\[
q(x)=-r(x)=\left\{\begin{array}{cc}
0, & |x|>\gamma, \\
-Q_{0}, & |x| \leqslant \gamma .
\end{array}\right.
\]
Для потенциала в виде прямоугольной ямы (2.5.26) система ЗШ-АКНС (2.5.15)-(2.5.16) принимает вид
\[
\begin{array}{l}
{\left[\begin{array}{cc}
\frac{d}{d x}+i k & 0 \\
0 & \frac{d}{d x}-i k
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right] \text { для }|x|>\gamma,} \\
{\left[\begin{array}{cc}
\frac{d}{d x}+i k & Q_{0} \\
-Q_{0} & \frac{d}{d x}-i k
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
v_{2} \\
v_{1}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right] \text { для }|x| \leqslant \gamma,}
\end{array}
\]
что аналогично (2.5.8).
Запишем решение в виде
\[
\left[\begin{array}{l}
V_{1} \\
V_{2}
\end{array}\right]=\left\{\begin{array}{l}
{\left[\begin{array}{c}
A e^{-i k x} \\
B e^{i k x}
\end{array}\right], \quad x \geqslant \gamma,} \\
\alpha\left[\begin{array}{c}
1 \\
\frac{k-\zeta}{i Q_{0}}
\end{array}\right] e^{-i \zeta x}+\beta\left[\begin{array}{c}
\frac{k-\zeta}{i Q_{0}} \\
1
\end{array}\right] e^{i \zeta x}, \quad|x| \leqslant \gamma, \\
{\left[\begin{array}{c}
C e^{-i k x} \\
D e^{i k x}
\end{array}\right], \quad x \leqslant-\gamma,}
\end{array}\right.
\]
где $\zeta^{2}=k^{2}+Q_{0}^{2}$.
Требование непрерывности при $x= \pm \gamma$ приводит к условиям
\[
\begin{array}{l}
e^{-i k
u} A=\alpha e^{-i \zeta \gamma}+\frac{i(\zeta-k)}{Q_{0}} e^{i \zeta
u \beta}, \\
e^{i k v} B=\alpha \frac{i(\zeta-k)}{Q_{0}} e^{-i \zeta \gamma}+e^{i \zeta \gamma \beta}, \\
e^{i k \xi} C=\alpha e^{i \zeta \gamma}+i \frac{(\zeta-k)}{Q_{0}} e^{-i \zeta \gamma \beta}, \\
e^{-i k \zeta} D=\alpha \frac{i(\zeta-k)}{Q_{0}} e^{i \zeta \gamma}+e^{-i \zeta \gamma} \beta .
\end{array}
\]
Если $C=1, D=0$, то из (2.5.34), (2.5.35) мы получаем
\[
\begin{array}{l}
\alpha=e^{i k \gamma-i \zeta \gamma}\left[1+\left(\frac{\zeta-k}{Q_{0}}\right)^{2}\right]^{-1}, \\
\beta=-e^{i k \gamma+i \zeta \gamma}\left[\frac{i(\zeta-k)}{Q_{0}\left[1+\left(\frac{\zeta-k}{Q_{0}}\right)^{2}\right]}\right],
\end{array}
\]
а из (2.5.32), (2.5.33)
\[
\begin{array}{l}
a(k, \zeta)=e^{2 i k \gamma}\left[\cos 2 \zeta \gamma-\frac{2 k}{\zeta} \sin 2 \zeta \gamma\right], \\
b(k, \zeta)=\frac{Q_{0}}{\zeta} \sin 2 \zeta \gamma .
\end{array}
\]
Если $C=0, D=-1$,
Рис. $2.11 . \delta=13 \pi / 8$.
то из (2.5.32), (2.5.33) получаем
\[
\begin{array}{l}
\bar{a}(k, \zeta)=e^{2 i k \gamma}\left[\cos 2 \zeta \gamma-\frac{2 k}{\zeta} \sin 2 \zeta \gamma\right]=\left(a\left(k^{*}, \zeta^{*}\right)\right)^{*} \\
\bar{b}(k, \zeta)=\frac{Q_{0}}{\zeta} \sin 2 \zeta \gamma=\left(b\left(k^{*}, \zeta^{*}\right)\right)^{*}
\end{array}
\]
По аналогии с уравнением Шрёдингера мы можем убедиться, что существует два случая, в которых могут встретиться связанные состояния. Либо нули функции $a(k, \zeta)$ лежат на положительной мнимой полуоси $k$, либо нули функции $\bar{a}(k, \bar{\zeta})$ лежат на отрицательной мнимой полуоси $k$. Поскольку $\bar{a}(k, \bar{\zeta})=\left(a\left(k^{*}, \zeta^{*}\right)\right)^{*}$, в этом случае нам достаточно рассматривать только функцию $a(k, \zeta)$.
Должен существовать нуль функции $a(k, \zeta)$ при $k=i \chi(\varkappa>0$
и $\zeta$ вещественное), если
\[
\operatorname{ctg} 2 \zeta \gamma=-\frac{x}{\zeta} ; \zeta^{2}=Q_{0}^{2}-x^{2} \geqslant 0 .
\]
Если обозначить $\zeta \gamma=\xi$, то уравнение (2.5.44) можно записать как уравнение от $\xi$, по аналогии с (2.3.65):
\[
\operatorname{ctg} 2 \xi=-\left(\delta^{2}-\xi^{2}\right)^{1 / 2} / \xi .
\]
Значения $\xi$ должны удовлетворять неравенству $\xi \leqslant \delta$, где $\delta=$ $=\gamma Q_{0}$. Графический анализ уравнения (2.5.45) можно проделать примерно так же, как это было сделано для уравнения (2.3.66). На рис. 2.11 показано, что если $N \pi / 2 \leqslant(\delta-\pi) / 4 \leqslant(N+1) \pi / 2$, то существует $N+1$ корней или связанных состояний.
В качестве специального примера рассмотрим потенциал
\[
q(x)=\left\{\begin{array}{c}
0, \quad|x|>\frac{3 \pi}{8}, \\
-\sqrt{2},|x| \leqslant \frac{3 \pi}{8},
\end{array}\right.
\]
для которого существует единственное связанное состояние при $k=i$ с волновой функцией связанного состояния
Если $\chi(x)$ – волновая функция связанного состояния системы ЗШ-АКНС, удобно ввести нормирующую константу $C$, определенную соотношением
\[
C^{-1}=2 \int_{-\infty}^{\infty} \chi_{1} \chi_{2} d x .
\]
Заметим, что она не обязана быть не только положительной, но даже вещественной, и она не связана с квантовомеханической вероятностью нахождения частицы со специфическими спиновыми свойствами в различных положениях. В примере (2.5.47) нормирующая константа определяется равенством $C^{-1}=(1+$ $+3 \pi / 4 \sqrt{2}) \exp (-3 \pi / 4)$.
