Если предположить, что масса нашей упругой ленты сосредоточена вдоль одного ее края, то можно будет дискретнзировать массу вдоль этой кромки и заменить непрерывное распределение масс дискретным распределением единичных масс. Способность закручиваться является, очевндно, нанболее важным свойством такой системы, которую мы должны моделировать. Мы естественно приходнм к модели, сконструированной из $N$ маятников, связанных пружинками, момент кручения которых пропоршионален углу закрутки. Возвращающий момент кручения $\mathrm{\Gamma }$, производнмый такой пружинкой, когда происходит поворот на угол $\theta$, связан с этим углом линейным соотношением $\mathrm{\Gamma }=x\theta$, где $x-$ постоянная, называемая постоянной кручения пружин. На рис. 7.4 показана такая механическая аналогия. Если обозначить через ${\phi }_i$ угол, образованный $i$-м маятником с нзправленным вниз отвесом, то угловая скорость ${\omega }_{i}i$-го маятника будет задаваться выражением ${\dot{\phi }}_i$. Для совокупности идентичных маятников, обладающих одними и теми же моментами инерции $J$, уравнения движения Ньютона будут иметь вид
$$\begin{array}{c}J{\dot{\omega }}_i={\mathrm{\Gamma }}_i\text{ (вклад момента кручения пружины) }+\\ +{\mathrm{\Gamma }}_i\text{ (вклад силы тяжести). }\end{array}$$

Если все маятники имеют одну и ту же массу $M$, то момент кручения, созданный силой тяжести, дается формулой
$${\mathrm{\Gamma }}_i\text{ (вклад силы тяжести) }=-Mdg\sin {\phi }_i,$$

где $d$ — это расстояние от центра масс до центральной оси. Момент кручения $i$-го маятника, созданный пружинками, зависнт лишь от двух пружинок, расположенных по обе стороны от маятника.

Моменты, представляющие вклад пружинок, расположеных перед маятником и за ним, даются выражениями $x({\phi }_{i-1}-{\phi }_i)$ и $x({\phi }_{i+1}-$ — ${\phi }_i$ ) соответственно. Тем самым мы приходнм к суммарному моменту, представляющему вклад этих пружинок:
${\mathrm{\Gamma }}_i$ (вклад момента кручения пружинок) $=x({\phi }_{i+1}-2{\phi }_i+{\phi }_{i-1})$,

и уравнение (7.1.1) записывается в виде
$$J{\ddot{\phi }}_i=x({\phi }_{i+1}-2{\phi }_i+{\phi }_{i-1})-K_O\sin {\phi }_t,$$

Рис. 7.4.. Связанные между собой маятники.
где $K_G=Mdg$. Уравнения (7.1.4) можно вывести из гамильтониана
$$H(\mathbf{P},\mathit{\phi })=\sum _{i=1}^N((1/2)J{\left(P_t\right)}^2+K_O(1-\cos {\phi }_i)+(1/2)x{({\phi }_i-{\phi }_{i+1})}^2)$$

с помощью уравнений движения Гамильтона
$${\dot{\phi }}_i=\frac{\partial H}{\partial P_i},{\dot{P}}_i=-\frac{\partial H}{\partial {\phi }_i}.$$

Решения-кинки, которыми мы интересуемся, представляют собой нелинейные собственные колебания этой дискретной динамической системы. Поскольку ${\phi }_i$ есть отображение вида $\{1,2,\dots ,N\}\to S^{\mathbf{1}}$, наши топологические рассмотрения пока еще неприменимы,

Рис. 7.5 показывает смоделированную стробоскопическую фотографию возбужденного кинка, распространяющегося справа налево, в системе именно того тила, который мы только что олисали. Заметим, что кинк замедляется благодаря трению. Обратим внимание на одно обстоятельство, которое иллюстрируєт рис. 7.5. Эта система является в некотором смысле жсистемой с двумя устойчивыми состояниямн». В отличие от однночного маятника, для которого угол остается малым, маятники в описанной выше системе могут совершать полные вращения. Существуют две равновесные конфигурации, отвечающие $\phi =0mod(2\pi )$ и
$\mathrm{\Phi }=\pi mod(2\pi )$, в зависимости от того, направлен ли маятник прямо вниз или вверх соответственно. Последнее состояние, очевидно, неустойчиво, в то время как первое устойчиво. Показанное движение состоит из серии переходов между этими двумя конфигурациями. Позже будет обнаружено, что уравнение СГ часто ассоциируется с такими квазибистабильными системами.

