Метод обратной задачи рассеяния и структура КдФ-уравнений остались бы чисто математическим курьезом, если бы нс было обнаружено, что этим методом могут быть решены и другие важные уравнения математической фнзики. В 1971 году своей фундамснтальной работой Захаров и Шабат показали, что нелинейное уравнение Шрёдингера
\[
i Q_{t}+2 Q|Q|^{2}+Q_{x x}=0
\]

для начальных условий, затухающих достаточно быстро при $|x| \rightarrow \infty$, также может быть проинтегрировано методом обратной задачи рассеяния. Найденная ими пара Лакса имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{L}_{1} \equiv i\left(\begin{array}{cc}
1+p & 0 \\
0 & 1+p
\end{array}\right)-\frac{\partial}{\partial x}-i\left(1-p^{2}\right)^{1 / 2}\left(\begin{array}{cc}
0 & -Q^{*} \\
Q & 0
\end{array}\right) \\
\mathbf{A}_{1} \equiv i p\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+i\left(\begin{array}{cc}
-(1-p)|Q|^{2} & \left(1-p^{2}\right)^{1 / 2} Q_{x}^{*} \\
\left(1-p^{2}\right)^{1 / 2} Q_{x} & (1+p)|Q|^{2}
\end{array}\right),
\end{array}
\]

где $\rho>0$. Здесь $\mathbf{L}_{1}$ – изоспектральный оператор, т. е. его собственные знатения не зависят от времени, если пара ( $\mathbf{L}_{1}, \mathbf{A}_{1}$ ) удовлетворяет уравнению Лакса
\[
\mathrm{L}_{\mathrm{It}}=\left[\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~L}_{\mathbf{1}}\right] .
\]

Непосредственная проверка показывает, что в этом случае уравнение (6.1.3) эквивалентно нелинейному уравнению Цірёдингера (6.1.1).
После преобразования собственных функций ( $Y_{1}$ ) оператора $\mathbf{L}_{1}$
\[
Y_{1}=\exp \left(-i k p^{-1} x\right)\left(\begin{array}{cc}
0 & (1-p)^{1 / 2} \\
(1+p)^{1 / 2} & 0
\end{array}\right) Y_{2}
\]

и растяжения собственных значений ( $\lambda$ ) этого оператора по формуле
\[
k=\lambda p\left(1-p^{2}\right)^{-1}
\]

пара Лакса (6.1.2) может быть заменена операторами
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{L}_{2}=i\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial x}-Q \\
-Q^{*}-\frac{\partial}{\partial x}
\end{array}\right), \\
{ }_{f} \mathbf{A}_{2} \equiv\left(\begin{array}{cc}
i|Q|^{2}-2 i k^{3} & i Q_{x}+2 Q k \\
i Q_{x}^{*}-2 Q^{*} k & -i|Q|^{3}+2 i k^{2}
\end{array}\right)+f(k)\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right),
\end{array}
\]

где $f(k)=i k\left(p+p^{-1}\right)$. При получении окончательной формулы (6.1.7) соотношение $\mathrm{L}_{2} y=k y$ было применено дважды для того, чтобы исключить производные по $x$ от собственных функций. Ясно, что мы пришли к семейству олераторов ${ }_{f} \mathbf{A}_{2}$, которое можно формально рассматривать как эволюционный оператор в уравпении Лакса, поскольку $\mathbf{L}_{2}$ коммутирует с диагональной матрицей, не зависящей от $x$. Замстим, что уравнешие Дакса линь формально можно считать справедиивым, поскольку ${ }_{f} \mathbf{A}_{2}$ зависит от собственной функции. Однако мы с легкостью можем обратить последний шаг на лути получения формулы (6.1.7) и записать её таким образом, чтобы соответствующий дифференциальный оператор или эволюционюе уравиение Лакса от собственной функции не зависели. Обратим внимание также на то обстолтельство, что опсратор $\mathrm{L}_{2}$ уже не является самосопряженным, так что анализ в этом и последующих разделах резко отличается от применяемого в обратной задаче рассеяпия цля изоспектрального уравнения Шрёдингера.

Принципиальюе паблюдение, сделанное Абловицем, Қаупом, Ньюэллом и Сигуром (АКНС) [1973], [1974 ], заключалось в том, что обратная задача, представленная соотношениями (6.1.6), (6.1.7), допускает обобщение слсдующего вида:
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{L} \equiv i\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial}{\partial x} & -Q(x, t) \\
R(x, t) & -\frac{\partial}{\partial x}
\end{array}\right) \\
{ }_{t} \mathbf{A} \equiv\left(\begin{array}{cc}
A(x, t, k) & B(x, t, k) \\
C(x, t, k) & -A(x, t, k)
\end{array}\right)+f(k) \mathbf{l} .
\end{array}
\]

Соответствующие этой паре нелинейные уравнения, порожденные формальны уравнением Лlакса, записываются следующим образом:
\[
\begin{aligned}
A_{x}-Q C+R B & =0, \\
Q_{i}-B_{x}-2 A Q+2 i k B & =0, \\
R_{t}-C_{x}+2 A R+2 i k C & =0 .
\end{aligned}
\]

Слособ получения некоторых других ассоциированных уравнений состоит в представлении функций $A, B$ и $C$ в виде многочленов от $k$ и решении уравнений (6.1.10) рекуррептным образом. Применяя этот метод, можно быстро обнаружить, что, кроме нелинейного уравнения Шрёдингера, с изоспектральным оператором (6.1.8) ассощиируются следующие важные уравнення. Модифицированное уравнение $K \partial \Phi Q_{t} \pm 6 Q^{2} Q_{x}+Q_{x x x}=0$ :
\[
\begin{array}{l}
A=-4 i k^{3} \pm 2 i Q^{2} ; \\
B=4 Q k^{2}+2 i Q_{x} k \pm 2 Q^{3}-Q_{x x} ; \\
C= \pm 4 Q k^{2} \pm 2 i Q_{x} k+2 Q^{3} \pm Q_{x x} ; \\
R= \pm Q .
\end{array}
\]

Уравнение $К \partial \Phi Q_{t}+6 Q Q_{x}+Q_{x x x}=0:$
\[
\begin{array}{l}
A=-4 i k^{8}+2 i Q-Q_{x} ; \\
B=4 Q k^{2}+2 i Q_{x} k-2 Q^{2}-Q_{x x} ; \\
C=-4 k^{2}+2 Q ; \\
R=-1 .
\end{array}
\]

Заметим также, что если в представление для функций включить обратные степени $k$, то снова получатся интегрируемые уравнения.
\[
\begin{array}{l}
A= \pm \frac{i}{4 k} \cos U ; \quad B= \pm \frac{i}{4 k} \sin U ; \quad C= \pm \frac{i}{4 k} \sin U ; \\
R=-Q=(1 / 2) U_{x} .
\end{array}
\]

В этом случае соответствующий эволюционный оператор в уравнении Лакса является интегральным огератором. Действительно, нетрудно показать, что он определяется формулой
\[
\mathbf{A}= \pm \frac{1}{4}\left(\begin{array}{ll}
I_{1} & I_{2} \\
I_{2} & I_{1}
\end{array}\right)
\]

где $I_{1} v(x)=\int^{\boldsymbol{x}} \cos [(1 / 2)(U(x)+U(y))] v(y) d y$ и $\quad I_{2} v(x)=\int^{x} \sin [(1 / 2)(U(x)+U(y))] v(y) d y$.
Для произвольного формального оператора A соответствующий оператор Лакса будет, вообе говоря, интегро-дифференциальным оператором. В большей части этого раздела мы не обращаем внимания на явную зависимость от $t$ всех фигурирующих здесь функций, так как применяемые здесь операции включают лишь интегрирование и дифференцирование по переменным $x$ и $k$ при фиксированном $t$.

Сейчас мы введем в рассмотрение гильбертово пространство $L_{(2)}^{2}(\mathbb{K})$ комплексных функций со значениями в $\mathbb{C}^{2}$, интегрируемых с квадратом на $\mathbb{R}$ по мере Јебега. Скалярное произведение в $L_{(2)}^{2}(\mathbb{R})$ определяется формулой
\[
\begin{array}{r}
\langle V, U\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\left(v_{1}(x) u_{1}^{*}(x)+v_{2}(x) u_{2}^{*}(x)\right) d x, \\
V, U \in L_{(2)}^{2}(\mathbb{E}) .
\end{array}
\]

Используя дифференциальный оператор (6.1.8), мы можем определить оператор, по-прежнему обозначаемый через $\mathrm{L}$, который действует в $L_{(2)}^{2}\left(\mathbb{F}^{\prime}\right)$. Потребуем, чтобы для $v \in D$ выполнялось соотиошение $\mathbf{L} v \in D_{\mathrm{L}}$. Необходимо, чтобы, как и в случае изоспектрального оператора Шрёдингера, функции $Q$ и $R$ не были чересчур сингулярны. Пока мы предположим, что они суммируемы на каждом конечном интервале. Гочыые ограничения на $Q$ и $R$, используемые в этой кннге, содержатся в теоремах 6.1 и 6.6 .

В оставшейся части этого раздела мы займемся прямой задачей рассеяния для оператора L в случае, когда ни одна из функций $R$ или $Q$ пе является постоянной. Случай $R$ – const сводится к изоспектральному оператору Шрёдингера, прямая задача для которого, когда $\mathbf{L}$ – дифференциальный $2 \times 2$-матричный оператор первого порядка, была рассмотрена в упражнениях к гл. 3 . И содержание, и ход изложения, которому мы следуем в этом разделе, в общих чертах соответствуют разд. 3.3, 3.4 и 3.5 , посвященным изоспектральному оператору Шрёдингера. Читателю можно посоветовать иметь в виду это обстоятельство при чтении нижеследующего материала как в силу его сжатости, так и для того, чтобы сравнить оба метода.
Решения Йоста для уравнения
\[
\mathbf{L} Y=k Y
\]

определяются граничными условиями
\[
\begin{array}{l}
\lim _{x \rightarrow \infty} e^{-i k x} \Psi(x, k)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right), \quad \lim _{x \rightarrow \infty} e^{i k x} \bar{\Phi}(x, k)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right), \\
\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{i k x} \Phi(x, k)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right), \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} e^{-i k x} \bar{\Psi}(x, k)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, они ведут себя асимптотически при $|x| \rightarrow \infty$ так же, как собственные функции задачи (6.1.13), где $R \equiv 0$, $Q \equiv 0$. Для нахождения условий, обеспечивающих существование и единственность этих рещений, а также возможность их аналитического продолжения на комллексные значения $k$, мы применим метод последовательных приближений для интегрального уравнения, равносильного дифференциальному уравненио (6.1.13) с граничными условиями (6.1.14). Мы получим, в частности, представление
\[
e^{-i k x} \psi(x, k)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)-\int_{x}^{\infty} \mathbf{P}(x, y, k) e^{-i k y} \psi(y, k) d y,
\]

где
\[
\mathbf{P}(x, y, k) \equiv e^{i k(y-x)}\left(\begin{array}{cc}
0 & e^{i k(y-x)} Q(y) \\
e^{-i k(g-x)} R(y) & 0
\end{array}\right) .
\]

Определяя $H(x, k)=\exp (-i k x) \psi(x, k)$, мы должны показать, что ряд
\[
H(x, k)=\sum_{j=0}^{\infty} H^{i}(x, k)
\]

сходится равномерно к функции $H(x, k)$. Члены этого ряда определяются рекуррентными соотношениями
\[
H^{0} \equiv\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)
\]

И
\[
H^{i}(x, k)=\int_{x}^{\infty} \mathbf{P}(x, y, k) H^{j-1}(y, k) d y, \quad j \geqslant 1 .
\]

Введем в рассмотрение нормы
\[
|Y(x)|=\left|y_{1}\left(x_{0}\right)\right|+\left|y_{2}\left(x_{0}\right)\right|
\]

и
\[
\left|\mathbf{P}\left(x_{1}, x_{0}, k\right)\right|=\sum_{i, j}^{2}\left|P_{i j}\left(x_{1}, x_{0}, k\right)\right|, \quad x_{1}, x_{0}, \in \mathbb{R} .
\]

Пусть $V \in L_{(2)}^{1}(R)$, так что интеграл $\int_{x}^{\infty}|V(y)| d y$ суцествует, хотя функция $V$ не обязательно принадлежит $L_{(2)}^{2}(\mathbb{R})$. Имеем тогда
\[
\begin{aligned}
\left|\int_{x}^{\infty} V(y) d y\right| & \leqslant\left|\int_{x}^{\infty} v_{1}(y) d y\right|+\left|\int_{x}^{\infty} v_{2}(y) d y\right| \leqslant \\
& \leqslant \int_{x}^{\infty}\left|v_{3}(y)\right| d y+\int_{x}^{\infty}\left|v_{2}(y)\right| d y= \\
& =\int_{x}^{\infty}|V(y)| d y .
\end{aligned}
\]

Мы имсем также оценку
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{P}\left(x_{1}, x_{0}, k\right) Y\left(x_{0}\right)|\leqslant| \mathbf{P}\left(x_{1}, x_{0}, k\right)|| Y\left(x_{0}\right) \mid= \\
=e^{\eta\left(x_{1}-x_{0}\right)}\left\{e^{\eta\left(x_{1}-x_{0}\right)}\left|Q\left(x_{0}\right)\right|+e^{-\eta\left(x_{1}-x_{0}\right)}\left|R\left(x_{0}\right)\right|\right\}\left|Y\left(x_{0}\right)\right|,
\end{array}
\]

где $\eta=: \operatorname{Im} k$. Полагал $P=(|Q|+|R|)$, мы получим из (6.1.18), что
\[
\begin{array}{r}
\left|H^{\prime}(x, k)\right| \leqslant \int_{x}^{\infty} P\left(y_{j}\right) e^{(\eta \cdots \mid \eta 1)\left(x-y_{j}\right)} \ldots \int_{y_{1}}^{\infty} P\left(y_{1}\right) e^{(\eta-|\eta|)\left(y_{2}-y_{1}\right)} \times \\
\times d y_{1} \ldots d y_{j} \quad(6.1 .22)
\end{array}
\]

Оценивая правую часть неравенства (6.1.22), мы найдем, что при Iп $k \geqslant 0$ справедливо неравенство
\[
\left|H^{i}(x, k)\right| \leqslant \frac{1}{i !}\left(\int_{x}^{\infty} P(y) d y\right)^{i}
\]

и, следовательно,
\[
|H(x, k)| \leqslant \exp \left\{\int_{x}^{\infty} P(y) d y\right\} .
\]

Положим
\[
S_{j}^{ \pm}(x)= \pm \int_{x}^{ \pm \infty}|y|^{\prime}(|Q(y)|+|R(y)|) d y
\]

и $S_{l}(\infty)=S_{j}^{+}(\infty), j \ldots 0,1, \ldots$.
Ясно, что в предположении $S_{0}(\infty)<\infty$ ряд (6.1.16) абсолютно и равномерно схопится лри $x \in \mathbb{R}$ и Im $k \geqslant 0$. Доказательство единственности получается стандартным образом, а равномерная сходимость ряда для $H$ обеспечивает аналитичность функцни $\psi(x, k)$ в верхней полуплоскости I $k>0$ и ее чепрерывность в замкнутой полуплоскости Im $k \geqslant 0$. Из (6.1.15) следует, что функции $H_{k}=\partial H / \partial k$ удовлетворяют уравнению $H_{k}(x, k)=-\int_{i}^{\infty} \mathbf{P}(x, y, k) H_{k}(y, k) d y-\int_{x}^{\infty} \mathbf{P}_{k}(x, y, k) H(y, k) d y$.

