Цель этого раздела — детально изучить различия между примерами этой главы, дисперсионные соотношення которых имеют ненулевую мнимую часть, и примерами гл. 8, которые намеренно ограничивались вецественными дисперсионными соотношениями. Мы будем следовать идеям и обозначениям гл. 8 и предыдущего раздела и продолжим анализ, связанный с многомасштабными растяжениями. Напомним читателю, что мы применяем медленные пространственные и временны́е переменные $X_m={\mathit{e}}^{m}x;T_m=$ $={\epsilon }^{m}t(m=1,2,\dots )$. Малый параметр $\epsilon$ был определен в (9.1.14); он показывает, как далека система от критического состояния. В гл. 8 мы использовали разложение Тейлора для оператора $L$ вблизи $\partial /\partial x$ и $\partial /\partial t$, которое нам сейчас понадобитея. Кроме того, мы выполним еще одно разложение вблизи точки $\mu ={\mu }_c$. В результате получим
$$\begin{array}{rl}O(\epsilon ):L{\phi }^{(1)}=& 0,\\ O\left({\epsilon }^2\right):L{\phi }^{(2)}=& -(L_1\frac{\partial }{\partial T_1}-L_2\frac{\partial }{\partial \overline{X_1}}){\phi }^{(1)}+\left(M{\phi }^{(1)}\right)\cdot \left(N{\phi }^{(1)}\right),\\ O\left({\epsilon }^3\right):L{\phi }^{(3)}=& -(L_1\frac{\partial }{\partial T_1}+L_2\frac{\partial }{\partial X_1}){\phi }^{(2)}-\\ & -\frac{1}{2}\{L_{11}\frac{\partial }{\partial T^2}+2L_{12}\frac{{\partial }^2}{\partial X_1\partial T_1}-L_{22}\frac{{\partial }^2}{\partial {\overline{X}}_{\mathrm{T}}^1}+\\ & +2L_1\frac{\partial }{\partial T_2}+2L_2\frac{\partial }{\partial {\overline{X}}_2}\pm R^n\left(k_c\right)L_{\mu }\}{\phi }^{(1)}+\end{array}$$
†. нелинейные члены. ческую частоту и критическое волновое число, получаем из (9.2.2) следующее уравнение:
$$L{\phi }^{(2)}=-i(l_{\omega }\frac{\partial A}{\partial T_1}-l_h\frac{\partial }{\partial X_1})b\exp \left(i{\theta }_c\right)+\text{ c. c., }$$

в котором применяются строчные буквы, когда $L,M$ и $N$ являются функциями от $k$ и $ю$.

Когда дисперсионное соотношение чисто вещественное, как в гл. 8, мы показали, что первые члены в (9.2.4) являются секулярными членами, наличие которых делает теорию возмущений несправедливой за конечное время. Разница между двумя категориями неустойчивости проявляется именно в этих членах. Сейчас нам необходимо определить, при каких условиях члены в правой части (9.2.4) дают секулярные члены в ${\phi }^{(2)}$. Простейший путь к этому — рассмотреть скалярный вариант (9.2.4). Or ceкулярных членов можно избавиться с помощью двух условий: либо взять $\overline{X}=X-(d\omega /\partial k)T_1$, как в гл. 8, либо положить $l_{\omega }$ и $l_k$ равными нулю. Это последнее условие может возникнуть лишь в том случае, когда скалярное дисперсионное соотношение $l=0$ имеет двойной корень в критической точке по $ө$ и $k$. Эквивалентное множество условий в матричной форме для того, чтобы не было секулярных членов, представляется в виде $\partial (\det l$ ) $/\partial \omega =$ $=0$ и $\partial (\det l)/dk=0$. Соотношение $\det (t)=0$ является матричным дисперсионным соотношением, эквивалентным $l=0$ в скалярном случае. Этот последний результат нетрудно доказать; для этого потребуются некоторые выкладки. Критерий двойного корня в дисперсионном соотношении является, очевидно, ключевым моментом в наших исследованиях, поскольку именно он разделяет наши неустойчивости на две категории разд. 1. Целесообразно каждый из этих случаев исследовать отдельно.
Категория I (диссипативная неустойчивость)
В разд. 9.1 мы рассмотрели только единственный комплексный корень
$$\omega ={\omega }_{\mathrm{R}}+i{\omega }_{\mathrm{I}}$$

который может появиться, когда имеется затухание (например, вязкость). В критической точке и всюду на нейтральной кривой ${\omega }_{\mathrm{I}}=0$, и позтому, вообще говоря, на нейтральной кривой появляются только простые корни. Математически допустимо иметь двойные корни, но с физической точки зрения это будет весьма патологический случай. Поскольку двойные корни отсутствуют, члены $l_{\omega }$ и $l_k$ в (9.2.4) порождают секулярные члены, которые подлежат удалению. Удаление секулярных членов можно произвести подобно тому, как это было сделано в предыдуцей главе, т. е. введением новой переменной $\overline{X}$ :
$$\overline{X}=X_1\rightharpoonup \left(\frac{d\overline{\omega }}{dk}\right)T_1,$$

