Рассмотрим нелинейное уравнение Қлейна — Гордона с двумя пространственными переменными вида
\[
\Phi_{, x x}+\Phi_{, y y}=2 \frac{\partial U}{\partial \bar{\Phi}}\left(\Phi_{1} \bar{\Phi}\right) .
\]

Это уравнение может быть получено минимизацией функционала энергии или действия, определенного формулой
\[
\mathscr{E}_{\Phi}=\frac{1}{2}\left[|\Phi,|^{2}-|\Phi, y|^{2}+2 U(\Phi, \widetilde{\Phi})\right] .
\]

Если потенциальная функция $U(\Phi, \bar{\Phi})$ имеет специалыный вид
\[
U(\Phi, \bar{\Phi})=V(|\Phi|),
\]

то полевые уравнения инвариантны относительно преобразования симметрии
\[
\left.\Phi(x) \rightarrow{ }_{\alpha} \Phi\right)(x)=e^{l \alpha} \Phi(x)=\tilde{\alpha} \Phi,
\]

где $\alpha$ — вещественная постоянная. Такие преобразования называютея калибровочными преобразованиями. Фаза $\alpha$ может быть выбрана так, чтобы классическое поле $\Phi(x)$ оказалось вещественным в какой-нибудь заданной точке $x$. Однако после того, как такой выбор сделан, фаза Ф фнкеируется во всех других точках. Рассмотрим теперь более общее преобразование
\[
\Phi(x) \rightarrow(\beta \Phi)(x)=e^{i \beta(x)} \Phi(x)=\bar{\beta}(x) \Phi(x),
\]

в котором фаза $\beta$ теперь зависит от координаты $x$ и функция $\vec{\beta}: R^{2} \rightarrow S^{1}$ определена соотношением $\tilde{\beta}: x \rightarrow e^{i \beta(x)}$. Мы назовем такие преобразования координатно зависимыми калибровочныьи преобразованиями. Очевидно, что мнокество всех таких координатно зависимых фазовых преобразований, отвечающих гладким отображениям $\tilde{\beta}: R^{2} \rightarrow S^{1}$, можно наделить структурой гругый Здесь речь идет о непрерывной группе или группе Ли преобразований. Эта группа для любой заданной точки совпадает с группой $U$ (1) унимодулярных комплексных чисел.

Возникает слсдующий вопрос. Қак можно изменить уравнение (7.5.1), с тем чтобы ою стало инвариантным относительно действия этой калибровочной группы? Величина Ф $\overline{\mathbf{1}}$ инвариантна ‘по отюшению к таким калибровочным группам, т. е.
\[
\Phi(x) \bar{\Phi}(x) \rightarrow\left(_{\beta} \Phi(x)\right)\left({ }_{\beta} \bar{\Phi}(x)\right)=\Phi(x) \bar{\Phi}(x),
\]

и, следовательно, потенциальный член в (7.5.1) ведет себя так же, как в случае постоянюй фазы. Поэтому остается лишь рассмотреть члены, содержащие производные. Отдельная производная $\Phi_{a^{\prime}}(a=x$ или $y)$ преобразуется в соответстви с правилом
\[
\Phi_{, a}(x) \rightarrow e^{i \beta(x)}\left(\Phi_{. a} \vdash \tilde{\beta}^{-1}(x) \vec{\beta}_{, a}(x)\right) .
\]

Таким образом, уравнение (7.5.1) в том виде, в котором оно записано, не является инвариантным при таком преобразовании, но его можно сделать ицвариантным, если каким-то образом устранить мешающий член $\tilde{\beta}^{-1}(x) \tilde{\beta},{ }_{a}(x)$. Это делается введением нового вещественизначного поля $A_{a}(x)$, называемого абелевьм калибровочным полем. Если каждую производную $\boldsymbol{\Phi},{ }_{a}$ в (7.5.1) заменить комбинацией $D_{a} \Phi$, определенной равенством
\[
D_{a} \Phi=\left(\Phi, a-i A_{a} \Phi\right),
\]

то под действием калибровочпой группы эта величина будет преобразовываться простым образом:
\[
D_{a} \Phi(x) \rightarrow\left({ }_{\beta} D_{a} \Phi\right)(x)=e^{i \beta(x)}\left(D_{a} \Phi\right)(x),
\]

как преобразовывались (D и $\Phi$, в в случае постоянной фазы, если действие калибровочной группы на поле $A_{a}(x)$ определяется выражением
\[
A_{a}(x) \mapsto\left({ }_{\beta} A_{a}\right)(x)=A_{a}(x)-i \bar{\beta}^{-1}(x) \beta(x)_{, a} .
\]

Выражение $D_{a} \Phi$ называется ковариантной производной функции $Ф$, поле $A_{a}$ называется абелевым калибровочным полем, поскольку $U(1)$ — абелева группа.
Модифицированные полевые уравнения теперь принимают вид
\[
\left(\partial_{x}-i A_{x}\right)^{2} \Phi+\left(\partial_{y}-i A_{y}\right)^{2} \Phi=\frac{\partial V}{\partial \bar{\Phi}}(|\Phi|)
\]

