Как следует из результатов разд. 3.5 , мы имеем дело с задачей Kоиu
\[
\begin{array}{c}
C_{1}\left(\mathrm{~L}_{1}^{A}\right) Q_{t}+C_{2}\left(\mathrm{~L}_{1}^{A}\right) Q_{x}=0, \quad x \in \mathrm{R}, \quad t \geqslant 0, \\
Q(x, 0)=F(x) .
\end{array}
\]

где $C_{1}\left(k^{2}\right), C_{2}\left(k^{2}\right)$ – вещественшые аналитические функции. В се мействе уравшеший (4.2.1) содержится класс эвопюцнонных урав нений, имеющих форму $Q_{t}=K(Q)$, завислщую только от функции $Q$ и ее производных по $x$, определснных на подходяще функциопальном пространстве. В этом случае (4.2.1) можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
Q_{t}+C\left(\mathrm{~L}_{1}^{A}\right) Q_{x}=0, \quad x \in R, \quad t \geqslant 0, \\
Q(x, 0)=F(x),
\end{array}
\]

где $C$ – вещественная аналитическая функия и $\mathrm{K}(Q) \equiv C\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right) Q$. Самое важнюе и напболее изучепое уравнение этого класса уравнение $К д \Phi$ :
\[
\begin{array}{c}
Q_{\boldsymbol{t}}-6 Q Q_{x}+Q_{x x x}=0, \quad t \geqslant 0, \quad x \in \mathbb{R}, \\
Q(x, 0)=F(x) .
\end{array}
\]

Заметим, что это уравнение является примером задачи с характериспическия начальныьн данньми, так что теорема Қоши Қовалегской нелриложима для получения даже локально аналитического результата. Однако достаточно просто показать, что решения уравнения (4.2.3), если опи существуют, единственыь, если наложить условия, что $t Q \in C^{3}(\mathbb{R})$ и стремнтся к нулю вместе со своими двумя первыми производными шри $|x| \rightarrow \infty$ (Лакс [1968]). Прелположим в этом случае, что существует другое решение $P(x, t)$, и построим $W=Q-P$. Нетрудно доказать, что при этих условиях
\[
E_{t}(t) \leqslant m E(t),
\]

где
\[
E(i)=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} t W(x) d x \text { и } \frac{m}{6}=\max _{x, t \in R}\left|2 P_{x}-Q_{x}\right| .
\]

Следовательно, $E(t) \leqslant E(0) \exp (m t)$, и если $E(0)=0$, то $W(t)$ тожлественно рана иулю при всех $t>0$. Существование решения задачи Коши дия уравнения ҚдФ было доказано щри различных все более сильных ограничениях на начальные данные. Этот материал обужддется в конце настоящего раздела.

Сейчас мы докажем существоваиие решения уравнения (4.2.2) для того случая, когда $F(x)$ принадлежит пространству $C^{n t}(\overline{\mathrm{R}})$, быстро убывает вместе со своими производными при $|x| \rightarrow \infty$ и удовлегворяет условию $\int_{-\infty}^{\infty}|F(x)|\left(1+x^{2}\right) d x<\infty$. Число $n$ зависит, конечно, от свойств функции $C$ в уравнении (4.2.2). Прежде чем вдаваться в технисеские подробности, дадим обций набросок метода, который называется методом обрапной задачи или методом обратного спектрального преобразования.

Рис. 4.1. Обраиный метод.
Этот метод не только доказывает существование решения, но, кроме того, является конструктивным. Таким образом, большой класс решений, называемых $N$-солитонными решениями, может быть получен в явном виде, и к тому же можно вывести асимптотические свойства общего решения. Эти вопросы будут рассмотрены в постедием разделе настоңщей главы.

Обратный метод легче всего описать при томоци приведенной ниже схемы (рис. 4.1).

Цель состоит в том, чтобы решить задачу Коши для уравнения (2.2.1), прсдставленную на рис. 4.1 штриховой линией, Сплопной линией на рисунке обозначено, как можно ренить эту задачу за три шага, включаюци только линейные процедуры. Ulae 1. Пpustoe pacceruze.

Дашные рассеяния $S_{ \pm}(0)$, соответствующие начальной функции $F(x)$, получаются ренением уравнения Іџредингера для решений Иоста. В гл. 3, теорема 3.10 , устанавливастся, что $S_{ \pm}$(0) определяются единственным образом.
LLa 2. Эволочил даңньх расселния.
Для даниого уравнения (4.2.1) вещественая аналитиеская функция $C$ единственным образом определяет эволюцию данных расселния (уравнение (3.5.2)); последнее можно решить для получения $S_{\text {st }}(t)$, т. е. данных рассеяния в момент времени $t>0$. Шае 3. Обратное спектральное преобразование.

Данные рассеяния $S_{ \pm}$(i) удовлетворяют требованиям теоремы 4.3, и, следовательно, потенциал $Q(x, i)$ может быть единственным образом по ним восстановлен; более того, $\int_{-x}^{\infty}|Q(x)|\left(1+x^{2}\right) d x<$ $<\infty, t>0$.

Конечно, мы опустили условня дифференцируемости н ннтсгрируемости на фуцкцию $F(x)$, которые требуются для того, чтобы гараптировать, что восстановлениая функция $Q(x)$ явлиется решением уравненя (4.2.1). Эти модификации рассматриваются ниже.