где $d\overline{\omega }/dk$ (групповая скорость) получается из дисперсионного соотношения и однозначна
$$\frac{d}{dk}(\det l)=[\frac{\partial }{\partial k}+\left(\frac{d\omega }{dk}\right)\frac{\partial }{\partial \overline{\omega }}](\det l)=0.$$

Переменная $\overline{\omega }$ определена как $\overline{\omega }=\overline{\omega }(k)$, после чего мы имеем множество $\mu =R(k)$. Вводя новую переменную $\overline{X}$ в (9.2.3) и снова удаляя секулярные члены, мы находим, что получающееся амплитудное уравнение совпадает с (9.1.16):
$$\frac{\partial A}{\partial T_2}=\pm {\alpha }_{1}A+{\beta }_1\frac{{\partial }^{2}A}{\partial {\tilde{X}}^2}+{\gamma }_{1}A|A{|}^2,$$

где для удобства мы изменили систему отсчета так, чтобы исключить переменную $X_2$. Для диссипативной системы оператор $L$ и его прозводные $L_1,L_2$ и т. д. будут содержать четные и нечетные члены по «переменным» $\partial /\partial x$ и $\partial /\partial t$ и, следовательно, коэффициенты ${\alpha }_1,{\beta }_1$ и ${\gamma }_1$ будут, вообще говоря, комплексными. Заметим, что система гл. 8, которая имела простые, но чисто вещественные корни дисперснонного соотношения, будет давать НЛШ-уравнение, в котором ${\alpha }_1,{\beta }_1$ и ${\gamma }_1$ будут чисто мнимыми. Уравнение (9.2.8) неинтегрируемо методом обратной задачи рассеяния, за исключением случая, когда ${\alpha }_1,{\beta }_1$ и ${\gamma }_1$ окажутся чисто мнимыми. В этом случае оно оказывается дисперсионным нелинейным волновым уравнением без диффузии (см. (6.1.1), а также примечания к разд. 9.1 и 9.2 ).
Қатегория II (дисперсионная иеустойчивость)
Эта вторая категория неустойчивости, как объяснялось в разд. 9.1, характеризуется появлением пар комплексно сопряженных корней
$$\omega ={\omega }_{\mathrm{R}}\pm i{\omega }_{\mathrm{I}}.$$

Всюду на нейтральной кривой имеем ${\omega }_I=0$, и поэтому дисперсионное соотношение имеет двойной корень ю на этой кривой, значит, $\partial (\det l)/d\omega =0$. Кроме того, имеем соотношение
$$(\frac{\partial }{\partial k}+\frac{d\omega }{dk}\frac{\partial }{\partial \omega }+\frac{dR}{dk}\cdot \frac{\partial }{\partial R})\det t=0,$$

где $\omega$ в этом случае имеет вид $\omega =\omega (k,\mu )$ и, следовательно, $\partial (\det l)/dk=0$ только в том случае, если $dR(k)/dk=0$. Это выполняется только при минимуме, когда $k=k_{\mathrm{c}}$. Мы приходим поэтому к выводу, что $\partial A/\partial T_1$ нигде на нейтральной кривой не может быть источником секулярного члена, в то время как член $\partial A/\partial X_1$ является несекулярным только в критической точке. Если эти члены не делают георию возмущений несправедливой, то не обязательно вводить переменную $\overline{X}$, а $X_1$ и $T_1$ могут оставаться независимыми переменными. Уравнение (9.2.4), можно теперь проинтегрировать; тогда
$$\begin{array}{r}{\mathit{\phi }}^{(2)}=({\mathbf{a}}_1\frac{\partial A}{\partial T_1}+{\mathbf{a}}_{\mathbf{2}}\frac{\partial A}{\partial X_1})\exp \left(i{\theta }_c\right)+{\mathbf{a}}_3{A}^2\exp \left(2i{\theta }_c\right)+\text{ c. c. }+\\ +\mathbf{D}(X_{\mathbf{1}},T_{\mathbf{1}}).\end{array}$$

Гармонические члены здесь появились из-за нелинейности, а вектор D — как постоянная интегрирования по отношению к быстрым переменным $x$ и $t$. Мы предполагаем, как в гл. 8, что $L$, $M$ и $N$ таковы, что в $A{A}^{\ast }$ нет секулярных членов, отброшеных B $(9.2.4)$.

