1. Покажите, что
$$\phi =4\mathrm{arctg}\left\{Adn[\beta (x-x_0);{\lambda }_f]\mathrm{sn}[\mathrm{\Omega }(t-t_0);{\lambda }_g]\right\},$$

где
$$\begin{array}{l}{\lambda }_f=1-\{1-{\beta }^2(1+A^2)\}{\left\{{\beta }^2{A}^2(1+A^2)\right\}}^{-1},\\ {\lambda }_g=\left\{A^2[1-{\mathrm{\Omega }}^2(1+A^2)]\right\}{\left\{{\mathrm{\Omega }}^2(1+A^2)\right\}}^{-1}\end{array}$$

есть решение уравнения $СГ$ с граничными условиями
$${\phi }_x(0)=0={\phi }_x(l)$$

в предположении, что справедливо дисперсионное соотношение
$$\beta =A\mathrm{\Omega }.$$

Покажите, что граничные условия приводят к собственным значениям вида
$${\beta }_n=(n/l)K\left({\lambda }_f\right).$$

Выберите $\beta$ так, чтобы абсолютная величина ${\lambda }_f$ равнялась тождественно единице, и воспользуйтесь тождествами
$$\text{ dn }(x,1)=\mathrm{sech}x,\text{ sn }(x,0)=\sin x,$$

чтобы показать, что это решение есть обобщение бризерного решения на бесконечной прямой. Қакое получится решение, если $\beta$ выбрать так, чтобы ${\lambda }_f\equiv 0$ ?
2. Рассмотрим уравнение $\mathrm{C}\mathrm{\Gamma }$
$${\phi }_{tt}-{\phi }_{xx}+\sin \phi =0.$$

Для проверки устойчивости односолитонного решения этого уравнения мы линеаризуем уравнение (1), вводя новое поле $f$, определенное выражением
$$\phi =4\mathrm{arctg}\exp (x)+f(x)\exp (-i\omega t),$$

и удержим лишь члены первого порядка. Покажите, что это ведет к решению уравнения Шрёдингера
$$-f^{\prime \prime }+(1-{\mathrm{sech}}^{2}x)f={\omega }^{2}f.$$

Используя результаты гл. 2, покажите, что существует одно «связанное состояние» с нулевой энергией и волновой функцией
$$\text{ of }(x)=2\mathrm{sech}x$$

и что остающиеся собственные функции образуют континуум $c$ ${\omega }_k^2=k^2+1$ и имеют вид
$${}_{k}f(x)=(2\pi {)}^{-1/2}{\left({\omega }_k\right)}^{-1}(k-i\text{ th }x)\exp (ikx).$$

Солитонные решения нарушают трансляционную симметрию, и поэтому нулевую моду можно считать бозоном Голдстоуна.

Поскольку функции $f_b$ и $f_k$ являются собственными функциями самосопряженного оператора, то они удовлетворяют некоторым соотношениям ортогональности и полноты. Найдите эти соотношения.
Уравнение СГ часто появляется в модифицнрованном виде
$${\phi }_{tt}-{\phi }_{xx}+\sin \phi =F,$$

где $F$ — постоянная внешняя сила. Для малых $F$ это уравнение можно рассматривать как возмущение стандартного уравнения СГ. Предлоложим, что односолитонное решение свободного уравнения $СГ$ входит в область, где действуют эти возмущающие силы. Можно ожидать, что вид солитонного решения будет сохранен, но что его физические характеристики, скажем, скорость или ширина, изменятся. Рассмотрим начальное однокинковое решение и будем искать новое возмущенное решение в виде
$$\phi =4\mathrm{arctg}\exp (x-vt)+\psi (x,t).$$

Покажите, что в первом порядке поле $\psi$ будет удовлетворять уравнению
$${\psi }_{tt}-{\psi }_{xx}+(1-2{\mathrm{sech}}^{2}x)\psi =F.$$

Это уравнение можно решить, если применить преобразование Фурье по времени
$$\tilde{\psi }(z,\omega )=(2\pi {)}^{-1/2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (i\omega t)\psi (x,t)dt$$

и разложить $\overline{\varphi }(z,\omega )$ по полному набору функций (2) и (3):
$$\tilde{\psi }(z,\omega )={\psi }_b(\omega {)}_{b}f(x)+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}dk\mathrm{\Psi }(k,\omega )(kf(x)).$$

Решите уравнение (4).

