Между первым наблюдением уединенной волны Скоттом Расселлом и каким-либо теоретическим исследованием этого явления прошло более 60 лет. Несмотря на некоторые попытки Скотта Расселла отгадать аналитическую формулу профиля волны (Миура [19761), его наблюдение оставалось необъясненным в течение его жизни (он умер в 1882 г.). В следующие десятилетия волна переноса кратко упоминалась различными математиками, в том числе Стоксом [1847] и Буссинеском [1872]. Однако первого теоретического подтверждения работам Скотта Расселла пришлось дожидаться до 1895 г., когда два голландских исследователя Кортевег и де Фриз [1895] получили свое знаменитое теперь уравнение распространения волн в одном направлении по поверхности мелкого канала. Если канал имеет среднюю глубину $l$ и $l+\eta$ ( $\eta$ мало) — уровень поверхности над дном, то дифферен-

Рис. 1.2. Три уединенных волны, изображенные рядом.
циальное уравнение в частных производных, описывающее движение волны, будет таким:
\[
\frac{\partial \eta}{\partial t}=\frac{3}{2} \sqrt{\frac{g}{l}} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{2}{3} \alpha \eta+\frac{1}{2} \eta^{2}+\frac{1}{3} \sigma \frac{\partial^{2} \eta}{\partial x^{2}}\right),(1.2 .1)
\]

где $\sigma=l^{3} / 3$ — $T l / \rho g, \alpha$ — произвольная константа, $T$ — поверхностное натяжение и $\rho$ — плотность жидкости. Вывод уравнения (1.2.1) непрост, и соответствующие выкладки приведены в гл. 4. Это уравнение, известное как уравнение Кортевега-де Фриза, обычно для простоты называют уравнением КдФ. Оно может быть приведено к более удобной форме изменением масштабов по осям. Если ввести обозначения
\[
\eta=8 \alpha u ; \quad \xi=\left(\frac{2 \alpha}{\sigma}\right)^{1 / 2} x ; \quad \tau=\left(\frac{2 \alpha^{3} g}{\sigma l}\right)^{1 / 2} t,
\]

то (1.2.1) приобретает вид
\[
u_{\tau}+u_{\xi}+12 u u_{\xi}+u_{\xi \xi}=0 .
\]

Множитель 12 в нелинейном члене уравнения целиком зависит от нашего произвола и всегда может быть изменен преобразованием $u \rightarrow \beta u$. Чтобы найти решение, подобное волне Расселла, нужно искать решение уравнения (1.2.2) типа бегущей волны с постоянным профилем. Для этого рассмотрим трансляционно инвариантные решения вида $u=u(\theta)$, где $\theta$ — линейная функция от $\xi$ и $\tau: \theta=a \xi-\omega \tau+\delta$. Если потребовать, чтобы функция $и$ стремилась к нулю вместе с ее производными при $|\theta| \rightarrow \infty$, то уравнение (1.2.2) можно будет проинтегрировать и получить решение
\[
u=\frac{1}{4} a^{2} \operatorname{sech}^{2} \frac{1}{2}\left(a \xi-\left(a+a^{3}\right) \tau+\delta\right) .
\]

Константы $a$ и $\delta$ — произвольные, причем последняя играет роль фазы, или «сдвига центра». Это и есть волна в виде горба, которую наблюдал Скотт Расселл. Она движется с постоянной скоростью, не меняя форым. Ее скорость, равная $1+a^{2}$, зависит от амплитуды, и высокая волна движется быстрее, чем низкая. График этой зависимости дан на рис. 1.2. Для малых значений $а$ волна широкая и низкая, как на рис. 1.1, но при увеличении $a$ она становится у́же и острее. Именно такой профиль волны наблюдал Скотт Расселл в своих экспериментах (см. рис. 1.1), и, значит, это и есть уединенная волна.