Обозначая через ${ }_{b} \varphi$ величину $\theta$, соответствующую $r=R_{b}$, мы можем проинтегрировать по отдельности для входящей и исходящей ветви и получим
\[
\begin{array}{c}
\pi-\varphi_{b}=\int_{R_{b}}^{\infty}\left[b^{-2} \ldots r^{-2}-V(r) E^{–1} b^{-2-2}\right]^{-1 / 2} r^{–2} d r, \\
\varphi_{b}-\theta(b)=\int_{R_{b}}^{\infty}\left[b^{-2}-r^{-2}-V(r) b^{-2} E^{-1}\right]^{-1 / 2} r^{-2} d r .
\end{array}
\]

Отсюда сразу получается
\[
\theta(b)=\pi-2 \int_{R_{b}}^{\infty}\left[b^{-2} \quad r^{-2} V(r) E^{-1-1} b^{-2}\right]^{-1 / 2} r^{-2} d r .
\]

Заменив переменную интегрирования (вместо $r$ взяв $u=r^{-1}$ ), можно выразить $(2.2 .10)$ в таком виде:
\[
\theta(b)=\pi-2 \int_{0}^{u_{b}}\left[b^{-2}\left(1-\tilde{V}(u) E^{-1}\right)-\cdot u^{2}\right]^{-1 / 2} d u,
\]

где $U_{b}=R_{b}^{-1}$ и $\tilde{V}(u)=V\left(u^{m 1}\right)$.
Выражение (2.2.11) служит самым удобным решением прямой задачи. Для примера рассмотрим потенциал $V(r)=e / r^{2}$. Подставляя этот потенциал в (2.2.11), получим
\[
\theta=\pi\left[1 \cdots\left(e b^{-2-2} E^{-1}+1\right)^{-1 / 2}\right]
\]

и, проинтегрировав, найдем, что
\[
b^{2}=e E^{1} \frac{(1-\theta / \pi)^{2}}{\left(1-(1-\theta / \pi)^{2}\right)} .
\]

Из (2.2.2) дифференциальное сечение рассеяния выражается формулой
\[
\sigma(\theta)=-\frac{1}{2} \operatorname{coses} \theta \frac{d}{d \theta}\left(b^{2}\right) .
\]

Используя (2.2.13) в выражении (2.2.14), можно выразить дифференциальное сечение рассеяния через $\theta$ :
\[
\sigma(\theta)=\frac{e(1-\theta / \pi)}{\pi F\left(\theta / \pi(2-\theta / \pi)^{2}\right.} \operatorname{cosec} \theta .
\]

Теперь рассмотрим обратную задачу. Для этого мы должны тщательно проанализировать структуру выражения (2.2.11). В нем неудобно то, что зависимость от $b$ в (2.2.11) носит двоякий характер. От $b$ зависит не только подынтегральная функция, но и верхний предел интегрирования $U_{b}$, который является наименьшим корнем подынтегральной функции. В качестве первого шага в решении (2.2.11) мы должны сделать явной неявную зависимость в $U_{b}$. Пусть $U_{b}$ – наименьший корень множителя
\[
\left[b^{-2}-u^{2}\left(1-\tilde{V}(u) E^{-1}\right)\right]^{-1} .
\]

Если мы определим
\[
W(u)=u^{2}\left(1-E^{-1} \tilde{V}(u)\right)^{-1},
\]

то, поскольку $U_{b}$ – наименьший корень, функция $W(u)$ имеет единственную обратную на интервале интегрирования ( $0, U_{0}$ ). Следовательно, переменную интегрирования $и$ можно заменить новой переменной интегрирования $W$; преимущество этой переменной в том, что теперь пределы интегрирования по $W$, а именно $W(0)=0$ и $W\left(U_{b}\right)=b^{-2}$, явно зависят от $b$. Уравнение (2.2.11) с новой переменной интегрирования $W$ примет вид
\[
\frac{1}{2}(\pi-\theta(b))=\int_{0}^{b^{-2}}\left(b^{-2}-W\right)^{-1 / 2} \Gamma(W) d W,
\]

где
\[
\Gamma(W)=\left(1-\tilde{V}(u) E^{-1}\right)^{-1 / 2} \frac{d u}{d W} .
\]

Теперь структура уравнения (2.2.11) стала ясна. Если определить интеграл $A[\psi](s)$ выражением
\[
A[\psi](s)=\int_{0}^{s}(s-W)^{-1 / 2} \Psi(W) d W,
\]

то уравнение (2.2.17) можно переписать в виде
\[
\frac{1}{2}(\pi-\theta(b))=A(\Gamma)\left(b^{-2}\right) .
\]

Интегральное преобразование (2.2.19) называется преобразованием Абеля, и теперь можно понять, что обратная задача совпадает с задачей обращения этого преобразования Абеля.
Задача решения уравнения
\[
A[\psi](s)=G(s)
\]

упростится, если мы заметим, что $A[\psi]$ – интегральный оператор типа свертки. Абелево преобразование функции $\psi$ является сверткой функции $\psi$ с функцией $t^{-1 / 2}$. Если применить преобразование Лапласа к (2.2.1) и теорему о свертке, то можно легко убедиться в том, что поскольку преобразование Лапласа от $t^{-1 / 2}$ есть $\sqrt{\pi} p^{-1 / 2}$, то преобразование Лапласа от функции $\psi$ имеет вид
\[
L(\psi)=\pi^{-1 / 2} L(G) p^{1 / 2} .
\]