Для того чтобы получить непрерывную модель, для которой окажутся уместными наши топологические рассмотрения, следует в уравнениях (7.1.4) попытаться совершить иредельный переход. Если обозначить расстояние между соседними маятниками через $h$

Рис. 7.5. Одиночный кинк.
и положить $x=K{h}^{-2}$, то, допуская, что $h\to 0$, а $K$ остается конечным, мы приходим к следующему дифференциальному уравнению в частных производных:
$$J_{\phi ,tt}=K\phi ,xx-K_G\sin \phi .$$

Нижние индексы после запятой означают частную производную. Если о помощью равенств
$$T={\left(K_G/J\right)}^{1/2}t,X={\left(K_G/K\right)}^{1/2}x$$

ввести новые пространственные и временные переменные $X$ и $T$, то уравнение (7.1.7) можно свести к стандартному виду уравнения СГ:
$$\phi ,rx-\phi ,xx+\sin \phi =0.$$

Подходящие граничные условия для этого случая могут быть те же, что и для леңты:
$$\phi (t,0)=⟨t,L)=0mod(2\pi ),$$

однако допустимы и другие возможности, скажем
$$\phi ,x(t,0)=\phi ,x(t,L)=0,$$

в зависимости от конкретной ситуации, которую мы моделируем. Граничные условия (7.1.10) наиболее обычны для конечной ленты. Для бесконечной ленты естественно ввести граничные условия
$$\phi (t,-\mathrm{\infty })=\phi (t_s,+\mathrm{\infty })=0mod(2\pi ).$$

По предыдущим главам мы уже знаем, что функция
$${\phi }_v^t(x)=4\mathrm{arctg}(\exp \pm \gamma (x-x_0+vt)),$$

где $\gamma ={(1-u^2)}^{-1/2}$, есть решение-кинк, отвечающее граничным условиям (7.1.12) на бесконечной прямой. Эта функциональная форма подсказывает несколько более общее представление, которое может быть использовано для построения решений уравнения СГ с другими граничными условиями.
Если попытаться искать решения (7.1.9) в виде
$${\phi }^t(x)=4\mathrm{arctg}(f(x)g(t)),$$

то можно убедиться в том, что функции $f$ и $g$ удовлетворяют уравнению
$$\begin{array}{c}(f^{\prime \prime }g-g^{\prime \prime }f)(1+f^2{g}^2)+2({\left(g^{\prime }\right)}^2{f}^{3}g-{\left(f^{\prime }\right)}^2{g}^{s}f)=\\ =fg(1-f^2{g}^2).\end{array}$$

Для того чтобы отыскать точные решения, следует разбить это уравнение на более простые, содержащие порознь $\dot{f}$ и $g$. Заметим, что в уравнении содержатся лишь степени $f$ и $g$, и это позволяет предположить, что решения $f$ и $g$ удовлетворяют отношениям вида
$$\begin{array}{rl}{\left(f^{\prime }\right)}^2& =A{f}^4+B{f}^2+C,\\ {\left(g^{\prime }\right)}^2& =D{g}^4+E{g}^2+F.\end{array}$$

Из последних уравнений мы получим, что
$$\begin{array}{l}{f}^{\prime \prime }=2A{f}^3+Bf,\\ g^{\prime \prime }=2D{g}^3+Eg.\end{array}$$

Полстановка выражений (7.1.16), (7.1.17) в уравнение (7.1.15) дает
$$\begin{array}{rl}2f^{3}g(A+F)-2g^{3}f& (C+D)+\\ & +fg(1-f^2{g}^2)(B-E-1)=0.\end{array}$$

Если мы положим $A=-F=\alpha ,B=E+1=\beta$ и $C=-D=$ $=\gamma$, где $\alpha ,\beta ,\gamma$ суть постоянные, то мы получим подходящее решение, образованное любой парой функции $f$ и $g$, удовлетворяющих уравнениям
$$\begin{array}{rl}{\left(f^{\prime }\right)}^2& =\alpha f^4+\beta f^2-\gamma ,\\ {\left(g^{\prime }\right)}^2& =\gamma g^4+(\beta -1)g^2-\alpha .\end{array}$$

Прежде чем определить точные решения (7.1.19), мы должны решить, каким граннчным условиям их подчинить. Мы выберем граничные условия (7.1.11), которые до сих пор в этой книге еще не рассматривались. Эти условия с необходимостью приводят к следующим условиям на функцию $f$ :
$$f^{\prime }(0)=0=f^{\prime }(L).$$

Эллиптическая функция Якоби sп $(x,\lambda )$ определяется как решение уравнения
$${\left(f^{\prime }\right)}^2=({\lambda }^2{f}^4-({\lambda }^2+1)f^2+1)=(1-f^2)(1-{\lambda }^2{f}^2)$$

с граничными условиями
$$f(0)=0;f^{\prime }(0)=1.$$

Постоянная $\lambda$ называется модулем эллиптической функции; $0<$ $<\lambda <1$.