Если предположить, что $\left\{S_{0}(\infty), S_{1}(\infty)\right\}<\infty$ и воспользоваться неравенством
\[
\left|\mathbf{P}_{k}\right| \leqslant 2(y-x)(|Q|+|R|), \quad \operatorname{Im} k \geqslant 0, y \geqslant x,
\]

то легко показать, что существует постоянная $K$, такая что
\[
\left|\int_{z}^{\infty} \mathbf{P}_{k}(x, y, k) H(y, k) d y\right| \leqslant K\{1-\min (x, 0)\} .
\]

Если, пользуясь (6.1.26), записать итерационный ряд для $H_{k}(x, k)$ и оценить каждый член этого ряда с помощью (6.1.28), то получится следующая оценка:
\[
\left|H_{k}(x, k)\right| \leqslant K\{1-\min (x, 0)\} \exp S_{0}^{+}(x) .
\]

Итак, предполагая, что $S_{0}(\infty)<\infty$ и $S_{1}(\infty)<\infty$, из локальной равномерной сходимости ряда для $H_{k}(x, k)$ мы выводим, что функция $H_{k}(x, k)$ аналитична в области Iп $k>0$ и нелрерывна в области $1 \mathrm{~m} k \geqslant 0$. Повторяя эгот процесс, мы убеждаемся в том, что в предположении $S,(\infty)<\infty, j=0, \ldots, r$, $r$-я производная функции $\psi$ существует и непрерывна для вецественных значений $k$. Если предположить, что $S_{j}(\infty)<\infty$ для всех $j$, то можно заключить, что функция $\psi$ вецественно-апалитическая по $k$. Из доказательства существования функции $\psi$ следует также, что если функции $Q$ и $R$ имеют компактный носктель, то ф оказывается аналитической во всей комплексной $k$-плоскости. Аналогичные результаты легко получаются для других решений Йоста.

Теорема 6.1. B предподожении, что $S_{0}(\infty)<\infty$, изоспектральное операторное уравнение $\mathrm{L} y=k y$ имеет единственные решения, называемье решениями Иоста, которые удовлетворяют следуюцим интегральным урабнениям:
\[
\begin{array}{l}
\psi(x, k)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right) e^{t k x}-\int_{x}^{\infty} \mathbf{M}(x, y, k) \psi(y, k) d y, \\
\varphi(x, k)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right) e^{-i k x}+\int_{-\infty}^{\boldsymbol{x}} \mathbf{M}(x, y, k) \varphi(y, k) d y, \\
\bar{\psi}(x, k)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right) e^{-i k x}-\int_{x}^{\infty} \mathbf{M}(x, y, k) \bar{\phi}(y, k) d y, \\
\bar{\varphi}(x, k)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right) e^{-t k x}+\int_{-\infty}^{x} \mathbf{M}(x, y, k) \bar{\varphi}(y, k) d y,
\end{array}
\]
¿де
\[
\mathbf{M}(x, y, k)=\left(\begin{array}{cc}
0 & e^{-i k(x-y) Q(y)} \\
e^{i k(x-y)} R(y) & 0
\end{array}\right) .
\]

Для каждого $x \in \mathbb{R}$ решения $\varphi(x, k), \psi(x, k)$ непрерывны по $k$ в замкнутой полуплоскости $\operatorname{Im} k \geqslant 0$ и аиалитичны по $k$ в полуплоскости Im $k>0$. Если $S_{1}(\infty)<\infty$, то $\varphi_{k}(x, k)$ и $\psi_{k}(x, k)$ аналитичны в полуплоскости Im $k>0$ и непрерывны в замкнутой полуплоскости. Аналогитными свойствами обладают функции

$\bar{\Phi}(x, k), \bar{\psi}(x, k), \bar{\Psi}_{k}(x, k)$ и $\bar{\psi}_{k}(x, k)$ в I п $k \leqslant 0$. Эти ренения имеют равномерные асимптотические оценки вида
\[
\begin{array}{l}
\Psi(x, k)=e^{i k x}\left(\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)+o(1)\right), \quad \bar{\Phi}(x, k)=e^{-i k x}\left(\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+o(1)\right), \\
x \rightarrow+\infty, \\
\varphi(x, k)=e^{-i k x}\left(\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+o(1)\right), \bar{\Phi}(x, k)=e^{i k x}\left(\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)+o(1)\right),
\end{array}
\]
\[
x \rightarrow-\infty \text {. }
\]

Следствие 6.1.1. Для всех $x \in \mathbb{R} u$ любого $k$, такого что Im $k>0$, суцествует положительное число $C$, обеспенивающее справедливость неравенств
\[
|\varphi(x, k)| \leqslant C \exp (\eta x), \quad|\psi(x, k)| \leqslant C \exp (-\eta x) .
\]

Следствие 6.1.2. Если $Q$ и $R$ имеют компактный носитель, то решения Йоста аналитичны во всей комплексной плоскости $k$. В этом случае из уравнения (6.1.13) можно вывести следующее соотношение для вронскиана:
$W\left(k_{1} U, k_{1} V\right)\left(x_{0}\right)-W\left(k_{1} U, k_{2}, V\right)(x)=$
\[
=i\left(k_{2}-k_{1}\right) \int_{x}^{x_{0}}\left(u_{1}\left(y, k_{1}\right) v_{2}\left(y, k_{2}\right)+u_{2}\left(y, k_{1}\right) v_{1}\left(y, k_{2}\right)\right) d y .
\]

Это соотношение показывает, в частности, что вронскианы решений Йоста, вычисленные при одном и том же значении $k$, не завuсяm от $x$. По аналогии с разд. 3.3 мы можем ввести в рассмотрение функции рассеяния $a, \bar{a}, \bar{b} \bar{b}$ с помощью следующих вронскианов:
\[
\begin{array}{l}
W(\varphi, \psi)=a, \quad \operatorname{Im} k>0, \quad W(\bar{\psi}, \varphi) \equiv b, \quad \operatorname{Im} k=0, \\
W(\bar{\psi}, \bar{\varphi}) \equiv \bar{a}, \quad \operatorname{Im} k \leqslant 0, \quad W(\bar{\varphi}, \psi) \equiv \bar{b}, \quad \operatorname{Im} k=0, \\
W(\psi, \bar{\psi}) \equiv-1, \operatorname{Im} k=0, W(\varphi, \bar{\Psi}) \equiv 1, \operatorname{Ini} k=0 . \\
\end{array}
\]

Вронскианы в (6.1.33) вычисляются по асимптотическому поведению решений Йоста при $|x| \rightarrow \infty$. При выполнении условий теоремы 6.1 функции рассеяния определены не во всей комплексной плоскости: их область определения указана в правой части формул (6.1.31)-(6.1.33). При фикснровнном $k$ любая пара решений Йста, определенных для этого значения $k$, может быть выбрана в качестве базиса в пространстве ренений уравнения (6.1.13), если вронскиан этой пары отлиген от нуля. Из (6.1.31)-(6.1.33) непосредственно следует, что
\[
\begin{array}{l}
\varphi(x, k)-a(k) \bar{\psi}(x, k)+b(k) \psi(x, k), \\
\bar{\Phi}(x, k)=\bar{a}(k) \psi(x, k)+\bar{b}(k) \bar{\psi}(x, k) .
\end{array}
\]

Для дальнейшего удобно ввести в рассмотрение фундаментальные матричные решения $\Phi=(\varphi, \bar{\varphi}), \Psi=(\psi, \bar{\psi})$, столбы которых являются решениями Иоста. В таком случае формулы (6.1.34) могут быть переписаны следующим образом:
\[
\Phi(x, k)=\Psi(x, k) A(k),
\]

где
\[
A(k)=\left(\begin{array}{ll}
b(k) & \bar{a}(k) \\
a(k) & \bar{b}(k)
\end{array}\right) .
\]

Справедливо соотношение
$W\left({ }_{k}\left(\psi,{ }_{k} \psi\right) W\left({ }_{k} \bar{\psi},{ }_{k} \bar{\psi}\right)-W\left({ }_{k} \varphi,{ }_{k} \bar{\psi}\right) W\left({ }_{k} \bar{\psi},{ }_{k} \psi\right)=\right.$
\[
=W\left({ }_{k} \varphi,{ }_{k} \dot{\varphi}\right) W\left({ }_{k} \psi,{ }_{k} \bar{\psi}\right),
\]

из которого с помощью формул (6.1.31)-(6.1.36) можно вывести, что
\[
a(k) \bar{a}(k)-b(k) \bar{b}(k)=1 .
\]

Свойства функций рассеяния легко получить из их интегральных представлений. $\mathrm{K}$ ним можно прийти, пользуясь асимптотическими разложениями решений Йоста $\varphi$ и $\bar{\varphi}$ при $x \rightarrow \infty$, применяя (6.1.34) и интегральные представления, фигурируюцие в теореме 6.1. Таким образом получаются формулы
\[
\begin{array}{l}
a(k)=1+\int_{-\infty}^{\infty} Q(y) e^{i k} \varphi_{2}(y, k) d y, \\
b(k)=\int_{-\infty}^{\infty} R(y) e^{-i k t} \varphi_{1}(y, k) d y, \\
\bar{a}(k)=1+\int_{-\infty}^{\infty} R(y) e^{-i k g} \bar{\varphi}_{1}(y, k) d y, \\
\overline{-\infty}(k)=\int_{-\infty}^{\infty} Q(y) e^{i k g} \tilde{\varphi}_{2}(y, k) d y,
\end{array}
\]

из которых следует, что функции рассеяния определены единственным образом и непрерывіы при Iп $k=0$. Функции $a, \bar{a}$ допускают однозначное аналитическое продолжение на полуплоскости Im $k>0$, Im $k<0$ соответственно. В общей ситуации функции $b, b$ не определены для комплексных значений $k$, если только коэффициенты $Q$ и $R$ не имеют компактных носителей или не подчиняются некоторым более строгим ограиичениям, нежели тем, что даются теоремой 6.1. Однако функции $b$ и $\bar{b}$ определены в нулях $a, \bar{a}$ соответственно, ибо в этом случае интегралы в (6.1.39) или в (6.1.41) сходятся. Формулы (6.1.31)-(6.1.33) показызают что эти случаи соответствуют либо линейной зависимости $\varphi$ н (в пулях $a$ ), либо линейной зависимости $\bar{\varphi}, \bar{\psi}$ (в нулях $\bar{a}$ ). Считая, что $k_{j}, k_{j}$ суть нули функций $a, \bar{a}$ соответственно, мы имеем
\[
\varphi_{j}=b_{j} \psi_{j}, \quad \bar{\varphi}_{j}=\bar{b}_{j} \bar{\psi}_{j}
\]

где $V_{j} \equiv k_{j} V$ и $b_{j}, \sigma_{j}$ суть значения функций $b$, $b$, определенные формулами (6.1.39), (6.1.41) в точках $k_{j}, \bar{k}_{j}$ соответственно.

Теорема 6.1 и асимптотическое поведение решений Йоста при $|x| \rightarrow \infty$ показывают, что если $\operatorname{Im} k_{j}>0$ қли $\operatorname{In} \bar{k}_{j}<0$, то (6.1.42) определяют собственные функции олератора L. В случае, когда In $k_{j}=0$ или $\operatorname{lm} k_{j}=0$, соотношения (6.1.42) не могут дать настоящих собственных функций опсратора L. B этом случае $\left\{k_{j}, \bar{k}_{j}\right\}$ называются почками синеулярного спектра оператара $\mathbf{L}$. Другое отличие от оператора Шрёдингера состоит в том, что оператор $\mathbf{L}$ может иметь кратные собственные зиачения. Однако прежде чем выяснять, как скажется это обстоятельство на спектральном разложении элемента $V \in L_{(2)}^{2}(\mathbb{R})$, займемся вопросом о числе собственных значений. Для этого мы получим аспмитотические разложения функцй $a, \bar{a}$ при $|k| \rightarrow \infty$. Для полноты мы рассмотрим свойства ренений Йоста при больших $k$ и изучим также поведение других функций расссяния при $|k| \rightarrow \infty$. Эти результаты легко следуют из интегралыиы представлений теоремы 6.1 и соотношений (6.1.38)-(6.1.41).

Лемма 6.2. Пусть $S_{0}(\infty)<\infty$, функции $Q$ и $R$ дифференцируемь в своих областях определения $u Q_{x}, R_{x} \in L^{1}$ (i). Тогда при $\mid k ! \rightarrow \infty$ для ренений Носта спразедливы следуючие ранномерные асимптотические разложения:
\[
\begin{array}{c}
\varphi e^{i k x}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)-\frac{1}{2 i k}\left(\begin{array}{c}
\int_{-\infty}^{x} R(y) Q(y) d y \\
R(x)
\end{array}\right)+o\left(|k|^{-1}\right), \\
\psi e^{-i k x}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)+\frac{1}{2 i k}\left(\begin{array}{c}
-\int_{x}^{\infty} R(y) Q(y) d y
\end{array}\right)+o\left(|k|^{-1}\right), \\
\bar{\varphi} e^{-i k x}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)+\frac{1}{2 i k}\left(\begin{array}{c}
\int_{-\infty}^{x} R(y) Q(y) d y
\end{array}\right)+o\left(|k|^{-1}\right), \\
\bar{\psi} e^{i k x}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+\frac{1}{2 i k}\left(\int_{x}^{\infty} R(y) Q(y) d y\right)+o\left(|k|^{-1}\right) .
\end{array}
\]

Лемма 6.3. В условиях теоремь 6.1 функции расселния $a(k)$, $\bar{a}(k), b(k), \bar{b}(k)$ суцествуют, однозначно определены и непрерывны в областях Im $k \leqslant 0$, Im $k \leqslant 0$, Im $k=0$, Im $k=0$ coomвemственно. Функции а $(k), \bar{a}(k)$ аналитичны в полуплоскостях Im $k>$ $>0$, Im $k<0$ соответственно. Нули $k_{0}$ функций а или $\bar{a}$ являются либо собственными значениями ( $\operatorname{Im} k_{0}>0$ или Im $k_{0}<0$ ), либо точками сингулярного спектра ( $\operatorname{Im} k_{0}=0$ ) оператора L. Если коэффициенты $Q$ и $R$ дифференцируемы и $Q_{x}, R_{x} \in L^{1}(\mathbb{R})$, то функции рассеяния имеют асимптотичекие представления следуюцего вида:
\[
\begin{array}{l}
a(k)=1-\frac{1}{2 i k} \int_{-\infty}^{\infty} R(y) Q(y) d y+o\left(|k|^{-1}\right), \\
\bar{a}(k)=1+\frac{1}{2 i k} \int_{-\infty}^{\infty} R(y) Q(y) d y+o\left(|k|^{-1}\right), \\
b(k)=o\left(|k|^{-1}\right), \quad 5(k)=o\left(|k|^{-1}\right)
\end{array}
\]

при $|k| \rightarrow \infty$.
Лемма 6.3 показывает, что функции $a, \bar{a}$ аналитичны и ограничены в верхней (соответственно в нижней) полуплоскостях комплексной $k$-плоскости. Поэтому множество нулей этих функций в верхней (соответственно нижней) полуплоскостях ограничено, не более чем счетно и может иметь предельные точки только на вещественной оси.