На этом пути решается задача Кони (4.2.2). Мы хотим особо подчеркнути, почему этот метод работает. Дело в moм, что иае 2 включает в себя ренение линейных уравнений, для чего требуетоя полько информация о граничьх знанениях потенцила $Q(x, t)$ и его произодных при $|x| \rightarrow \infty$ для $t>0$. Здесь граничным значением являстся нуль, но другие граничиые услония, такне как периодичность потенциала $Q$ или стремление к ненулевому граничному значению при $|x| \rightarrow \infty$, тоже приводят к обратшому методу, из которого потенциал $Q$ тоже может быть восстановлен единстценыым образом по начальным условням.

Обратный метод можно интерпретировать как обобщение техники анализа Фурье на случай нелинейыых уравнений. Чтобыы увидеть это, рассмотрим уравненне (4.2.2) при «малых» значениях $Q$, т. е. когда он удовлетворяет (нелокальному) условию
\[
P_{0}(\infty, t) \ll 1 .
\]

В этом случае уравнение (4.2.2) можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
Q_{t}+C\left(-\frac{1}{4} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right) Q_{x}=0, \\
Q(x, 0)=F(x),
\end{array}
\]

где, как мы видели в разд. 3.5, С интерпретируется как фазоғая скорость элементарного решения. Используя уравнение (3.3.64), мы получаем результат для прямой задачи рассеяния. Прямо расселние.
\[
R_{+}(k, 0) \approx \frac{1}{2 i k} \int_{-\infty}^{\infty} F(x) e^{–i k x} d x
\]

Здесь отсутствует дискретный спектр, что характерно для нелипейных разрсшимых систем.
Эволючия данных рассеяния.
Из уравнения (3.5.51) можно получить эполюцию данных рассеяния:
\[
R_{+}(k, t) \approx R_{+}(k, 0) e^{-2 i k C(k 2) t} .
\]

обратное спектральное преобразование или обратно преобразование рассеяния.

Решая уравнение Марченко (4.1.14) при условиях (4.2.6), мы получаем
\[
Q(x, t) \approx \frac{2 i}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} k R_{+}(k) e^{2 i k\left(x-C\left(k^{3}\right) t\right)} d k .
\]

Теперь легко проверить, используя (4.2.10), что $P_{0}(\infty, t) \ll 1$ вследствне того, что $P_{0}(\infty, 0) \ll 1$.

Длят решения задачи Коши (4.2.2) мы почти точно последуем идеям Танаки [1974] для уравнения КдФ, кроме доказательства того, что построенный потенциал $Q(x, t)$ удовлетворяст уравнению (4.2.2), где мы использусм подход, более приемлемый для наших методов. Введем следующие обозначения:
\[
h^{(i, i, t)}(x, y, t) \equiv \frac{\partial^{i+J+1}}{\partial x^{i} \partial y^{j} \partial t^{l}} h(x, y, t)
\]

с очевидными сокращениями для фуикций одной или двух переменных. Существование решения уравнения (4.2.2) можно вывести, доказав предварительно следующую лемму.
Лемма 4.4. Если $F(x)$ принадлежит $C^{n} u$
\[
P_{0}^{(j)}(x)=\int_{-\infty}^{x}\left|F^{(j)}(y)\right| d y, \quad R_{0}^{(j)}(x)=\int_{x}^{\infty}\left|F^{(i)}(y)\right| d y, \quad j \leqslant n,
\]

конечны для любого $x$, то $B_{ \pm}^{(j, l)}(x, y)$ сучествуют для $j+1 \leqslant$ $\leqslant n+1$ u выполняетоя следуюцая оценка (здесь $B_{ \pm}(x, y)=$ $\left.=K_{ \pm}(x, x+2 y)\right)$ :
\[
\begin{array}{l}
\left|B_{+}^{(j, l)}(x, y)+F^{(j+1-1)}(x+y)\right| \leqslant C(x) \sum_{m=0}^{l+1-1} R_{0}^{(m)}\left(-\frac{1}{2}(x+y)\right), \\
\left|B_{-}^{(i, l)}(x, y)-F^{(j+l-1)}(x+y)\right| \leqslant D(x) \sum_{m=0}^{t+1} P_{0}^{(m)}\left(\frac{1}{2}(x+y)\right) .
\end{array}
\]

Доказательство. Мы будем рассматривать только случай $B_{+}$, результаты для $B_{\text {_ }}$ устанавливаются аналогичным способом. Для $j=l=0$ результат дается формулой (3.4.77). Дифференцируя (3.4.73) по $x$, получаем
\[
B_{+x}(x, y)-F(x+y)=-\int_{0}^{y} F(x+y-z) B(x+y-z) d z .
\]

Существование и оценки для $B_{+}^{(j, 0)}$ получаются дифференцированием (4.2.11) по $x$. Предположим, что утверждение уже доказано для $j-l \leqslant m$ и для $j+l=m \dashv 1, l \leqslant l^{\prime}$. Существование $B_{+}^{\left(m=k^{\prime}, k^{\prime}+1\right)}$ и ее оценки следуют из формулы
\[
B_{+x}(x, y)-B_{+y}(x, y)=-\int_{x}^{\infty} F(z) B_{+}(z, y) d z
\]