3. Докажите, что топологический заряд, определенный формулой

может быть представлен в виде
$$Q[\phi ]=\frac{1}{{\mathrm{\Omega }}_{n-1}}\int d{x}^1\dots d{x}^{n-1}{\left(\det g_{ab}\right)}^{1/2}\det \partial y,$$

где $(y^1,\dots ,y^{n-1})$ — внутренние координаты на сфере и
$$g_{ab}=⟨\frac{\partial \phi }{\partial y^a},\frac{\partial \phi }{\partial y^b}⟩$$
— метрический тензор на $S^{n-1}$.
4. Элементарная частица в евклидовом пространстве $R^4$ с координатами ( $t,\mathbf{x}$ ) описывается отображением $\phi :R^4\to R^8$, имеющим в координатах вид ( $x_0,\mathbf{x})\to ({\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3)$. Вводя поле направлений $\mathrm{\Phi }:R^4\to S^2$, определенное формулой
$$\overline{\phi }=\phi /\Vert \phi \Vert \text{. }$$

мы можем определить для таких полей целозначный топологическнй заряд следующей формулой:

Вычислите топологические заряды следуюцих стационарных полей:
(i) ${\phi }^1=x^{1}f(x_1,x_2,x_8),{\phi }^2=x^{2}f(x_1,x_2,x_8)$,
$${\phi }^3=x^{3}f(x_1,x_2,x_3);$$
(ii)
$$\begin{array}{l}{\phi }^1=2x^{1}f(x_1,x_2,x_3),{\phi }^2=2x^{2}f(x_1,x_2,x_3),\\ {\phi }^3=(x_1^2,x_2^2,x_3^2-1)f(x_1,x_2,x_3);\end{array}$$
(iii)
$$\begin{array}{l}{\phi }^1=x^{1}f(x_1,x_2,x_3),{\phi }^2=x^2{x}^{3}f(x_1,x_2,x_3),\\ {\phi }^8=({\left(x^3\right)}^2-1)f(x_1,x_2,x_3).\end{array}$$

Найдите проекцию $\hat{\phi }$ на плоскость $x_1=0$ как вектор циркуляции ${}_2\hat{\phi }$. Изобразите векторное поле ${}_2\hat{\phi }$ вокруг сингулярных точек каждого из указанных выше полей, нарнсовав фазовый портрет системы обыкновенных дифференциальных уравнений в каждом из следующих случаев:
$${\dot{x}}_2={}_2{\hat{\phi }}^2(x_2,x_3),{\dot{x}}_3={}_2{\hat{\phi }}^3(x_2,x_8).$$

Постройте поле, имеющее заряд 3.
5. В упражнении 4 рассматривался частный случай отображения ${\mathbb{R}}^n\to S^{n-2}$ для $n=4$. Покажите, что если $\hat{\varphi }:{\mathbb{R}}^n\to S^{n-2}$

есть гладкое отображение всюду, за исключением конечного числа точек, то можно обобщить технику разд. 3 и доказать, что поток
$$\overline{J}=\frac{1}{(n-1)\mid {\mathrm{\Omega }}^{n-1}}{\mathbf{e}}^{a{c}_1}\dots {}^c{}_{n{\mathrm{E}}_{b_1{b}_2-b_n}}{\partial }_{c_1}{\hat{\phi }}^{b_1}{\partial }_{c_2}{\hat{\phi }}^{b_2}\dots {\partial }_{c_n}{\hat{\phi }}^{b_n}$$

является сохраняемой величиной. Для получения решения с конечным зарядом нужно, чтобы
$$\hat{\phi }\to {\hat{\phi }}_0\text{ при }|\mathbf{x}|\to \mathrm{\infty }.$$