Определим теперь резольвенту ${ }_{k} \mathbf{R}$ оператора $\mathbf{L}$ для описания непрерывного спектра оператора $L$, а также для того, чтобы получить разложение единицы в терминах главных функций, ассоциированных с оператором L. Резольвента оператора L – оператор ${ }_{k} \mathbf{R}=(\mathbf{L}-k \mathbf{I})^{\mathbf{- 1}}$; он определяется соотношением
\[
{ }_{k} \mathrm{R} V=\int_{-\infty}^{\infty} R(x, y, k) V(y) d y, \quad V \in L_{(2)}^{2}(\mathbb{R}),
\]

где ядро резольвенты или функции Грина $R(x, y, k)$ удовлетворяет условиям
\[
\begin{array}{c}
(\mathrm{L}-k \mid) R(x, y, k)=\delta(x-y) \mathbf{1}, \\
\lim _{|x| \rightarrow \infty} R(x, y, k)=0, \quad \lim _{|y| \rightarrow \infty} R(x, y, k)=0 .
\end{array}
\]

Ясно, что рассматривая $R(x, y, k)$ как функцию от $x$ при фиксированных $y$ и $k$ (Iп $k>0$ ), мы получаем
\[
R(x, y, k)={ }_{k} \varphi(x)_{k} U^{T}(y)+{ }_{k} \psi(x)_{k} V^{T}(y),
\]

где $T$ – операция транспонирования. Объединяя
условия
(6.1.45) с транспонироваными к ним, нолучим, что

Матрица ${ }_{\boldsymbol{k}} \boldsymbol{M}$ определяется условием скачка
\[
\left.\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} R(x, y, k)\right|_{x=y-\varepsilon} ^{x=y+\varepsilon}=i\left(\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right),
\]

из которого после применения соотношения (6.1.31) для вронскиана следует, что
\[
{ }_{k} \boldsymbol{M}=\frac{i}{a(k)} \sigma_{1}, \quad \text { где } \sigma_{1}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Если ввести определение
\[
V^{A} \equiv V^{T} \sigma_{1}=\left(v_{2}, v_{1}\right)
\]

и повторить приведенные выше выкладки для случая Im $k<0$, то мы окончательно получим формулы

Таким образом, резольвентный оператор определен для значений $k$, не принадлежащих спектру оператора L. Множество таких регулярных точек называется резольвентным множеством $\left(R_{\mathrm{L}}\right)$ оператора L. Множество нерегулярных точек, не являющихся собственными значениями, образует так называемый непрерывный спектр оператора L. Мы сейчас покажем, что непрерывный спектр оператора L состоит из точек вещественной оси IIn $k=0$. Сначала докажем лемму.
Лемма 6.4. Для каждого $\eta=\mathrm{I}$ пп $k>0$ равенства
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{A}_{0} V(x)=\exp (\eta x) \int_{x}^{\infty} \exp (-\eta y) V(y) d y \\
\mathbf{B}_{0} V(x)=\exp (-\eta x) \int_{-\infty}^{x} \exp (\eta y) V(y) d y
\end{array}
\]

определяют в $L_{(2)}^{2}(R)$ линейные непрерывные операторы, такие что
\[
\left\|\mathbf{A}_{0}\right\| \leqslant \frac{1}{|\eta|}, \quad\left\|\mathbf{B}_{0}\right\| \leqslant \frac{1}{|\eta|} .
\]

Нормы олераторов, определяемье соотношениями
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{C}_{0} V(x)=\exp (-\eta x) \int_{x}^{\infty} \exp (\eta y) V(y) d y, \\
\mathbf{D}_{0} V(x)=\exp (\eta x) \int_{-\infty}^{x} \exp (-\eta y) V(y) d y,
\end{array}
\]
$\eta<0$, удовлетворяют тем же условиям.
Доказательство. Пусть $V \in L_{(2)}^{2}(\mathbb{R})$. Положим $U=\mathbf{A}_{0} V$. Имеем цепочку соотношений:
\[
\begin{array}{l}
|U(x)| \leqslant \exp (\eta x) \int_{x}^{\infty}|\exp (-\eta y) V(y)| d y= \\
=\exp (\eta x) \int_{x}^{\infty}\left(\begin{array}{l}
\exp (-\eta y) \\
\exp (-\eta y)
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
\left|v_{1}(y)\right| \\
\left|v_{2}(y)\right|
\end{array}\right) d y \leqslant \\
\leqslant \exp (\eta x)\left[\left\{\int_{\frac{3 x}{4}}^{\infty} \exp (-2 \eta y) d y\right\}^{1 / 2}\left\{\int_{\frac{3 x}{4}}^{\infty}|V(y)|_{E}^{2} d y\right\}^{1 / 2}+\right. \\
\left.+\left\{\left.\int_{x}^{\frac{3 x}{4}} \exp (-2 \eta y) d y \right\rvert\,\right\}^{1 / 2}\left\{\left.\left.\left|\int_{x}^{\frac{3 x}{4}}\right| V(y)\right|_{E} ^{2} d y \right\rvert\,\right\}^{1 / 2}\right]= \\
=2 \exp (\eta x)\left\{\frac{\exp -(3 \eta x / 2)}{2 \eta}\right\}^{1 / 2}\left\{\int_{\frac{3 x}{4}}^{\infty}|V(y)|^{2} d y\right\}^{1 / 2}+ \\
+2\left\{\left|\frac{1-\exp (\eta x / 2)}{2 \eta}\right|\right\}^{1 / 2}\left\{\left.\left.\int_{x}^{\frac{3 x}{4}}|V(y)|\right|_{E} ^{2} d y \right\rvert\,\right\}^{1 / 2}, \\
\end{array}
\]

где $|V(y)|_{E}^{2}=\left|v_{1}(y)\right|^{2}+\left|v_{2}(y)\right|^{2}$. Поэтому для $U(x)$ справедливо граничное условне $U(x) \rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty$. Так как $d U(x) / d x=\eta U(x)-V(x)$, то
\[
\frac{d}{d x}|U(x)|_{E}^{2}=\eta|U(x)|_{E}^{2}-U_{(x)}^{+} V_{(x)}-V_{(x)}^{+} U_{(x)},
\]

где $V^{+}=\left(V^{T}\right)^{*}$. Из неравенства Коши-Буняковского следует, что $\left\|\mathbf{A}_{0} V\right\| \leqslant 1 / \eta \mid\left(\|V\|\right.$. Поскольку $\left\|\mathbf{A}_{0} V\right\|=\sup _{\| V=1}\left\|\mathbf{A}_{0} V\right\|$, то получается, что $\left\|A_{0}\right\| \leqslant 1 / \eta$. Аналогичным образом получаются оценки для $\mathbf{B}_{0}, \mathbf{C}_{0}$ и $\mathbf{D}_{0}$.

Теорема 6.5. В условиях пеоремы 6.1 резольвентный оператор ${ }_{k} \mathbf{R}=(\mathbf{L}-k \mathbf{l})^{-1}$ является интегральным оператором вида
\[
{ }_{k} \mathbf{R} V(x)=\int_{-\infty}^{\infty} R(x, y, k) V(y) d y
\]

с ядром, определенным а (6.1.50). Cуцествует иисло $C>0$, maкоe чmo
\[
\left\|_{k} \mathbf{R}\right\| \leqslant\left\{\begin{array}{l}
\frac{C}{\mid a(k)} \overline{|\eta|}, \operatorname{Im} k>0, \\
\frac{C}{|\bar{a}(k)||\eta|}, \operatorname{Im} k<0,
\end{array}\right.
\]

и для каждого $r>0$ суцестоует иисло $\boldsymbol{c}_{r}>0$, такое что
\[
\left\|_{k} \mathbf{R}\right\| \geqslant\left\{\begin{array}{ll}
\frac{c_{r}}{|a(k)||\eta|^{1 / 2}}, & \operatorname{Im} k>0, \\
\frac{c_{r}}{|\bar{a}(k)||\eta|^{1 / 2}}, & \operatorname{Im} k<0
\end{array}\right.
\]

для всех $k$ из замкнутых областей Im $k \leqq 0,|k| \geqslant r$.
Доказательство. Пусть $V \in L_{(2)}^{2}(\mathrm{R})$. Представим ${ }_{k} \mathbf{R}$ виде
\[
{ }_{k} \mathrm{R} V=(\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{C}+\mathbf{D}) V,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{A} V=\int_{x}^{\infty} \mathbf{R}(x, y, k) V(y) d y, \quad \operatorname{Im} k>0, \\
\mathbf{B} V=\int_{-\infty}^{x} \mathbf{R}(x, y, k) V(y) d y, \operatorname{Im} k>0,
\end{array}
\]

с аналогично определенными $\mathbf{C}$ и $\mathbf{D}$ в полуплоскости $\operatorname{Im} k<0$. Применяя следствие 6.1.1, получим
\[
\begin{aligned}
|A V(x)| & \leqslant\left|\frac{\varphi(x, k)}{a(k)}\right|\left|\int_{x}^{\infty} \psi^{A}(y, k) V(y) d y\right| \leqslant \\
& \leqslant\left|\frac{\varphi(x, k)}{a(k)}\right| \int_{z}^{\infty}\left|\psi^{A}(y, k)\right||V(y)| d y \leqslant
\end{aligned}
\]

\[
\begin{array}{l}
\leqslant \frac{C}{|a(k)|} e^{\eta x} \int_{x}^{\infty} e^{-\eta y}|V(y)| d y= \\
=\frac{C}{|a(k)|} e^{\eta x} \int_{x}^{\infty}\left(\begin{array}{l}
e^{-\eta y} \\
e^{-\eta y}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\left|v_{1}(y)\right| \\
\left|v_{2}(y)\right|
\end{array}\right) d y .
\end{array}
\]

Применяя затем лемму 6.4 и полагая $\bar{V}=\left(\left|v_{1}\right|,\left|v_{2}\right|\right)^{T}$, получим
\[
\begin{aligned}
|\mathbf{A} V(x)| & \leqslant \frac{c}{|a(k)|} \mathbf{A}_{0}(\bar{V}(x)) \leqslant \\
& \leqslant \frac{c}{|a(k)|}\left|\mathbf{A}_{0}(\bar{V}(x))\right| \leqslant \\
& \leqslant \frac{c}{|a(k)|}\left\|\mathbf{A}_{0}\right\|\|V\| .
\end{aligned}
\]

Таким образом,
\[
\|A\| \leqslant \frac{C}{|a(k)||\eta|} .
\]

Для доказательства утверждения во второй части теоремы рассмотрим функцию
\[
F_{b}(x)=\left\{\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{c}
\psi_{2}^{*} \\
\psi_{1}^{*}
\end{array}\right)\left(x, k^{*}\right), \quad b<x<\infty, \quad \operatorname{Im} k>0 . \\
0, \quad-\infty<x<b,
\end{array}\right.
\]

Ясно, что $F_{b} \in L_{(2)}^{2}(\mathbb{R})$ и что в силу (6.1.50) справедливо соотношение
\[
{ }_{k} \mathbf{R} F_{b}(x)=\frac{i}{a(k)} \varphi(x, k)\left\|F_{b}\right\|^{2} \text { для }-\infty<x<b .
\]

Поэтому
\[
\left\|k \mathbf{R} F_{b}\right\|^{2} \geqslant \int_{-\infty}^{b}\left|{ }_{k} \mathbf{R} F_{b}(x, b)\right|_{\mathrm{E}}^{2} d x=\frac{\left\|F_{b}\right\|^{4}}{|a|^{2}} \int_{-\infty}^{b}|\varphi|_{E}^{2} d x .
\]

Выберем теперь $b$ настолько большим, чтобы выполнялось неравенство

Имеем тогда
\[
|\varphi|_{E}>(1 / 2) \exp \eta x .
\]
\[
\int_{-\infty}^{b}|\varphi|_{\mathrm{E}}^{2} \geqslant \frac{1}{8 \eta} e^{2 \pi b}
\]

и
\[
\left\|_{k} \mathrm{R} F_{b}\right\| \geqslant \frac{\left\|F_{b}\right\|^{2} e^{2 \eta b}}{|a(k)| 2(2 \eta)^{1 / 2}} .
\]

и теорема доказана. вcex mex $k$, дas sompox In $k>0$ unu ink<0 $k<0(k)
eq 0$, $\bar{a}(k)
eq 0$. ной осью Im $k=0$.

Следствие 6.5.1 иемедленно спедует из уолозй, которым под. $\left\|_{k} \mathbf{R}\right\| \rightarrow \infty$ при $k \rightarrow k_{0}$ 甘 $\operatorname{In} k_{0} \cdots()$.
\[
\begin{array}{l}
|Q(x)| \leqslant C \exp (\ldots 2 \varepsilon|x|) \\
|R(x)| \leqslant C_{2} \exp (-2 e|x|)
\end{array}
\]
cкuе функциu om $k$ e ormacmis 1 a $k<i$

Доказательстео аналогинно доказатепитву теремы 6.1. Отсюда немедленно получаем аналитично 3 nолосе – $\varepsilon<I n 1 k<\varepsilon$ позволит нам довольно просто изучит производые по $k$ от зтих решений.

Теорема 6.7. В условиях пеореми 6.1 операпоры преобразования для задани рассеяния (6.1.13) имент треугольные представдения вида
\[
\begin{array}{l}
\widetilde{\Psi}(x, k)=\widetilde{\Psi}_{\infty}(x, k)+\int_{x}^{\infty} K_{+}(x, y) \widetilde{\Psi}_{\infty}(y, x) d y, \\
\Phi(x, k)=\Phi_{-\infty}(x, k)+\int_{-\infty}^{x} K_{-}(x, y) \Phi_{-\infty}(y, k) d y,
\end{array}
\]
\[
\begin{aligned}
\tilde{\Psi} & =(\bar{\Psi}, \psi), \quad K_{+}=\left(\bar{K}_{+}, K_{+}\right), \mathbf{K}_{-}=\left(K_{-}, \overline{K_{-}}\right), \\
\tilde{\Psi}_{\infty} & =\Phi_{-\infty}(k, x)=\operatorname{diag}\left(e^{-i k x}, e^{i \ell x}\right) .
\end{aligned}
\]

Eсли, кроме того, $R$ и $Q$ дифференцируемы, то $\mathbf{K}_{+1} \mathbf{K}_{-}$yделетворюют следующин дифференциальным уравнениям в частиы производних:
\[
\begin{array}{c}
\sigma \mathbf{K}_{ \pm x}(x, y)+\mathbf{K}_{ \pm y}(x, y) \sigma-\sigma \mathbf{P}(x) \mathbf{K}_{ \pm}(x, y)=0 \\
\mathbf{K}_{ \pm}(x, x) \sigma-\sigma \mathbf{K}_{ \pm}(x, x) \mp \sigma \mathbf{P}(x, x)=0, \\
\lim _{x, y \rightarrow \infty} \mathbf{K}_{+}(x, y)=0 ; \quad \lim _{x, y \rightarrow-\infty} \mathbf{K}_{-}(x, y)=0,
\end{array}
\]
ade
\[
\sigma=\left(\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) ; \quad \mathbf{P}=\left(\begin{array}{ll}
0 & Q \\
R & 0
\end{array}\right) ; \pm \sigma\left\{\mathbf{K}_{ \pm}(x, x) \sigma-\sigma K_{ \pm}(x, x)\right\}=\mathbf{P}(x) .
\]
$B$ энон слуиае функции $\mathrm{K}_{ \pm}$суцествуют и еәннственны. Если коэффициенти $Q$ и $R$ орраницени, по справедаив неравентва
\[
\begin{array}{l}
\left|\mathbf{K}_{+}(x, y)\right| \leqslant|Q((1 / 2)(x+y))|+ \\
+1 / 2 R_{M} T_{Q}^{+}((1 / 2)(x+y))\left[T_{Q}^{-}((1 / 2)(x+y))+1\right] \exp \left(T_{Q}^{-}(\infty) T_{R}^{+}(x)\right), \\
\mathbf{K}_{-}(x, y)|\leqslant(1 / 2)| R((1 / 2)(x+y)) \mid+(1 / 2) Q_{M} T_{R}^{-}((1 / 2)(x+y)) \times \\
\times\left[T_{R}^{+}((1 / 2)(x+y))+1\right] \exp \left(T_{R}^{+}(-\infty) T_{Q}^{-}(x)\right),
\end{array}
\]
$2 \partial e$
\[
T_{Q}^{ \pm}(x)= \pm \int_{x}^{ \pm \infty}|Q(y)| d y, \quad T_{R}^{ \pm}(x)= \pm \int_{x}^{ \pm \infty}|R(y)| d y
\]
$u$
\[
R_{M}=\sup _{x \in R} R(x), \quad Q_{M}=\sup _{x \in \mathbb{R}} Q(x) .
\]

Оценка для $\overline{\mathbf{K}}_{ \pm}$полутактся эаменой $\mathbf{K}_{ \pm}$на $\overline{\mathbf{K}}_{ \pm}, Q$ на $R$ и $R$ на $Q$.
Доказапельспво. Доказательство сущсствования и едннственности мы проведем только дии ядра $K_{2}$. Iля друих ядер доказательства ироводятся аналогнчно. Иитегральное представление для ‡, теорема 6.1 и определение 4 с помощью оператора преобразавания, действующего на $\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right) \exp (i k x)$, приводят к следующему соотношению:
\[
\begin{array}{c}
\int_{x}^{\infty} K_{+}(x, y) e^{i k y} d y=-\left(\begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array}\right) \int_{x}^{\infty} Q(y) e^{-i k(x-2 y)} d y- \\
-\int_{x}^{\infty} \int_{y}^{\infty} M(x, y, k) K_{+}(y, u) e^{t k u} d u d y .
\end{array}
\]