и ее повторного дифферешцирования.
Теперь нам нужно получить регулярность данных расселния $\left(S_{+}(0)\right.$ или $S_{-}(0)$ ) из регулярности $F(x)$. Это можно вывести из представленнй фурье-компонент множества $\mathbf{S}(k, 0)$, полученных подстановкой (4.1.7)-(4.1.8) в определяющне соотношения для а и $b$, т. е. в уравнения (3.3.47)-(3.3.49). Это дает
\[
\begin{array}{r}
2 i k a(k)=2 i k-\int_{-\infty}^{\infty} F(y) d y+\int_{0}^{\infty} \pi_{2}(y) e^{2 i k y} d y, \quad \operatorname{Im} k \geqslant 0, \\
2 i k b(k)=e^{-2 i k x} \int_{-\infty}^{\infty} x_{1}(y) e^{-2 i k y} d y, \quad \operatorname{Im} k=0,
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{r}
x_{1}(y)=-B_{+x}(x, y)+B_{-x}(x, y)+\int_{-\infty}^{\min (y, 0)} B_{-x}(x, z) B_{+}(x, y-z) d z- \\
-\int_{\max (y, 0)}^{\infty} B_{+x}(x, z) B_{-}(x, y \cdots-z) d z, \\
\pi_{2}(y)=B_{+x}(x, y)-B_{-x}(x,-y)-B_{+y}(x, y)+ \\
\quad+B_{-y}(x,-y)-B_{+}(x, 0) B_{-}(x,-y)+ \\
\quad+\int_{z=0}^{y}\left(B_{+x}(x, z)-B_{y}(x, z)\right) B_{-}(x, z-y) d z- \\
-\int_{z=0}^{y} B_{+}(x, y) B_{-x}(x, z \cdots y) d z
\end{array}
\]

H
\[
B_{ \pm}(x, y) \fallingdotseq 2 K_{ \pm}(x, 2 y+x) .
\]

Танака доказывает следующую лемму.
Лемма 4.5. Если $F(x)$ принадлежит пространству $C^{n}$, mo $\left\{{ }_{x} \pi_{1}^{(m)}(y), \pi_{2}^{(m)}(y), m \leqslant n\right\}$ – непрерьвные функции.

Доказательство. Из леммы 4.4 следует, что $\boldsymbol{\pi}_{1}(g)$ дифференцируема во всех точках, кроме $y=x$. Для $y \geq x$ имеем:
\[
\begin{aligned}
x^{(m)}(y)= & \mp B_{ \pm}^{(1, m)}(x, y)+\sum_{j=0}^{m-1} B_{ \pm}^{(l, i)}(x, y) B_{\mp}^{(0, m-l)}(x, \mp 0)+ \\
& +\int_{-\infty}^{m \ln (y, 0)} B_{-x}(x, z) B_{+}^{(0, m)}(x, y-z) d z- \\
& -\int_{\max (y, 0)}^{\infty} B_{+x}(x, z) B_{-}^{(0, m)}(x, y-z) d z .
\end{aligned}
\]

Таким образом, мы должны показать только, что
\[
\mp B_{ \pm}^{(1, m)}(x, \pm 0)+\sum_{j=0}^{m-1} B_{ \pm}^{(1, i)}(x, \pm 0) B_{\mp}^{(0, m-l-1)}(x, \mp 0)
\]

не зависит от знака. Для $m>1$ мы можем использовать
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial y}\right) B_{ \pm}(x, y)-F(x) B_{ \pm}(x, y)=0, \\
\mp \frac{\partial}{\partial x} B_{ \pm}(x, \pm 0)=F(x)
\end{array}
\]

для того, чтобы упростить (4.2.14). Это уравнение (3.4.79), только вместо ядер $K_{ \pm}$здесь используются ядра $B_{ \pm}$. Таким образом, для $m=1$ получаем
$\left.\mp B_{ \pm}^{(1,}\right)(x, \pm 0)+B_{ \pm}^{(1,0)}(\therefore, 0) B_{\mp}(x, \mp 0)=$
$=\mp\left(B_{ \pm}^{(2,0)}(x, \pm 0)-F(x) B_{ \pm}(x, \pm 0)\right)+B_{ \pm}^{(1,0)}(x, \pm 0) B_{\mp}(x, \mp 0)=$
$=\mp\left(\mp F_{x}(x)-F(x) B_{ \pm}(x, \pm 0) \mp F(x) B_{\mp}(x, \mp 0)\right.$,
Результат для $m>1$ доказывается аналогично.
Лемма 3.6 показывает, что $T_{+}(k)=a^{-1}(k)$ непрерывна для всех $k$ прн условии $\int_{-\infty}^{\infty}\left(1+x^{2}\right)|F(x)| d x<\infty$. Вдобавок решения Йоста дифференцируемы по $k m$ раз, поскольку $P_{j}(\infty)<$ $<\infty, j=0, \ldots, m$. Этой информации достаточно для того, чтобы с уверенностью утверждать, что существуют $a^{(m)}$ и $b^{(m)}$, если использовать их огределения в терминах вронскианов решений Йоста (3.3.47) и (3.3.49). Однако мы потребуем большего: нам щужно знать условия, при которых функция $k^{p} R_{+}^{(m)}$ квадратично интегрируема. Для того чтобы установнть эти условия, докажем следующие леммы.

