Итак, мы обсудили методы изучения взаимодействий решений типа уединенной волны для дисперсионных нелинейных уравнений.

Самый прямой метод – численное интегрирование. Если волны проницаемы друг для друга, то это довольно убедительно указывает на солитонное поведение некоторых решений уравнения, но это еще не доказательствоІ Для некоторых нелинейных задач найти устойчивую и точную схему численного интегрирования нелегко. Если излучается рябь, превосходящая по размерам погрешности вычислений по численной схеме, то никакого «частицеподобного» поведения нет. Однако может случиться, что неупругость очень мала и амплитуда ряби окажется столь малой, что она останется незамеченной.

Второй метод – сведение к одному однородному уравнению или системе из двух однородных уравнений при помощи преобразования Коула – Хопфа. Если ряды для решений обрываются, то могут быть найдены точные $N$-параметрические решения, представляющие собой аналитические решения мультисолитонного типа. Отсутствие обрыва указывает на отсутствие солитонного поведения (но опять же не доказывает это!); таким же указанием служит невозможность сведения к однородным уравнениям второго порядка при помощи преобразования Коула – Хопфа. В частности, для нелинейных уравнений Клейна – Гордона отсутствие преобразования Бэклунда указывает на отсутствие солитонного поведения, поскольку эти преобразования конструируют мультисолитонные решения из других решений, состоящих из меньшего числа солитонов.

Заметим, во-первых, что этот список есть просто множество соображений и идей, появлявшихся в этой главе. Это только указания, но ни в коем случае не доказательство, что в основе тех уравнений, которые очевидным образом имеют точные солитонные решения (КдФ, $\sin -Г$ Гордон, мКдФ, НЛШ; существует много других, но эти самые важные), должна лежать некоторая хитроумная структура. Кроме того, поскольку оказывается, что такие различные уравнения, возникающие в разных физических ситуациях, не имеющих, казалось бы, ничего общего между собой, обладают сходными свойствами, то это снова указывает на существование некоторой общей структуры, присущей всем этим уравнениям.

Во-вторых, главное свойство, которым они все обладают «частицеподобная» природа их решений, которые либо отталкиваются друг от друга, либо проходят друг через друга упруго, указывает, что они рассеиваются друг на друге, как в одномерном рассеивании. Это наводит на мысль о возможности применения какой-то теории рассеяния. Во-первых, мы до сих пор не имеем серьезной математической связи между каким-либо из этих уравнений и какой-нибудь теорией рассеяния и, во-вторых, не знаем, какая это должна быть теория рассеяния – классическая или квантовая.

Для того, чтобы установить какую-то связь, вернемся к результату о преобразованиях Бэклунда (1.5.16), который был впервые получен Бэклундом в 1875 г. (Бэклунд [1875 I, Лэм [1976]) в дифференциальной геометрии:
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2}(\varphi+\bar{\varphi})_{\xi}=\alpha \sin \frac{1}{2}(\varphi-\bar{\varphi}), \\
\frac{1}{2}(\varphi-\bar{\varphi})_{\tau}=\frac{1}{\alpha} \sin \frac{1}{2}(\varphi+\bar{\varphi}),
\end{array}
\]

где $\varphi$ и $\bar{\varphi}$ – решения уравнения $\operatorname{sin-Гордон.~Сделаем~преобразо-~}$ вание
\[
v=\operatorname{tg} \frac{1}{4}(\varphi-\bar{\varphi})
\]

и исключим $\bar{\varphi}$ из (1.10.1). Получим
\[
v_{\xi}=-\alpha v+\frac{1}{2} \varphi_{\xi}\left(1+v^{2}\right) .
\]

Аналогично из (1.10.2) получим
\[
v_{\tau}=\frac{1}{2 \alpha}\left(1-v^{2}\right) \sin \varphi-\frac{1}{\alpha} v \cos \varphi .
\]

Вывод уравнения (1.10.5) требует применения тригонометрических формул
\[
\begin{array}{l}
\sin (\operatorname{arctg} v)=\frac{v}{\left(1+v^{2}\right)^{1 / 2}}, \\
\cos (\operatorname{arctg} v)=\frac{1}{\left(1+v^{2}\right)^{1 / 2}} .
\end{array}
\]