Если предположить допустимость персстановки порядка интегрирювания в двойном иптеграле в правой части равенства (6.1.51), то этот интеграл может быть перенисан следуюцим ббразом:
\[
\begin{array}{c}
\int_{x}^{\infty} \int_{y}^{\infty}\left(\begin{array}{l}
K_{+2}(y, u) e^{-i k(x-y-u)} Q(y) \\
K_{+1}(y, u) e^{(k(x-y+u)} R(y)
\end{array}\right) d u d y= \\
=\int_{x}^{\infty} e^{i n y} d y\left(\begin{array}{l}
(1 / 2)(x+y) \\
\int_{x}^{\infty} Q(s) K_{+2}(s, y+x-s) d s \\
\int_{x}^{\infty} R(s) K_{+2}(s, y-x+s) d s
\end{array}\right)
\end{array}
\]

Пользуясь единственностью представления функт ии в виде интеграла Фурье, получаем тогда, что
\[
\begin{array}{c}
K_{+1}(x, y)=-(1 / 2) Q\left\{\frac{1}{2}(x+y)\right\}- \\
-\int_{x}^{(x+y) / 2} Q(s) K_{+2}(s, y+x-s) d s, \\
K_{+2}(x, y)=-\int_{x}^{\infty} K_{+1}(s, y-x+s) R(s) d s .
\end{array}
\]

Если предположить, что коэффициенты $Q$ и $R$ ограничены, то факт существования ядра $K_{4}$ можно установить, итерируя уравнение (6.1.53). При этом получаются оценки
\[
\begin{array}{l}
\left|K_{+1}(x, y)\right| \leqslant(1 / 2)|Q((1 / 2)(x+y))|+ \\
\quad+\frac{1}{2} R_{M} T_{Q}^{+}((1 / 2)(x+y)) T_{Q}^{-}((1 / 2)(x+y)) \exp \left(T_{Q}^{-}(\infty) T_{R}^{+}(x)\right), \\
\left|K_{+2}(x, y)\right| \leqslant(1 / 2) R_{M} T_{Q}^{+}((1 / 2)(x+y)) \exp \left(T_{Q}^{\sim}(\infty) T_{R}^{+}(x)\right),
\end{array}
\]

откуда и следует утверждсние теоремы. Если предположить, что функции $Q$ и $R$ дифференцирусмы, то и дифференциальные уравнения в частных пронзводных, н граничнье условия, о которых ила речв в тепреме, плучаютс неносредетвсно из (6.1.53). Еоли занысте эти уравнения в характериститеских координатах,

Следствме 6.7.1. Если функции $R$ и $Q$ удовлетворяот усло$C_{\varepsilon}^{*}$ u $C_{\mathrm{e}}^{*}$, makie inao
\[
\begin{array}{l}
\left|K_{+}(x, y)\right| \leqslant C_{i}^{+} \exp (-\varepsilon(x+y)), \\
|K-(x, y)| \leqslant C_{2} \exp (\varepsilon(x+y)) .
\end{array}
\]

Следствие 6.7.2. Если $Q$ и дифференцируелы, удовлетворяют условияs meopestu $6.6 \mathrm{u}$
\[
\left|R_{x}(x)\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{1} \exp (-2 \varepsilon|x|),\left|Q_{x}(x)\right| \leqslant C_{\varepsilon}^{1} \exp (-2 \varepsilon|x|),
\]
mo
\[
\left|K_{ \pm}\{x, b)\right| \leqslant C_{\mathrm{e}}^{1: \pm} \exp \{\mp \varepsilon(x+y)\} .
\]
(6.1.53), полуим систаму интегральнх уравнений вида
\[
\begin{array}{l}
K_{+1 y}(x, y) \cdots G\left\{(1 / 2)(x+y] \cdots \int_{x}^{(1 / 3)} Q(s) K_{+2 y}(s, y+x-s) d s,\right. \\
K_{+2 y}(x, y) \cdots \int_{x}^{\infty} K_{+1 y}(s, y \cdots x+s) R(s) d s,
\end{array}
\]
re
$O[(1 / 2)(x+y)]=(1 / 4) \dot{Q}[(1 / 2)(x+1)]+$
\[
+(1 / 4) Q[(1 / 2)(x+1-y)] \int_{(1 / 2)(x+y)}^{\infty} Q(s) R(s) d s .
\]

Применяя к последнему равенству оценки для $\dot{Q}$ и $\dot{R}$, получим, что
\[
|G((1 / 2)(x+y)\}| \leqslant \bar{C}_{\mathrm{e}} \exp (-\varepsilon|x+y|),
\]

где $\tilde{C}_{\varepsilon}-\max \left(C_{\varepsilon}^{1}, C_{\varepsilon}\right)$. Эюот результат легко получается с помицю следетви 6.7 .1 , если $C_{8}$ заменить на $\tilde{C}_{\text {в }}$, так как интегрально: уравнение лли $K_{+g}$ имеет топ же самый вид, что и уравнение для $K_{+}$. Оценка для $K_{+x}$ следует из оценок для $K_{+}(x, y)$ и $K_{+y}(x, y)$ и системи интегральных уравнений
\[
\begin{array}{c}
K_{+2 x}(x, y):=\int_{x}^{\infty} K_{+x}(s, y \cdots x+s) R(s) d s+K_{+1}(x, y) R(x), \\
K_{+1 x}(x, y)=-\frac{1}{4} Q[(1 / 2)(x+y)]+Q(x) K_{+2}(x, y)-
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
-(1 / 4) Q[(1 / 2)(x+y)] \int_{(1 / 2)}^{\infty} Q(x+y) R(s) d s- \\
-\int_{x}^{(1 / 2)(x+y)} Q(s) K_{+z y}(s, y+x-s) d s .
\end{array}
\]

Аналогично получаются оценки для производных функций $\mathbf{K}_{ \pm}$ более высоких порядков.

Заметим, что с помощью оценок в следствии 6.7.1 и операторов преобразования можно немедленно установить аналитичность решений Йста в полуплоскостях, где $|\operatorname{Im} k|>8$. Этот же факт был получен в теореме 6.6 непосредственно. Однако мы имеем возможность применить теорему 6.7 для изучения свойств функций
\[
\left.J_{\left(x, k_{0}\right)}^{(0, r)} \equiv \frac{\partial}{\partial k^{r}} J(x, y)\right|_{k=k_{0}}, \quad r=0,1,2, \ldots, m-1,
\]

где $J$ – решение Йоста, а $k=k_{0}$ – сингулярное значение оператора $\mathbf{L}$ кратности $m$ (вещественное или комплексное). Функции $J^{(0, r)}\left(x, k_{0}\right), r=1, \ldots, m-1$, будем называть присоединенными к $J(x, k)$ функциями. Существование этих функций немедленно следует из представления решеннй Йоста операторами преобразования и следствий 6.7.1, 6.7.2. Мы можем ослабить условия на потенциалы, обеспечивающие существование этих функций, требуя, чтобы, как при доказательстве теоремы 6.1, выполнялись условия $\left\{S_{i}, i=0, \ldots, m\right\}<\infty$.

Собственные функции и присоединенные функции удовлетворяют уравнениям
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{L} J=k J, \\
\mathbf{L} J^{(0, n)}=k J^{(0, n)}+j^{(0,1-1)}, \quad j=1, \ldots, m-1 .
\end{array}
\]

Если $J\left(x, k_{0}\right), \bar{J}\left(x, k_{0}\right)$ суть пара собственных функций $\left(\operatorname{Im} k_{0}>0\right.$, $\operatorname{lm} k_{0}=0$ или Im $k_{0}<0$ ), то функции $J$ со своими присоединенными функциями также должны удовлетворять соотношениям (6.1.55). Отсюда получается, что существуют комплексные числа $d_{j}^{s}$, такие что
\[
\left.J_{\left(x, k_{0}\right)}^{(0, s)}=\sum_{i=0}^{s} d_{i}^{s} J_{\left(x, k_{0}\right)}^{(0,}\right), \quad s=0, \ldots, m-1 .
\]

Если рассмотреть аналитическую функцию $d(k)$, определенную в окрестности точки $k=k_{0}$ и такую, что $d^{s-l}\left(k_{0}\right)=d_{i}^{s}\left(C_{i}^{s}\right)^{-1}$. то соотношение (6.1.56) может быть переписано следующим образом:
\[
\bar{J}_{(x, k)}^{(0, s)}=\left.\frac{\partial^{s}}{\partial k^{s}}(d(k) J(x, k))\right|_{k=k} .
\]

Свойства собственных и присоединенных функций можно объединить следующей леммой.

Лемма 6.8. Функции $\psi^{(0, r)}\left(x, k_{0}\right), \varphi^{(0, r)}\left(x, k_{0}\right)$, lm $k_{0}>0$ или $\bar{\psi}^{(0, r)}\left(x, k_{0}\right), \bar{\psi}^{(0, r)}\left(x, k_{0}\right)$, Im $k_{0} \leqslant 0$, где $k_{0} \in \sigma(\mathrm{L})$ кратности $m$ ( $r=0, \ldots, m-1)$, принадлежат $L_{\{2\}}^{2}(R)$.

Истинные собственные функции и их присоединенные называются главными функциями дискретного спектра. Решения Йоста при вещественных $k$ называются главными функциями непрерывного спектра. Нам понадобятся также главные фуғкции сингулярного спектра. Это решения Йоста и их производные по $k$, вычисленные при вещественном нуле функций $a$ или $\bar{a}$. Следствие 6.7.1 легко позволяет с помощью операторов преобразования установить следуюшую лемму.

Лемма 6.9. Главные функции сингулярного спектра удовлетеоряют условию
\[
\sup _{x \in R} \frac{\left|f^{(0, r)}\left(x, k_{0}\right)\right|}{(1+|x|)^{r}}<\infty,
\]

где $J\left(x, k_{0}\right)$ есть решение Йоста и $k_{0}\left(\operatorname{Im} k_{0}=0\right)$ – точка сингу. лярного спектра ( $r=0,1, \ldots)$.

Интегральные представления (6.1.38)-(6.1.41) для функций рассеяния позволили нам увидеть, что функции $b$ и $\hat{b}$ существуют в точках дискретного спектра $k_{0} \in \sigma(\mathbf{L})$ (случаи I I $k_{0}>0$, Im $k_{0}<0$ относятся к функциям $b, \bar{b}$ соответственно). В качестве прямого следствия леммы 6.8 получается распространение этого факта на производные по $k$ функций $b, b$ вплоть до порядка $m-1$ в том случае, когда кратность собственного значения $k_{0}$ равна $m$. Отсюда следует, что в соотношения типа (6.1.57) вместо функций $d$ можно формально подставить функции $b(\bar{b})$, поскольку в них фигурируют значения функций и их производных по $k$ лишь в точках дискретного спектра.
определение.
\[
\left.\frac{\partial^{s}}{\partial k^{s}}(b(k) f(k))\right|_{k=k_{0}} \equiv \sum_{i=0}^{s} C_{i}^{s} b^{(s-i)}\left(k_{0} f^{(i)}\left(k_{0}\right)\right),
\]

где $f-$ аналитическая функция, $k \in \sigma(\mathrm{L}), \operatorname{Im} k_{0}>0$ и $k_{0}$ имеет кратность $m \geqslant s+1$.

Аналогичное определение может быть дано, когда $b$ заменяется на $\bar{b}$. Мы будем широко пользоваться этими определениями на протяжении оставшейся части этой главы. Следует заметить, что это определение работает лишь в рамках теоремы 6.7. Если условия этой теоремы ослабить, то может оказаться, что производные функций $b$ или $\bar{b}$ не существуют. Так, если выполнено условие $\left\{S_{i}, i=0, \ldots, n\right\}<\infty$, то производные функции $b$ существуют, вообще говоря, лишь до порядка $n$. В этом случае, если $k \in \sigma(\mathrm{L})$ имеет кратность $m>n$, последние $m-n$ членов в формуле (6.1.56) не могут быть выражены в терминах продолжений функции $b$ и ее производных.

Рис. 6.1. Контур $\Gamma_{R}$.
Сейчас мы запишем разложение ядра резольвентного оператора с помощью главных функций и выведем отсюда формулу разложения ециницы. Рассмотрим интеграл
\[
I_{R}=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma_{R}} \frac{R(x, y, k)}{(k-2)} d k,
\]

где $\Gamma_{\boldsymbol{R}}$ – контур, изображенный на рис. 6.1, и $z \in R_{\mathrm{L}}$. Қонтур состоит из объединения дуги $C_{R}$ и отрезка $[B, A]$ с дугой $\bar{C}_{R}$ и отрезком $[D, C]$. Радиус $R$ выбирается настолько большим, чтобы все собственные значения оператора $L$ и число $z$ находились онутри $\Gamma_{R}$.
В силу теоремы Коши, имеем
$\eta_{R}(x, y, z)=R(x, y, z)+$
\[
+\sum_{j=1}^{N} \operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{\frac{R(x, y, k)}{(k-2)}\right\}+\sum_{j=1}^{\bar{N}} \operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{\frac{R(x, y, k)}{(k-z)}\right\},
\]

Dде $z \in R_{\mathbf{L}}$. Введем в рассмотрение функции
\[
\begin{array}{l}
p_{j}(k)=-\frac{i\left(k-k_{j}\right)^{m_{j}} b(k)}{\left(m_{j}-1\right) 1 a(k)}, j=1, \ldots, N, \\
\tilde{p}_{j}(k)=\frac{i\left(k-k_{j}\right)^{\bar{m}_{j}} \delta_{(k)}}{\left(\bar{m}_{j}-1\right) \mid \bar{a}(k)}, \quad j=1, \ldots, N, \\
\end{array}
\]

с помощью которых перепишем (6.1.59) в виде

Рассмотрим теперь разрез, идущий вдоль вещественной $k$-оси, н будем считать точку сингулярного спектра $k_{f}$ принадлежащей

Рис. 6.2. Контуры $\gamma, \bar{\gamma}$ и $\Gamma=\gamma+\tilde{\gamma}$.