Лемма 4.6. Eсли $F(x)$ принадлеэит пространству $C^{n}$ и $F^{(j)}(x)=O\left(|x|^{-I}\right)$ при $|x| \rightarrow \infty$, mо ${ }_{x} \pi_{1}, \pi_{2}$ тоже принадлежат $C^{n}$ и, более mazo,
\[
\begin{array}{c}
x_{1}^{(i)}(y)=O\left(|y|^{1-i}\right) \quad \text { прu }|y| \rightarrow \infty, \\
\pi_{2}^{(i)}(y)+O\left(y^{1-i}\right) \quad \text { nрu } \quad y \rightarrow \infty,
\end{array}
\]

если $0 \leqslant j \leqslant n$.
Доказательство. В лемме 4.5 доказывается, что ${ }_{x} \pi_{1}$ принадлена основании их определений. Из оценок для $B_{ \pm}^{(i, i)}$ в лемме 4.4 получаем
\[
\left|B_{ \pm}^{(1 . n)}(x, y)\right| \leqslant C_{ \pm}(x)|x+y|^{1-1}, \quad i+j \leqslant n \text {; } 1 \text { при } y \rightarrow \infty .
\]

Таким обрразом, результат получается из определений $x \pi_{1}$ и $\pi_{2}$.
Лемма 4.7. Функция а (k) принадлежит классу $C^{l-2}$, кроме, возможно, случая $k=0$. Eсли $j \leqslant l-2$, то (kа (k))(i) при In $k=0$ ограничена.

Функция $b$ (k) принадлежит классу $C^{l-2}$, кроме, возможно, случая $k=0$. Eсли $j \leqslant l-2$, mо $b^{(i)}(k)=0(|k|-(n-1)$ при $|k| \rightarrow \infty$.

Доказательство. Дифференцируя $m$ раз соотношение (4.2.13), $1 \leqslant m \leqslant l-2$, мы получаем
\[
\begin{array}{c}
2 i(k(a(k)-1))^{(m)}=\int_{0}^{\infty}(2 i y)^{m} \pi_{2}(y) e^{2 i k y} d y, \quad \operatorname{Im} k \geqslant 0, \quad(4.2 .18) \\
2 i(k b(k))^{m}=\int_{-\infty}^{\infty}(-2 i y)^{m} \pi_{1}(y) e^{-2 k k y} d y, \quad \operatorname{Im} k=0 .
\end{array}
\]

Таким образом, $k a(k)$ принадлежит классу $C^{l-2}(k)$, так что $a(k)$ принадлежит классу $C^{i-2}$, кроме, может быть, случая, когда $k=0$. $\Phi$ ункция $k(a(k)-1)$ ограничена при Im $k \geqslant 0$, и (ka(k) $)^{(m)}$, $1 \leqslant m \leqslant l-2$, ограничено. Из (4.2.19) аналогичным способом получаем, что $k b(k)$ принадлежит классу $C^{l-2}$, так что $b(k)$ принадлежит классу $C^{l-2}$, кроме, может быть, слутая, когда $k=0$. Кроме того, имеет место равенство
\[
(2 i k)^{p}(2 i k b(k))^{(m)}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial^{p}}{\partial y^{p}}\left((-2 i y)^{m}{ }_{0} \pi_{1}(y)\right) e^{-2 i k y} d y,
\]

из которого следует, чго $\left.b^{(m)}(k)=o(1 / \mid k]^{n+1}\right) ; m \leqslant l-2$ при $|k| \rightarrow \infty$.

Лемма 4.8. Если $F(x)$ принадлежит $C^{n}$ и $F^{(i)}(x)=O\left(|x|^{-l}\right)$ при $|x| \rightarrow \infty$, mo $R_{t} \in C^{M}$ и $R_{+}^{(m)}(k)=O\left(|k|^{-n-1}\right)$ для всех $m . \leqslant M$, zde $M-l-2$, ecлu $\lim _{k \rightarrow 0} k a(k)
eq 0$, uлu $M=l-3$, ecлu $\lim _{k \rightarrow 0} k a(k)=0$.

Это непосредственно следует из предыдущих двух лемм, поскольку $R_{+}=b a^{-1}$. Подобный же результат верен и для $R_{-}$, однако мы будем иметь дело только с $S_{+}$, хотя, конечно, можно было бы все то же самое проделать и для $S_{-}$.
Длял рассматриваемого случая теорема 3.12 дает
\[
R_{+}(k, t)=R_{+}(k, 0) \exp \left(-2 i k C\left(k^{2}\right) t\right),
\]

где $C$ – веществспнаят аналитическая функция. Поскольку $R_{+}(k, 0)$ обладает свойствами, опнсанными в лемме 4.8, отсюда следует, что и $R_{+}(k, t)$ обладает этими же свойствами. Далее, $k^{m} R_{+}^{(p, 0)}(k, 0)$ квадратично интегрируема при $m \leqslant n, p \leqslant M$. Построим функцию
\[
\widehat{R}_{+}(x, t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} R_{+}(k, 0) \exp \left(i k\left(x-2 C\left(k^{2}\right) t\right)\right) d k,
\]

тогда из предыдущих соображений и из того факта, что если функция и ее первая производыая квадратично интегрнруемы, то интегрируемо и ее преобразование Фурье, мы получаем следующий результат.

Лемма 4.9. Предположим, чmо $\operatorname{deg}\left(C\left(k^{2}\right)\right)=: s$, u пусть $F(x)$ принадлежит классу $C^{n}, n>\max \{4,2 s\} ; \operatorname{mozda} \widehat{R}_{+}^{(j, l)}(x, t)$ существуют и интегрируемы для $j+(2 s+1) l \leqslant n$. Более того, $x \hat{R}_{+x}, x^{2} \widehat{R}_{+x x}, x^{2} \widehat{R}_{+x}, x \hat{R}_{+x x}$ также интерируемы. Мо все время преднолагаем, что $F^{(l)}(x)=O\left(|x|^{-m}\right)$ при $|x| \rightarrow \infty$, где $m \geqslant 6$, и что козффициенть функции $C\left(k^{2}\right)$ строго отрицательны.

