Если предположить, что масса нашей упругой ленты сосредоточена вдоль одного ее края, то можно будет дискретнзировать массу вдоль этой кромки и заменить непрерывное распределение масс дискретным распределением единичных масс. Способность закручиваться является, очевндно, нанболее важным свойством такой системы, которую мы должны моделировать. Мы естественно приходнм к модели, сконструированной из $N$ маятников, связанных пружинками, момент кручения которых пропоршионален углу закрутки. Возвращающий момент кручения $\Gamma$, производнмый такой пружинкой, когда происходит поворот на угол $\theta$, связан с этим углом линейным соотношением $\Gamma=x \theta$, где $x-$ постоянная, называемая постоянной кручения пружин. На рис. 7.4 показана такая механическая аналогия. Если обозначить через $\varphi_{i}$ угол, образованный $i$-м маятником с нзправленным вниз отвесом, то угловая скорость $\omega_{i} i$-го маятника будет задаваться выражением $\dot{\varphi}_{i}$. Для совокупности идентичных маятников, обладающих одними и теми же моментами инерции $J$, уравнения движения Ньютона будут иметь вид
\[
\begin{array}{c}
J \dot{\omega}_{i}=\Gamma_{i} \text { (вклад момента кручения пружины) }+ \\
+\Gamma_{i} \text { (вклад силы тяжести). }
\end{array}
\]

Если все маятники имеют одну и ту же массу $M$, то момент кручения, созданный силой тяжести, дается формулой
\[
\Gamma_{i} \text { (вклад силы тяжести) }=-M d g \sin \varphi_{i},
\]

где $d$ — это расстояние от центра масс до центральной оси. Момент кручения $i$-го маятника, созданный пружинками, зависнт лишь от двух пружинок, расположенных по обе стороны от маятника.

Моменты, представляющие вклад пружинок, расположеных перед маятником и за ним, даются выражениями $x\left(\varphi_{i-1}-\varphi_{i}\right)$ и $x\left(\varphi_{i+1}-\right.$ — $\varphi_{i}$ ) соответственно. Тем самым мы приходнм к суммарному моменту, представляющему вклад этих пружинок:
$\Gamma_{i}$ (вклад момента кручения пружинок) $=x\left(\varphi_{i+1}-2 \varphi_{i}+\varphi_{i-1}\right)$,

и уравнение (7.1.1) записывается в виде
\[
J \ddot{\varphi}_{i}=x\left(\varphi_{i+1}-2 \varphi_{i}+\varphi_{i-1}\right)-K_{O} \sin \varphi_{t},
\]

Рис. 7.4.. Связанные между собой маятники.
где $K_{G}=M d g$. Уравнения (7.1.4) можно вывести из гамильтониана
\[
H(\mathbf{P}, \boldsymbol{\varphi})=\sum_{i=1}^{N}\left((1 / 2) J\left(P_{t}\right)^{2}+K_{O}\left(1-\cos \varphi_{i}\right)+(1 / 2) x\left(\varphi_{i}-\varphi_{i+1}\right)^{2}\right)
\]

с помощью уравнений движения Гамильтона
\[
\dot{\varphi}_{i}=\frac{\partial H}{\partial P_{i}}, \quad \dot{P}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial \varphi_{i}} .
\]

Решения-кинки, которыми мы интересуемся, представляют собой нелинейные собственные колебания этой дискретной динамической системы. Поскольку $\varphi_{i}$ есть отображение вида $\{1,2, \ldots, N\} \rightarrow S^{\mathbf{1}}$, наши топологические рассмотрения пока еще неприменимы,

Рис. 7.5 показывает смоделированную стробоскопическую фотографию возбужденного кинка, распространяющегося справа налево, в системе именно того тила, который мы только что олисали. Заметим, что кинк замедляется благодаря трению. Обратим внимание на одно обстоятельство, которое иллюстрируєт рис. 7.5. Эта система является в некотором смысле жсистемой с двумя устойчивыми состояниямн». В отличие от однночного маятника, для которого угол остается малым, маятники в описанной выше системе могут совершать полные вращения. Существуют две равновесные конфигурации, отвечающие $\varphi=0 \bmod (2 \pi)$ и
$\Phi=\pi \bmod (2 \pi)$, в зависимости от того, направлен ли маятник прямо вниз или вверх соответственно. Последнее состояние, очевидно, неустойчиво, в то время как первое устойчиво. Показанное движение состоит из серии переходов между этими двумя конфигурациями. Позже будет обнаружено, что уравнение СГ часто ассоциируется с такими квазибистабильными системами.