верхней или нижней стороне разреза в зависимости от того, выполняется ли равенство $a\left(k_{j}\right)=0$ или равенство $\bar{a}\left(k_{j}\right)=0$. Заметим, что мы не исключаем случая, когда одновременно $a\left(k_{j}\right)=\bar{a}\left(k_{j}\right)=0$. В этом случае мы будем счнтать, что точка $k_{j}$ прннадлежит как верхней, так и нижней сторонам разреза. Вокруг каждого $k_{j}$ на верхней (нижней) стороне разреза опишем полуокружность, расположенную в полуплоскости $\operatorname{Im} k \geqslant 0$ (Im $k \leqslant$ $\leqslant 0$ ), радиуса ( $\delta$ ), выбранного таким образом, чтобы такие полуокружности взанмно не пересекались и чтобы $\delta<\varepsilon_{0}$, где по определению
\[
\varepsilon_{0}=\min \left\{\left|\operatorname{Im} k_{0}\right|, \text { e: } k_{0} \in \sigma(\mathbf{L})\right\} .
\]

Определим контур $\gamma(\bar{\gamma})$ на верхнем (нижнем) краю разреза как множество, получаемое из вещественной оси после замены горизонтальных диаметров построенных кругов дугами полуокружностей в верхней (нижней) полуплоскости переменной $k$ (см. рис. 6.2).
Применяя леммы 6.2, 6.3 и формулу (6.1.50), получим оценку
\[
|R(x, y, k)| \leqslant C+O\left(\frac{1}{|k|}\right) \text { при }|k| \rightarrow \infty .
\]

Поэтому при $R \rightarrow \infty$ получаем следующее предельное соотношение:
\[
I_{\infty}(x, y, k)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{R(x, y, k)}{(k-2)} d k-\frac{1}{2 \pi i} \int_{\psi} \frac{R(x, y, k)}{(k-2)} d k .
\]

Объединяя (6.1.61) и (6.1.63), получаем следующее интегральное уравнение для резольвенты:
\[
\begin{aligned}
R(x, y, z)= & \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{R(x, y, k)}{(k-z)} d k-\frac{1}{2 \pi i} \int_{\bar{\psi}} \frac{R(x, y, k)}{(k-2)} d k+ \\
& \dashv-\sum_{j=1}^{N}\left\{\left(\frac{d}{d k}\right)^{m_{j}-1} \frac{\rho_{j}(k) \psi(x, k) \psi^{A}(y, k)}{(k-z)}\right\}_{k=k_{j}}+ \\
& +\sum_{j=1}^{\bar{N}}\left\{\left(\frac{d}{d k}\right)^{\overline{\bar{m}}_{j}-1} \frac{\bar{p}_{j}(k) \bar{\psi}(x, k) \bar{\psi}^{A}(y, k)}{(k-2)}\right\}_{k=\bar{k}_{j}}
\end{aligned}
\]

Разумеется, было бы удобно расположить контур интегрирования в (6.1.64) вдоль вещественной оси. Однако в этом случае интегралы будут расходящимися. Чтобы обойти это обстоятельство, надлежит провести следующую регуляризацию. Рассмотрим функции
\[
\begin{array}{l}
f_{i j}(k)=\left\{\begin{array}{clc}
\frac{\left(k-k_{i}\right)^{t}}{j 1} & \left|k-k_{i}\right|<\delta, & \operatorname{Im} k \geqslant 0, \\
0 & \left|k-k_{i}\right|>\delta \text { или } \operatorname{Im} k<0,
\end{array}\right. \\
f_{i j}(k)=\left\{\begin{array}{cll}
\frac{\left(k-k_{i}\right)^{\prime}}{i !} & \left|k-k_{i}\right|<\delta & \operatorname{Im} k \leqslant 0, \\
0 & \left|k-k_{i}\right|>\delta \text { или } \operatorname{Im} k>0,
\end{array}\right.
\end{array}
\]

где $\delta$ – радиус полуокружностей, входящих в контур $\Gamma$. Ясно, что функция
\[
\begin{aligned}
f(g(k))=g(k) & -\sum_{i=N+1}^{M+N} \sum_{j=0}^{m_{i}-1} f_{i j}(k) g^{(l)}\left(k_{j}\right)- \\
& -\sum_{i=\bar{N}+1}^{\bar{M}+\bar{N}} \sum_{i=0}^{\bar{m}_{i}-1} f_{i j}(k) g^{(l)}\left(k_{i}\right),
\end{aligned}
\]

где $g(k)$ достаточно гладкая, имеет в каждой точке $k=k_{i}\left(k_{i}\right)$ нуль кратности $m_{t}\left(\bar{m}_{i}\right)$, поскольку например,
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{d}{d k}\right)^{j}(f(g(k)))_{k=k_{i}}=\left.g^{\prime}(k)\right|_{k=k_{i}}- g^{l}\left(k_{i}\right)=0, \\
j \\
j=0,1, \ldots, m_{i}-1 .
\end{array}
\]

Если воспользоваться (6.1.34), то в силу независимости интеграла (от аналитической функции) от контура интегрирования

мы можем переписать интеграл по контуру $\gamma$ в (6.1.64) следующим образюм:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\mathrm{I}}{2 \pi i} \int_{\gamma}^{2} \frac{R(x, y, k)}{(k-z)} d k=\int_{-\infty}^{\infty} d k\left\{\frac{b(k)}{a(k)} f_{\mathrm{I}}\left[\psi(x, k) \Psi^{A}(y, k) /(k-z)\right]+\right. \\
\left.+(k-z)^{-1}\left[\psi(x, k) \bar{\Psi}^{A}(y, k) h(x-y)+\check{\Psi}(x, k) \Psi^{A}(y, k) h(y-x)\right]\right\}+ \\
\quad+\frac{1}{2 \pi} \sum_{l=N+1}^{M+N} \sum_{l=0}^{m_{l}-1} \int_{\gamma} \frac{b(k) d k}{a(k)} f_{l j}(k)\left\{\left.\left(\frac{d}{d k}\right)^{j} \frac{\psi(x, k) \psi^{A}(y, k)}{(k-z)}\right|_{k=k}\right\},
\end{array}
\]

где $f_{1}(g(k)) \equiv f(g(k))$ при $\operatorname{Im} k>0, f_{2}(g(k)) \equiv f(g(k))$ при Im $k<0$ и
\[
h(x)=\frac{(1 / 2)(x+|x|)}{|x|}, \quad x
eq 0 .
\]

Повторяя такие же выкладки для интеграла вдоль контура $\bar{\gamma}$, получим окончательную формулу
\[
\begin{aligned}
R(x, y, z) & =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d k\left\{\frac{b}{a}(k) f_{1}\left(\frac{\psi(x, k) \psi^{A}(y, k)}{(k-z)}\right)+\right. \\
& +\frac{\delta}{\ddot{a}}(k) f_{2}\left(\frac{\bar{\psi}(x, k) \bar{\psi}^{A}(y, k)}{(k-z)}\right)+\left[\bar{\psi}(x, k) \psi^{A}(y, k)+\right. \\
& \left.\left.+\psi(x, k) \bar{\psi}^{A}(y, k)\right](k-z)^{-1}\right\}+ \\
& +\sum_{i=1}^{M+N}\left\{\left(\frac{d}{d k}\right)^{m_{i}-1} \frac{\rho_{i}(k) \psi(x, k) \psi^{A}(y, k)}{(k-z)}\right\}_{k=k_{i}}+ \\
& +\sum_{i=1}^{\bar{M}+\bar{N}}\left\{\left(\frac{d}{d k}\right)^{m_{i}-1} \frac{\bar{p}_{i}(k) \bar{\psi}(x, k) \bar{\psi}^{A}(y, k)}{(k-z)}\right\}_{k=\bar{k}_{i}}
\end{aligned}
\]

где функции $p_{i}, \bar{p}_{j}$ для $i=M+1, \ldots, M+N, j=\bar{N}+1, \ldots$, $\bar{M}+\bar{N}$ определены равенствами
\[
\begin{array}{c}
p_{l}^{\left(m_{t}-1-J\right)}\left(k_{i}\right)=\frac{1}{2 \pi} \frac{\mid l\left(m_{i}-1-j\right) !}{\left(m_{i}-1\right) !} \int_{\gamma} \frac{b(k)}{a(k)} f_{i j}(k) d k, \\
\bar{p}_{l}^{\left(m_{i}-1-l\right)}\left(k_{i}\right)=\frac{1}{2 \pi} \frac{j !\left(\bar{m}_{i}-1-j\right) !}{\left(\bar{m}_{i}-1\right) !} \int_{\bar{\gamma}} \frac{b(k)}{\bar{a}(k)} \bar{f}_{i j}(k) d k .
\end{array}
\]

Функции $f_{i j}, f_{i j}$ нз последних двух формул можно заменить любыми другими, важно лишь, ттобы сохранялось их поведение в окрестности точек сингулярного спектра. Примененный здесь метод регуляризации расходящихся интегралов представляет собой приспособление для этого случая метода Лянце [1965] для несамосопряженного оператора Шрёдингера. Формально разложение единицы можно получить из формулы (6.1.70), oneрируя с $(\mathbf{L}-z \overline{\mathbf{L}})$;
\[
\begin{array}{l}
\delta(x-y) I=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d k\left(\frac{b}{a}(k) f_{1}\left(\psi(x, k) \psi^{A}(y, k)\right)+\right. \\
\quad+\frac{5}{\bar{a}}(k) f_{2}\left(\bar{\psi}(x, k) \bar{\psi}^{A}(y, k)\right)+\bar{\psi}(x, k) \psi^{A}(y, k)+ \\
\left.+\boldsymbol{\psi}(x, k) \bar{\psi}^{A}(x, k)\right)+\sum_{i=1}^{M+N}\left\{\left(\frac{d}{d k}\right)^{m-1} p_{i}(k) \Psi(x, k) \psi^{A}(y, k)\right\}_{k=k_{i}}+ \\
+\sum_{i=1}^{\bar{M}+\bar{N}}\left\{\left(\frac{d}{d k}\right)^{\bar{m}_{i}-1} \bar{p}_{i}(k) \bar{\psi}(x, k) \bar{\psi}^{A}(y, k)\right\}_{k=\bar{k}_{i}}
\end{array}
\]

Перейдем теперь к вопросу описания класса функций, допускающих разложение в соответствии с формулой (6.1.72). Обозначим через $H^{m}(\mathrm{R})$ гильбертово пространство функций $F$ на $R$ со значениями в $C^{2}$ и нормой, определенной равенством
\[
\|F\|_{m}^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}(1+|x|)^{2 m}|F(x)|_{E}^{2} d x
\]

так что, в частности, $H^{0}(\mathbb{R}) \equiv L_{\ell 2}^{2}(\mathbb{R})$. Определим затем
\[
m_{0}=\max \left\{m_{N+1}, \ldots, m_{M+N}, \bar{m}_{\bar{N}+\mathrm{r}}, \ldots, \bar{m}_{\bar{M}+N}\right\}
\]

и положим $H_{+}=H^{m_{0}+1}(\mathbb{R}), H_{-}=H^{-\left(m_{0}+1\right)}(\mathbb{R})$. Тогда справедливы включения $H_{+} \subset L_{(2)}^{9}(\bar{R}) \subset H_{-}$, и для функции $F \in H_{+}$ выполняется следующее соотношение между нормами:
\[
\|F\|_{+} \geqslant\|F\| \geqslant\|F\|_{+}
\]

Из леммы 6.9 следует, что главные функции для точек сингулярного спектра принадлежат пространству $H_{-}$. L-преобразование Фурье функции $F \in L_{\{2)}^{2}(\mathbb{R})$, определенное равенством
\[
J^{m}(F, k)=\int_{-\infty}^{\infty} J_{(x, k)}^{(0, m)} A(x, k) F(x) d x=\left(J^{(0, m)}, F\right), \quad \operatorname{Im} k
eq 0,
\]

где $J$-решение Йоста, существует для $k \in \sigma(L)$ и $m=0$, $\ldots, m_{k}-1$, где $m$ – кратность точкн спектра $k$. Если функция $F \in H_{+}$, то мы имеем также неравенство
\[
\begin{array}{r}
\int_{-\infty}^{\infty}\left|\left(\frac{d}{d k}\right)^{m_{0}+1} J(F, k)\right|_{E}^{2} d k \leqslant C_{m_{0}} \int_{-\infty}^{\infty}(1+|x|)^{2 m_{0}+2}|F(x)|_{E}^{2} d x, \\
\text { Im } k=0 .
\end{array}
\]

Из него следует, что если $F \in H_{+}$, то L-преобразование Фурье существует и справедлива формула обращения
\[
\begin{array}{l}
F(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d k\left[\frac{b}{a}(k) f_{1}(\psi(x, k) \psi(F, k))-\right. \\
+\frac{b}{\bar{a}}(k) f_{2}(\bar{\psi}(x, k) \bar{\psi}(F, k))+\bar{\psi}(x, k) \Psi(F, k)+ \\
+\psi(x, k) \bar{\psi}(F, k)]+\sum_{i=1}^{M+N}\left\{\left(\frac{d}{d k}\right)^{m_{i}-1} p_{i}(k) \psi(x, k) \Psi(F, k)\right\}_{k=k_{i}}+ \\
\quad+\sum_{i=1}^{\bar{M}+\bar{N}}\left\{\left(\frac{d}{d k}\right)^{\bar{m}_{i}-1} \bar{p}_{i}(k) \bar{\Psi}(x, k) \bar{\psi}(F, k)\right\}_{k=\bar{k}_{i}},
\end{array}
\]

причем ннтеграл сходится по норме пространства $H_{-}$. Выражение $(d / d k)^{m_{i}-1}$ в этой формуле следует понимать чнсто символически, поскольку (d/dk) $)^{m_{i}-1} J(F, k)$ расходится всюду, кроме точки $k=k_{i}$. Мы введем следующую интерпретацию.
Определение.
\[
\left(\frac{d}{d k}\right)^{m} J(F, k) \equiv J^{m}(F, k) .
\]

Можно показать, что для каждой функции $F \in L_{(2)}^{2}(\mathrm{R})$ существуют функцноналы. $p_{i j}(F), \bar{p}_{i j}(F)$ на $L_{(2)}^{2}(\mathbb{R})$, такие что
\[
\begin{aligned}
F(x)= & \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d k\left(\frac{b}{a} f_{1}(\psi(x, k)) \psi(F, k)+\frac{b}{\bar{a}} f_{2}(\bar{\psi}(x, k)) \bar{\psi}(F, k)+\right. \\
& +\bar{\psi}(x, k) \psi(F, k)+\psi(x, k) \bar{\psi}(F, k))+ \\
& +\sum_{i=1}^{M+N} \int_{i=0}^{m_{i}-1} p_{i j}(F) \psi^{(0, t)}\left(x, k_{i}\right)+\sum_{l=1}^{\bar{M}+\bar{N}} \sum_{j=0}^{\bar{m}} \bar{p}_{l j}(F) \bar{\psi}^{(0 f)}\left(x, k_{l}\right),
\end{aligned}
\]

гіе интеграл сходится в $H_{-m_{0}}(R)$.

Сравнение формул (6.1.78) и (6.1.80) показывает, что функционалы $p_{i j}(F), \quad \bar{p}_{l j}(F)(i=1, \ldots, N ; l=1, \ldots, \bar{N})$ могут быть в явном виде выражены через функционалы $\psi_{j}\left(F, k_{i}\right), \bar{\psi}_{j}(F, k)$. Из асимптотических свойств функций $\psi_{j}\left(x, k_{i}\right), \bar{\psi}_{j}\left(x, k_{l}\right)$ при $x \rightarrow \infty$, где $i=N+1, \ldots, M+N, l=\bar{N}+1, \ldots, \bar{M}+\bar{N}$, следует, что они линейно независимы по модулю $L_{(2)}^{2}(R)$. Требование принадлежности правой части равенства (6.1.80) пространству $L_{(2)}^{2}\left(\mathbb{K}^{2}\right)$ однозначно определяет числа $p_{i j}(F), \bar{p}_{l s}(F), i=N+1$, $\ldots, M+N, l=\bar{N}+1, \ldots, \bar{M}+\bar{N}, j=0, \ldots, m-1$ и $s=0$, $\ldots, \bar{m}_{l}-1$.

