Цель этого раздела – детально изучить различия между примерами этой главы, дисперсионные соотношення которых имеют ненулевую мнимую часть, и примерами гл. 8, которые намеренно ограничивались вецественными дисперсионными соотношениями. Мы будем следовать идеям и обозначениям гл. 8 и предыдущего раздела и продолжим анализ, связанный с многомасштабными растяжениями. Напомним читателю, что мы применяем медленные пространственные и временны́е переменные $X_{m}=\boldsymbol{e}^{m} x ; T_{m}=$ $=\varepsilon^{m} t(m=1,2, \ldots)$. Малый параметр $\varepsilon$ был определен в (9.1.14); он показывает, как далека система от критического состояния. В гл. 8 мы использовали разложение Тейлора для оператора $L$ вблизи $\partial / \partial x$ и $\partial / \partial t$, которое нам сейчас понадобитея. Кроме того, мы выполним еще одно разложение вблизи точки $\mu=\mu_{c}$. В результате получим
\[
\begin{aligned}
O(\varepsilon): \quad L \varphi^{(1)}= & 0, \\
O\left(\varepsilon^{2}\right): \quad L \varphi^{(2)}= & -\left(L_{1} \frac{\partial}{\partial T_{1}}-L_{2} \frac{\partial}{\partial \overline{X_{1}}}\right) \varphi^{(1)}+\left(M \varphi^{(1)}\right) \cdot\left(N \varphi^{(1)}\right), \\
O\left(\varepsilon^{3}\right): \quad L \varphi^{(3)}= & -\left(L_{1} \frac{\partial}{\partial T_{1}}+L_{2} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right) \varphi^{(2)}- \\
& -\frac{1}{2}\left\{L_{11} \frac{\partial}{\partial T^{2}}+2 L_{12} \frac{\partial^{2}}{\partial X_{1} \partial T_{1}}-L_{22} \frac{\partial^{2}}{\partial \bar{X}_{\mathrm{T}}^{1}}+\right. \\
& \left.+2 L_{1} \frac{\partial}{\partial T_{2}}+2 L_{2} \frac{\partial}{\partial \bar{X}_{2}} \pm R^{n}\left(k_{c}\right) L_{\mu}\right\} \varphi^{(1)}+
\end{aligned}
\]
†. нелинейные члены. ческую частоту и критическое волновое число, получаем из (9.2.2) следующее уравнение:
\[
L \varphi^{(2)}=-i\left(l_{\omega} \frac{\partial A}{\partial T_{1}}-l_{h} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right) b \exp \left(i \theta_{c}\right)+\text { c. c., }
\]

в котором применяются строчные буквы, когда $L, M$ и $N$ являются функциями от $k$ и $ю$.

Когда дисперсионное соотношение чисто вещественное, как в гл. 8, мы показали, что первые члены в (9.2.4) являются секулярными членами, наличие которых делает теорию возмущений несправедливой за конечное время. Разница между двумя категориями неустойчивости проявляется именно в этих членах. Сейчас нам необходимо определить, при каких условиях члены в правой части (9.2.4) дают секулярные члены в $\varphi^{(2)}$. Простейший путь к этому – рассмотреть скалярный вариант (9.2.4). Or ceкулярных членов можно избавиться с помощью двух условий: либо взять $\bar{X}=X-(d \omega / \partial k) T_{1}$, как в гл. 8, либо положить $l_{\omega}$ и $l_{k}$ равными нулю. Это последнее условие может возникнуть лишь в том случае, когда скалярное дисперсионное соотношение $l=0$ имеет двойной корень в критической точке по $ө$ и $k$. Эквивалентное множество условий в матричной форме для того, чтобы не было секулярных членов, представляется в виде $\partial(\operatorname{det} l$ ) $/ \partial \omega=$ $=0$ и $\partial(\operatorname{det} l) / d k=0$. Соотношение $\operatorname{det}(t)=0$ является матричным дисперсионным соотношением, эквивалентным $l=0$ в скалярном случае. Этот последний результат нетрудно доказать; для этого потребуются некоторые выкладки. Критерий двойного корня в дисперсионном соотношении является, очевидно, ключевым моментом в наших исследованиях, поскольку именно он разделяет наши неустойчивости на две категории разд. 1. Целесообразно каждый из этих случаев исследовать отдельно.
Категория I (диссипативная неустойчивость)
В разд. 9.1 мы рассмотрели только единственный комплексный корень
\[
\omega=\omega_{\mathrm{R}}+i \omega_{\mathrm{I}}
\]

который может появиться, когда имеется затухание (например, вязкость). В критической точке и всюду на нейтральной кривой $\omega_{\mathrm{I}}=0$, и позтому, вообще говоря, на нейтральной кривой появляются только простые корни. Математически допустимо иметь двойные корни, но с физической точки зрения это будет весьма патологический случай. Поскольку двойные корни отсутствуют, члены $l_{\omega}$ и $l_{k}$ в (9.2.4) порождают секулярные члены, которые подлежат удалению. Удаление секулярных членов можно произвести подобно тому, как это было сделано в предыдуцей главе, т. е. введением новой переменной $\bar{X}$ :
\[
\bar{X}=X_{1} \rightharpoonup\left(\frac{d \bar{\omega}}{d k}\right) T_{1},
\]

