Метод аппрокснирующих функций относительно нов, и для митих приложний по-прежнему более популярным остается метод конечных разностей. В этом подходе мы ицем аппроксимапюю $u_{i n}^{t}$ псходной фуікции $u(x, t)$ в точках $x_{i n}, t_{n}$ на прямоугольной сетке в илоскости $x, t$, где $x-h n$, а $t=k n$. Разлагая знагения функций в узлах сетки в ряд Тейлора, мы получим аппрокеимацию дифререниианыны уравнений соответствуюшими алгебраческии соотношенияи между значениями входящих в уравнен!я переменных в узлах сетки. Предполагая, что выбрана некоторая нодходящая аппроксимиця $L_{m}^{n}$ для $L(u)$ в узле $(m, n)$, можно постронть разлиныс виды схем в зависимости от вида аппроксимаии пронзводной по времени. Две простых возможности выбора вместе с соответствуюцими расчетными схемами (Эйз |1977|) для уравнепия (10.2.1) приведены ниже.
\[
\begin{array}{l}
u_{m}^{n+1}-u_{m}^{n}=k L_{n}^{n}, \\
u_{m}^{n} \cdots u_{m}^{n-1}=k L_{m}^{n} .
\end{array}
\]

B эастном случае, когда $L u=a u_{x x}$. оиыния конечно-разиостная апнрокснация этого выражения имсет вниц
\[
L_{m}=\left(u_{m+1}^{n}-2 u_{m}^{n}+u_{m-1}^{n}\right) / h^{2} .
\]

Уравнения (10.2.10) и (10.2.11) известны как простая явная схсма и иростая неязная схема соответственно. Здесь слово «явшыӥ» означает, что значение перемснной на каждом $n+1$ шаге по времсни задается нспосредственно, в то время как слово «неявный» ознагает, что для нахождения значсния переменной в каждом узле сетки приходится на каждом шаге рсшать систему алгебраических уравнсний. Хотя, казалось бы, последний случай трсбуст больших затрат времсни счета, тем нс менее получающиеся уравнения имеют простую лснточную структуру, которая позволяст стронть очснь эффективные методы. Некоторые дополнительные затраты времени, связанные с неявными схемами, обычно уравновешиваются тем, что такие методы часто оказываются более устойчнвыми (см. нижс), и поэтому неявная схсма допускает более крупный шаг по времени.

Объединяя (10.2.10) на уровие $n$ и (10.2.11) на уровне $(n+1)$, мы получаем более точную схему Крэнка – Ннколсона, г. е. еще одну неявную схему:

С другой стороны, мы можем объедннить (10.2.10) и (10.2.11) на уровне $n$ и получить трехуровневую схему, так называемую схему с чередованием:

Можно предложить еще оцну перестановку, которая дает так называемую схему «классиков» ([урле [1971]). Эта полезная схема получается применением (10.2.10) для нечетных значений $(n+m)$ на $n$-м уровне по времени и (10.2.11) для четных значений $(n+m)$ на $(n+1)$-м уровне по времени. Эта хитроумиая комбинация делает (10.2.11) язной схемой, поскольку два из трех неизвестных вычисляютея на шаге схемы (10.2.10).

Представленные выше вычислительные схемы приведены для случая, когда $L$ – оператор второго порядка и для него применяются простейіпие разностиве схемы. Для более сложных случаев, например для уравиения КдФ, необходимы некоторые модификации. Кроме того, не все схемы независимы. Например, схема с чередованием (10.2.14) при некоторых обстоятельствах эквивалентна двум последовательным применениям схемы «классиков».

Отметим также гибридный метод, связанный с конечно-разностными схемами, так назьваемый кметод линий». По этой схсме дискретизируется лишь прострапствениая переменная, а получающая (большая) система обыкновенных дифференциальных уравнений решается с использованием пакета библиогечиы ирограмм. На первый взгляд этот метод представляется привлекательным и простым подходом к численному решению уравнений в частных производных. Однако неудачный выбор программы, решающсй обыкновенные дифференциальные уравнения, или сверхоптимистический порог допустимой погрешности могут привести к чрезмерным расходам машинного времени. Этот метод не дает экономиз усилий и ресурсов при численном решении задачи, и он должен применяться с известной осторожностью.

Погрешность дискрстизации для конечно-разностной схемы определяется как разность между дифференциальным уравнением в частных пронзводных и его конечно-разностной аппроксимацией. Если эту погрешность разложить в ряд Тейлора по $h$ и $k$, то можно будет определить порядок схемы как изший порядок входящих в это разложение членов с наименьими степенями по $h$ и $k$. Например, для схемы Крэнка – Николсопа этот порядок равен двум как по $h$, так и по $k$, поскольку погрешность метода в этом случае равна $O\left(h^{2}\right)+O\left(k^{2}\right)$.

Другой гибридный метод, дающий много большую точџюсть, чем метод линий, — это так называемый псевдоспектральнй метод. По этой схеме решение также вычисляется на пространственной сетке с использованием простой конечно-разностной схемы по временно́й переменной, но апгоксимации пространственных производных находятся с помоцью перехода к пространству фурье-образов, Прямое и обратное пребразование Фурье могут быть эффективно вычислены, если использовать алгоритм быстрого преобразования Фурьс (БПФ). Форнберг [1981] показал, что этот метод в некотором смысле эквивалентен конечно-разностной схеме с бесконечным порядком точности по пространственному шагу $h$.