1. Покажите, что
\[
\varphi=4 \operatorname{arctg}\left\{A d n\left[\beta\left(x-x_{0}\right) ; \lambda_{f}\right] \operatorname{sn}\left[\Omega\left(t-t_{0}\right) ; \lambda_{g}\right]\right\},
\]
где
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{f}=1-\left\{1-\beta^{2}\left(1+A^{2}\right)\right\}\left\{\beta^{2} A^{2}\left(1+A^{2}\right)\right\}^{-1}, \\
\lambda_{g}=\left\{A^{2}\left[1-\Omega^{2}\left(1+A^{2}\right)\right]\right\}\left\{\Omega^{2}\left(1+A^{2}\right)\right\}^{-1}
\end{array}
\]
есть решение уравнения $С Г$ с граничными условиями
\[
\varphi_{x}(0)=0=\varphi_{x}(l)
\]
в предположении, что справедливо дисперсионное соотношение
\[
\beta=A \Omega .
\]
Покажите, что граничные условия приводят к собственным значениям вида
\[
\beta_{n}=(n / l) K\left(\lambda_{f}\right) .
\]
Выберите $\beta$ так, чтобы абсолютная величина $\lambda_{f}$ равнялась тождественно единице, и воспользуйтесь тождествами
\[
\text { dn }(x, 1)=\operatorname{sech} x, \text { sn }(x, 0)=\sin x,
\]
чтобы показать, что это решение есть обобщение бризерного решения на бесконечной прямой. Қакое получится решение, если $\beta$ выбрать так, чтобы $\lambda_{f} \equiv 0$ ?
2. Рассмотрим уравнение $\mathrm{C \Gamma}$
\[
\varphi_{t t}-\varphi_{x x}+\sin \varphi=0 .
\]
Для проверки устойчивости односолитонного решения этого уравнения мы линеаризуем уравнение (1), вводя новое поле $f$, определенное выражением
\[
\varphi=4 \operatorname{arctg} \exp (x)+f(x) \exp (-i \omega t),
\]
и удержим лишь члены первого порядка. Покажите, что это ведет к решению уравнения Шрёдингера
\[
-f^{\prime \prime}+\left(1-\operatorname{sech}^{2} x\right) f=\omega^{2} f .
\]
Используя результаты гл. 2, покажите, что существует одно «связанное состояние» с нулевой энергией и волновой функцией
\[
\text { of }(x)=2 \operatorname{sech} x
\]
и что остающиеся собственные функции образуют континуум $c$ $\omega_{k}^{2}=k^{2}+1$ и имеют вид
\[
{ }_{k} f(x)=(2 \pi)^{-1 / 2}\left(\omega_{k}\right)^{-1}(k-i \text { th } x) \exp (i k x) .
\]
Солитонные решения нарушают трансляционную симметрию, и поэтому нулевую моду можно считать бозоном Голдстоуна.
Поскольку функции $f_{b}$ и $f_{k}$ являются собственными функциями самосопряженного оператора, то они удовлетворяют некоторым соотношениям ортогональности и полноты. Найдите эти соотношения.
Уравнение СГ часто появляется в модифицнрованном виде
\[
\varphi_{t t}-\varphi_{x x}+\sin \varphi=F,
\]
где $F$ — постоянная внешняя сила. Для малых $F$ это уравнение можно рассматривать как возмущение стандартного уравнения СГ. Предлоложим, что односолитонное решение свободного уравнения $С Г$ входит в область, где действуют эти возмущающие силы. Можно ожидать, что вид солитонного решения будет сохранен, но что его физические характеристики, скажем, скорость или ширина, изменятся. Рассмотрим начальное однокинковое решение и будем искать новое возмущенное решение в виде
\[
\varphi=4 \operatorname{arctg} \exp (x-v t)+\psi(x, t) .
\]
Покажите, что в первом порядке поле $\psi$ будет удовлетворять уравнению
\[
\psi_{t t}-\psi_{x x}+\left(1-2 \operatorname{sech}^{2} x\right) \psi=F .