где $d \bar{\omega} / d k$ (групповая скорость) получается из дисперсионного соотношения и однозначна
\[
\frac{d}{d k}(\operatorname{det} l)=\left[\frac{\partial}{\partial k}+\left(\frac{d \omega}{d k}\right) \frac{\partial}{\partial \bar{\omega}}\right](\operatorname{det} l)=0 .
\]

Переменная $\bar{\omega}$ определена как $\bar{\omega}=\bar{\omega}(k)$, после чего мы имеем множество $\mu=R(k)$. Вводя новую переменную $\bar{X}$ в (9.2.3) и снова удаляя секулярные члены, мы находим, что получающееся амплитудное уравнение совпадает с (9.1.16):
\[
\frac{\partial A}{\partial T_{2}}= \pm \alpha_{1} A+\beta_{1} \frac{\partial^{2} A}{\partial \tilde{X}^{2}}+\gamma_{1} A|A|^{2},
\]

где для удобства мы изменили систему отсчета так, чтобы исключить переменную $X_{2}$. Для диссипативной системы оператор $L$ и его прозводные $L_{1}, L_{2}$ и т. д. будут содержать четные и нечетные члены по «переменным» $\partial / \partial x$ и $\partial / \partial t$ и, следовательно, коэффициенты $\alpha_{1}, \beta_{1}$ и $\gamma_{1}$ будут, вообще говоря, комплексными. Заметим, что система гл. 8, которая имела простые, но чисто вещественные корни дисперснонного соотношения, будет давать НЛШ-уравнение, в котором $\alpha_{1}, \beta_{1}$ и $\gamma_{1}$ будут чисто мнимыми. Уравнение (9.2.8) неинтегрируемо методом обратной задачи рассеяния, за исключением случая, когда $\alpha_{1}, \beta_{1}$ и $\gamma_{1}$ окажутся чисто мнимыми. В этом случае оно оказывается дисперсионным нелинейным волновым уравнением без диффузии (см. (6.1.1), а также примечания к разд. 9.1 и 9.2 ).
Қатегория II (дисперсионная иеустойчивость)
Эта вторая категория неустойчивости, как объяснялось в разд. 9.1, характеризуется появлением пар комплексно сопряженных корней
\[
\omega=\omega_{\mathrm{R}} \pm i \omega_{\mathrm{I}} .
\]

Всюду на нейтральной кривой имеем $\omega_{I}=0$, и поэтому дисперсионное соотношение имеет двойной корень ю на этой кривой, значит, $\partial(\operatorname{det} l) / d \omega=0$. Кроме того, имеем соотношение
\[
\left(\frac{\partial}{\partial k}+\frac{d \omega}{d k} \frac{\partial}{\partial \omega}+\frac{d R}{d k} \cdot \frac{\partial}{\partial R}\right) \operatorname{det} t=0,
\]

где $\omega$ в этом случае имеет вид $\omega=\omega(k, \mu)$ и, следовательно, $\partial(\operatorname{det} l) / d k=0$ только в том случае, если $d R(k) / d k=0$. Это выполняется только при минимуме, когда $k=k_{\mathrm{c}}$. Мы приходим поэтому к выводу, что $\partial A / \partial T_{1}$ нигде на нейтральной кривой не может быть источником секулярного члена, в то время как член $\partial A / \partial X_{1}$ является несекулярным только в критической точке. Если эти члены не делают георию возмущений несправедливой, то не обязательно вводить переменную $\bar{X}$, а $X_{1}$ и $T_{1}$ могут оставаться независимыми переменными. Уравнение (9.2.4), можно теперь проинтегрировать; тогда
\[
\begin{array}{r}
\boldsymbol{\varphi}^{(2)}=\left(\mathbf{a}_{1} \frac{\partial A}{\partial T_{1}}+\mathbf{a}_{\mathbf{2}} \frac{\partial A}{\partial X_{1}}\right) \exp \left(i \theta_{c}\right)+\mathbf{a}_{3} A^{2} \exp \left(2 i \theta_{c}\right)+\text { c. c. }+ \\
+\mathbf{D}\left(X_{\mathbf{1}}, T_{\mathbf{1}}\right) .
\end{array}
\]

Гармонические члены здесь появились из-за нелинейности, а вектор D — как постоянная интегрирования по отношению к быстрым переменным $x$ и $t$. Мы предполагаем, как в гл. 8, что $L$, $M$ и $N$ таковы, что в $A A^{*}$ нет секулярных членов, отброшеных B $(9.2 .4)$.