и остаются инвариантными под действием непрерывной группы преобразований
\[
\Phi \rightarrow{ }_{\beta} \Phi, \quad A_{a} \rightarrow{ }_{\beta} A_{a},
\]

определенных формулами (7.5.5) и (7.5.10), где $\beta: R^{2} \rightarrow S^{\mathbf{1}}$ гладкое отображение. Уместно обратить внимание, что новое поле $A_{a}$ входит в уравнения точно таким же образом, как векторный потенциал электромагнитного поля в классической механике. Это наблюдение позволяет нам интерпретировать новое калибровочное поле как электромагнитное поле и предполагать, что в отсутстве $\boldsymbol{\Phi}$-поля оно будет удовлетворять уравнения Максвелла в свободном пространстве. Они обычно записываютея в виде
\[
F_{a b, a}=0
\]
(повторяемый индекс означает суммирование по нему), где электромагнитный тензор определен равенством
\[
F_{a b}=\left(A_{b, a}-A_{a, b}\right) .
\]

Полевой тензор $F_{a b}$, подобно $|\Phi|^{2}$, инвариантен относительно калибровочной группы (7.5.12):
\[
F_{a b}(x) \rightarrow\left({ }_{\beta} F_{a b}\right)(x)=F_{a b}(x) .
\]

Парные полевые уравнения (7.5.13) можно получить минимизацией функционала энергии
\[
\mathscr{E}_{F}=\frac{1}{2}\|F\|^{2},
\]

где
\[
\|F\|^{2}=\frac{1}{2} F_{a b} F_{a b} .
\]

Плотность энергии объединенной системы скалярного и электромагнитного полей дается формулой
\[
\left.\mathscr{E}_{\Phi, F}=\mathscr{E}_{\Phi}+\mathscr{E}_{F}=\left.\frac{1}{2}|| D_{x} \Phi\right|^{2}+\left|D_{y} \Phi\right|^{2}+\|F\|^{2}+2 V(|\Phi|)\right] .
\]

Полевые уравнения получаются минимизацией этого действия и принимают следующий внд:
\[
\begin{array}{c}
F_{a b, a}=J_{b} \\
\left(D_{x}^{2}+D_{y}^{2}\right) \Phi=2 \frac{\partial}{\partial \bar{\Phi}} V(|\Phi|)
\end{array}
\]

где
\[
J_{b}=\operatorname{Im}\left(\Phi \overline{D_{b} \Phi}\right)
\]

есть электрический ток, нндуцированный полем Ф и входящий в уравнения Максвелла как источник. Мы заметим, что тем самым требуется модификация этих уравнений, поскольку ток зависит явным образом от калибровочного поля.

Требование конечности энергии накладывает на поля $\Phi$ и $A_{a}$ следующие ограничения типа граничных условий. А именно, соотношения
\[
\begin{array}{c}
|\Phi| \rightarrow c, \\
\left|D_{x} \Phi\right|^{2}-\left.|-| D_{y} \Phi\right|^{2} \rightarrow 0 \\
\|\left. F\right|^{2} \rightarrow 0
\end{array}
\]

равномерно справедливы при $|x| \rightarrow \infty$. При этом $c$ есть нуль функции $V$, т. е.
\[
V(c)=0 .
\]

Соответствующий топологический заряд можно построить двумя различными путями. Из (7.5.24) следует, что при $|x| \rightarrow \infty$ выполняется соотношение
\[
F_{a b} \rightarrow 0 .
\]

Однако отсюда не вытекает, что калибровочные поля становятся нулевыми. Поле $F_{a b}$ должно стремиться к нулю быстрее, чем $|x|^{-2}$, и, следовательно, мы приходим к соотюошению
\[
A_{a}=-i \tilde{\chi}^{-1} \tilde{\chi}_{, a}+O\left(|x|^{-1-\varepsilon}\right) \text { при }|x| \rightarrow \infty,
\]

где $\tilde{\chi}=\exp i \chi$ есть функция полярного угла $\varphi$, которую можно представлять как функцию, действующую из $S^{1}$ в $S^{1}$. Қалибровочное преобразование с гладкой калибровочной фучкцией $\omega(x)$ переводит $A_{a}$ в $A_{a}$, причем для последнего поля выполняются следующие асимптотические соотношения:
\[
\begin{aligned}
{ }_{\omega} A_{\alpha} & =-i\left(e^{i \chi_{\partial}} e^{i x}\right)-i\left(e^{-i \omega} \partial_{a} e^{i \omega}\right)+O\left(|x|^{-1-\varepsilon}\right)=(7.5 .28) \\
& =-i\left(e^{-i(x+\omega)} \partial_{a} e^{i(x+\omega)}\right)+O\left(|x|^{-1-\varepsilon}\right) .
\end{aligned}
\]