Как было отмечено в разд. 1 , можно определить множество $S_{+}(0)=\left\{R_{+}(k, 0), D_{+j}(0), \eta_{j}: j=1, \ldots, M\right\}$ по $F(x)$. Построим функцию
\[
\Omega_{+}(x, t)=\sum_{j=1}^{m} D_{+j}(t) \exp \left(-\eta_{j} x\right)+\hat{R}_{+}(x, t)
\]

где
\[
D_{+j}(t)=D_{+j}(0) \exp \left(2 \eta_{j} C\left(-\eta_{j}^{2}\right) t\right) .
\]

Тогда теорема 4.3 и лемма 4.9 гарантируют существование функции $Q(x, t)=-2 d / d x\left(K_{+}(x, x, t)\right)$, где $K_{+}(x, y, t)-$ единственное решение уравнения Марченко (4.1.14), и функция $Q(x, t)$ удовлетворяет изоспектральному уравнению Шрёдингера
\[
-y_{x x}+Q(x, t) y=k^{2} y \text {. }
\]

Теперь мы хотим убедиться в дифференцируемости функции $Q(x, t)$ и решений Йста для уравнения (4.2.25).

Лемма 4.10. Предположим, что $\Omega_{ \pm}^{(i, i)}(x, t), j+(2 s+1) l \leqslant$ $\leqslant n$, существует, дде $\operatorname{deg} C\left(k^{2}\right)=s$, и функция $F(x)$ принадлежит классу $C^{n}$. Тогда суицествуют $i-я$ производная по переменной х и ز-я производная по переменной $t$ для ренений Йоста и для функици $Q(x, 1) ;$ зми производные непреривны для $i+(2 s+1) j \leqslant n$, $i+(2 s+1) j \leqslant n-1$ coопветотвенно, и $Q^{(i, i)} \rightarrow 0$ nри $|x| \rightarrow$ $\rightarrow \infty$.

Докаsательство. Используя результаты разд. 4.1, мы продифференцируем уравнение Марченко (4.1.14), записанное в терминах ядра $B_{+}$, и получим
\[
\begin{array}{l}
B_{+}^{(t, 0,0)}(x, y, t)+\int_{0}^{\infty} H_{+}(x+y+u, t) B_{+}^{(i, 0,0)}(x, u, t) d u= \\
=-H_{+}^{(i, 0)}(x+y, t)-\sum_{m=1}^{t} C_{m}^{i} \int_{0}^{\infty} H_{+}^{(m, 0)}(x+y+u, t) B_{+}^{(i-m, 0)}(x, u, t),
\end{array}
\]

где $H_{+}(x, t)=2 \Omega_{+}(2 x, t)$, откуда можно вывести, что
\[
\left|B_{+}^{(t, i, 0)}(x, y, t)+H_{+}^{(i, j, 0)}(x, y, i)\right| \leqslant C_{+}(x) \sum_{m=i}^{i+i} p_{+m}(x+y, t),
\]

где
\[
p_{+m}(x, t)=\int_{x}^{\infty}\left|H_{+}^{(m, 0)}(y, t)\right| d y .
\]

Затем, пользуясь результатами леммы 4.9 , можно увидеть, что $B_{+}^{(i, j, 0)}(x, y, t)$ существует для $i+j \leqslant n$. Если мы теперь рассмотрим производную уравнения (4.1.14) по переменной $t$, то получим
\[
B_{+t}(x, y, t)+\int_{0}^{\infty} H_{+}(x+y+u) B_{+t}(x, u, t) d u+D_{+}(x, y, t)=0,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
D_{+}(x, y, t)=-\sum_{j=0}^{s} a_{j}(-1)^{j} \times \\
\times\left\{H_{+}^{(2 j+1,0)}(x+y, t)+\int_{0}^{\infty} B_{+}(x, u, t) H_{+}^{(2 j+1,0)}(x+y+u, t) d u\right\} .
\end{array}
\]

Последнее выражение получено из того факта, что если $C\left(k^{2}\right)=$ $=\sum_{j=0}^{s} a_{j} k^{2 j}$, то
\[
\Omega_{+t}(x, t) \dashv-2 \sum_{j=0}^{s} a_{j}(-1)^{j} \Omega_{+}^{(2 j+1,0)}(x, t)=0 .
\]

Используя (4.2.26) и (4.2.27) и аналогичные рассуждения для $B_{-}$, мы можем доказать, что $B_{+}^{(i, i, i)}(x, y, t)$ существуют и непрерывны для $(i-1-j+(2 s+1) i)$ к и что из (3.4.68)-(3.4.69) следует, что существуют $i$-я производная по $x$ и $j$-я производная по $t$ от решений Иоста, где $(i+(2 s-1) j) \leqslant n$. Из определения функцин $Q$ следует, что $Q^{(i, i)}(x, t)$ существует и непрерывна для $(i+(2 s+1) j) \leqslant n-1$. Болес того, из леммы 4.9 и уравнений (4.2.27), (4.2.28) следует, что $\left|B_{+}^{(i, i, l)}(x, y, l)\right| \rightarrow 0$ при $x, y, t \rightarrow+\infty$, и из аналогичных уравнений для $B_{-}$следуст, что $\left|B^{(i, i, l)}(x, y, t)\right| \rightarrow 0$ при $\quad x, y, t \rightarrow-\infty$. Следовательно, $Q^{(i, 1)}(x, t) \rightarrow 0$ при $|x|, t \rightarrow \infty$ при данных порядках производной. Точное асимптотическое понедение фушкции $Q^{(i, i)}(x, i)$ может быть получено из анализа функции $R_{+}$, хотя мы здесь не будем этого демонстрировать.
Установим теперь главный результат этого раздела.
Теорема 4.11. Задача Коиu
\[
\begin{array}{c}
Q_{\boldsymbol{t}}+C\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right) Q_{x}=0, \\
Q(x, 0)-F(x),
\end{array}
\]

где $C\left(k^{2}\right)$ – многочлен степени $s$, uмеет рениение $Q(x, t)$, если функция $F$ принадлежит классу $C^{n}$, аде $n=\max (6,2 s+2) u$ $\left|F^{(j)}(x)\right|=O\left(|x|^{-l}\right), l>5$ при $|x| \rightarrow \infty$.