С эллиптической функцией sп $(x,\lambda )$ ассоциируются две функции cn $(x,\lambda )$ и $\mathrm{dn}(x,\lambda )$, определенные алгебраическими соотношениями
$${\mathrm{cn}}^2(x,\lambda )=1-{\mathrm{sn}}^2(x,\lambda );{\mathrm{dn}}^2(x,\lambda )=1-{\lambda }^2{\mathrm{sn}}^2(x,\lambda ).$$

Как легко показать, функция сп $(x,\lambda )$ удовлетворяет уравнению
$${\left(f^{\prime }\right)}^2=(1-{\lambda }^2)+(2{\lambda }^2-1)f^2-{\lambda }^2{f}^4$$

с граничными условиями
$$f(0)=1,f^{\prime }(0)=0.$$

Имея в виду выполнение наших граничных условий (7.I.20), уместно для построения решения остановиться на функцин сn $(x,\lambda )$, записав решение в виде
$$f=A\mathrm{cn}(\kappa x,{\lambda }_f),g=\mathrm{cn}(\mathrm{\Omega }t,{\lambda }_g),$$

где предполагается, что $A,x,\mathrm{\Omega },{\lambda }_f$ и ${\lambda }_g$ удовлетворяют уравнениям
$$\begin{array}{c}{A}^2{x}^2(1-{\lambda }_f^2)=\alpha ={\lambda }_g^2{\mathrm{\Omega }}^2,\\ {\mathrm{\Omega }}^2(1-{\lambda }_g^2)=\gamma =A^{-2}{\varkappa }^2{\lambda }_f^2,\\ 1+{\mathrm{\Omega }}^2(2{\lambda }_g^2-1)=\beta ={\mathit{x}}^2(2{\lambda }_f^2-1).\end{array}$$

Из этих уравнений можно выразить модули ${\lambda }_f$ и ${\lambda }_g$ через $A,x$ и $\mathrm{\Omega }$ следующим образом:
$$\begin{array}{l}{\lambda }_f^2=A^2{(1+A^2)}^{-1}{\varkappa }^{-2}({\chi }^2(1+A^2)+1),\\ {\lambda }_g^2=A^2{(1+A^2)}^{-1}{\mathrm{\Omega }}^{-2}({\mathrm{\Omega }}^2(1+A^2)+1).\end{array}$$

Мы получим также соотношение
$$({\mathrm{\Omega }}^2-{\kappa }^2)=(1-A^2){(1+A^2)}^{-1},$$

которее представляет собой некую разновидность дисперсионного соотношения, аналогичного рассмотренному в гл. 1.

Телерь на это решение нужно наложить граничные условия (7.1.20). Функция сп $(x,\lambda )$ периодична с периодом $4K(\lambda )$, где
$$K(\lambda )={\int }_0^{1}dy{(1-y^2)}^{-1/2}{(1-{\lambda }^2{y}^2)}^{-1/2}.$$

Функция ( $\mathrm{cn}(x,\lambda ){)}^{\prime }$ также является периодической с нулями, расположенными в точках $2nK(\lambda )$, где $n$ пробегает множество всех целых чисел. Поэтому граннчные условия, которым должна удовлетворять функция $f$ вида (7.1.26), требуют, чтобы волновое число $x$ принимало лишь значения $x_n$, задаваемые формулой
$$x_n=2n{L}^{-1}K\left({\lambda }_f\right).$$

Итак, окончательное решение, которое мы получили, имеет следующий вид:
$${\phi }_n=4\mathrm{arctg}\left(A\mathrm{cn}(2nK\left({\lambda }_f\right)L^{-1}x,{\lambda }_f)\mathrm{cn}({\mathrm{\Omega }}_{n}t,{\lambda }_g)\right),$$

Рис. 7.6 .
где ${\mathrm{\Omega }}_n^2=4K\left({\lambda }_f\right)L^{-2}{n}^2+(1-A^2){(1+A^3)}^{-1}$. На рис. 7.6 показано это периодическое решение. Его интересной особенностью является то обстоятельство, что в пределе стремящейся к нулю амплитуды $A$ одновременно ${\lambda }_f$ и ${\lambda }_g$ также стремятся к нулю, и решение принимает предельную форму
$${\phi }_n\sim \cos (n\pi x/L)\cos \mathrm{\Omega }t,$$

где ${\mathrm{\Omega }}^2=n^2{\pi }^2{L}^{-2}+1$. Последнее равенство представляет собой попросту дисперсконное соотношение для уравнений Клейна Гордона, получающихся в результате линеаризации уравнения СГ. Мы указываем на это для того, чтобы подчеркнуть взгляд на такие решения, как на нелинейные собственные колебания системы.