где ${\hat{\phi }}_0$ — постоянная. Сохраняемый заряд можно тогда определить формулой
$$\overline{Q}[\hat{\mathrm{\Phi }}]=\int {\overline{J}}^{0}d{x}^{\prime }\cdot -d{x}^{\prime \prime },{\partial }_i\overline{Q}[\hat{\phi }]=0.$$

Покажите, что если отображение $t\hat{\phi }:S^{n-1}\to S^{n-1}$ определено формулой
$$i\tilde{\phi }(\hat{n})=\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}\hat{\phi }(t,r\hat{A}),$$

To
$$\overline{Q}[\hat{\mathrm{\Phi }}]=\mathrm{deg}(\tilde{\phi }).$$
6. Уравнение Додда-Буллафа представляет собой частный случай уравнений
$$\begin{array}{l}{\theta }_{xt}=e^{2\theta }-e^{-\theta }\cos 3\phi ,\\ {\phi }_{xt}=e^{-\theta }\sin 3\phi ,\end{array}$$

отвечающий $\phi =0$ (Форди и Гиббонс [1981]).
Непосредственно определяя бегущую волну в виде
$$\theta =\theta (x-vt),\phi =\phi (x-vt),$$

найдите односолитонное решение
$$\begin{array}{l}\theta =\frac{1}{2}\ln \left\{\frac{1+e^{3\eta }}{{(1+e^{\eta })}^3}\right\},\\ \phi =\mathrm{arctg}\left\{\frac{\sqrt{3}{e}^{\eta }}{2-e^{-\eta }}\right\},\end{array}$$

где $\eta =kx+3k^{-1}t$.
Покажите, что равенства
$$\begin{array}{rl}{\partial }_{\mathit{x}}({\bar{\mathit{\theta }}}^{(n)}-{\theta }^{(n+1)})& =-k\{\exp ({\theta }^{(n+1)}-{\overline{\theta }}^{(n+1)})-\exp ({\theta }^{(n)}-{\overline{\theta }}^{(n)})\},\\ {\partial }_{\mathit{t}}({\theta }^{(n)}-{\overline{\theta }}^{(n)})& =-k^{-1}\{\exp ({\overline{\theta }}^{(n)}-{\overline{\theta }}^{(n+1)})-\exp ({\overline{\theta }}^{(n-1)}-{\theta }^{(n)})\}\end{array}$$
(где ${\theta }^{(1)}=\theta +i\phi ,{\theta }^{(2)}=-2i\phi ,{\theta }^{(3)}=-\theta +i\phi$ и индексы берутся по $mod3$ ) определяют преобразование Бэклунда для уравнений (1) и (2). Воспользуйтесь ими для еще одного вывода формул (3) и (4).

Рассмотрим два преобразования Бэклунда. Одно из них с параметром $k_1$ переводит решение $(\theta ,\phi )$ в решение $(\overline{\theta },\overline{\varphi })$, другое — с параметром $k_2$ переводит то же самое решение в решение $(\hat{\theta },\hat{\phi })$. Если мы потребуем, чтобы те же самые преобразования переводили ( $\hat{\theta },\hat{\phi })$ и $(\overline{\theta },\overline{\phi })$ в одно и то же решение $(\tilde{\theta },\tilde{\phi })$ (перестановочность), мы получим обобщение формулы суперпозиции для уравнения СГ. В этом случае она принимает вид
$$\exp ({\theta }^{(n+1)}+{\overline{\theta }}^{(n)})=\left\{\frac{k_1\exp (-{\overline{\theta }}^{(n)})-k_2\exp (-{\hat{\theta }}^{(n)})}{k_1\exp (-{\overline{\theta }}^{(n+1)})-k_2\exp (-{\hat{\theta }}^{(n+1)})}\right\}\exp ({\overline{\theta }}^{(n)}+{\hat{\theta }}^{(n)}).$$