Доказательство. Из определения олератора $\mathbf{L}_{\mathbf{i}}^{A}$ и уравнения (4.2.2) мы видим, что если $\operatorname{deg} C\left(k^{2}\right)=s$, то падо требовать существования $Q^{(j, 0)}(x, t), j=2 s+1$, и $\left.Q^{(0,1)}\right)(x, i)$. Предположим, что $n=2 s+2$; тогда $C\left(\mathbf{L}_{1}\right) \varphi^{2}$ существует и непрерывна, так чTo
\[
R_{+l}(k, t)+C\left(k^{2}\right) R_{+}(k, t)=\int_{-\infty}^{\infty}\left(Q_{t}+Q_{x} C\left(\mathbf{L}_{\mathbf{1}}\right)\right) \varphi^{2}(x, k) d x .
\]

По определению (4.2.21) левая часть равенства (4.2.30) тождественно равна нулю и, следовательно,
\[
Q_{t}+C\left(\mathrm{~L}_{1}^{A}\right) Q_{x}=0 . \quad \square
\]

Был получен ряд дальнейших результатов для задачи Коши, связанной с уравнением КдФ, которые существенно уточияют или
расширяют проведеный выпе анализ. Некоторые из нпх, в особенности результаты Марри [1978], могут быть примснены к широкому классу эвотюцинных уравнений. Бона н Смит [1975] требовали дли существования, чтобы фущкция $F$ црина,леждла пространству Собілева $H^{s+1}(\mathrm{~K})$, ( $\left.\mathrm{f}-1\right) \geqslant 1$. Коэн [1978] доказал существванне решения для уравнения КдФ в случае прямоугольной начальной функцин, не охватнвеемом результатами Бопы и Смнта. Марри [1978, 1979$]$ при наложенин зышых ошенок убывания на пачанные условия также доказал существонание классических (в отличие от слабых) рсиений для случая, когда $F \in C^{s}$ (K) для любого $s$ (сравните с теоремой 4.11). Другой интересыый результат, приналлежаций Дейфту и Трубовиу [1979], состоит в приложенни к уравнению КдФ на прямой апалога того факта, что пернодические потенциалы являются всщественными и аналитизескнми тогда и только тогда, когіа запрещенные зоны имект экспоненцилью убыиаюую ширину (Трубовнц [1977]). Эта теорема устанавливает взанмосвязь между аналитичностью в полосе ( $Q(z)$ аналитнчна при $|\operatorname{Im} z|<a)$ п экспоненцнальным убываннем функции $R_{+}$. Они использовали эту теорему для тою, чтобы доказать существование решения $Q(x, t)$ уравпения КдФ, мероморфного при $|\mathrm{Im} z|<a$ с $n$ полюсами, опрсделенными связаниыми состояниями начальной функции $F(x)$.

Если мы рассмотрим уравнения (4.2.1), то следующий вогрос будет состоять в том, как интерпретировать рсшение, полученное методом обратной задачи рассеяни, если соответствующая задача Қоши, как предстамлет’я, требует гораздо больше информации, чем у пас имееть. Разрешение этого парадокса содержитея в замечанин, слеланиом после уравнения (3.5.63). Дело в том, что фактически мы ищем решение не для уравнення (4.2.1), а для целого класса эквивалентности разрешимых уравнений. Из этой интерпретации слсдует, что на самом деле рсшаетея задача Коши, формально занисанная следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
Q_{t}+C_{1}^{-1}\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right) C_{2}\left(\mathbf{1}_{1}^{A}\right) Q_{x}=0, \\
Q(x, 0):=F(x) .
\end{array}
\]

Следовательно, мы должны понять, при каких условиях на функцию $F(x)$ существует такое решение. Заметим сначала, что формальное уравнение в (4.2.32) эквивалентно системе
\[
\begin{array}{c}
Q_{t}=f_{1}, \\
\left(\mathbf{L}_{1}^{A}-k_{j}^{2} \mathbf{I}\right) f_{j}=f_{i+1}, \quad j=1, \ldots, n-1, \\
\left(\mathbf{L}_{1}^{A}-k_{n}^{2} \mathbf{I}\right) f_{n}=-C_{2}\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right) Q_{x},
\end{array}
\]

где $C_{1}\left(k^{2}\right)=\prod_{j=1}^{n}\left(k^{2}-k_{j}^{2}\right)$. Тогда $j$-е уравнение можно записать в внде
\[
-\frac{1}{4} h_{j x x x}+\left(Q-k_{j}^{2}\right) h_{j x}+\frac{1}{2} Q_{x} h_{j}=f_{j+1} \text {, }
\]

где
\[
h_{j}=\int_{x}^{\infty} f_{j} d y
\]

