В последиих главах мы занимались техникой, необходимой для решения уравнения КдФ, показав, в частности, соответствие между солитонами и дискретным спектром потенциала квантового уравнения ІШрёдингера. Теперь мы обратимся к исследованию нескольких случаев, когда уравнение КдФ возникает как реалистическая модель, описывающая движение воли в такой среде, где оказываются существенными слабые нелинейные эффекты. В этой главе мы ограничимся только уравнением ҚдФ и его обобщениями для того, чтобы не прерывать изложения, начатого в предыдуших трех главах. В последующих главах аналогичным образом будут рассмотрены уравнения $\operatorname{sin-Гордон,~нелинейное~урав-~}$ нение IIрёдингера и другие связанные с ними уравнения, имеющие подобные свойства.

Здесь мы ограничимся четырьмя примерами, отчасти из-за недостатка места, отчасти из-за того, что разбираемые здесь примеры весьма типичны и для многих других ситуаций, в которых возникает уравнение КдФ. Подобные методы могут быть использованы при анализе других схожих примеров, которые будут упомянуты в конце этой главы.

Первый пример – самый простой, он возникает в физике плазмы, где уравнение ҚдФ описывает движение длинных волн сжатия в плазме холодных ионов и горячих электронов. Мы начинаем с этого примера, поскольку на нем, вероятно, проще всего продемонстрировать, как работает метод возмущений. Задача о волнах на мелкой воде занимает второе место в нашем изложении из-за ее громоздкости: чтобы доказать результат Кортевега и де Фриза 1895 г., потребуется некоторая предварительная работа по постановке задачи. Третий интересный случай взят из метеорологии; он встречается при изучении распространения нелинейных волн Россби в однородных вращающихся жидкостях. Этот случай немного отличается от предыдущих и имеет некоторую математическую привлекательность, заключающуюся в том, что в исходных уравнениях присутствует вторая пространственная переменная ( $y$ ) и коэффициенты окончательного уравнения КдФ находятся интегрированием по $y$. Последний, четвертый пример взят из теории электрических цепей, в которые входят нелинейные емкости. В результате получается обобщенное уравнение КдФ порядка $n$, нелинейно зависящее от емкости. Мы выбрали этот пример, с тем чтобы показать, каким образом в определенных обстоятельствах может возникнуть модифицированное уравненне КдФ.

Само по себе уравнение КдФ представляет собой просто одно скалярное уравнение, включающее одну зависимую переменную и две независимых, и поэтому оно имеет совсем простуюструктуру. Однако исходные уравнения движения большинства физических систем не столь просты и, вообще говоря, содержат несколько зависимых неременных. Например, механика жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса, которые содержат плотность жидкости $\rho(x, t)$, вектор скорости жидкости $\mathbf{v}(x, t)$ и, кроме того, возможно, несколько других переменных и уравнений состояния в зависимости от того, какие термодинамические соображения следует принимать в расчет. Нам нужна процедура, которая юоволила бы систематическим образом сводить такие множества уравнений к простейшим формам. Такие процедуры по своей природе обычно связаны с возмущениями и известны как редуктивная теория возмущений. Одной из полезных черт этой формы теории возмущений является то, что она позволяет естественным образом подходить к длинным волнам, т. е. считать длинными такие волны, длина которых много больше, чем характерная длина. Например, в цитате, приведенной в гл. 1, Скотт Расселл заметил, что уединенная волна, образовавшаяся из массы воды перед носом лодки, была около тридцати футов в длину и один-полтора фута в высоту – типичная длинная волна для такого канала. С математической точки зрения, чтобы ввести такой масштаб в исходные уравнения движения, мы должны сделать масштабные преобразования растяжения пространства и времени, с тем чтобы получить пространственные и временные переменные, подходящие для описания длинноволновых явлений. Такое преобразование позволяет выделить из системы нужные нам уравнения движения, описывающие реакцию системы в новых масштабах пространства и времени. Оказывается, что для большого класса дисперсионных (недиссипативных) систем именно уравнение КдФ описывает такое слабо нелинейное длинноволновое поведение. Этот процесс редукции не вполне однозначен, поскольку подходящий масштаб приходится выбирать с помощью опыта или интуиции. Процесс можно упростить, если с самого начала все переменные в задаче сделать безразмерными; это позволяет избавиться от некоторых неудобных физических констант в уравнениях. Затем все зависимые переменные представляются в виде суммы слагаемых, пропорциональных различным степеням параметра возмущения $\varepsilon$. Напрр имер,
\[
\begin{array}{c}
\rho=\rho^{(0)}+\varepsilon \rho^{(1)}+\boldsymbol{e}^{2} \rho^{(2)}, \\
\mathbf{v}=\varepsilon \mathbf{v}^{(1)}+\boldsymbol{e}^{2} \mathbf{v}^{(2)} .
\end{array}
\]