Этим результатам можно придать более простую форму, если рассмотреть подкласс функций из пространства $L_{\{2}^{2}$, (R), для которых справедливы неравенства
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{\psi(F, k)}{a(k)}\right|_{E}^{2} d k<\infty ; \quad \int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{\bar{\psi}(F, k)}{\hat{a}(\bar{k})}\right|_{E}^{2} d k<\infty .
\]

С другой стороны, мы можем подчинить функции $Q$ и $R$ таким условиям, которые обеспечивали бы отсутствие точек сингулярного спектра. Разумеется, главная трудность заключается в том, что неизвестны общие ограничения на потенциалы $Q$ и $R$, которые привели бы к такому результату. В более простом случае, когда спектр оператора $L$ состоит из простых собственных значений, разложение единицы может быть записано следующим образом:
$\delta(x-y) I=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} d k\left\{\frac{b}{a}(k) \psi(x, k) \psi^{A}(y, k)+\right.$
\[
+\frac{\boldsymbol{b}}{\bar{a}}(k) \bar{\psi}(x, k) \bar{\psi}^{A}(y, k)+\bar{\psi}(x, k) \psi^{A}(y, k)+
\]
$\left.+\psi(x, k) \tilde{\psi}^{A}(y, k)\right\}+$
\[
+\sum_{j=1}^{M} p_{j} \psi\left(x, k_{j}\right) \psi^{A}\left(y, k_{j}\right)+\sum_{j=1}^{M} \bar{p}_{j} \bar{\psi}\left(x, k_{j}\right) \bar{\psi}^{A}\left(y, k_{j}\right),
\]

где
\[
p_{j}=-\frac{i b\left(k_{j}\right)}{a_{k}\left(k_{j}\right)}, \quad \bar{p}=\frac{i b\left(k_{j}\right)}{\bar{a}_{k}\left(k_{j}\right)} .
\]

Если мы распространим определение билинейной формы $(U, V)=\int_{-\infty}^{\infty} U^{A}(x) V(x) d x$, введенное в (6.1.76), на обобщенные функции, то, применяя соотношение
\[
\lim _{x \rightarrow \infty} P\left(\frac{e^{ \pm i k x}}{i k}\right)= \pm \pi \delta(k),
\]

мы сможем вынислить все скалярные произведения для главных функций с помощью (6.1.30).
Для собственных функций мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\left(k_{1} \varphi, k_{2} \varphi\right)=2 \pi a\left(k_{1}\right) b\left(k_{1}\right) \delta\left(k_{1}-k_{2}\right), \\
\left(k_{1} \psi, k_{2} \varphi\right)=2 \pi a\left(k_{1}\right) \delta\left(k_{1}-k_{2}\right), \\
\left(k_{1} \bar{\psi}, k_{2} \varphi\right)=0, \\
\left(k_{1} \varphi, k_{z} \bar{\varphi}\right)=2 \pi a\left(k_{1}\right) \bar{a}\left(k_{1}\right) \delta\left(k_{1}-k_{2}\right), \\
\left(k_{1} \psi, k_{2} \psi\right)=-2 \pi a\left(k_{1}\right) b\left(k_{1}\right) \delta\left(k_{1}-k_{2}\right), \\
\left(k_{1} \psi, k_{2} \bar{\psi}\right)=2 \pi a\left(k_{1}\right) \bar{a}\left(k_{1}\right) \delta\left(k_{1}-k_{2}\right) .
\end{array}
\]

В равенствах (6.1.83) $\mathrm{Im} k_{1}=1$ п $k_{2}=0$. Oстальные ненулевые скалярные произведения получаются из (6.1.83) с помощью симметрии или операции \”», определенной формулами (f) $=\bar{f}$, $\bar{f})=f$. Все другие возможные ненулевые скалярные произведения порождаются собственными функциями:
\[
\begin{array}{l}
\left(k_{j} \psi, k_{l} \varphi\right)=i \delta_{j l} a_{k}\left(k_{j}\right) \\
\left(\bar{k}_{j} \bar{\psi}, k_{l} \bar{\varphi}\right)=-i \delta_{j l} \bar{a}_{k}\left(k_{l}\right), \quad k_{j}, k_{l}, k_{j}, k_{l} \in \sigma(\mathrm{L}) .
\end{array}
\]

Для вычисления скалярных произведений присоединенных функций воспользуемся следующей формулой:
\[
\begin{array}{l}
\left(U^{m}\left(k_{1}\right), V^{(r)}\left(k_{2}\right)\right)= \\
=\frac{r\left(U^{(m)}\left(k_{1}\right), V^{(r-1)}\left(k_{2}\right)\right)-m\left(U^{(m-1)}\left(k_{1}\right), V^{(r)}\left(k_{2}\right)\right)}{\left(k_{1}-k_{2}\right)}- \\
-\left[\frac{W\left(U^{(m)}\left(k_{1}\right), V^{(r)}\left(k_{2}\right)\right)}{i\left(k_{1}-k_{2}\right)}\right]_{-\infty}^{\infty} . \\
\end{array}
\]

Однако так определенная билинейная форма, вообще говоря, имеет особенности, кроме случая, когда у олератора L есть лишь простые собственные значения. Нз теоремы 6.6 следует, что в случае, когда потецциалы $Q, R$ имеют компактиые носители, фунжции расселния $a, b, \bar{a}$ и $\bar{b}$ аналитинны во всей комплексной плоскости $k$. Из (6.1.82) следует (может быть, это легче усмотреть из (6.1.72)), что разложение единицы можно записать в следующем сжатом виде:
\[
\begin{aligned}
\delta(x-y) I= & -\frac{1}{2 \pi} \int_{C} d k\left\{\frac{b}{a}(k) \psi(x, k) \psi^{A}(y, k)+\right. \\
& \left.+\bar{\psi}(x, k) \Psi^{A}(y, k)\right\}+\frac{1}{2 \pi} \int_{\bar{C}} d k\left\{\frac{\bar{a}}{\bar{a}}(k) \bar{\psi}(x, k) \bar{\psi}^{A}(y, k)+\right. \\
& \left.+\psi(x, k) \bar{\psi}^{A}(y, k)\right\},
\end{aligned}
\]

где $C$ и $\bar{C}$ суть предельные положения контуров $C_{R}, \bar{C}_{R}$ при $R \rightarrow$ $\rightarrow \infty$. Формулу (6.1.72) можно получить для случая некомпактных носителей деформированием контуров $C, \bar{C}$ в вещественную ось, если при зтом иитерпретировать $b(k), 5(k)$ для комплексных значений $k, \vec{k}$ так, как мы уже это делали ранее в этом разделе. Таким образом, формула (6.1.86) представляет собой весьма удобну1о форму записи разложения единипы. Мы будем часто применять ее в следующем разделе.

До сих пор мы не рассматривали вырождения, которое может возникнуть из-за наличия связей между двумя рассеиваюццми потенциалами. Некоторые возможности такого типа приводятся в следующей лемме, которая можст быть выведена из рассмотрения (6.1.13) и определяющих соотношений для функций рассеяния $(6.1 .31)-(6.1 .33)$.

Лемма 6,10. (i) Eсли $R=\alpha Q, \alpha$-комплексное число, то $\bar{M}=M, \bar{N}=N u \bar{\psi}(x, k)=\mathbf{E} \psi(x,-k), \bar{\varphi}(x, k)=\frac{1}{\alpha} \mathbf{E} \varphi(x,-k)$, $\bar{a}(k)=a(-k), \quad \overline{(k)}=\frac{1}{\alpha} b(-k), \quad 2 \partial e \quad \mathbf{E}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ \alpha & 0\end{array}\right]$.

При этом собственные значения и точки сингулярного спектра в полуплоскостях Im $k \geqslant 0$, Im $k \leqslant 0$ связаны соотношениями $k_{j}=-k_{j}$.
(ii) Eсли $R=\alpha Q^{*}, \alpha$-вещественное число, то $\bar{M}=M$, $\bar{N}=N u \Psi(x, k)=\mathbf{E} \psi^{*}\left(x, k^{*}\right), \ddot{\varphi}(x, k)=(1 / \alpha) \mathbf{E} \varphi^{*}\left(x, k^{*}\right), \bar{a}(k)=$ $=a^{*}\left(k^{*}\right), \quad \bar{b}(k)=(1 / \alpha) b^{*}\left(k^{*}\right)$. Собственные значения и точки сингулярного спектра связаны соотноиениями $k_{j}=k_{j}^{*}$, Im $k \geqslant 0$, $\operatorname{Im} k \leqslant 0$.
(iii) Eсли $R=\alpha Q=\alpha Q^{*}, \alpha$ – вещественное число, то $\vec{M}=$ $=M, \bar{N}=N$ и множества точек сингулярного спектра и собственных значений распадаются на множества $\left\{ \pm k_{j}, \mp k_{j}^{*}\right\}$, $j=1, \ldots, p, \quad\left\{ \pm i \eta_{j}\right\}, \quad j=1, \ldots, q, \quad$ ade $N=2 p+q, \quad u \quad\left\{k_{j}\right.$, $\left.-k_{j}\right\}, j=1, \ldots, M / 2$ coomветственно.
(iv) $B$ частности, если $R=Q^{*}$, то оператор $\mathrm{L}$ самосопряженный, и дискретный спектр отсутствует.

Для рассмотренного здесь несамосопряженного изоспектрального оператора можно точно так же, как в случае изоспектрального оператора, определенного для уравнения Шрёдингера, ввести понятия, аналогичные понятиям спектрального семейства и спектральной функции. Соответствующие обобщения называются обобщенной спектральной мерой и обобщенной спектральной функцией. Последнее чрезвычайно важно теоретически, так как позволяст прийти к равенспву Парсеваля – основному факту в спектральной теории, залисанному для несамосопряженного случая. Такое обобщение было получено Марченко [1960] и Фояшем [1960]. Восстановление потенциалов $Q$ и $R$ по обобщенной спектральной функции аналогично рассмотренному в гл. 3 и 4 самосопряженному случаю. Некоторые упражнения в конце этой главы устанавливают такую связь в самосопряженном случае, Мы начнем сейчас с определения данных рассеяния для этой задачи. Так же как и в самосопряженном случае, они определяются асимптотическими свойствами главных функций на бесконечности. А именно, данные рассеяния $S_{ \pm}$определяются как множества
\[
\begin{array}{l}
j=1, \ldots, N, \quad l=1, \ldots, \bar{N}\}, \\
P_{+1}(x)=-i e^{-i k_{j} x} \operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{\frac{b(k)}{a(k)} e^{i k x}\right\}, \\
P_{+l}(x)=i e^{l \bar{k}_{l} x} \operatorname{Res}_{k=\bar{k}_{l}}\left\{\frac{\bar{b}(k)}{\bar{a}(k)} e^{-i k x}\right\}, \\
S_{-}=\left\{R_{-}=\frac{5}{a}, \bar{R}_{-}=\frac{b}{\bar{a}}, k_{f}, P_{-f}(x), \bar{k}_{l}, \bar{P}_{-l}(x),\right. \\
j=1, \ldots, N, t=1, \ldots, \bar{N}\}, \\
P_{-j}(x)=-i e^{-i k_{j} x} \operatorname{Res}_{k=k_{j}}\left\{\frac{1}{b(k) a(k)} e^{i k x}\right\}, \\
\bar{P}_{-l}(x)=i e^{-i k_{l} x} \operatorname{Res}_{k=k_{i}}\left\{\frac{1}{\bar{\sigma}(k) \tilde{a}(k)} e^{-i k x}\right\} . \\
\end{array}
\]

Множество $S_{\text {_ }}$ соответствует использованию решений Йоста $\varphi$ и $\bar{\varphi}$ для определения обобщенной спектральной меры. Функции $P_{ \pm j}(x)$ и $\bar{P}_{ \pm i}(x)$ называются нормировочкыми многочленами. В случае одних лишь простых нулей они сводятся к нормировочным постоянным для собственных функций.

Восстановление коэффициентов $a$ и $\bar{a}$ по $S_{ \pm}$будет надлежащим образом рассмотрено в следующем разделе, где эти коэффициенты определены по начальным данным. Однако интересно коснуться этого вопроса и в настоящем контексте, ибо в случае, когда $a$ и $\bar{a}$ однозначно определяются множествами $S_{ \pm}$, как будет показано ниже, существует связь между нулями функций $a$ и $\bar{a}$. Определим функции
\[
\begin{array}{l}
f(k)=a(k) \prod_{j=1}^{N}\left(\frac{k-\bar{K}_{j}}{k-k_{j}}\right)^{m_{j}}, \quad \operatorname{Im} k \geqslant 0, \\
\bar{f}(k)=\bar{a}(k) \prod_{j=1}^{\bar{N}}\left(\frac{k-K_{j}}{k-\bar{k}_{j}}\right)^{\bar{m}_{j}}, \quad \operatorname{Im} k<0,
\end{array}
\]

где $\left\{k_{j}, k_{l}, j=1, \ldots, N, l=1, \ldots, \bar{N}\right\}$ суть множества дискретных собственных значений оператора $\mathbf{L}$ с кратностями $m_{j}$ и $\bar{m}_{l}$. Числа $\left\{\bar{K}_{j}, K_{l}, \operatorname{Im} K_{l}>0, \operatorname{Im} \bar{K}_{j}<0, j=1, \ldots, N, l=1, \ldots\right.$ $\ldots, \bar{N}\}$ выбраны таким образом, чтобы множества $\left\{\bar{K}_{j}\right\},\left\{K_{l}\right\}$ были отличны от множеств $\left\{k_{l}\right\},\left\{k_{j}\right\}$ соответственно. Нули $a$ и $\bar{a}$ изолированы и, следовательно, функции $f$ и $\bar{f}$ аналитичны соответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексной плоскости $k$. Кроме того, для функций $f, \bar{f}$ имеют место следующие асимптотические формулы, справедливые при $|k| \rightarrow \infty$ (лемма 6.3): $f(k)=1+O(1 /|k|), \quad \bar{f}(k)=1+O(1 /|k|)$. Согласно теореме Коши, получаем равенства
\[
\begin{aligned}
\ln f & =\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{\ln f(z)}{(2-k)} d z, & \operatorname{Im} k>0, \\
0 & =\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{\ln f(z)}{(z-k)} d z, & \operatorname{Im} k>0 .
\end{aligned}
\]

Предполагается, что в этих формулах выбрано главное значение $\ln$. Условня $\ln f(z) \rightarrow 0, \ln f(z) \rightarrow 0$ при $|z| \rightarrow \infty, z$ вещественное, накладывают некоторые ограничения на поведение функций $\ln a(z)$, In $\bar{a}(z)$ при вецественном $z$, которые мы сейчас укажем. Выбирая ветви функций
\[
h(z)=\sum_{j=1}^{N} \ln \left[\frac{z-\bar{K}_{j}}{z-k_{j}}\right]^{m_{j}}, \bar{h}(z)=\sum_{j=1}^{\bar{N}} \ln \left[\frac{z-K_{j}}{z-\bar{k}_{j}}\right]^{\bar{m}_{j}}, \quad \operatorname{Im} z=0
\]

так, чтобы выполнялись соотношения $h(z) \rightarrow 0, \hbar(z) \rightarrow 0$ при $z \rightarrow+\infty$, найдем, что
\[
h(z) \rightarrow 2 \pi i H, \bar{h}(z) \rightarrow-2 \pi i \bar{H} \text { при } z \rightarrow-\infty, \operatorname{Im} z=0,
\]

где $H=\sum_{j=1}^{N} m_{j}, \bar{H}=\sum_{j=1}^{\bar{N}} \bar{m}_{j}$.

Поэтому при вецественных $z$ функции $\ln a(z)$ и $\ln \bar{a}(z)$ должны обладать следуюцими асимптотиками:
\[
\begin{array}{l}
\ln a(z) \rightarrow 0, \quad \ln \bar{a}(z) \rightarrow 0 \text { при } z \rightarrow \infty, \\
\ln a(z) \rightarrow-2 \pi i H, \ln \bar{a}(z) \rightarrow 2 \pi i \bar{H} \quad \text { при } z \rightarrow-\infty .
\end{array}
\]

Применяя (6.1.91), мы получим тогда формулу
\[
\begin{array}{r}
a(k)=\prod_{j=1}^{N}\left(\frac{k-k_{j}}{k-\bar{K}_{j}}\right)^{m_{j}} \exp \frac{1}{2 \pi i}\left\{\int_{\gamma} \frac{d z}{(z-k)}(\ln a(z)+h(z))+\right. \\
\left.+\int_{\bar{\gamma}} \frac{d z}{(z-k)}(\ln \bar{a}(z)+\bar{h}(z))\right\}, \operatorname{In} k>0 .
\end{array}
\]

Для восстановления функции $a$ по данным рассеяния $S_{ \pm}$требуется так деформировать контур интегрирования, чтобы он проходил по вещественной оси. Определим функции
\[
\begin{array}{cll}
g_{j}(z)=\ln \left(z-k_{j}\right)^{m_{j}} & \text { при } & \left|z-k_{j}\right|<\delta, \\
0 & \text { при } & \left|z-k_{j}\right|>\delta, \quad j=N+1, \ldots, M+N, \\
\bar{g}_{j}(z)=\ln \left(z-k_{j}\right)^{m_{j}} & \text { при } & \left|z-\bar{k}_{j}\right|<\delta, \\
0 & \text { при } & \left|z-\bar{k}_{j}\right|>\delta, \quad j=\bar{N}+1, \ldots, \bar{M}+\bar{N},
\end{array}
\]

и перепишем равенство (6.1.95) следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
a(k)=\prod_{l=1}^{N}\left(\frac{k-k_{j}}{k-\bar{K}_{j}}\right)^{m_{j}} \exp \frac{1}{2 \pi i}\left\{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d z}{(z-k)}(\ln (a(z) \bar{a}(z))+h(z)+\right. \\
\left.+h(z)-l(z)-\bar{l}(z))+\int_{\gamma} \frac{d z}{(z-k)} l(z)+\int_{\gamma} \frac{d z}{(z-k)} l(z)\right\}, \quad \operatorname{Im} k>0,
\end{array}
\]

где
\[
l(z)=\sum_{j=N+1}^{M+N} g_{j}(z), \quad l(z)=\sum_{l=\bar{N}+1}^{\bar{M}+\bar{N}} \bar{g}_{j}(z) .
\]

Однако функция а по-прежнему зависит от произвольного набора чисел $\left(K_{j}, \bar{K}_{j}\right.$ ). Внимательное рассмотрение формулы (6.1.96) показывает, что если $\bar{N}=N$ и $\bar{m}_{j}=m_{j}$, то интегральная формула Коши дает требуемое представление:
\[
\begin{aligned}
a(k)= & \prod_{l=1}^{N}\left(\frac{k-k_{j}}{k-k_{j}}\right)^{m} \exp \frac{1}{2 \pi i}\left\{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d z}{(z-k)}(\ln (a(z) \bar{a}(z))-\right. \\
& -l(z)-l(z))+\int_{\bar{\gamma}} \frac{d z l(z)}{(z-k)}+\int \frac{d z l(z)}{(z-k)}, \quad \operatorname{Im} k>0,
\end{aligned}
\]

где $a(z) \equiv\left(1-R_{+}(z) \bar{R}_{+}(z)\right) \equiv\left(1-\bar{R}_{-}(z) R_{-}(z)\right)^{-1}, \operatorname{Im} z=0$.