Для того, чтобы исключить $\tilde{\chi}$, нужно выбрать $\exp i \omega=\exp (-i \chi)$. Однако в отличие от $\bar{\chi} \bar{\omega}$ должно быть определено всюду. В частности, $\tilde{\omega}$ должна быть независимой от $\varphi$, когда $r=0$, и функция $\tilde{\omega}$ гомотопна тождественному преобразованию. Это означает, что калибровочное преобразование, такое как в (7.5.28), не может юзменить гомотопический класс функции $\tilde{\chi}=\exp i \%$. Поэтому отображение $\tilde{\chi}$ наделяет эту модель топологическим зарядом, равным числу витков отображения $\check{\chi}$. Простое выражеиие для заряда можно получить, если рассмотреть вектор $V_{a}$, определенный формулой
\[
V_{a}=\frac{1}{2 \pi} \varepsilon_{a b} A_{b} .
\]

Радиальная компонента $V_{r}=\hat{\mathbf{r}} \cdot \mathbf{V}$ имеет при $|x| \rightarrow \infty$ асимптотическое поведение
\[
V_{r}=\frac{1}{2 \pi|x|} x, \theta+O\left(|x|^{-1-\varepsilon}\right) .
\]

Поэтому, интегрируя функцню $|x| V$, по окружности радиуса $R$ и затем устремляя $R \rightarrow \infty$, получим равенство
\[
\lim _{R \rightarrow \infty} \int_{0}^{2 \pi} d \theta|x| V_{r}(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} d \theta \chi_{.} \theta=Q[\tilde{\chi}],
\]

где $Q[\tilde{\chi}]$ есть топологическая степень отображения $\tilde{\chi}: S^{1} \rightarrow S^{1}$.

С другой стороны, предполагая, что векторное поле $V_{\text {в }}$ ведет себя достаточно хороно, можно применить теорему Гаусса Остроградского о расходимости и получить равенство
\[
\lim _{R \rightarrow \infty} \int_{0}^{2 \pi} d \theta R V_{r}=\lim _{R \rightarrow \infty} \int_{|x|=R} \mathbf{V} \cdot d \mathbf{s}=\int_{R^{2}} \operatorname{div} \mathbf{V} d^{\mathbf{a}} x .
\]

Учитывая, что
\[
\operatorname{div} \mathbf{V}=\frac{1}{2 \pi} e_{a b} A_{b, a}=\frac{1}{2 \pi}\left(A_{y, x}-A_{x, y}\right)=\frac{1}{2 \pi} F_{x y},
\]

получаем нашу окончательную интегральную формулу:
\[
\frac{1}{2 \pi} \int_{R^{2}} F_{x y} d^{2} x=Q[\tilde{\chi}]=N,
\]

где $N$ — целое число. С физической точки зрения $F_{x y}$ есть магнитное поле, а интеграл $\int F_{x y} d^{2} x$ представляет собой суммарный магнитный поток через плоскость $(x, y$ ). Равенство (7.5.35) утверждает, что этот суммарный поток квантуется как целое число, умлюженное на $2 \pi$. Мы еще вернемся к этому разд. 7.6, когда такая ситуация возникнет в контексте сверхпроводимости.

Другой подход заключается в рассмотрении поля Ф. В частном примере разд. 7.4 мы попытались постронть топологический заряд, рассматривая отображение $\widetilde{\widetilde{\Phi}}: S^{1} \rightarrow X$, определенное формулой
\[
\tilde{\Phi}: \hat{n} \rightarrow \lim _{r \rightarrow \infty} \Phi(\hat{r})
\]

где $X$ — это множсство нулей потенциала $V$ (|Ф|). Рассмотренный нами частный пример относился к комплексному потенциалу $\varphi^{4}$ вида
\[
V(|\Phi|)=\frac{\lambda}{4}\left(|\Phi|^{2}-1\right)^{2} .
\]

В этом случае множество нулей представляет собой множество всех точек единичной окружности и, следовательно, $X \cong S^{1}$. Поскольку $\pi_{1}\left(S^{1}\right)=Z$, это могло бы нам дать целочисленный заряд, если бы $\widetilde{Ф}$ было нетривиалыным. Однако такое построение оказывается несостоятслыным, так как отображение $\widetilde{\Phi}$ из-за требования конечности энергии вынуждено быть тривиальным, ибо в силу этого требования
\[
\Phi, \theta \rightarrow 0 \text { при }|x| \rightarrow \infty .
\]

Калибовочные поля позволяют немедленио разрешить возникшую трудность, выраженную в (7.5.38). Для решения с конечной энергисй мы теперь потребуем выполнения свойства
\[
\Phi, \theta \rightarrow i|x| A_{0} \Phi \rightarrow 0 \text { при }|x| \rightarrow \infty .
\]

Это означает, что для решения с конечной энергией выполняется соотношение
\[
A_{0}=O\left(|x|^{-1}\right) \text { ири }|x| \rightarrow \infty .
\]

Из (7.5.27) и (7.5.29) мы находнм, что с точностью до постоянного калибровочного преобразования мы имеем
\[
\tilde{\Phi}=\tilde{\chi}
\]

и оба различных корня приводят к одному и тому же топологическому заряду.