Метод разложения на множители, примененный для решения задачи (2.4.2) о безотражательном потенциале, допускает естественное обобщение. Если наше уравнение Шрёдингера можно разложить на множители, приведя его к виду
$$(u(x)-\frac{d}{dx})(u(x)+\frac{d}{dx})\psi (x,k)=(k^2+A)\psi (x,k),$$

то уравнение (2.4.37) можно свести к паре уравнений первого порядка:
$$\begin{array}{l}[\frac{d}{dx}+u(x)]{\psi }_1=i\zeta {\psi }_2,\\ [\frac{d}{dx}-u(x)]{\psi }_2=-i\zeta {\psi }_1,\end{array}$$

где ${\psi }_1=\psi$ и функция ${\psi }_2$ определена равенством (2.5.2) и ${\zeta }^2=$ $=(k^2+A)$. Если определить новые функции $v_1$ и $v_2$
$$v_1=\frac{1}{2}({\psi }_1+{\psi }_2),v_2=\frac{1}{2i}({\psi }_2-{\psi }_1),$$

то уравнения (2.5.2) и (2.5.3) превратятся в двумерную задачу на собственные значения:
$$\left[\begin{array}{cc}\frac{id}{dx}& u(x)\\ u(x)& -\frac{id}{dx}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]=\zeta \left[\begin{array}{l}{v}_1\\ v_2\end{array}\right].$$

Асимптотический анализ для этой задачи рассеяния первого порядка может быть выполнен аналогично тому, как это делалось для уравнения Шрёдингера. Система с зависимостью от времени, соответствующая нестационарному уравнению Шрёдингера, есть уравнение Дирака:
$$\left[\begin{array}{cc}i({\partial }_x+{\partial }_t)& 0\\ 0& i({\partial }_t-{\partial }_x)\end{array}\right]+u(x)\left[\begin{array}{l}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0\\ 0\end{array}\right].$$

Полагая $u(x)=$ th $x$, что соответствует разложению, применяемому при исследовании безотражательного потенциала $2{\mathrm{sech}}^{2}x$, можно решить систему (2.5.2)-(2.5.3) (см. рис. 2.8-2.10). Используя решение (2.4.12), легко показать, что после перенормировки соответствующее решение уравнения (2.5.5) дается формулой:
$$\phi (x,k,\zeta )=\left[\begin{array}{c}\frac{\text{ th }x+i(\zeta +k)}{i(\zeta +k)-1}\\ \frac{i\text{ th }x-(k-\zeta )}{i(\zeta +k)-1}\end{array}\right]e^{-ikx},k=\sqrt{{\zeta }^2-1}.$$

В пределе при $x\to \mathrm{\infty }\phi (x,k,\zeta )\sim \left(\begin{array}{c}1\\ k-\zeta \end{array}\right)e^{-ikx}$, что в свою очередь является решением системы
$$\left[\begin{array}{cc}\frac{id}{dx}& -1\\ -1& -\frac{id}{dx}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]=\xi \left[\begin{array}{l}{v}_1\\ v_2\end{array}\right].$$

Эта система является асимптотическим пределом системы (2.5.5) при $x\to -\mathrm{\infty }$. Когда $x\to +\mathrm{\infty }$, (2.5.7) имеет следующую асимптотическую форму:
$$\phi (x,k,\zeta )\sim \left(\frac{k+\zeta -i}{k+\zeta +i}\right)\left[\begin{array}{c}1\\ \zeta -k\end{array}\right]e^{-ikx}.$$

Для потенциала общего вида, удовлетворяющего условию $u(x)\to$ $\to \pm 1$ при $x\to \pm \mathrm{\infty }$, решение $\phi (x,k,\zeta )$ системы (2.5.5) с асимптотическим граничным условием
$$\phi (x,k,\zeta )\sim \left[\begin{array}{c}1\\ k-\zeta \end{array}\right]e^{-ikx}x\to -\mathrm{\infty }$$

можно выразить при $x\to +\mathrm{\infty }$ в асимптотической форме
$$\phi (x,k,\zeta )\sim a(\zeta ,k)\left(\begin{array}{c}1\\ \zeta -k\end{array}\right)e^{-ikx}+b(\zeta ,k)\left(\begin{array}{c}\zeta -k\\ 1\end{array}\right)e^{ikx}.$$

Векторы $v_{-}=\left[\begin{array}{c}1\\ \zeta -k\end{array}\right]e^{-ikx}$ и $v_{+}=\left[\begin{array}{c}\zeta -k\\ 1\end{array}\right]e^{ikx}$ являются на самом деле собственными функциями линейной системы
$$\left[\begin{array}{cc}\frac{id}{dx}& 1\\ 1& -\frac{id}{dx}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]=\zeta \left[\begin{array}{l}{v}_1\\ v_2\end{array}\right],$$

которая может рассматриваться как асимптотическая форма системы (2.5.5) при $x\to +\mathrm{\infty }$. Функции $v_{\pm }$соответствуют асимптотическим волнам системы Дирака (2.5.6), бегущим соответственно вправо и влево. Функции $a(\zeta ,k)$ и $b(\zeta ,k)$ являются естественными аналогами функций $a(k)$ и $b(k)$ предыдущего раздела.