\]
Это уравнение можно решить, если применить преобразование Фурье по времени
\[
\tilde{\psi}(z, \omega)=(2 \pi)^{-1 / 2} \int_{-\infty}^{\infty} \exp (i \omega t) \psi(x, t) d t
\]
и разложить $\bar{\phi}(z, \omega)$ по полному набору функций (2) и (3):
\[
\tilde{\psi}(z, \omega)=\psi_{b}(\omega)_{b} f(x)+\int_{-\infty}^{\infty} d k \Psi(k, \omega)(k f(x)) .
\]
Решите уравнение (4).
3. Докажите, что топологический заряд, определенный формулой
может быть представлен в виде
\[
Q[\varphi]=\frac{1}{\Omega_{n-1}} \int d x^{1} \ldots d x^{n-1}\left(\operatorname{det} g_{a b}\right)^{1 / 2} \operatorname{det} \partial y,
\]
где $\left(y^{1}, \ldots, y^{n-1}\right)$ — внутренние координаты на сфере и
\[
g_{a b}=\left\langle\frac{\partial \varphi}{\partial y^{a}}, \frac{\partial \varphi}{\partial y^{b}}\right\rangle
\]
— метрический тензор на $S^{n-1}$.
4. Элементарная частица в евклидовом пространстве $R^{4}$ с координатами ( $t, \mathbf{x}$ ) описывается отображением $\varphi: R^{4} \rightarrow R^{8}$, имеющим в координатах вид ( $\left.x_{0}, \mathbf{x}\right) \rightarrow\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}\right)$. Вводя поле направлений $\Phi: R^{4} \rightarrow S^{2}$, определенное формулой
\[
\bar{\varphi}=\varphi /\|\varphi\| \text {. }
\]
мы можем определить для таких полей целозначный топологическнй заряд следующей формулой:
Вычислите топологические заряды следуюцих стационарных полей:
(i) $\varphi^{1}=x^{1} f\left(x_{1}, x_{2}, x_{8}\right), \quad \varphi^{2}=x^{2} f\left(x_{1}, x_{2}, x_{8}\right)$,
\[
\varphi^{3}=x^{3} f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) ;
\]
(ii)
\[
\begin{array}{l}
\varphi^{1}=2 x^{1} f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \quad \varphi^{2}=2 x^{2} f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \\
\varphi^{3}=\left(x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, x_{3}^{2}-1\right) f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) ;
\end{array}
\]
(iii)
\[
\begin{array}{l}
\varphi^{1}=x^{1} f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \quad \varphi^{2}=x^{2} x^{3} f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \\
\varphi^{8}=\left(\left(x^{3}\right)^{2}-1\right) f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) .
\end{array}
\]
Найдите проекцию $\hat{\varphi}$ на плоскость $x_{1}=0$ как вектор циркуляции ${ }_{2} \hat{\varphi}$. Изобразите векторное поле ${ }_{2} \hat{\varphi}$ вокруг сингулярных точек каждого из указанных выше полей, нарнсовав фазовый портрет системы обыкновенных дифференциальных уравнений в каждом из следующих случаев:
\[
\dot{x}_{2}={ }_{2} \hat{\varphi}^{2}\left(x_{2}, x_{3}\right), \quad \dot{x}_{3}={ }_{2} \hat{\varphi}^{3}\left(x_{2}, x_{8}\right) .
\]
Постройте поле, имеющее заряд 3.
5. В упражнении 4 рассматривался частный случай отображения $\mathbb{R}^{n} \rightarrow S^{n-2}$ для $n=4$. Покажите, что если $\hat{\phi}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow S^{n-2}$
есть гладкое отображение всюду, за исключением конечного числа точек, то можно обобщить технику разд. 3 и доказать, что поток
\[
\bar{J}=\frac{1}{(n-1) \mid \Omega^{n-1}} \mathbf{e}^{a c_{1}} \ldots{ }^{c}{ }_{n \mathrm{E}_{b_{1} b_{2}-b_{n}}} \partial_{c_{1}} \hat{\varphi}^{b_{1}} \partial_{c_{2}} \hat{\varphi}^{b_{2}} \ldots \partial_{c_{n}} \hat{\varphi}^{b_{n}}
\]
является сохраняемой величиной. Для получения решения с конечным зарядом нужно, чтобы
\[
\hat{\varphi} \rightarrow \hat{\varphi}_{0} \quad \text { при } \quad|\mathbf{x}| \rightarrow \infty .