Мы остановимся лишь на главных моментах последней части вычислений, так как многие шаги очевидны, но аккуратное проведение доказательств заняло бы слишком много месга. Заметим сначала, что роль функции D важна. Поскольку D является функцией только от медленных переменных, она будет уничтожена операторными членами $L_{1}$ и $L_{2}$ в (9.2.3), если $L$ не содержит членов, которые являются первыми производиыми либо по пространству, либо по времени (таким образом, по крайней мере один элемент в $L$ содержит постоннную). В противном случае D сохраняегся. Медленные производные от D и медленные производные от $A A^{*}$ от нелинейностей теперь образуют второй тип секулярной формы, которая приводит к членам в $\varphi^{(3)}$, выраженным точно через $x$ и $t$ без экспонещт. Этот другой тип секулярных членов порождает амплитудное уравнение, которое является дифференциальным уравнением второго порядка по $T_{1}$ и $X_{1}$. Окончательный результат представляет собой объединение уравнений, которые мы назвали $A B$-уравненнями:
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{1} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right)\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{2} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right) A= \pm \alpha A-\beta A B, \\
\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{2} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right) B=\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{1} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right)|A|^{2} .
\end{array}
\]

Первое уравнение возникает из секулярных членов, содержащих $\exp \left(i \theta_{c}\right)$, а второе – из членов с $\mathbf{D}$, описанных выше. Функция $B$ появляется как подходяцая линейная комбинация элементов D. Скорости $c_{1}$ и $c_{2}$ – два значения групповой скорости падающей волны в критической точке. Дифференцирование (9.2.9) по $k$ и последующий переход к пределу $\mu \rightarrow R(k), k \rightarrow k_{\text {с }}$ показывают, что два различных значения групповой скорости получаются из-за двойных корней.
Дальнейшее полное дифференцирование (9.2.7) дает уравнение
\[
l_{k k}+2 \frac{d \bar{\omega}}{d k} l_{k \bar{\omega}}+\left(\frac{d \bar{\omega}}{d k}\right)^{2} l_{\bar{\omega} \bar{\omega}}+\left(\frac{d^{2} \overline{\bar{\omega}}}{d k^{2}}\right) l_{\bar{\omega}}=0 .
\]

Поскольку $l_{\hat{\Theta}}=0$, получается простое квадратное уравнение для групповой скорости, которое имеет два различных корня. Это и есть $c_{1}$ и $c_{2}$ в (9.2.12). Временна́я и пространствения производные в (9.2.3) будут разлагаться иа мпожители в точности такого вида. Затем, если необходимо, линейную комбинацяю элементов D можно взять такой, чтобы коэррициенты $\partial / \partial X_{\mathbf{1}}$-членов в (9.2.13) оказались равыми $c_{1}$ и $\mathcal{c}_{2}$. Член $\pm \alpha A$ вносится членом $\pm R^{\prime \prime}\left(k_{\mathrm{c}}\right) L_{\mathfrak{\mu}}$ в (9.2.3), причем положительный (отрицательный) знак относитея к нац (под)-критическому состоянию соответственно.

Появление или непоявление $B$ является решающим фактором в структуре уравнений. Примеры самоиндуцировачной прозрачности (СИГ) (обсуждались в разд. 9.3) и двухслойной модели бароклинной неустойчивости (обсуждались в разд. 9.4) суть случаи, когда оператор $L$ содержит первые производные. Уравиения типа $A B$ как раз появляотся в этих двух примерах. Однако если $L$ принимает такой вид, что D уничтожается операторами с быстрыми переменными, то нелинейность типа $A B$ не появляется. В этом случае секулярные члены второго типа, приводящие к уравнению (9.2.13), появиться не могут, и мы остаемся только
с одним уравнением
\[
\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{1} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right)\left(\frac{\partial}{\partial T_{1}}+c_{2} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\right) A= \pm \alpha_{2} A-\beta_{2} A|A|^{2} .
\]

Факторизация оператора, содержащего две различные групповые скорости, производится таким же образом, как в $A B$-уравнениях. Двухслойная модель Кельвина-Гельмгольца приводит к уравнениям (9.2.15), вычисления проведены Вейссманом [1979]. Однако этот пример мы здесь рассматривать не будем. Главная цель этого раздела состоит в том, чтобы выделить наиболее существенные элементы отличия между неустойчивостями категорий -I и категорий II. Қатегория I (диссипативная) действует на переменной $T_{2}=\varepsilon^{2} t$, в то время как категория II (дисперсионная) действует на переменной $T_{1}=\varepsilon t$ и приводит также к производным второго порядка по времени. Таким образом, задача Коши становится совершенно иной, а это значит, что при численном интегрировании для этих двух различных типов понадобятся, конечно, различные виды разностных схем.

Наш следующий раздел будет посвящен связи $A B$-уравнений, а следовательно, СГ-уравнений, с уравнениями МаксвеллаБлоха. Подробности того, как будут возникать подчеркнутые в этом разделе основные моменты, проявятся в ходе вычислений.