Решения (2.5.7) показывают, что $u(x)=$ th $x$ — безотражательный потенциал для задачи рассеяния (2.5.5). Асимптотические данные $a(\zeta ,k)$ и $b(\zeta ,k)$ имеют вид
$$a(\zeta ,k)=\left(\frac{k+\zeta -i}{k+\zeta +i}\right),b(\zeta ,k)=0.$$

Мы показали зависимость функций $a(\zeta ,k)$ и $b(\zeta ,k)$ от обеих переменных $\zeta$ и $k$, так как эти функции определены на римановой поверхности функции $k=\sqrt{{\zeta }^2-1}$. Такую же зависимость мы указывали для данных рассеяния в случае прямоугольной потенциальной ямы, но в том случае внимательная проверка показывает, что $R(k,\zeta )=b(k,\zeta )/a(k,\zeta )=\tilde{R}(k,{\zeta }^2)$.

Вронскиан (2.3.15) шрёдингеровской задачи на собственные значения можно обобщить на случай системы первого порядка (2.5.5) следующим образом:
$$W(V_1,V_2)=\det \left(\begin{array}{ll}{V}_{11}& V_{12}\\ V_{21}& V_{22}\end{array}\right),$$

где $V_1=\left(\begin{array}{l}{V}_{11}\\ V_{21}\end{array}\right)$ и $V_2=\left(\begin{array}{l}{V}_{12}\\ V_{22}\end{array}\right)$ — любые два решения (2.5.2), соответствующие одному и тому же значению $\zeta$.

Поскольку $|u(+\mathrm{\infty })|=|u(-\mathrm{\infty })|$, можно при помощи вронскиана (2.5.14) показать, что $|a(k,\zeta ){|}^2-|b(k,\zeta ){|}^2=1$, таким же способом, как это делалось для уравнения Шрёдингера.

У этой задачи есть две новые черты. Во-первых, здесь мы имеем дело с двумя уравнениями первого порядка, а не с одним уравнением второго порядка, и, во-вторых, в случае $u(x)=\mathrm{th}x$ мы сталкиваемся с ситуацией, когда потенциал не стремится к нулю при $|x|\to \mathrm{\infty }$. В этой книге мы не будем подробнее изучать такие потенциалы, которые не стремятся к нулю при $x\to$ $\to \pm \mathrm{\infty }$, но вместо этого рассмотрим первое из этих возможных обобщений. Если случай с нулевым на бесконечности потенциалом разобран, то обобщение результатов на асимптотически ненулевые потенциалы представляет уже не принципиальную, а чисто техническую проблему.

Наиболее естественное обобщение состоит в том, чтобы заменить задачу на собственные значения для уравнения Шрёдингера второго порядка задачей первого порядка на собственные значения:
$$\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial x}{V}_1+ik{V}_1=q(x)V_2,\\ \frac{\partial }{\partial x}{V}_2-ik{V}_2=r(x)V_1.\end{array}$$

Уравнение (2.5.5) является частным случаем этой задачи при $q=-r=iu$. Заметим также, что при $r=-1$ мы возвращаемся к задаче Шрёдингера для $V_2$ :
$$(\frac{d^2}{d{x}^2}+k^2+q(x))V_2(x,k)=0.$$

Функции $V_1$ и $V_2$ зависят от переменных $x$ и $k$, но для удобства обозначений мы не будет указывать в дальнейшем эту зависимость, кроме особых случаев, когда это нужно будет сделать для большей ясности. Поскольку эта система впервые была проанализирована в самом общем виде Захаровым и Шабатом [1972] и Абловицем, Каупом, Ньюэллом и Сигуром [1974], то в дальнейшем мы будем ее называть системой ЗШ-АКНС. На бесконечности система описывается свободными уравнениями
$$\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial x}{V}_1+ik{V}_1=0,\\ \frac{\partial }{\partial x}{V}_2-ik{V}_2=0,\end{array}$$

имеющими общее решение
$$\begin{array}{l}{V}_1=a{e}^{-ikx},\\ V_2=b{e}^{ikx}.\end{array}$$

Для общего случая, включающего два неизвестных потенциала $q$ и $r$, нужно обязательно задать две волновые функции, определенные специфическим асимптотическим поведением. Можно построить решения ${}_k\phi$ и ${}_k\overline{\phi }$ с асимптотическим поведением
$$\phi (x,k)\sim \{\begin{array}{l}{e}^{-ikx}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]x\to -\mathrm{\infty },\\ \left[\begin{array}{c}a{e}^{-ikx}\\ b{e}^{ikx}\end{array}\right]x\to +\mathrm{\infty }\end{array}$$

и
$$\overline{\phi }(x,k)\sim \{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]e^{ikx}x\to -\mathrm{\infty },\\ \left[\begin{array}{c}\overline{b}{e}^{-ikx}\\ -\overline{a}{e}^{ikx}\end{array}\right]x\to +\mathrm{\infty },\end{array}$$

где функции $a,b,\overline{a},\overline{b}$ отличаются от аналогично обозначенных функций разд. 3 и 4.

Попытаемся несколько приподнять завесу таинственности над задачей рассеяния (2.5.15)-(2.5.16), решая некоторые простые иллюстративные примеры, так же, как мы это делали в двух последних разделах. Рассмотрим два специальных случая: (i) потенциал в форме прямоугольной ямы и (ii) потенциал $q(x)=$ $=-r(x)=-2\mathrm{sech}2x$.