Метод разложения на множители, примененный для решения задачи (2.4.2) о безотражательном потенциале, допускает естественное обобщение. Если наше уравнение Шрёдингера можно разложить на множители, приведя его к виду
\[
\left(u(x)-\frac{d}{d x}\right)\left(u(x)+\frac{d}{d x}\right) \psi(x, k)=\left(k^{2}+A\right) \psi(x, k),
\]

то уравнение (2.4.37) можно свести к паре уравнений первого порядка:
\[
\begin{array}{l}
{\left[\frac{d}{d x}+u(x)\right] \psi_{1}=i \zeta \psi_{2},} \\
{\left[\frac{d}{d x}-u(x)\right] \psi_{2}=-i \zeta \psi_{1},}
\end{array}
\]

где $\psi_{1}=\psi$ и функция $\psi_{2}$ определена равенством (2.5.2) и $\zeta^{2}=$ $=\left(k^{2}+A\right)$. Если определить новые функции $v_{1}$ и $v_{2}$
\[
v_{1}=\frac{1}{2}\left(\psi_{1}+\psi_{2}\right), \quad v_{2}=\frac{1}{2 i}\left(\psi_{2}-\psi_{1}\right),
\]

то уравнения (2.5.2) и (2.5.3) превратятся в двумерную задачу на собственные значения:
\[
\left[\begin{array}{cc}
\frac{i d}{d x} & u(x) \\
u(x) & -\frac{i d}{d x}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right]=\zeta\left[\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right] .
\]

Асимптотический анализ для этой задачи рассеяния первого порядка может быть выполнен аналогично тому, как это делалось для уравнения Шрёдингера. Система с зависимостью от времени, соответствующая нестационарному уравнению Шрёдингера, есть уравнение Дирака:
\[
\left[\begin{array}{cc}
i\left(\partial_{x}+\partial_{t}\right) & 0 \\
0 & i\left(\partial_{t}-\partial_{x}\right)
\end{array}\right]+u(x)\left[\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right] .
\]

Полагая $u(x)=$ th $x$, что соответствует разложению, применяемому при исследовании безотражательного потенциала $2 \operatorname{sech}^{2} x$, можно решить систему (2.5.2)-(2.5.3) (см. рис. 2.8-2.10). Используя решение (2.4.12), легко показать, что после перенормировки соответствующее решение уравнения (2.5.5) дается формулой:
\[
\varphi(x, k, \zeta)=\left[\begin{array}{c}
\frac{\text { th } x+i(\zeta+k)}{i(\zeta+k)-1} \\
\frac{i \text { th } x-(k-\zeta)}{i(\zeta+k)-1}
\end{array}\right] e^{-i k x}, \quad k=\sqrt{\zeta^{2}-1} .
\]

В пределе при $x \rightarrow \infty \varphi(x, k, \zeta) \sim\left(\begin{array}{c}1 \\ k-\zeta\end{array}\right) e^{-i k x}$, что в свою очередь является решением системы
\[
\left[\begin{array}{cc}
\frac{i d}{d x} & -1 \\
-1 & -\frac{i d}{d x}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right]=\xi\left[\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right] .
\]

Эта система является асимптотическим пределом системы (2.5.5) при $x \rightarrow-\infty$. Когда $x \rightarrow+\infty$, (2.5.7) имеет следующую асимптотическую форму:
\[
\varphi(x, k, \zeta) \sim\left(\frac{k+\zeta-i}{k+\zeta+i}\right)\left[\begin{array}{c}
1 \\
\zeta-k
\end{array}\right] e^{-i k x} .
\]

Для потенциала общего вида, удовлетворяющего условию $u(x) \rightarrow$ $\rightarrow \pm 1$ при $x \rightarrow \pm \infty$, решение $\varphi(x, k, \zeta)$ системы (2.5.5) с асимптотическим граничным условием
\[
\varphi(x, k, \zeta) \sim\left[\begin{array}{c}
1 \\
k-\zeta
\end{array}\right] e^{-i k x} \quad x \rightarrow-\infty
\]

можно выразить при $x \rightarrow+\infty$ в асимптотической форме
\[
\varphi(x, k, \zeta) \sim a(\zeta, k)\left(\begin{array}{c}
1 \\
\zeta-k
\end{array}\right) e^{-i k x}+b(\zeta, k)\left(\begin{array}{c}
\zeta-k \\
1
\end{array}\right) e^{i k x} .
\]

Векторы $v_{-}=\left[\begin{array}{c}1 \\ \zeta-k\end{array}\right] e^{-i k x}$ и $v_{+}=\left[\begin{array}{c}\zeta-k \\ 1\end{array}\right] e^{i k x}$ являются на самом деле собственными функциями линейной системы
\[
\left[\begin{array}{cc}
\frac{i d}{d x} & 1 \\
1 & -\frac{i d}{d x}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right]=\zeta\left[\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right],
\]

которая может рассматриваться как асимптотическая форма системы (2.5.5) при $x \rightarrow+\infty$. Функции $v_{ \pm}$соответствуют асимптотическим волнам системы Дирака (2.5.6), бегущим соответственно вправо и влево. Функции $a(\zeta, k)$ и $b(\zeta, k)$ являются естественными аналогами функций $a(k)$ и $b(k)$ предыдущего раздела.