Мы остановимся лишь на главных моментах последней части вычислений, так как многие шаги очевидны, но аккуратное проведение доказательств заняло бы слишком много месга. Заметим сначала, что роль функции D важна. Поскольку D является функцией только от медленных переменных, она будет уничтожена операторными членами $L_1$ и $L_2$ в (9.2.3), если $L$ не содержит членов, которые являются первыми производиыми либо по пространству, либо по времени (таким образом, по крайней мере один элемент в $L$ содержит постоннную). В противном случае D сохраняегся. Медленные производные от D и медленные производные от $A{A}^{\ast }$ от нелинейностей теперь образуют второй тип секулярной формы, которая приводит к членам в ${\phi }^{(3)}$, выраженным точно через $x$ и $t$ без экспонещт. Этот другой тип секулярных членов порождает амплитудное уравнение, которое является дифференциальным уравнением второго порядка по $T_1$ и $X_1$. Окончательный результат представляет собой объединение уравнений, которые мы назвали $AB$-уравненнями:
$$\begin{array}{c}(\frac{\partial }{\partial T_1}+c_1\frac{\partial }{\partial X_1})(\frac{\partial }{\partial T_1}+c_2\frac{\partial }{\partial X_1})A=\pm \alpha A-\beta AB,\\ (\frac{\partial }{\partial T_1}+c_2\frac{\partial }{\partial X_1})B=(\frac{\partial }{\partial T_1}+c_1\frac{\partial }{\partial X_1})|A{|}^2.\end{array}$$

Первое уравнение возникает из секулярных членов, содержащих $\exp \left(i{\theta }_c\right)$, а второе — из членов с $\mathbf{D}$, описанных выше. Функция $B$ появляется как подходяцая линейная комбинация элементов D. Скорости $c_1$ и $c_2$ — два значения групповой скорости падающей волны в критической точке. Дифференцирование (9.2.9) по $k$ и последующий переход к пределу $\mu \to R(k),k\to k_{\text{с }}$ показывают, что два различных значения групповой скорости получаются из-за двойных корней.
Дальнейшее полное дифференцирование (9.2.7) дает уравнение
$$l_{kk}+2\frac{d\overline{\omega }}{dk}{l}_{k\overline{\omega }}+{\left(\frac{d\overline{\omega }}{dk}\right)}^2{l}_{\overline{\omega }\overline{\omega }}+\left(\frac{d^2\bar{\overline{\omega }}}{d{k}^2}\right)l_{\overline{\omega }}=0.$$

Поскольку $l_{\hat{\mathrm{\Theta }}}=0$, получается простое квадратное уравнение для групповой скорости, которое имеет два различных корня. Это и есть $c_1$ и $c_2$ в (9.2.12). Временна́я и пространствения производные в (9.2.3) будут разлагаться иа мпожители в точности такого вида. Затем, если необходимо, линейную комбинацяю элементов D можно взять такой, чтобы коэррициенты $\partial /\partial X_{\mathbf{1}}$-членов в (9.2.13) оказались равыми $c_1$ и ${\mathcal{c}}_2$. Член $\pm \alpha A$ вносится членом $\pm R^{\prime \prime }\left(k_{\mathrm{c}}\right)L_{\mu }$ в (9.2.3), причем положительный (отрицательный) знак относитея к нац (под)-критическому состоянию соответственно.

Появление или непоявление $B$ является решающим фактором в структуре уравнений. Примеры самоиндуцировачной прозрачности (СИГ) (обсуждались в разд. 9.3) и двухслойной модели бароклинной неустойчивости (обсуждались в разд. 9.4) суть случаи, когда оператор $L$ содержит первые производные. Уравиения типа $AB$ как раз появляотся в этих двух примерах. Однако если $L$ принимает такой вид, что D уничтожается операторами с быстрыми переменными, то нелинейность типа $AB$ не появляется. В этом случае секулярные члены второго типа, приводящие к уравнению (9.2.13), появиться не могут, и мы остаемся только
с одним уравнением
$$(\frac{\partial }{\partial T_1}+c_1\frac{\partial }{\partial X_1})(\frac{\partial }{\partial T_1}+c_2\frac{\partial }{\partial X_1})A=\pm {\alpha }_{2}A-{\beta }_{2}A|A{|}^2.$$

Факторизация оператора, содержащего две различные групповые скорости, производится таким же образом, как в $AB$-уравнениях. Двухслойная модель Кельвина-Гельмгольца приводит к уравнениям (9.2.15), вычисления проведены Вейссманом [1979]. Однако этот пример мы здесь рассматривать не будем. Главная цель этого раздела состоит в том, чтобы выделить наиболее существенные элементы отличия между неустойчивостями категорий -I и категорий II. Қатегория I (диссипативная) действует на переменной $T_2={\epsilon }^{2}t$, в то время как категория II (дисперсионная) действует на переменной $T_1=\epsilon t$ и приводит также к производным второго порядка по времени. Таким образом, задача Коши становится совершенно иной, а это значит, что при численном интегрировании для этих двух различных типов понадобятся, конечно, различные виды разностных схем.

Наш следующий раздел будет посвящен связи $AB$-уравнений, а следовательно, СГ-уравнений, с уравнениями МаксвеллаБлоха. Подробности того, как будут возникать подчеркнутые в этом разделе основные моменты, проявятся в ходе вычислений.