\]
где $\hat{\varphi}_{0}$ — постоянная. Сохраняемый заряд можно тогда определить формулой
\[
\bar{Q}[\hat{\Phi}]=\int \bar{J}^{0} d x^{\prime} \cdot-d x^{\prime \prime}, \quad \partial_{i} \bar{Q}[\hat{\varphi}]=0 .
\]
Покажите, что если отображение $t \hat{\varphi}: S^{n-1} \rightarrow S^{n-1}$ определено формулой
\[
i \tilde{\varphi}(\hat{n})=\lim _{r \rightarrow \infty} \hat{\varphi}(t, r \hat{A}),
\]
To
\[
\bar{Q}[\widehat{\Phi}]=\operatorname{deg}(\tilde{\varphi}) .
\]
6. Уравнение Додда-Буллафа представляет собой частный случай уравнений
\[
\begin{array}{l}
\theta_{x t}=e^{2 \theta}-e^{-\theta} \cos 3 \varphi, \\
\varphi_{x t}=e^{-\theta} \sin 3 \varphi,
\end{array}
\]
отвечающий $\varphi=0$ (Форди и Гиббонс [1981]).
Непосредственно определяя бегущую волну в виде
\[
\theta=\theta(x-v t), \quad \varphi=\varphi(x-v t),
\]
найдите односолитонное решение
\[
\begin{array}{l}
\theta=\frac{1}{2} \ln \left\{\frac{1+e^{3 \eta}}{\left(1+e^{\eta}\right)^{3}}\right\}, \\
\varphi=\operatorname{arctg}\left\{\frac{\sqrt{3} e^{\eta}}{2-e^{-\eta}}\right\},
\end{array}
\]
где $\eta=k x+3 k^{-1} t$.
Покажите, что равенства
\[
\begin{aligned}
\partial_{\boldsymbol{x}}\left(\overline{\boldsymbol{\theta}}^{(n)}-\theta^{(n+1)}\right) & =-k\left\{\exp \left(\theta^{(n+1)}-\bar{\theta}^{(n+1)}\right)-\exp \left(\theta^{(n)}-\bar{\theta}^{(n)}\right)\right\}, \\
\partial_{\boldsymbol{t}}\left(\theta^{(n)}-\bar{\theta}^{(n)}\right) & =-k^{-1}\left\{\exp \left(\bar{\theta}^{(n)}-\bar{\theta}^{(n+1)}\right)-\exp \left(\bar{\theta}^{(n-1)}-\theta^{(n)}\right)\right\}
\end{aligned}
\]
(где $\theta^{(1)}=\theta+i \varphi, \theta^{(2)}=-2 i \varphi, \theta^{(3)}=-\theta+i \varphi$ и индексы берутся по $\bmod 3$ ) определяют преобразование Бэклунда для уравнений (1) и (2). Воспользуйтесь ими для еще одного вывода формул (3) и (4).
Рассмотрим два преобразования Бэклунда. Одно из них с параметром $k_{1}$ переводит решение $(\theta, \varphi)$ в решение $(\bar{\theta}, \bar{\phi})$, другое — с параметром $k_{2}$ переводит то же самое решение в решение $(\hat{\theta}, \hat{\varphi})$. Если мы потребуем, чтобы те же самые преобразования переводили ( $\hat{\theta}, \hat{\varphi})$ и $(\bar{\theta}, \bar{\varphi})$ в одно и то же решение $(\tilde{\theta}, \tilde{\varphi})$ (перестановочность), мы получим обобщение формулы суперпозиции для уравнения СГ. В этом случае она принимает вид
\[
\exp \left(\theta^{(n+1)}+\bar{\theta}^{(n)}\right)=\left\{\frac{k_{1} \exp \left(-\bar{\theta}^{(n)}\right)-k_{2} \exp \left(-\hat{\theta}^{(n)}\right)}{k_{1} \exp \left(-\bar{\theta}^{(n+1)}\right)-k_{2} \exp \left(-\hat{\theta}^{(n+1)}\right)}\right\} \exp \left(\bar{\theta}^{(n)}+\hat{\theta}^{(n)}\right) .
\]
Примените этот результат для построения двухсолитонного решения уравнений (1) и (2).