Қаждое из уравнений (1.10.4) и (1.10.5) по отдельности называется уравнением Риккати, потому что в него входит только одна производная и квадратичная нелинейность. Уравнение Риккати всегда разрешимо: для этого введем две функции $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$, такие что $v=\psi_{1} / \psi_{2}$. Тогда уравнение (1.10.4) примет вид
\[
\psi_{2} \frac{\partial \psi_{1}}{\partial \xi}-\psi_{1} \frac{\partial \psi_{2}}{\partial \xi}=-\alpha \psi_{1} \psi_{2}+\frac{1}{2} \psi_{\xi}\left(\psi_{1}^{2}+\psi_{2}^{2}\right) .
\]

Уравнение (1.10.8) можно расщепить на два линейных уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \psi_{1}}{\partial \xi}+\frac{1}{2} \alpha \psi_{1}=\frac{1}{2} \varphi_{\xi} \psi_{2}, \\
\frac{\partial \psi_{2}}{\partial \xi}-\frac{1}{2} \alpha \psi_{2}=-\frac{1}{2} \varphi_{\xi} \psi_{1} .
\end{array}
\]

Уравнения (1.10.9) примут более знакомый вид, если их продифференцировать один раз по $\xi$, чтобы получить пару уравнений
второго порядка, и затем положить $\alpha=2 i \lambda$. Первые производные можно исключить, и тогда получитс
\[
\left[\frac{\partial^{2}}{\partial \xi^{2}}+\lambda^{2}\right]\left[\begin{array}{l}
\psi_{1} \\
\psi_{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
-\frac{1}{4} \varphi_{\xi}^{2} & \frac{1}{2} \varphi_{\xi \xi} \\
-\frac{1}{2} \varphi_{\xi \xi} & -\frac{1}{4} \varphi_{\xi^{2}}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\psi_{1} \\
\psi_{2}
\end{array}\right] .
\]

Уравнение (1.10.10) представляет собой двухканальное квантовое уравнение Шрёдингера, где $\lambda$ – собственное значение. Оно может быть записано в более удобной форме
\[
\frac{\partial^{2}}{\partial \xi^{2}} \psi+V \psi=-\lambda^{2} \psi,
\]

где $V$ – матрица рассеивающего потенциала, $\lambda$ – собственное значение и $\psi$ – вектор-столбец волновых функций. Важно заметить, что матрица рассеивающего потенциала $V$ в (1.10.11) зависит только от производных $\varphi$ по $\xi$ и что $\tau$ входит в уравнение только в качестве параметра. Решение задач рассеяния такого типа дается в гл. 3, 4 и 6 . Эта задача была первоначально решена 30 лет назад Гельфандом, Левитаном, Марченко и другими (см. ссылки у Шадана и Сабатье [1977] и Аграновича и Марченко [1963]). Главный вывод относительно уравнения (1.10.11) – то, что спектр оператора постоянен во времени.’Это значит, что спектр начальных условий остается спектром для всех моментов времени $t>0$. Задача, которую решили Гельфанд и другие (известная как обратная задача рассеяния), состоит в том, чтобы построить потенциал $V(x)$ по известному спектру и известному асимптотическому поведению функции $\psi$. В нашей задаче построение потенциала равносильно нахождению решения уравнения $\sin -Г$ ордон для всех $\tau>0$.

Эта связь между некоторыми преобразованиями (впервые полученными в прошлом столетии в связи с дифференциальной геометрией) и квантовым уравнением Шрёдингера весьма примечательна, в особенности потому, что она дает метод решения задачи Коши.

Надо заметить, что уравнение Шрёдингера, которое мы здесь вывели, не совпадает с нелинейным уравнением Шрёдингера разд. 1.6, которое является совершенно самостоятельным уравнением в частных производных. Эти уравнения не следует путать.

Теперь, когда мы установили связь между одним солитонным уравнением и одной задачей квантовой физики, надо разобраться в ней более детально. Исторически данный выше вывод не совпадает с тем, которым эта связь была установлена первоначально. Впервые это сделали Гарднер и др. [1967l, которые увидели, как связать уравнение КдФ с задачей рассеяния для скалярного уравнения Шрёдингера. Это другая тема, и мы вернемся к ней в гл. 3. Следующая глава – небольшое, но необходимое отступление, в котором даются основы квантовой теории рассеяния, имеющие большое значение в дальнейшем. Те, кто знаком с квантовой механикой или с обратной задачей, могут перейти сразу к гл. 3.