Примените этот результат для построения двухсолитонного решения уравнений (1) и (2).
7. Рассмотрим модель, описываемую тремя вещественными скалярными полями ${\phi }^{\prime }(i=1,2,3)$, для которых выполняются полевые уравнения
$$\begin{array}{c}{\phi }^i+⟨{\partial }_{\mu }\phi ,{\partial }^{\mu }\phi ⟩{\phi }^i=0,\\ ⟨\phi ,\phi ⟩=1.\end{array}$$
(a) Покажите, что параметризация
$$\phi =\left[\begin{array}{ll}\cos \beta & \sin \alpha \\ \sin \beta & \sin \alpha \\ \cos \alpha & \end{array}\right]$$

приводит полевые уравнения (1) и (2) к виду
$$\begin{array}{l}\alpha =\frac{1}{2}\sin 2\alpha {\partial }_{\mu }\beta {\partial }^{\mu }\beta ,\\ {\partial }^{\mu }({\sin }^2\alpha {\partial }_{\mu }\beta )=0.\end{array}$$
(б) Предполагая, что решение ищется в виде
$$\beta =\lambda \theta ,\alpha =\alpha (r),$$

где $r$ и $\theta$ — полярные координаты, покажите, что $\alpha$ удовлетворяет уравнению
$${\alpha }_{,rr}+r^{-1}{\alpha }_{,r}-\frac{{\lambda }^2}{2}{r}^{-2}\sin 2\alpha =0.$$
(в) Вводя новую переменную $z$, определенную равенством $r=$ $=\exp z{n}^{-1}$, покажите, что модель имеет решение вида
$$\phi =\mathrm{sgn}(n)\left[\begin{array}{ll}\left(\begin{array}{c}\cos n\theta \\ \sin n\theta \end{array}\right)& \frac{2r^n}{1+r^{2n}}\\ \frac{1-r^{2n}}{1+r^n}\end{array}\right].$$

(г) Покажите, что топологический заряд для этой модели принимает вид
$$Q[\phi ]=\frac{1}{4\pi }\int d^{2}x\sin \alpha \left|\frac{\partial (\alpha ,\beta )}{\partial (x_1,x_2)}\right|.$$
(e) Покажите, что $Q\left|{\phi }_{\mathbf{n}}\right|=n$.
8. Общий класс моделей, представляющий интерес в физике элементарных частиц и общей теории относительности, определяется полевыми уравнениями вида
$${\partial }^{\mu }\left({\partial }_{\mu }g{g}^{-1}\right)=0,\mu =0,1,2,3,$$

где $g$ — элемент группы матриц.
Введем в пространстве Минковского криволинейные координаты $(S,\theta ,\rho ,\psi )$, определенные равенствами
$$x=(s\times \mathrm{ch}\theta ,s\times \mathrm{sh}\theta ,\rho \cos \psi ,\rho \sin \psi ),$$

обобщающими полярные координаты в $R$.
Покажите, что если искать решения полевых уравнений (1) в виде функций, зависящих только от $s$ и $\rho$, то уравнение (1) сведется к виду
$${\left(g_s{g}^{-1}\right)}_s+s^{-1}{g}_s{g}^{-1}={\left(g_{\rho }{g}^{-1}\right)}_{\rho }+{\rho }^{-1}{g}_{\rho }{g}^{-1}.$$

Вводя новые переменные $r=s\rho$ и $t=(s^2+{\rho }^2)$, приведите это уравнение к виду
$${\left(g_t{g}^{-1}\right)}_t={\left(g_r{g}^{-1}\right)}_r+r^{-1}{g}_r{g}^{-1}.$$

Выбирая $g$ из группы унитарных матриц $2\times 2$, для которых $g^2=-I$, покажите, что этот элемент может быть записан в виде $g=i\sigma ,\mathbf{n}$, где $\mathbf{n}$ — единичный вектор в ${\mathbb{R}}^3$. Используя эту параметризацию, покажите, что полевые уравнения, которым удовлетворяет $n$, имеют вид
$${\mathbf{n}}_{tt}-r^{-1}{\left({\mathbf{n}}_r\right)}_r+({\mathbf{n}}_i^2-{\mathbf{n}}_r^2)\mathbf{n}=\mathbf{0}.$$