7. Рассмотрим модель, описываемую тремя вещественными скалярными полями $\varphi^{\prime}(i=1,2,3)$, для которых выполняются полевые уравнения
\[
\begin{array}{c}
\varphi^{i}+\left\langle\partial_{\mu} \varphi, \partial^{\mu} \varphi\right\rangle \varphi^{i}=0, \\
\langle\varphi, \varphi\rangle=1 .
\end{array}
\]
(a) Покажите, что параметризация
\[
\varphi=\left[\begin{array}{ll}
\cos \beta & \sin \alpha \\
\sin \beta & \sin \alpha \\
\cos \alpha &
\end{array}\right]
\]
приводит полевые уравнения (1) и (2) к виду
\[
\begin{array}{l}
\alpha=\frac{1}{2} \sin 2 \alpha \partial_{\mu} \beta \partial^{\mu} \beta, \\
\partial^{\mu}\left(\sin ^{2} \alpha \partial_{\mu} \beta\right)=0 .
\end{array}
\]
(б) Предполагая, что решение ищется в виде
\[
\beta=\lambda \theta, \quad \alpha=\alpha(r),
\]
где $r$ и $\theta$ — полярные координаты, покажите, что $\alpha$ удовлетворяет уравнению
\[
\alpha_{, r r}+r^{-1} \alpha_{, r}-\frac{\lambda^{2}}{2} r^{-2} \sin 2 \alpha=0 .
\]
(в) Вводя новую переменную $z$, определенную равенством $r=$ $=\exp z n^{-1}$, покажите, что модель имеет решение вида
\[
\varphi=\operatorname{sgn}(n)\left[\begin{array}{ll}
\left(\begin{array}{c}
\cos n \theta \\
\sin n \theta
\end{array}\right) & \frac{2 r^{n}}{1+r^{2 n}} \\
\frac{1-r^{2 n}}{1+r^{n}}
\end{array}\right] .
\]
(г) Покажите, что топологический заряд для этой модели принимает вид
\[
Q[\varphi]=\frac{1}{4 \pi} \int d^{2} x \sin \alpha\left|\frac{\partial(\alpha, \beta)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}\right)}\right| .
\]
(e) Покажите, что $Q\left|\varphi_{\mathbf{n}}\right|=n$.
8. Общий класс моделей, представляющий интерес в физике элементарных частиц и общей теории относительности, определяется полевыми уравнениями вида
\[
\partial^{\mu}\left(\partial_{\mu} g g^{-1}\right)=0, \quad \mu=0,1,2,3,
\]
где $g$ — элемент группы матриц.
Введем в пространстве Минковского криволинейные координаты $(S, \theta, \rho, \psi)$, определенные равенствами
\[
x=(s \times \operatorname{ch} \theta, s \times \operatorname{sh} \theta, \rho \cos \psi, \rho \sin \psi),
\]
обобщающими полярные координаты в $R$.
Покажите, что если искать решения полевых уравнений (1) в виде функций, зависящих только от $s$ и $\rho$, то уравнение (1) сведется к виду
\[
\left(g_{s} g^{-1}\right)_{s}+s^{-1} g_{s} g^{-1}=\left(g_{\rho} g^{-1}\right)_{\rho}+\rho^{-1} g_{\rho} g^{-1} .
\]
Вводя новые переменные $r=s \rho$ и $t=\left(s^{2}+\rho^{2}\right)$, приведите это уравнение к виду
\[
\left(g_{t} g^{-1}\right)_{t}=\left(g_{r} g^{-1}\right)_{r}+r^{-1} g_{r} g^{-1} .
\]
Выбирая $g$ из группы унитарных матриц $2 \times 2$, для которых $g^{2}=-I$, покажите, что этот элемент может быть записан в виде $g=i \sigma, \mathbf{n}$, где $\mathbf{n}$ — единичный вектор в $\mathbb{R}^{3}$. Используя эту параметризацию, покажите, что полевые уравнения, которым удовлетворяет $n$, имеют вид
\[
\mathbf{n}_{t t}-r^{-1}\left(\mathbf{n}_{r}\right)_{r}+\left(\mathbf{n}_{i}^{2}-\mathbf{n}_{r}^{2}\right) \mathbf{n}=\mathbf{0} .
