Итак, мы обсудили методы изучения взаимодействий решений типа уединенной волны для дисперсионных нелинейных уравнений.

Самый прямой метод — численное интегрирование. Если волны проницаемы друг для друга, то это довольно убедительно указывает на солитонное поведение некоторых решений уравнения, но это еще не доказательствоІ Для некоторых нелинейных задач найти устойчивую и точную схему численного интегрирования нелегко. Если излучается рябь, превосходящая по размерам погрешности вычислений по численной схеме, то никакого «частицеподобного» поведения нет. Однако может случиться, что неупругость очень мала и амплитуда ряби окажется столь малой, что она останется незамеченной.

Второй метод — сведение к одному однородному уравнению или системе из двух однородных уравнений при помощи преобразования Коула — Хопфа. Если ряды для решений обрываются, то могут быть найдены точные $N$-параметрические решения, представляющие собой аналитические решения мультисолитонного типа. Отсутствие обрыва указывает на отсутствие солитонного поведения (но опять же не доказывает это!); таким же указанием служит невозможность сведения к однородным уравнениям второго порядка при помощи преобразования Коула — Хопфа. В частности, для нелинейных уравнений Клейна — Гордона отсутствие преобразования Бэклунда указывает на отсутствие солитонного поведения, поскольку эти преобразования конструируют мультисолитонные решения из других решений, состоящих из меньшего числа солитонов.

Заметим, во-первых, что этот список есть просто множество соображений и идей, появлявшихся в этой главе. Это только указания, но ни в коем случае не доказательство, что в основе тех уравнений, которые очевидным образом имеют точные солитонные решения (КдФ, $\sin -Г$ Гордон, мКдФ, НЛШ; существует много других, но эти самые важные), должна лежать некоторая хитроумная структура. Кроме того, поскольку оказывается, что такие различные уравнения, возникающие в разных физических ситуациях, не имеющих, казалось бы, ничего общего между собой, обладают сходными свойствами, то это снова указывает на существование некоторой общей структуры, присущей всем этим уравнениям.

Во-вторых, главное свойство, которым они все обладают «частицеподобная» природа их решений, которые либо отталкиваются друг от друга, либо проходят друг через друга упруго, указывает, что они рассеиваются друг на друге, как в одномерном рассеивании. Это наводит на мысль о возможности применения какой-то теории рассеяния. Во-первых, мы до сих пор не имеем серьезной математической связи между каким-либо из этих уравнений и какой-нибудь теорией рассеяния и, во-вторых, не знаем, какая это должна быть теория рассеяния — классическая или квантовая.

Для того, чтобы установить какую-то связь, вернемся к результату о преобразованиях Бэклунда (1.5.16), который был впервые получен Бэклундом в 1875 г. (Бэклунд [1875 I, Лэм [1976]) в дифференциальной геометрии:
$$\begin{array}{l}\frac{1}{2}(\phi +\overline{\phi }{)}_{\xi }=\alpha \sin \frac{1}{2}(\phi -\overline{\phi }),\\ \frac{1}{2}(\phi -\overline{\phi }{)}_{\tau }=\frac{1}{\alpha }\sin \frac{1}{2}(\phi +\overline{\phi }),\end{array}$$

где $\phi$ и $\overline{\phi }$ — решения уравнения $\mathrm{sin-}\mathrm{Г}\mathrm{о}\mathrm{р}\mathrm{д}\mathrm{о}\mathrm{н}.\mathrm{С}\mathrm{д}\mathrm{е}\mathrm{л}\mathrm{а}\mathrm{е}\mathrm{м}\mathrm{п}\mathrm{р}\mathrm{е}\mathrm{о}\mathrm{б}\mathrm{р}\mathrm{а}\mathrm{з}\mathrm{о}\mathrm{-}$ вание
$$v=\mathrm{tg}\frac{1}{4}(\phi -\overline{\phi })$$

и исключим $\overline{\phi }$ из (1.10.1). Получим
$$v_{\xi }=-\alpha v+\frac{1}{2}{\phi }_{\xi }(1+v^2).$$

Аналогично из (1.10.2) получим
$$v_{\tau }=\frac{1}{2\alpha }(1-v^2)\sin \phi -\frac{1}{\alpha }v\cos \phi .$$

Вывод уравнения (1.10.5) требует применения тригонометрических формул
$$\begin{array}{l}\sin (\mathrm{arctg}v)=\frac{v}{{(1+v^2)}^{1/2}},\\ \cos (\mathrm{arctg}v)=\frac{1}{{(1+v^2)}^{1/2}}.\end{array}$$