Для того чтобы получить непрерывную модель, для которой окажутся уместными наши топологические рассмотрения, следует в уравнениях (7.1.4) попытаться совершить иредельный переход. Если обозначить расстояние между соседними маятниками через $h$

Рис. 7.5. Одиночный кинк.
и положить $x=K h^{-2}$, то, допуская, что $h \rightarrow 0$, а $K$ остается конечным, мы приходим к следующему дифференциальному уравнению в частных производных:
\[
J_{\varphi, t t}=K \varphi, x x-K_{G} \sin \varphi .
\]

Нижние индексы после запятой означают частную производную. Если о помощью равенств
\[
T=\left(K_{G} / J\right)^{1 / 2} t, \quad X=\left(K_{G} / K\right)^{1 / 2} x
\]

ввести новые пространственные и временные переменные $X$ и $T$, то уравнение (7.1.7) можно свести к стандартному виду уравнения СГ:
\[
\varphi, r x-\varphi, x x+\sin \varphi=0 .
\]

Подходящие граничные условия для этого случая могут быть те же, что и для леңты:
\[
\varphi(t, 0)=\langle t, L)=0 \bmod (2 \pi),
\]

однако допустимы и другие возможности, скажем
\[
\varphi, x(t, 0)=\varphi, x(t, L)=0,
\]

в зависимости от конкретной ситуации, которую мы моделируем. Граничные условия (7.1.10) наиболее обычны для конечной ленты. Для бесконечной ленты естественно ввести граничные условия
\[
\varphi(t,-\infty)=\varphi\left(t_{s},+\infty\right)=0 \bmod (2 \pi) .
\]

По предыдущим главам мы уже знаем, что функция
\[
\varphi_{v}^{t}(x)=4 \operatorname{arctg}\left(\exp \pm \gamma\left(x-x_{0}+v t\right)\right),
\]

где $\gamma=\left(1-u^{2}\right)^{-1 / 2}$, есть решение-кинк, отвечающее граничным условиям (7.1.12) на бесконечной прямой. Эта функциональная форма подсказывает несколько более общее представление, которое может быть использовано для построения решений уравнения СГ с другими граничными условиями.
Если попытаться искать решения (7.1.9) в виде
\[
\varphi^{t}(x)=4 \operatorname{arctg}(f(x) g(t)),
\]

то можно убедиться в том, что функции $f$ и $g$ удовлетворяют уравнению
\[
\begin{array}{c}
\left(f^{\prime \prime} g-g^{\prime \prime} f\right)\left(1+f^{2} g^{2}\right)+2\left(\left(g^{\prime}\right)^{2} f^{3} g-\left(f^{\prime}\right)^{2} g^{s} f\right)= \\
=f g\left(1-f^{2} g^{2}\right) .
\end{array}
\]

Для того чтобы отыскать точные решения, следует разбить это уравнение на более простые, содержащие порознь $\dot{f}$ и $g$. Заметим, что в уравнении содержатся лишь степени $f$ и $g$, и это позволяет предположить, что решения $f$ и $g$ удовлетворяют отношениям вида
\[
\begin{aligned}
\left(f^{\prime}\right)^{2} & =A f^{4}+B f^{2}+C, \\
\left(g^{\prime}\right)^{2} & =D g^{4}+E g^{2}+F .
\end{aligned}
\]

Из последних уравнений мы получим, что
\[
\begin{array}{l}
f^{\prime \prime}=2 A f^{3}+B f, \\
g^{\prime \prime}=2 D g^{3}+E g .
\end{array}
\]

Полстановка выражений (7.1.16), (7.1.17) в уравнение (7.1.15) дает
\[
\begin{aligned}
2 f^{3} g(A+F)-2 g^{3} f & (C+D)+ \\
& +f g\left(1-f^{2} g^{2}\right)(B-E-1)=0 .
\end{aligned}
\]

Если мы положим $A=-F=\alpha, B=E+1=\beta$ и $C=-D=$ $=\gamma$, где $\alpha, \beta, \gamma$ суть постоянные, то мы получим подходящее решение, образованное любой парой функции $f$ и $g$, удовлетворяющих уравнениям
\[
\begin{aligned}
\left(f^{\prime}\right)^{2} & =\alpha f^{4}+\beta f^{2}-\gamma, \\
\left(g^{\prime}\right)^{2} & =\gamma g^{4}+(\beta-1) g^{2}-\alpha .
\end{aligned}
\]

Прежде чем определить точные решения (7.1.19), мы должны решить, каким граннчным условиям их подчинить. Мы выберем граничные условия (7.1.11), которые до сих пор в этой книге еще не рассматривались. Эти условия с необходимостью приводят к следующим условиям на функцию $f$ :
\[
f^{\prime}(0)=0=f^{\prime}(L) .
\]

Эллиптическая функция Якоби sп $(x, \lambda)$ определяется как решение уравнения
\[
\left(f^{\prime}\right)^{2}=\left(\lambda^{2} f^{4}-\left(\lambda^{2}+1\right) f^{2}+1\right)=\left(1-f^{2}\right)\left(1-\lambda^{2} f^{2}\right)
\]

с граничными условиями
\[
f(0)=0 ; \quad f^{\prime}(0)=1 .
\]

Постоянная $\lambda$ называется модулем эллиптической функции; $0<$ $<\lambda<1$.