Теорема 6.11. Функиии рассеяния $a(k), \operatorname{Im} k \geqslant 0, \bar{a}(k)$, Im $k \leqslant 0$, дднознино определены и могут быть построены в явном виде по данным рассезния $S_{ \pm}$в том и только в том случае, когда $\bar{N}=N$ и $\bar{m}_{j}=m_{j}$. Если эти условия выполнены, то справедливы соотноиения
\[
\text { Ind } a \vdash \sum_{i=1}^{N} m_{j}=0 \text {, Ind } \bar{a}-\sum_{i=1}^{N} m_{j}=0,
\]

где через Ind $a$ (Ind $\vec{a}$ ) обознанатсл разделенное на $2 \pi$ прираццение непрерьнной ветви агg $a(k)(\arg \vec{a}(k)$ ), получающеся при доижении $k$ от $\infty \kappa-\infty$ по любой кривой $\gamma(\bar{\gamma})$, такой ито комплексное нули а $(\bar{k})(\bar{a}(k)$ ) отаются выше $\gamma$ (ниэе $\bar{\gamma})$, а вецественные нули -ниже $\gamma$ (аыие $\bar{\gamma}$ ).

Точно так же, как в разд. 3.5 для изоспсктрального уравпения Шрёдингера, здесь будет определен класс интегрируемых уравнений. Уравнение (6.1.13) может быть перепнсано в виде
\[
\Phi_{x}=\mathbf{P} \Phi, \quad \operatorname{Im} k=0,
\]

где $\Phi$ – фундаментальное матричное решение
\[
\Phi=\left(\begin{array}{cc}
\Phi_{1} & \bar{\varphi}_{1} \\
\varphi_{2} & \bar{\varphi}_{2}
\end{array}\right)
\]
a
\[
\mathbf{P}=\left(\begin{array}{cc}
-i k & Q \\
R & i k
\end{array}\right) \text {. }
\]

Применим сейчас к обенм частям равенства (6.1.98) операцию $\Delta$-варьирования. Получим соотношение

Так как фундаменталышые матричные ренения $\Phi, \Psi$ связаны между собой матрицей-функцией рассеяния А (см. (6.1.35)), то уравнение (6.1.99) устапавливает связь между $\Delta$-вариацией функций рассеяния н $\Delta$-вариацией рассеивающих потешцалов. Соответствующие соотношения имеют вид
\[
\Delta a=-I_{\Delta}(\varphi, \psi), \quad \Delta b=I_{\Delta}(\varphi, \bar{\psi})
\]
\[
\Delta \bar{a}=I_{\Delta}(\bar{\Phi}, \bar{\psi}), \quad \Delta \bar{b}=-I_{\Delta}(\bar{\varphi}, \psi) \text {, }
\]

где
\[
I_{\Delta}(V, Y) \equiv \int_{-\infty}^{\infty}\left(\Delta R v_{1} y_{1}-\Delta Q v_{2} y_{2}\right) d x .
\]

Представления (6.1.100) были получсны при условик, что $k$ вещественно и не является точкой сингулярного спектра оператора $\mathbf{L}$, а также что $\Delta Q \rightarrow 0$ «достаточно быстро» при $|x| \rightarrow \infty$.

Большой класс интегрируемых уравнений можно получить, если потребовать, чтобы функции рассеяния $R_{+}, \bar{R}_{+}$(или $R_{-1} \bar{R}_{-}$) удовлетворяли линейным уравнениям. ‘Из (6.1.100) мы выводим, पто
\[
\Delta R_{+}=\frac{1}{a^{2}} I_{\Delta}(\varphi, \varphi), \Delta \bar{R}_{+}=-\frac{1}{\bar{a}^{2}} I_{\Delta}(\bar{\varphi}, \bar{\varphi})
\]

Поэтому, налагая условня
\[
\Omega R_{+}=\frac{1}{a^{2}} I_{\Delta}(\varphi, \varphi), \overline{\Omega R}_{+}=-\frac{1}{\bar{a}^{2}} I_{\Delta}(\bar{\varphi}, \bar{\varphi}),
\]

где $\Omega, \bar{\Omega}$ – известные функции $k$, находим, что $R_{+}, \bar{R}_{-}$удовлетворяют линейным уравнениям
\[
\Delta R_{+}=\Omega R_{+}, \Delta \bar{R}_{+}=\bar{\Omega} \bar{R}_{+} .
\]

Таким образом, как и в случае изоспектрального оператора Шрёдингера, рассмотренный нами класс интегрируемых уравнений может быть получен из ограничений (6.1.102).

Для простоты ограничимся случаем, когда $\Delta$ – оператор полного дифференцирования по времени, а функции $\Omega, \bar{\Omega}$ зависят только от $k$. Пусть ${ }_{k} V,{ }_{k} Y$ – пара решений уравнения (6.1.13). Непосредственно получаются соотношения
\[
\begin{array}{c}
\left(v_{2} y_{2}\right)_{x}-R\left(y_{1} v_{2}+v_{1} y_{2}\right)=2 i k y_{2} v_{2}, \\
\left(v_{1} y_{1}\right)_{x}-Q\left(y_{1} v_{2}+v_{1} y_{2}\right)=-2 i k y_{1} v_{1}, \\
\left(y_{1} v_{2}+v_{1} y_{2}\right)(x)=\left(y_{1} v_{2}+v_{1} y_{2}\right)(-\infty)+ \\
+2 \int_{-\infty}^{x}\left(R(s) v_{1}(s) y_{1}(s)+Q(s) v_{2}(s) y_{2}(s)\right) d s
\end{array}
\]

из которых можно вывести формулу
\[
\mathbf{L}_{1} V \circ Y(x)=k V \circ Y(x)-\frac{1}{2}\left(\sigma_{2} U(x)\right)\left(V^{T} \sigma_{1} Y\right)(-\infty)
\]

где
\[
\mathbf{L}_{1} \equiv \frac{1}{2 i}\left(\begin{array}{cc}
-\frac{\partial}{\partial x}+2 Q \int_{-\infty}^{x} d s R & 2 Q \int_{-\infty}^{x} d s Q \\
-2 R \int_{-\infty}^{x} d s R & \frac{\partial}{\partial x}-2 R \int_{-\infty}^{x} d s Q
\end{array}\right)
\]

H
\[
\begin{array}{c}
V \circ Y \equiv\left(\begin{array}{ll}
v_{1} & y_{1} \\
v_{2} & y_{2}
\end{array}\right), \quad U=\left(\begin{array}{l}
R \\
Q
\end{array}\right), \quad \sigma_{1}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \\
\sigma_{2}=\left(\begin{array}{ll}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right), \quad \sigma_{3}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

В частности, обозначая $V^{(2)} \equiv V \circ V$ и применяя (6.1.107) и (6.1.106), получаем в пределе $x \rightarrow+\infty$ следующие соотношения:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{L}_{1 k} \varphi^{(2)}=k_{k} \varphi^{(2)}, \quad a b=\int_{-\infty}^{\infty} U \cdot{ }_{k} \varphi^{(2)}(x) d x=\left(U,{ }_{k} \varphi^{(2)}\right), \\
\mathbf{L}_{1 k} \bar{\varphi}^{(2)}=k_{k} \bar{\varphi}^{(2)}, \quad \bar{a} \bar{b}=\int_{-\infty}^{\infty} U \cdot{ }_{k} \bar{\varphi}^{(2)}(x) d x=\left(U,{ }_{k} \bar{\varphi}^{(2)}\right) .
\end{array}
\]

Уравнения (6.1.109) вместе с (6.1.101) можно записать в виде $\left(\sigma_{3} U_{t}-\Omega(k) U,{ }_{k} \varphi^{(2)}\right)=0, \quad\left(\sigma_{3} U_{t}+\bar{\Omega}(k) U,{ }_{k} \bar{\varphi}^{(2)}\right)=0$.

Если функции $\Omega, \bar{\Omega}$ являются многочленами по $k$ или отношениями двух многочленов $\Omega=C_{1} / C_{2}, \bar{\Omega}=\bar{C}_{1} / \bar{C}_{2}$, то (6.1.108) позволяет переписать (6.1.110) следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\left(\sigma_{3} U_{t}-\Omega\left(\mathrm{L}_{1}^{A}\right) U,{ }_{k} \varphi^{(2)}\right)=0, \\
\left(\sigma_{3} U_{t}+\bar{\Omega}\left(\mathrm{L}_{1}^{A}\right) U,{ }_{k} \varphi^{(2)}\right)=0,
\end{array}
\]

где
\[
\mathbf{L}_{1}^{A}=\frac{1}{2 i}\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial}{\partial x}+2 R \int_{x}^{\infty} d s Q & -2 R \int_{x}^{\infty} d s R \\
2 Q \int_{x}^{\infty} d s Q & -\frac{\partial}{\partial x}-2 Q \int_{x}^{\infty} d s R
\end{array}\right)
\]

Если, в частности, $\bar{\Omega}=-\Omega$, то условия (6.1.100) заведомо выполняются при справедливости соотношения
\[
C_{2}\left(\mathrm{~L}_{1}^{A}\right) \sigma_{3} U_{t}-C_{1}\left(\mathrm{~L}_{1}^{A}\right) U=0,
\]

которое дает класс уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния, ассоциированный с L. Формально более широкий класс интегрируемых уравнений получается в случае, когда $\Omega, \vec{\Omega}$ являются отношениями целых функций от $k$. Такие случаи уравнения при $\bar{\Omega}
eq-\Omega$ также являются интегрируемыми, и фактически один пример из этого класса физически важен. Мы еце вернемся в настоящем разделе к этому более общему классу и снова будем им заниматься в разд. 6.2.

Сейчас же мы сосредоточимся на классе уравнений, описываемом соотношением (6.1.112), где $C_{1}$ и $C_{2}$ суть многочлены от $k$. Вот некоторые частные случаи уравнений, содержацихся в классе (6.1.112).

Примеры, в которых $\Omega$ целая функция
(1) $\Omega(k) \equiv \alpha, \quad \sigma_{3} U_{t}-\alpha U=0$
(2) $\Omega(k) \equiv \alpha k, \sigma_{3} U_{1}-\alpha\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right) U=0$
\[
\left(\begin{array}{c}
R_{t} \\
-Q_{t}
\end{array}\right)-\frac{\alpha}{(2 i)}\left(\begin{array}{l}
R_{x} \\
Q_{x}
\end{array}\right)=0
\]
(3) $\Omega(k) \equiv \alpha k^{2}, \sigma_{3} U_{t}-\alpha\left(\mathrm{L}_{1}^{A}\right)^{2} U=0$
\[
\left(\begin{array}{c}
R_{t} \\
-Q_{t}
\end{array}\right)-\frac{\alpha}{(2 i)^{2}}\left(\begin{array}{c}
R_{x x}-2 R^{2} Q \\
Q_{x x}-2 Q^{2} R
\end{array}\right)=0
\]

вырожденный случай: $R=\beta Q^{*}, \alpha=4 i, \beta- \pm 1$;
$i Q_{t} \mp|Q|^{2} Q+Q_{x x}=0$ (нелинейное уразение IШредингера).
(4) $\Omega(k) \equiv \alpha k^{3}, \sigma_{3} U_{\mathrm{t}}-\alpha\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right)^{3} U=0$ :
\[
\left(\begin{array}{c}
R_{i} \\
Q_{t}
\end{array}\right)-\frac{\alpha}{(2 i)^{3}}\left(\begin{array}{c}
R_{x x x}-6 R Q R_{x} \\
-Q_{x x x}+6 R Q Q_{x}
\end{array}\right)=0 ;
\]

вырожденный случай: $R-\beta Q^{*}, \alpha-8 i, \beta- \pm 1$;
$Q_{t} \pm 6|Q|^{2} Q_{x}+Q_{x x x}=0$ (комплексное модифицированное уравнение КдФ);

вырожденный случай: $R=\beta Q, \alpha-8 i, \beta- \pm 1$;
$Q_{t} \pm 6 Q^{2} Q_{x}+Q_{x x x}=0$ (Q вещественше; модифицироваиное уравнение КФ).
Примеры, в которых $\Omega$ – мероморфат функция
(5) $\Omega(k) \equiv \alpha_{i} k, \quad\left(\mathrm{~L}_{1}^{A}\right) \sigma_{3} U_{t}-\alpha U-0$
\[
\frac{1}{2 i}-\left(\begin{array}{c}
R_{t x}+2 R \int_{x}^{\infty}(R Q)_{i} d s \\
Q_{t x} \cdot 2 Q \int_{x}^{\infty}(R Q)_{t} d s
\end{array}\right)-\alpha\left(\begin{array}{c}
R \\
Q
\end{array}\right)=0
\]

вырожденный случай: $R=\beta Q . \alpha=-1 / 2 i, \beta=-1$;
\[
Q_{t x}-2 Q \int_{x}^{\infty}(Q)_{t}^{2} d s \mp Q=0 .
\]

Класс эквивалентиости, опрелеленный $\Omega$, содержит также уравнение $\sin -\Gamma$ ордон $V_{x t}= \pm \sin V$;

нужно положить $V_{x}=-2 Q$, предполагая, что $4\left(Q_{t}\right)^{2} \leqslant 1$.
(6) $\Omega(k) \equiv-8 i k^{3}+\frac{i \alpha}{2 k}, 2\left(\mathrm{~L}_{1}^{A}\right) \sigma_{3} U_{\mathfrak{t}}+i\left(\alpha-16\left(\mathrm{~L}_{1}^{A}\right)^{4}\right) U=0$
\[
\left[\begin{array}{c}
R_{x t}+2 R \int_{x}^{\infty}(R Q)_{t} d s-\alpha R-1 \cdot R_{4 x}-8 R Q R_{2 x}-6 R_{x}^{2} Q- \\
-4 R R_{x} Q_{x}+6 R^{3} Q^{2}-2 R^{2} Q_{2 x} \\
\cdot \\
Q_{x t}+2 Q \int_{x}^{\infty}(R Q)_{t} d s-\alpha Q+Q_{4 x}-8 R Q Q_{2 x}-6 Q_{x}^{2} R- \\
-4 Q R_{x} Q_{x}+6 R^{2} Q^{3}-2 Q^{2} R_{2 x}
\end{array}\right)=0 ;
\]

вырожденный случай: $R=Q \beta, \beta=-1$ :
\[
Q_{x t}-2 Q \int_{x}^{\infty}\left(Q^{2}\right)_{t} d s-\alpha Q+Q_{4 x} \mid 10 Q^{2} Q_{2 x}+10 Q Q_{x}^{2}+6 Q^{5}=0 .
\]

Қласс эквивалентиости, определснный $\Omega$, солержит также модифицированное уравнение КдФ и уравнение $\operatorname{sin-Гордоп~}$
\[
Q_{\ell}-6 Q^{2} Q_{x}-Q_{x x x}+\frac{\alpha}{2} \sin \left(-2 \int_{x}^{\infty} Q d s\right)=0 .
\]

Конно и др. [1974] предтожили это уравнение как моделирующее влияние слббой дистокации на распространение волп в ангармоннческом крнсталле.