Теперь мы покажем, что систему (4.2.33) можно записать через решения Йста и что связанная с ней задача Коши поставлена корректно. Для того чтоб́ы это показать, рассмотрим другое представление той же системы
\[
\Phi_{x}=\mathbf{P} \Phi, \quad \Phi_{t}=\mathbf{M} \Phi_{1}
\]

где $\mathbf{P}$ – оператор (3.5.8) и $\mathbf{M}$ – матричная функция (не дифференциальный оператор). Для того чтобы система была вполне интегрируема, требуется, чтобы
\[
\mathbf{P}_{\mathbf{t}}-\mathbf{M}_{\boldsymbol{x}}+[\mathbf{P}, \mathbf{M}]=0,
\]

откуда мы получаем
\[
-\frac{1}{4} B_{x x x}+\left(Q-k^{2}\right) B_{x}+\frac{1}{2} Q_{x} B=\frac{1}{2} Q_{t},
\]

гце
\[
M=\left(\begin{array}{cc}
-\frac{1}{2} B_{x} & B \\
-\frac{1}{2} B_{x x}+\left(Q-k^{2}\right) B_{x} & \frac{1}{2} B_{x}
\end{array}\right) .
\]

Таким образом, (4.2.34) и (4.2.37)-(4.2.38) отличаются только обозначениями: $h_{j}=B$ и $f_{j+1}=\frac{1}{2} Q_{t}$.
Разрешая (4.2.35) относительно $\boldsymbol{M}$, получим
\[
\mathbf{M}=\Phi\left(\mathbf{N}+\int_{-\infty}^{x} \Phi^{-1} \mathbf{P}_{t} \Phi d y\right) \boldsymbol{\Phi}^{-\mathbf{1}}
\]

где
\[
\mathbf{N}=\left(\begin{array}{cc}
0 & K \\
H & 0
\end{array}\right), \quad K, H-\text { константы. }
\]

Теперь нетрудно получить соотношение
\[
h_{j}=\frac{1}{2 i k_{j}}\left(-2 \alpha_{j} \varphi \bar{\varphi}+\beta_{j} \varphi^{2}-\gamma_{j} \bar{\varphi}^{2}\right),
\]

в котором
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{j}=-k_{j}^{-1} I\left(f_{j-1}, \varphi, \bar{q}\right), \quad \beta_{j}=-k_{j}^{-1} I\left(f_{l+1}, \bar{\varphi}, \bar{\varphi}\right)+K_{j}, \\
\gamma_{j}=k_{j}^{-1} I\left(f_{j+1}, \varphi, \varphi\right)+H_{j} \text { и } I(f, u, v) \equiv-i \int_{-\infty}^{x} f u v d y,
\end{array}
\]

где фуикции Йоста вычислены при $k-k_{j}$. В качестве простого примера рассмотрим уравнение длинной волны, данное в разд. 4.5
\[
Q_{x x t}-4 Q_{t}-4 Q Q_{t}+2 Q_{x} \int_{x}^{\infty} Q_{t} d y-Q_{x}=0 .
\]

Некоторые решения этого уравнения мы можем найти, решая методом обратной задачи эвллкционне уравнение, принадлежащее тому же классу эквивалентности, что и урависние (4.2.36)
\[
\begin{array}{c}
Q_{t}=f, \\
\left(L_{t}^{A}-1\right) f-\frac{1}{4} Q_{x},
\end{array}
\]

где функция $f$ задается формулой
\[
f: \equiv h_{x}=-\frac{1}{2}\left(-2 \alpha \varphi \bar{\Phi}+\beta \varphi^{2}-\gamma \varphi^{2}\right)_{x}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
\alpha=\frac{i}{4} I\left(Q_{y}, \varphi, \bar{\varphi}\right)=\frac{1}{8}\left(\bar{\varphi}_{x x} \varphi+\varphi_{x x} \bar{\varphi}-2 \bar{\varphi}_{x} \varphi_{x}-4\right), \\
\beta=\frac{i}{4} I\left(Q_{y}, \bar{\varphi}, \bar{\varphi}\right)+K=\frac{1}{4}\left(\varphi_{x x} \bar{\varphi}-\bar{\varphi}_{x}^{2}\right)+K, \\
\gamma=-\frac{i}{4} I\left(Q_{y}, \varphi, \varphi\right)+H=-\frac{1}{4}\left(\varphi_{x x} \varphi-\varphi_{x}^{\Sigma}\right)+H .
\end{array}
\]

Получая выражение (4.2.45), мы предполагали, что $k_{1}=1-i$; предположим теперь для простоты, что функция $Q$ имсет компактный носитель, так что функции рассеяния и $\widetilde{\mathbf{S}}$ опрелелены на всей комплексной плоскости $k$. Затем, упрощая выражение для функции $f$, получим
\[
\begin{aligned}
f & =\frac{1}{8}\left(-2 \varphi \varphi_{x} \bar{\varphi} \bar{\varphi}_{x}-4 \varphi \bar{\varphi}+\varphi^{2} \bar{\varphi}_{\bar{x}}^{2} \vdash \Phi_{2} \varphi_{x}^{2}\right)_{x}-\frac{1}{2} K\left(\varphi^{2}-\varphi^{2}\right)_{x}= \\
& =-\frac{1}{2}(\varphi \bar{\varphi})_{x}-\frac{1}{2}\left(K \varphi^{2}-H \varphi^{2}\right)_{x} .
\end{aligned}
\]