С эллиптической функцией sп $(x, \lambda)$ ассоциируются две функции cn $(x, \lambda)$ и $\mathrm{dn}(x, \lambda)$, определенные алгебраическими соотношениями
\[
\mathrm{cn}^{2}(x, \lambda)=1-\mathrm{sn}^{2}(x, \lambda) ; \quad \mathrm{dn}^{2}(x, \lambda)=1-\lambda^{2} \operatorname{sn}^{2}(x, \lambda) .
\]

Как легко показать, функция сп $(x, \lambda)$ удовлетворяет уравнению
\[
\left(f^{\prime}\right)^{2}=\left(1-\lambda^{2}\right)+\left(2 \lambda^{2}-1\right) f^{2}-\lambda^{2} f^{4}
\]

с граничными условиями
\[
f(0)=1, f^{\prime}(0)=0 .
\]

Имея в виду выполнение наших граничных условий (7.I.20), уместно для построения решения остановиться на функцин сn $(x, \lambda)$, записав решение в виде
\[
f=A \operatorname{cn}\left(\kappa x, \lambda_{f}\right), \quad g=\operatorname{cn}\left(\Omega t, \lambda_{g}\right),
\]

где предполагается, что $A, x, \Omega, \lambda_{f}$ и $\lambda_{g}$ удовлетворяют уравнениям
\[
\begin{array}{c}
A^{2} x^{2}\left(1-\lambda_{f}^{2}\right)=\alpha=\lambda_{g}^{2} \Omega^{2}, \\
\Omega^{2}\left(1-\lambda_{g}^{2}\right)=\gamma=A^{-2} \varkappa^{2} \lambda_{f}^{2}, \\
1+\Omega^{2}\left(2 \lambda_{g}^{2}-1\right)=\beta=\boldsymbol{x}^{2}\left(2 \lambda_{f}^{2}-1\right) .
\end{array}
\]

Из этих уравнений можно выразить модули $\lambda_{f}$ и $\lambda_{g}$ через $A, x$ и $\Omega$ следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{f}^{2}=A^{2}\left(1+A^{2}\right)^{-1} \varkappa^{-2}\left(\chi^{2}\left(1+A^{2}\right)+1\right), \\
\lambda_{g}^{2}=A^{2}\left(1+A^{2}\right)^{-1} \Omega^{-2}\left(\Omega^{2}\left(1+A^{2}\right)+1\right) .
\end{array}
\]

Мы получим также соотношение
\[
\left(\Omega^{2}-\kappa^{2}\right)=\left(1-A^{2}\right)\left(1+A^{2}\right)^{-1},
\]

которее представляет собой некую разновидность дисперсионного соотношения, аналогичного рассмотренному в гл. 1.

Телерь на это решение нужно наложить граничные условия (7.1.20). Функция сп $(x, \lambda)$ периодична с периодом $4 K(\lambda)$, где
\[
K(\lambda)=\int_{0}^{1} d y\left(1-y^{2}\right)^{-1 / 2}\left(1-\lambda^{2} y^{2}\right)^{-1 / 2} .
\]

Функция ( $\mathrm{cn}(x, \lambda))^{\prime}$ также является периодической с нулями, расположенными в точках $2 n K(\lambda)$, где $n$ пробегает множество всех целых чисел. Поэтому граннчные условия, которым должна удовлетворять функция $f$ вида (7.1.26), требуют, чтобы волновое число $x$ принимало лишь значения $x_{n}$, задаваемые формулой
\[
x_{n}=2 n L^{-1} K\left(\lambda_{f}\right) .
\]

Итак, окончательное решение, которое мы получили, имеет следующий вид:
\[
\varphi_{n}=4 \operatorname{arctg}\left(A \operatorname{cn}\left(2 n K\left(\lambda_{f}\right) L^{-1} x, \lambda_{f}\right) \operatorname{cn}\left(\Omega_{n} t, \lambda_{g}\right)\right),
\]

Рис. 7.6 .
где $\Omega_{n}^{2}=4 K\left(\lambda_{f}\right) L^{-2} n^{2}+\left(1-A^{2}\right)\left(1+A^{3}\right)^{-1}$. На рис. 7.6 показано это периодическое решение. Его интересной особенностью является то обстоятельство, что в пределе стремящейся к нулю амплитуды $A$ одновременно $\lambda_{f}$ и $\lambda_{g}$ также стремятся к нулю, и решение принимает предельную форму
\[
\varphi_{n} \sim \cos (n \pi x / L) \cos \Omega t,
\]

где $\Omega^{2}=n^{2} \pi^{2} L^{-2}+1$. Последнее равенство представляет собой попросту дисперсконное соотношение для уравнений Клейна Гордона, получающихся в результате линеаризации уравнения СГ. Мы указываем на это для того, чтобы подчеркнуть взгляд на такие решения, как на нелинейные собственные колебания системы.