Обратное преобразование Лапласа от функции $p^{1 / 2}$ не существует. Dднако если использовать элементарное свойство преобразования Лапласа, состоящее в том, что преобразование Лапласа от $G^{\prime}(t)=$ $=d G / d t$ находится по формуле
\[
L\left[G^{\prime}\right]=p L[G]-G(0)
\]

то можно переписать $(2.2 .21)$ в таком виде:
\[
L[\psi]=\frac{1}{\sqrt{\pi}} p^{-1 / 2}\left\{L\left[G^{\prime}\right]+G(0)\right\} .
\]

Далее при помощи теоремы о свертке можно вывести, что
\[
\psi(s)=\frac{1}{\pi}\left\{G(0) s^{-1 / 2}+\int_{0}^{x} G^{\prime}(t)(s-t)^{-1 / 2} d t\right\} .
\]

Это и есть обратное преобразование Абеля.
В нашем случае обратное преобразование Абеля приводит в такому результату:
\[
\Gamma(W)=\frac{d}{d W} \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{W} \frac{(\pi-\theta(s))}{(W-s)^{1 / 2}} d s,
\]

где $\tilde{\theta}(s)=\theta\left(s^{-1 / 2}\right)$ и $\theta(s) \rightarrow \pi$ при $s \rightarrow \infty$, поскольку $U \rightarrow 0$ при $b \rightarrow \infty$. Теперь определим
\[
v(u)=\left(1-\widetilde{V}(u) E^{-1}\right) .
\]

Сопоставляя это с (2.2.16), получаем $v=u^{2} W^{-1}$. Продифференцируем это последнее выражение по $W$ и, подставляя $d u / d W=$ $U^{1 / 2} \Gamma(\mathbb{W})$, получим уравнение (здесь $v$ рассматривается как функция $\tilde{v}$ от $W$ )
\[
\frac{d \tilde{v}}{d W}=\left[2 \Gamma(W) W^{-1 / 2}-W^{-1}\right] \tilde{v}(W),
\]

которое после интегрирования дает
\[
\tilde{\boldsymbol{v}}(W)=\exp \int_{0}^{W}\left[\Gamma(\mathbb{W}) W^{-1 / 2}-W^{-1}\right] d W .
\]

Теперь мы можем обратить уравнение $u^{2}=\tilde{v}(W) W$, с тем чтобы получить $W$ и, следовательно, $v$ как функцию от $u$. Тем самым обратная задача решена.

Процесс обращения состоит в построении последовательности функций
\[
\sigma \rightarrow \theta \rightarrow \Gamma \rightarrow \tilde{v} \rightarrow W \rightarrow v \rightarrow V .
\]

Проследим наши шаги по этому пути от дифференциального сечения рассеяния (2.2.15) до исходного потенциала. Построим после-
довательность (2.2.30) для этого случая. Из (2.2.2) найдем, что
\[
b^{2}=\frac{e E^{-1}\left(1-\frac{\theta}{\pi}\right)^{2}}{\left(1-\left(1-\frac{\theta}{\pi}\right)^{2}\right)} .
\]

Отсюда можно найти $\theta$ как функцию от $b$ :
\[
\theta(b)=\pi\left(1-\left(e b^{-2} E^{-1}+1\right)^{-1 / 2}\right) .
\]

Следовательно, $\tilde{\theta}(S)=\pi\left(1-\left(e S E^{-1}+1\right)^{-1 / 2}\right)$, и подстановка этого выражения в (2.2.26) дает
\[
\Gamma(W)=\frac{d}{d W}\left[\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{W} \frac{\pi\left(e S E^{-1}+1\right)^{-1 / 2}}{(W-S)^{1 / 2}} d S\right] .
\]

Интегрируя подстановкой, имеем
\[
\Gamma(W)=\frac{1}{2} \frac{W^{-1 / 2} e^{-1} E}{\left(W+e^{-1} E\right)},
\]

и дальше, подставляя это в (2.2.32), получаем выражение для функции $\tilde{v}(W)$ :
\[
\tilde{v}(W)=\left(1+e E^{-1} W\right)^{-1} .
\]

Из уравнения $u^{2}=\tilde{v}(W)$ можно найти
\[
u^{2}=W\left(1+e E^{-1} W\right)^{-1} \text {, }
\]

так что $W(u)=u^{2}\left(1-e E^{-1} u^{2}\right)^{-1}$, и поэтому
\[
v(u)=\tilde{v}(W(u))=\left(1-e E^{-1} u^{2}\right),
\]

что по определению $v(u)$ дает $\tilde{v}(u)=e u^{2}$. В конце концов мы выводим формулу $V(r)=e r^{-2}$.

Эта задача классической механики представляет собой пример общей структуры таких двойственных, прямой и обратной, задач. Сначала решается прямая задача и определяется преобразование между неизвестными величинами (в данном случае это одна потенциальная функция) и некоторыми измеримыми величинами (в данном случае это дифференциальное сечение рассеяния). Часто измеримые величины имеют асимптотический характер. Это происходит потому, что в области асимптотики влияние неизвестных величин предполагается известным и простым. Следовательно, результаты экспериментов могут быть истолкованы с некоторой степенью доверия. Преобразования, связывающие изучаемый объект с асимптотическими данными при помощи процессє рассеяния, называются преобразованиями рассеяния. Обратная задача сводится, таким образом, к задаче построения обратногс преобразования рассеяния. Как мы только что видели, построение такого обратного преобразования рассеяния включает построение последовательности вспомогательных функций, которые сами по себе совершенно не важны и представляют собой только этапы решения задачи. Это будет общей чертой обратных преобразований рассеяния в этой книге.