Из граничных условий на функцию $Q$ следует, что $f \rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty$. Следовательно, из (4.2.46) мы найдем, что $H=0$ и что либо (i) $a(i)=0$, либо (ii) $K=: \bar{b}$ (i)/a (i). Условие (i) исключается в соотвстствии с принятыми допущениями. Из условия (ii) получаем:
\[
\begin{array}{c}
Q_{t}=-\frac{1}{2}\left[\frac{\varphi \psi}{a}\right]_{x}, \\
(\varphi \psi)_{x x x}=4(Q+1)(\varphi \psi)_{x}+2 Q_{x}(\varphi \psi) .
\end{array}
\]

Если мы наложим тепсрь пачальное условие $Q(x, 0)=F(x)$, то окажется, что смешанная задача (4.2.47) поставлена корректно, потому что мы можсм решить уравнение (4.2.48) прн $t=0$ относительно фушкции тұ так, что $\varphi \psi \rightarrow a(k, 0)$ прн $|x| \rightarrow \infty$. Затем, поскольку $a(k, t)=a(k, 0)$, то это и есть граничное условие, требуемое для всех послсдующих моментов времени. Если бы мы выбрали $k_{1}=-i$, то в уравнениях (4.2.47)-(4.2.48) вмссто $\varphi$, $\psi$ и $a$ оказались бы $\bar{\Phi}, \bar{\psi}$ и $\bar{a}$. Заметим, что справедливость (4.2.48) может быть установлена и без требования о компактном нюсителе, поскольку это вытекает непосрсдственно из самих уравнений. При рассмотрении слугая $C_{2}\left(k^{2}\right)=k^{2}-1$ мы получаем условия (i) $a( \pm 1)-\bar{a}( \pm 1)=0$ или (ii) $b$ (1) $=0$. Первое условие исключается, так как оно противоречит свойствам функции $a$. Тогда из второго условия получается следующая форма уравнения:
\[
\begin{array}{c}
Q_{t}=-\frac{1}{2}(\varphi \bar{\varphi})_{x} \\
(\varphi \bar{\varphi})_{x x x}=4(Q-1)(\varphi \bar{\varphi})_{x-2}-2 Q_{x}(\varphi \varphi) .
\end{array}
\]

Эта задача тоже корректно поставлена. Общий принцип, утверждаемый здесь, можно легко вывести, рассматривая общее уравнение с использованием формальных методов, развитых в разд. 3.5. Там было показано, что дифференциалыный оператор $\partial_{x} \equiv \partial / \partial x$ сплетает операторы $\mathbf{L}_{1}^{A}$ и $\mathbf{L}_{2}$ следующим образом:
\[
\partial_{x} \mathbf{L}_{2}=\mathbf{L}_{1}^{A} \partial_{x} .
\]

Таким образом, если $\partial_{x}^{-1}$ – интегральный оператор, $\partial_{x}^{-1} \partial_{x}=$ $=\partial_{x} \partial_{x}^{-1}=$ I, то
\[
\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right)^{r}=\partial_{x} \mathbf{L}_{2}^{r} \partial_{x}^{-1} \text { для целых } r .
\]

Отсюда следует, что уравнение (4.2.1) можно формально записать в виде
\[
Q_{t}+\partial_{x}\left(C_{1}^{-1}\left(\mathbf{L}_{2}\right) C_{2}\left(\mathbf{L}_{2}\right)\right) Q=0 .
\]

Тогда из (3.5.68) имеем
\[
-2\left(\frac{\varphi \psi}{a}-1\right)=\left(\mathbf{L}_{2}-k^{2} \mathbf{I}\right)^{-1} Q .
\]

так что в частном случае, когда $C_{2}=\alpha$ и $C_{1}=\left(k^{2}-k_{1}^{2}\right)^{n}$, из уравнения (4.2.54) мы полутим
\[
\left(\mathbf{L}_{2}-k^{2} \mathbf{I}\right)^{-n} Q=\left.\frac{-2}{(n-1) !} \frac{\partial^{n-1}}{\partial\left(k^{2}\right)^{n-1}}\left(\frac{\Phi \psi}{a}-1\right)\right|_{k=k_{1}},
\]

и эволюционное уравнение прнобретает вид
\[
Q_{t}+\alpha \partial_{x}\left[\frac{–2}{(n-1) !}-\left.\frac{\partial^{n-1}}{\partial\left(k^{2}\right)^{n-1}}\left(\frac{\mu \phi}{a}-1\right)\right|_{k=k_{1}}\right]=0 .(4.2 .56)
\]

Его нужно рассматривать совмегтно с уравнением (4.2.50) и его пронзводными порндка $2(n-1)$, вычнсленными при $k=k_{1}$. Требуется, чтобы $k_{1}$ не было собствснныи значением олератора $\mathbf{L}$, Im $k>0$. Если $\operatorname{lm} k_{1}<0$, то в уравнении (4.2.56) $\varphi$, $\psi$ н $a$ заменяются па $\bar{\phi}, \bar{\psi}$ и $\bar{a}$. Гсми Iп $k_{1}=0$, то нз асимптотической формы уравнения (4.2.56) при $|x| \rightarrow \infty$ потребуется вдобазк, чтобы
\[
\left.\frac{\partial^{m} b(k)}{\partial k^{m}}\right|_{k=k_{1}}=0, \quad m=0, \ldots, 2(n-1) .
\]

Конечно, в этом случае для того, чтобы уравнение можло было решить методом обратной задачи, нужно будет ввести дополнительные условия на нацаныные даныые. Насколько нам нзвестно, задача с начальными условнями для уравнения (4.2.56) в литературе не исследована до конца.