\]
Это то же самое уравнение, которое получилось бы при отыскании радиально симметричных решений в пространстве Минковского уравнений Гейзенберга для ферромагнетиков с двумя пространственными переменными. Если $t$ взять чисто мнимым, мы получим обыкновенные евклидовы уравнения.
Покажите, что условия интегрируемости для линейной задачи
\[
\begin{array}{c}
{\left[\left(\mu-\mu^{-1}\right) \partial_{r}+\left(\mu+\mu^{-1}\right) \mu / r \partial_{\mu}-g_{t} g^{-1}+\mu^{-1} g_{r} g^{-1}\right] \Psi=0,} \\
{\left[\mu\left(\partial_{r}-\frac{\mu}{r} \partial_{\mu}\right)+\partial_{t}-g_{t} g^{-1}\right] \Psi=0}
\end{array}
\]
в тоцности совпадают с уравнением (2). Это обобщенная обратная задача рассеяния для уравнения (2) того вида, о котором упоминалось в разд. 6.4. Ищите решение уравнений (3) и (4) в внде ряда
\[
\Psi=1+\sum_{k=1}^{\infty} \Psi_{k}(r, t) \mu^{-k}
\]
и, предполагая существование всех необходимых интегралов, покажите, что величины $Q_{k}$, определенные формулами
\[
Q_{k}=\lim _{r \rightarrow \infty} r^{k} \Psi_{k}(r, t)
\]
не зависят оr $t$. Тем самым вы докажете, что эта модель, подобно уравнению СГ, обладает бесконечным множеством нелокальных законов сохранения.
Покажите, qто первые две сохраняемые величины имеют вид
\[
Q_{1}=\int^{\infty} g_{t} g^{-1} r d r, \quad Q_{2}=\int^{\infty} g_{t} g^{-\mathbf{1}} \int^{r} g_{t} g^{-\mathbf{1}} r^{\prime} d r^{\prime} r d r .
\]
9. Уравнения Богомольного $S U$ (2) принимают вид
\[
\partial_{a} \mathbf{A}_{b}-\partial_{b} \mathbf{A}_{a}+\mathbf{A}_{a} \times \mathbf{A}_{b}=-\varepsilon_{a b c}\left(\partial_{c} \boldsymbol{\Phi}_{c}+\mathbf{A}_{c} \times \boldsymbol{\Phi}\right) .
\]
Покажите, что решения этого уравнения могут быть найдены в виде
\[
\boldsymbol{D}_{j}=f(r) \frac{x_{j}}{r}, \quad\left(A_{j}\right)^{k}=-g(r) \varepsilon_{j k t} \frac{x}{r} t,
\]
rде $f$ и $g$ удовлетворяют системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\left(f r^{-1}\right)^{r}+\left(g r^{-1}\right)^{*}=-r^{-1} g(g+f), \\
r\left(g r^{-1}\right)^{\prime}+f g=-r^{-1}(2 g-f) .
\end{array}
\]
Покажите, что эти уравнения можно упростить, если ввести в рассмотрение новые функции, определенные равенствами
\[
F=f+r^{-1}, \quad G=g-r^{-1},
\]
и уравнения (1) и (2) привести к виду
\[
\begin{array}{l}
F^{\prime}=-G^{\mathbf{a}}, \\
G^{\prime}=-G F .
\end{array}
\]
Покажите, что из (3) и (4) следует соотношение
\[
F^{2}-G^{2}=C^{2},
\]
где $C$ — постоянная, после чего получите решение (3) и (4) в виде
\[
\begin{array}{l}
F=C\left\{\operatorname{th}\left(\frac{r-r_{0}}{C}\right)\right\}^{-1}, \\
G=C\left\{\operatorname{sh}\left(\frac{r-r_{0}}{C}\right)\right\}^{-1} .
\end{array}
\]
Если мы наложим граничные условия $F \rightarrow 1$ при $r \rightarrow \infty$ и $F(0)=$ $=1$, то найденные нами решения окажутся монополями Прасада-Зоммерфельда, полученными в разд. 9 с помощью техники преобразований Бэклунда. Хотя этот путь много легче, он не дает информации о том, как определять мультимонопольные решения.