Решения (2.5.7) показывают, что $u(x)=$ th $x$ – безотражательный потенциал для задачи рассеяния (2.5.5). Асимптотические данные $a(\zeta, k)$ и $b(\zeta, k)$ имеют вид
\[
a(\zeta, k)=\left(\frac{k+\zeta-i}{k+\zeta+i}\right), \quad b(\zeta, k)=0 .
\]

Мы показали зависимость функций $a(\zeta, k)$ и $b(\zeta, k)$ от обеих переменных $\zeta$ и $k$, так как эти функции определены на римановой поверхности функции $k=\sqrt{\zeta^{2}-1}$. Такую же зависимость мы указывали для данных рассеяния в случае прямоугольной потенциальной ямы, но в том случае внимательная проверка показывает, что $R(k, \zeta)=b(k, \zeta) / a(k, \zeta)=\tilde{R}\left(k, \zeta^{2}\right)$.

Вронскиан (2.3.15) шрёдингеровской задачи на собственные значения можно обобщить на случай системы первого порядка (2.5.5) следующим образом:
\[
W\left(V_{1}, V_{2}\right)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll}
V_{11} & V_{12} \\
V_{21} & V_{22}
\end{array}\right),
\]

где $V_{1}=\left(\begin{array}{l}V_{11} \\ V_{21}\end{array}\right)$ и $V_{2}=\left(\begin{array}{l}V_{12} \\ V_{22}\end{array}\right)$ – любые два решения (2.5.2), соответствующие одному и тому же значению $\zeta$.

Поскольку $|u(+\infty)|=|u(-\infty)|$, можно при помощи вронскиана (2.5.14) показать, что $|a(k, \zeta)|^{2}-|b(k, \zeta)|^{2}=1$, таким же способом, как это делалось для уравнения Шрёдингера.

У этой задачи есть две новые черты. Во-первых, здесь мы имеем дело с двумя уравнениями первого порядка, а не с одним уравнением второго порядка, и, во-вторых, в случае $u(x)=\operatorname{th} x$ мы сталкиваемся с ситуацией, когда потенциал не стремится к нулю при $|x| \rightarrow \infty$. В этой книге мы не будем подробнее изучать такие потенциалы, которые не стремятся к нулю при $x \rightarrow$ $\rightarrow \pm \infty$, но вместо этого рассмотрим первое из этих возможных обобщений. Если случай с нулевым на бесконечности потенциалом разобран, то обобщение результатов на асимптотически ненулевые потенциалы представляет уже не принципиальную, а чисто техническую проблему.

Наиболее естественное обобщение состоит в том, чтобы заменить задачу на собственные значения для уравнения Шрёдингера второго порядка задачей первого порядка на собственные значения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial x} V_{1}+i k V_{1}=q(x) V_{2}, \\
\frac{\partial}{\partial x} V_{2}-i k V_{2}=r(x) V_{1} .
\end{array}
\]

Уравнение (2.5.5) является частным случаем этой задачи при $q=-r=i u$. Заметим также, что при $r=-1$ мы возвращаемся к задаче Шрёдингера для $V_{2}$ :
\[
\left(\frac{d^{2}}{d x^{2}}+k^{2}+q(x)\right) V_{2}(x, k)=0 .
\]

Функции $V_{1}$ и $V_{2}$ зависят от переменных $x$ и $k$, но для удобства обозначений мы не будет указывать в дальнейшем эту зависимость, кроме особых случаев, когда это нужно будет сделать для большей ясности. Поскольку эта система впервые была проанализирована в самом общем виде Захаровым и Шабатом [1972] и Абловицем, Каупом, Ньюэллом и Сигуром [1974], то в дальнейшем мы будем ее называть системой ЗШ-АКНС. На бесконечности система описывается свободными уравнениями
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial x} V_{1}+i k V_{1}=0, \\
\frac{\partial}{\partial x} V_{2}-i k V_{2}=0,
\end{array}
\]

имеющими общее решение
\[
\begin{array}{l}
V_{1}=a e^{-i k x}, \\
V_{2}=b e^{i k x} .
\end{array}
\]

Для общего случая, включающего два неизвестных потенциала $q$ и $r$, нужно обязательно задать две волновые функции, определенные специфическим асимптотическим поведением. Можно построить решения ${ }_{k} \varphi$ и ${ }_{k} \bar{\varphi}$ с асимптотическим поведением
\[
\varphi(x, k) \sim\left\{\begin{array}{l}
e^{-i k x}\left[\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right] x \rightarrow-\infty, \\
{\left[\begin{array}{c}
a e^{-i k x} \\
b e^{i k x}
\end{array}\right] x \rightarrow+\infty}
\end{array}\right.
\]

и
\[
\bar{\varphi}(x, k) \sim\left\{\begin{array}{l}
{\left[\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right] e^{i k x} \quad x \rightarrow-\infty,} \\
{\left[\begin{array}{c}
\bar{b} e^{-i k x} \\
-\bar{a} e^{i k x}
\end{array}\right] \quad x \rightarrow+\infty,}
\end{array}\right.
\]

где функции $a, b, \bar{a}, \bar{b}$ отличаются от аналогично обозначенных функций разд. 3 и 4.

Попытаемся несколько приподнять завесу таинственности над задачей рассеяния (2.5.15)-(2.5.16), решая некоторые простые иллюстративные примеры, так же, как мы это делали в двух последних разделах. Рассмотрим два специальных случая: (i) потенциал в форме прямоугольной ямы и (ii) потенциал $q(x)=$ $=-r(x)=-2 \operatorname{sech} 2 x$.