Это то же самое уравнение, которое получилось бы при отыскании радиально симметричных решений в пространстве Минковского уравнений Гейзенберга для ферромагнетиков с двумя пространственными переменными. Если $t$ взять чисто мнимым, мы получим обыкновенные евклидовы уравнения.
Покажите, что условия интегрируемости для линейной задачи
$$\begin{array}{c}[(\mu -{\mu }^{-1}){\partial }_r+(\mu +{\mu }^{-1})\mu /r{\partial }_{\mu }-g_t{g}^{-1}+{\mu }^{-1}{g}_r{g}^{-1}]\mathrm{\Psi }=0,\\ [\mu ({\partial }_r-\frac{\mu }{r}{\partial }_{\mu })+{\partial }_t-g_t{g}^{-1}]\mathrm{\Psi }=0\end{array}$$

в тоцности совпадают с уравнением (2). Это обобщенная обратная задача рассеяния для уравнения (2) того вида, о котором упоминалось в разд. 6.4. Ищите решение уравнений (3) и (4) в внде ряда
$$\mathrm{\Psi }=1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Psi }}_k(r,t){\mu }^{-k}$$

и, предполагая существование всех необходимых интегралов, покажите, что величины $Q_k$, определенные формулами
$$Q_k=\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^k{\mathrm{\Psi }}_k(r,t)$$

не зависят оr $t$. Тем самым вы докажете, что эта модель, подобно уравнению СГ, обладает бесконечным множеством нелокальных законов сохранения.
Покажите, qто первые две сохраняемые величины имеют вид
$$Q_1={\int }^{\mathrm{\infty }}{g}_t{g}^{-1}rdr,Q_2={\int }^{\mathrm{\infty }}{g}_t{g}^{-\mathbf{1}}{\int }^r{g}_t{g}^{-\mathbf{1}}{r}^{\prime }d{r}^{\prime }rdr.$$
9. Уравнения Богомольного $SU$ (2) принимают вид
$${\partial }_a{\mathbf{A}}_b-{\partial }_b{\mathbf{A}}_a+{\mathbf{A}}_a\times {\mathbf{A}}_b=-{\epsilon }_{abc}({\partial }_c{\mathbf{\Phi }}_c+{\mathbf{A}}_c\times \mathbf{\Phi }).$$

Покажите, что решения этого уравнения могут быть найдены в виде
$${\mathit{D}}_j=f(r)\frac{x_j}{r},{\left(A_j\right)}^k=-g(r){\epsilon }_{jkt}\frac{x}{r}t,$$
rде $f$ и $g$ удовлетворяют системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
$$\begin{array}{c}{\left(f{r}^{-1}\right)}^r+{\left(g{r}^{-1}\right)}^{\ast }=-r^{-1}g(g+f),\\ r{\left(g{r}^{-1}\right)}^{\prime }+fg=-r^{-1}(2g-f).\end{array}$$

Покажите, что эти уравнения можно упростить, если ввести в рассмотрение новые функции, определенные равенствами
$$F=f+r^{-1},G=g-r^{-1},$$

и уравнения (1) и (2) привести к виду
$$\begin{array}{l}{F}^{\prime }=-G^{\mathbf{a}},\\ G^{\prime }=-GF.\end{array}$$

Покажите, что из (3) и (4) следует соотношение
$$F^2-G^2=C^2,$$

где $C$ — постоянная, после чего получите решение (3) и (4) в виде
$$\begin{array}{l}F=C{\left\{\mathrm{th}\left(\frac{r-r_0}{C}\right)\right\}}^{-1},\\ G=C{\left\{\mathrm{sh}\left(\frac{r-r_0}{C}\right)\right\}}^{-1}.\end{array}$$

Если мы наложим граничные условия $F\to 1$ при $r\to \mathrm{\infty }$ и $F(0)=$ $=1$, то найденные нами решения окажутся монополями Прасада-Зоммерфельда, полученными в разд. 9 с помощью техники преобразований Бэклунда. Хотя этот путь много легче, он не дает информации о том, как определять мультимонопольные решения.