eq 0$

НЛ
(ii) $\mu_{L}^{0}(L)=0$.

Поскольку $\mu 2(L)$ представляет собой сложное выражение, зависящее от $Q_{L}$, то (ii) – особый случай, а случай (i) — обычное или типичное условие. Так как функция $Q$ может быть сколько угодно точно апироксимирована функтией $Q_{2}$ при достаточно большом размере носителя $L$, а функция $R$ непрерывна при $k=0$, мы можем показать, что сходимость равномерна.