Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Прилежный читатель, добравшийся до этой главы, мог бы прийти к тому выводу, что все нелинейные волновые уравнения с уединенными волновыми решениями обладают также и мультисолитонными решениями и что преобразование обратной задачи рассеяния является универсальным мощным инструментом в исследовании таких проблем. Одиако следует вспомнить предупреждение в конце гл. 1 о том, что техника, развитая в этой книге, приложима только к множеству интересных специальных случаев. Существует много других столь же интересных уравнений, для которых описанные здесь методы неприменимы. Несмотря на огромный прогресс, достигнутый в теорин преобразования обратной задачи рассеяния за последнее десятилетие, продвижение в анализе уравнений, для которых эти методы не проходят, было относительно скромным. И действительно, именно в этой области возникает масса нерешенных задач, связанных с солитоноподобным поведением.
Когда подробно разработанные аналитические инструменты оказываются недостаточными, в нашем распоряжении остается другой подход — изучать эволюцию решений численно. Исторически компьютер был тем инструментом, который ускорил первоначальные исследования в этой области: Забуски [1981] в своем обзоре как первоначальных, так и более поздних исследований убедительно показал значительность вклада, который внесли численные результаты и методы в изучение нелинейных задач во многих областях.
В этой главе мы опишем численные методы, применяемые для изучения нелинейных волновых уравнений с уединенными волновыми решениями. Эти методы можно испытать на уравнениях, для которых известны аналитические результаты и точные решения, и затем применить их к уравнениям, для которых аналитические результаты отсутствуют. Большая часть этой главы будет посвящена обзору результатов, относящихся к различным численным исследованиям этих уравнений, Часто мы не можем обнаружить точного солитонного поведения, которым обладают уравнения, изучаемые всюду в этой книге, и вместо этого будет наблюдаться более размытое «квазисолитонное» поведение. $К$ тому же уравнения с точными мультисолитонными решениями в одномерном пространстве могут обнаруживать некоторую форму солитоноподобного поведения при обобщении на два или более измерений.
Недостаток места вынуждает нас ограничиться кратким обзором литературы с многочисленными пробелами и пропусками. Мы начнем с короткого введения в некоторые часто используемые численные методы для того, чтобы очертить рамки дальнейших обуждений.