Наличие или отсутствие первого слагаемого обычно определяется граничными условиями. В большинстве случаев, например, плотность описывается отклонением от своего состояния равновесия, и поэтому $\rho \rightarrow \rho_{0}$ при $x \rightarrow \infty$, тогда как $v \rightarrow 0$. Выбор здесь сильно зависит от физической ситуации. Следующий шаг состоит в определении масштабного преобразования переменных $x$ и $t$. Если маситабное преобразование переменной $x$ уже сделано каким-то образом, тогда дисперсионное соотношение может дать информацию о том, как реагирует на это преобразование временна́я часть системы. Дисперсионное соотношение для гармонических волн можно легко найти из линеаризованного варианта исходной системы уравнений. Решения будут иметь вид ехр ( $i \theta$ ), где $\theta=k x-\omega(k) t$. Функция $\omega(k)$ удовлетворяет дисперсионному соотношению, где $k$– волновое число. Длинным волнам соответствует малое значение волнового числа $k$, т. е. большая длина волны. И хотя эти волны не являются гармоническими, мы можем использовать предельную форму дисперсионного соотношения, соответствующую длинноволновому пределу. Следовательно, мы пишем $k$ как $k=\varepsilon^{p} x$, где $x$ – новое волновое число порядка $O$ (1) и $p$ – некоторое неизвестное число, которое будет определено позже. Теперь $\theta(x, t)$ можно переписать в виде $\theta(x, t)=$ $=e^{p} x-\omega\left(\varepsilon^{p} x\right) t$. Мы рассматриваем только дисперсионные и недиссипативные системы, и поэтому разложение функции $\omega(k)$ в ряд Тейлора будет содержать либо только четные, либо только нечетные степени $k$. Чисто дисперсионные системы не могут содержать одновременно четные и нечетные степени. Примеры этой главы содержат только нечетные степени $k$, и, таким образом, первые два члена в разложении Тейлора дают $\omega(k)=\omega^{\prime}(0) \varepsilon^{p} x+$ $+(1 / 6) \omega^{\prime}(0) \varepsilon^{3 p} x^{3}$. Функцию $\theta$ можно теперь переписать так:
\[
\theta=x \varepsilon^{p}\left(x-\omega^{\prime}(0) t\right)-(1 / 6) x^{3} \varepsilon^{3 p_{0} \omega^{\prime \prime}}(0) t .
\]

Поскольку члены с первой и третьей производной от ю постоянны, то от одного из них можно избавиться, и тогда (5.1.3) даст естественные масштабные преобразования для $x$ и $t$ :
\[
\mathbf{\xi}=\mathrm{e}^{\rho}(x-a t) ; \quad \tau=\mathrm{e}^{3 p} t .
\]

Новые переменные ह и $\tau$ будут длинными в том смысле, что для ощутимого изменения новых переменных है и $\tau$ требуется значительное изменение старых переменных $x$ и $t$. Для определения величины $p$ (которая не обязана быть щелой) требуются дополнительные соображения, не всегда строгого характера. Когда основные уравнения разложены по степеням в и пространственная и временна́я переменные преобразованы так, как в (5.1.4), выбор величины $p$ часто становится очевидным. Интуитивно ясно, что если $p$ выбрано слишком большим, то производные по $\tau$ не будут встречаться в разложении до достаточно высоких порядков е.

Это может привести к тому, что многие зависимые переменные (такие, как некоторые производные $\rho^{(n)}$ и $v^{(n)}$ низких порядков) станут независимыми. Это нежелательно, потому что тогда для получения эволюционного уравнения пришлось бы рассматривать слагаемые высокого порядка в разложении по теории возмущений. В тех случаях, когда возникает уравнение КдФ, $p$ обычно оказывается равным $1 / 2$.

Процедуры, изложенные выше, в значительной степени эмпирические, и поскольку мы не намерены тратить слишком много времени на этот предмет, читателю, интересующемуся именно этим вопросом, рекомендуем обратиться к специальной литературе, например Найфэ [1974], Коул [1968] и Бендер и Орзаг [1978 ]. Множество более сложных примеров возникает в других разделах прикладной математики, где в различных областях пространства используются разные типы асимптотических разложений. Масштабирование пространственных и временной переменных в этих случаях тоже должно быть разным для разных областей. Поэтому возникает необходимость сшивать их на границах этих областей, Однако те четыре примера, которые рассматриваются в настоящей главе, гораздо проще и сводятея только к получению уравнения КдФ в качестве модельного уравнения, описывающего поведение длинных волн.