Қаждое из уравнений (1.10.4) и (1.10.5) по отдельности называется уравнением Риккати, потому что в него входит только одна производная и квадратичная нелинейность. Уравнение Риккати всегда разрешимо: для этого введем две функции ${\psi }_1$ и ${\psi }_2$, такие что $v={\psi }_1/{\psi }_2$. Тогда уравнение (1.10.4) примет вид
$${\psi }_2\frac{\partial {\psi }_1}{\partial \xi }-{\psi }_1\frac{\partial {\psi }_2}{\partial \xi }=-\alpha {\psi }_1{\psi }_2+\frac{1}{2}{\psi }_{\xi }({\psi }_1^2+{\psi }_2^2).$$

Уравнение (1.10.8) можно расщепить на два линейных уравнения:
$$\begin{array}{l}\frac{\partial {\psi }_1}{\partial \xi }+\frac{1}{2}\alpha {\psi }_1=\frac{1}{2}{\phi }_{\xi }{\psi }_2,\\ \frac{\partial {\psi }_2}{\partial \xi }-\frac{1}{2}\alpha {\psi }_2=-\frac{1}{2}{\phi }_{\xi }{\psi }_1.\end{array}$$

Уравнения (1.10.9) примут более знакомый вид, если их продифференцировать один раз по $\xi$, чтобы получить пару уравнений
второго порядка, и затем положить $\alpha =2i\lambda$. Первые производные можно исключить, и тогда получитс
$$[\frac{{\partial }^2}{\partial {\xi }^2}+{\lambda }^2]\left[\begin{array}{l}{\psi }_1\\ {\psi }_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{4}{\phi }_{\xi }^2& \frac{1}{2}{\phi }_{\xi \xi }\\ -\frac{1}{2}{\phi }_{\xi \xi }& -\frac{1}{4}{\phi }_{{\xi }^2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{\psi }_1\\ {\psi }_2\end{array}\right].$$

Уравнение (1.10.10) представляет собой двухканальное квантовое уравнение Шрёдингера, где $\lambda$ — собственное значение. Оно может быть записано в более удобной форме
$$\frac{{\partial }^2}{\partial {\xi }^2}\psi +V\psi =-{\lambda }^2\psi ,$$

где $V$ — матрица рассеивающего потенциала, $\lambda$ — собственное значение и $\psi$ — вектор-столбец волновых функций. Важно заметить, что матрица рассеивающего потенциала $V$ в (1.10.11) зависит только от производных $\phi$ по $\xi$ и что $\tau$ входит в уравнение только в качестве параметра. Решение задач рассеяния такого типа дается в гл. 3, 4 и 6 . Эта задача была первоначально решена 30 лет назад Гельфандом, Левитаном, Марченко и другими (см. ссылки у Шадана и Сабатье [1977] и Аграновича и Марченко [1963]). Главный вывод относительно уравнения (1.10.11) — то, что спектр оператора постоянен во времени.’Это значит, что спектр начальных условий остается спектром для всех моментов времени $t>0$. Задача, которую решили Гельфанд и другие (известная как обратная задача рассеяния), состоит в том, чтобы построить потенциал $V(x)$ по известному спектру и известному асимптотическому поведению функции $\psi$. В нашей задаче построение потенциала равносильно нахождению решения уравнения $\sin -Г$ ордон для всех $\tau >0$.

Эта связь между некоторыми преобразованиями (впервые полученными в прошлом столетии в связи с дифференциальной геометрией) и квантовым уравнением Шрёдингера весьма примечательна, в особенности потому, что она дает метод решения задачи Коши.

Надо заметить, что уравнение Шрёдингера, которое мы здесь вывели, не совпадает с нелинейным уравнением Шрёдингера разд. 1.6, которое является совершенно самостоятельным уравнением в частных производных. Эти уравнения не следует путать.

Теперь, когда мы установили связь между одним солитонным уравнением и одной задачей квантовой физики, надо разобраться в ней более детально. Исторически данный выше вывод не совпадает с тем, которым эта связь была установлена первоначально. Впервые это сделали Гарднер и др. [1967l, которые увидели, как связать уравнение КдФ с задачей рассеяния для скалярного уравнения Шрёдингера. Это другая тема, и мы вернемся к ней в гл. 3. Следующая глава — небольшое, но необходимое отступление, в котором даются основы квантовой теории рассеяния, имеющие большое значение в дальнейшем. Те, кто знаком с квантовой механикой или с обратной задачей, могут перейти сразу к гл. 3.