Функция $\Omega$ просто связана с дисперсионными соотношениями линеаризованных интегрируемых уравнений (6.1.112). Мы легко находим, что линеаризованные уравнения имеют внд

Полагая
\[
C_{2}\left(\frac{1}{2 i} \sigma_{3} \frac{\partial}{\partial x}\right) \sigma_{3} U_{t}-C_{1}\left(\frac{1}{2 i}-\sigma_{3}-\frac{\partial}{\partial x}\right) U=0 .
\]

получаем, что
\[
U=\left(e^{i(2 k x-\widehat{\omega} t)}, e^{i(-2 k x-\omega t)}\right)^{T},
\]
\[
\Omega(k)=-i \bar{\omega}(2 k)=i \omega(-2 k) .
\]

Задание линсйного дисперсионного соотпшения, т. е. в сущности $\Omega$, опредсляст класс эквивалентности интегрируемых нелинейшых уравнений. Элементы этого класса связаны функциями $E(k)$ :
\[
C_{1}^{1}(k)=E(k) C_{1}(k), C_{2}^{1}(k)=E(k) C_{2}(k),
\]

где $E(k)$ целая или мероморфная. В частности, выбор $E(k)=$ $=C_{2}^{-1}(k)$ приводит к тому, что уравнения снова принимают вид эволюционных в предположении, что можно придать смысл выражению $C_{2}^{-1}\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right) C_{1}\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right) V$. В самом деле, в приведенных выне примерах вырожденных случаев, т. е. для уравнения sin-Гордон и уравнения, рассмотренного Конно и др. [1974 ], это можно сделать. Дальнейшее обсуждение этих уравнений в связи с их отношением к задаче Қоши будет продолжено в следующем разделе.

В предыдущих рассмотрениях интегрируемых уравнений мы предполагали, что начальные условия, которым подчинены $R$ и $Q$, таковы, что реконструированные функции удовлетворяют соответствующим уравнениям. Тогда $\Omega$ формально определяет класс эквиваленгности интегрируемых уравнений. Подходящее условие такого рода приведено в разд. 3.5 и заключается в том, что реконструированные функции $Q$ и $R$ принадлежат общему классу Шварца.

Мы сейчас вернемся к определению эволюцин данных рассеяния, уравнению (6.1.112). Техника раздела 3.5 приводит немедленно к следующей теореме.

Теорема 6.12. Пусть выполнены условия теоремы 6.6. Тогда данные рассеяния $S_{+}(0)$ одноянанно определяются функциями $R(x, 0)$ и $Q(x, 0)$. Если $\bar{\Omega}=-\Omega$, то функция $S_{+}(t)$ формально определяет класс эквивалентности интегрируемьх уравнений
\[
C_{1}\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right)_{3} U_{t}+C_{2}\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right) U=0,
\]

аде $\Omega=C_{1} / C_{2}$. Каюдый элемент этого класса имеет одну и ту же функцию $S_{+}(t)$, определенную следуючим образом:
\[
\begin{array}{l}
\left(P_{+j}(x, t) e^{-\alpha_{j} t}\right)_{t}=\frac{-i e^{-\left(i k_{j} x+\Omega_{j} t\right.}}{\left(m_{j}-1\right) !} \sum_{s=0}^{m_{j}-2}\left(\Omega^{\left(m_{j}-1-s\right)}(k) \times\right. \\
\left.\times\left[\frac{b}{a}(k, 0)\left(k-k_{j}\right)^{m_{j}} e^{i k x+\Omega(k) t}\right]^{(s)}\right)_{k=k_{j}}, \\
\left(\bar{P}_{+l}(x, t) e^{\bar{\Omega}_{t} t}\right)_{t}=\frac{i e^{i \bar{k}_{t} x+\hat{\Omega}_{l} t}}{\left(\bar{m}_{l}-1\right) !} \times \\
\times \sum_{s=0}^{\bar{m}_{l}-2}\left(\Omega^{\left(\bar{m}_{l}-1-s\right)}(k)\left[\frac{5}{\bar{a}}(k, 0)\left(k-\bar{k}_{l}\right)^{\bar{m}_{i}} e^{-i k x+\Omega(k) t}\right]^{(s)}\right)_{k=k_{l}}, \\
R_{+t}(k, t)=\Omega(k) \cdot R_{+}(k, t), \\
\bar{R}_{+t}(k, t)=-\Omega(k) \cdot \bar{R}_{+}(k, t), \\
\sigma(\mathbf{L}(t))=\sigma(\mathbf{L}(0)) . \\
\end{array}
\]

Числа $\Omega_{j}, \bar{\Omega}_{l}$ определены равенствами $\Omega_{j}=\Omega\left(k_{j}\right), \quad \bar{\Omega}_{l}=$ $=\Omega\left(\bar{k}_{l}\right)$. При выводе этих уравнений мы допускаем, что $\Omega$ может быть сингулярной, однако ее особенности не должны совпадать с $\sigma$ (L) или с точками сингулярного спектра.

Из (6.1.107) легко вывести, что
\[
\left(\mathrm{L}_{1}\right)^{s} \varphi \circ \psi=k^{s} \varphi \circ \psi-\frac{1}{2 i} \cdot a(k)\left(\sum_{r=0}^{s-1}\left(\mathbf{L}_{1} r\right)\left(\sigma_{2} U\right) .\right.
\]

Установленная в упражнениях формула
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right)^{s} U \cdot \sigma_{2} U d x=0
\]

позволяет заключить, что
\[
\begin{array}{l}
a_{t}=-I_{t}(\varphi, \psi)=-\int_{-\infty}^{\infty} U \cdot \Omega\left(\mathbf{L}_{1}\right) \varphi \circ \psi d x= \\
=-\Omega(k) \int_{-\infty}^{\infty} U \cdot \varphi \circ \psi d x=0 .
\end{array}
\]

Последнее равенство устанавливается с гомощью (6.1.106). Используя (6.1.97) и определение $a$ через $S_{+}$по формуле (6.1.87), можно было бы дать другой вывод того же результата.
Аналогично
\[
\bar{a}_{t}=0 .
\]

Эволюцию во времени $S_{-}$также легко залисать в этом случае. Уравнения, определяющие $S_{+}(t)$ в теореме 6.12 , являотся точными. Решения оказываютея особенно простыми в том случае, когда $a$ и $\bar{a}$ имеют только простые нули. В этом случае суммы в правой части выражений для нормировочных многочленов обращаютея в нуль, нормировочные многочлены превращаются в нормировочные «постояншые» и $S_{+}(t)$ дается равенствами
\[
\begin{aligned}
P_{+j}(t) & =P_{+j}(0) e^{\Omega_{j} t}, \\
\bar{P}_{+i}(t) & =\bar{P}_{+l}(0) e^{-\bar{\Omega}_{l} t}, \\
R_{+}(k, t) & =R_{+}(k, 0) e^{\Omega(k) t}, \\
\bar{R}_{+}(k, t) & =\bar{R}_{+}(k, 0) e^{-\Omega(k) t}, \\
\sigma(\mathbf{L}(t)) & =\sigma(\mathbf{L}(0)) .
\end{aligned}
\]

Для изоспектрального оператора Шрёдингера функция рассеяния $a$ играет центральную роль в гамильтоновой структуре этой теории. Она служит порождающей функцией для бесконечного семейства интегралов движения, являющихся гамильтонианами для интегрируемых уравнений.

Как мы видели ранее, в случае, когда $\Omega=-\bar{\Omega}$, выполняются соотношения $a_{t}=0$ и $\vec{a}_{t}=0$. Сходная интерпретация может быть дана для функций $a$ и $\bar{a}$. Подробное рассмотрение этой ситуации выведет нас за рамки тематики настоящей книги, но мы все же попытаемся хотя бы формально получить некоторые результаты. Исходя из определения резольвентного оператора, можно определить регуляризованный след как функционал вида
\[
d(k)=\operatorname{tr}\left((\mathbf{L}-k \mathbf{I})^{-\mathbf{1}}-\left(\mathbf{L}_{0}-k \mathbf{I}\right)^{-1}\right),
\]

где $\mathrm{L}_{0}=\mathrm{L}(Q=0, R=0)$. Из (6.1.13) получается соотношение
\[
\text { 一 } i\left(\varphi_{2 k} \psi_{1}-\psi_{2} \varphi_{1 k}\right)_{x}=\varphi_{1} \psi_{2}+\varphi_{2} \psi_{1}, \quad \text { Im } k \geqslant 0,
\]

интегрируя которое мы приходим к формуле
\[
(-\ln a)_{k}=i \int_{-\infty}^{\infty}\left[\frac{\varphi_{1} \psi_{2}+p_{2} \psi_{1}}{a}-1\right] d x, \quad \operatorname{Im} k \geqslant 0 .
\]

Поэтому из определения функционала-следа ясно, что
\[
d(k)=\left\{\begin{array}{ll}
(-\ln a)_{k}, & \operatorname{Im} k>0, \\
(-\ln \bar{a})_{k}, & \operatorname{In} k<0 .
\end{array}\right.
\]

Формула для ( $-\ln \bar{a})_{k}$ получается аналогичным образом, если в правой части равенства (6.1.123) заменить $\varphi \rightarrow \bar{\phi}, \psi \rightarrow \bar{\psi}, a \rightarrow$ $\rightarrow \bar{a}, i \rightarrow-i$. Из (6.1.106) получается, что
\[
\left(\varphi_{1} \psi_{2}+\varphi_{2} \psi_{1}\right)(x, k)-a(k)=2 \int_{-\infty}^{x} U \cdot(\varphi \circ \psi) d y .
\]

С помощью формулы (6.1.123) мы приходим тогда к формальному соотношению
\[
(\ln a)_{k}=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{\infty}^{x}\left(\mathbf{L}_{1}^{A}-k \mathbf{I}\right)^{-1} U \cdot \sigma_{2} U d y\right) d x, \quad \operatorname{Im} k>0 .
\]

Разлагая в формальный ряд и интегрируя, получим отсюда асимптотическое разложение при $|k| \rightarrow \infty$ :
\[
\ln a(k) \sim \sum_{j=1}^{\infty} \frac{C_{j}}{k^{j}} \quad \text { при } \quad|k| \rightarrow \infty,
\]

где
\[
C_{j}=\frac{i}{i} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{x}\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right)^{\prime} U \cdot \sigma_{2} U d y\right) .
\]

Отсюда с учетом $(\ln a)_{t}=0$ получается, что $\left\{C_{j}\right\}$ есть бесконечное семейство интегралов движения. Непосредственно вычисляя интегралы (6.1.128), можно указать несколько членов этого семейства:
\[
\begin{array}{l}
C_{1}=\frac{1}{2 i} \int_{-\infty}^{\infty} R Q d x, \quad C_{2}=\left(\frac{1}{2 i}\right)^{2} \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty}\left(R_{x} Q-Q_{x} R\right) d x, \\
C_{3}=\left(\frac{1}{2 i}\right)^{3} \frac{1}{3} \int_{m-\infty}^{\infty}\left(R_{2 x} Q+R Q_{2 x}-R_{x} Q_{x}-3 R^{2} Q^{2}\right) d x .
\end{array}
\]

Эти же самые законы сохранения можно получить аналогичным разложением $\ln \bar{a}(k)$, $\operatorname{Im} k<0$ при $|k| \rightarrow \infty$. Корректность таких разложений можно проверить прямым асимптотическим разложением выражения (6.1.13) для решений Иоста.

Сейчас мы покажем, что функционалы $\left\{C_{i}\right\}$ (или их линейные комбинации) суть гамильтонианы интегрируемых эволоццонных уравнений для этой системы (см. разд. 3.5) Соотюошения, установленные в (6.1.104)-(6.1.106), приводят к формуле
\[
\left(\mathrm{L}_{1}^{A}-k \mathrm{I}\right) \sigma_{2} \varphi \circ \psi=-\frac{a}{2} U .
\]

Из (6.1.100) и (6.1.106) следует, что
\[
\Delta a=-\int_{-\infty}^{\infty}\left(\sigma_{3} \Delta U \cdot \varphi \circ \psi\right) d x=\frac{a}{2 i} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\sigma_{1} \Delta U \cdot\left(\mathbf{L}_{i}^{A}-k \mathbf{l}\right)^{-1} U\right) d x .
\]

В разд. 3.5 показано, что $\Delta$ разумно интерпретировать как произвольную вариацию функций $Q$ и $R$. Таким образом, если мы формально разложим (6.1.131) и воспользуемся (6.1.128), то получим
\[
\sigma_{1} \frac{\Delta C_{j}}{\Delta U}=\left(\frac{1}{2 i}\right)\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right) i U,
\]

где
\[
\sigma_{1} \frac{\Delta C_{j}}{\Delta U} \equiv\left(\frac{\Delta C_{j}}{\Delta Q}, \frac{\Delta C_{i}}{\Delta R}\right)^{T} .
\]

Компоненты $\Delta C_{j} / \Delta U$ суть производные Фреше функционалов $C_{j}$ по отношению к функциям $R$ и $Q$ соответственно.
Интегрируемые эволюционные уравнения имеют вид

где
\[
\sigma_{3} U_{t}-C\left(\mathrm{~L}_{1}^{A}\right) U=0,
\]
\[
C_{1}\left(\mathrm{~L}_{1}^{A}\right)=\sum_{j=0}^{n} a_{j}\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right)^{j} .
\]

Итак, эволюционные уравнения можно записать следующим образом:
\[
\sigma_{3} U_{t}=\sigma_{1} \frac{\Delta H}{\Delta U},
\]

где
\[
H=2 i \sum_{j=0}^{n} a_{j} C_{j}
\]
т. е. как гамильтоновы уравнения с гамильтоннаном $H$. Заметим, что наряду с асимптотическими разложениями функционаласледа для больших $k$ можно также находить его разложения в окрестности любой регулярной точки. Гамильтонианы, полученные этим способом, соответствуют нелинейным эволюционным уравнениям, определяемым сингулярными дисперсионными соотношениями ( $\Omega$ мероморфна). В этом случае для того, чтобы обеспечить справедтивость такой процедуры для вещественных $k$, следует наложить доголнительные условия на функции рассеяния $b, 5$. Разложения, которые мы получаем для функционаласледа, выводятся в предположении, что $Q$ и $R$ имеют независимые вариации (не связанные с леммой 6.10). В противном случае требуются дополнительные рассмотрения (см. Флашка и Ньюэл [1975] и_Додд и Буллаф [1979]).

Если $\bar{\Omega}
eq-\Omega$, мы по-прежнему можем найти интегрируемые уравнения, но в этом случае они не представляют собой гамильтонову систему (функционал-след не является интегралом движения). Мы помещаем здесь один пример такого типа, чтобы подчеркнуть, что существуют физически содер жательные интегрируемые уравнения, не укладывающиеся в рамки гамильтоновой формулировки. Но перед этим мы изложим метод, позволяющий получать интегрируемые уравнения. По существу этот метод основан на том факте, что мы имеем возможность решать линейные уравнения, управляющие эволюцией во времени данных рассеяния. Опираясь на такую возможность, мы можем затем выясннть, к каким ограничениям на потенциал и квадраты собственных функций это приводит. Начнем с некоторых теоретико-операторных соображений, нужных для вывода интегрируемых уравнений.

Қак мы уже видели, $\varphi^{(2)}$ и $\bar{\varphi}^{(2)}$ суть собственные функции олератора $L_{1}$, и нетрудно показать, применяя (6.1.104)-(6.1.106), что $\psi^{(2)} A=\left(\psi_{2}^{2},-\psi_{1}^{2}\right), \bar{\psi}^{(2) A}=\left(\bar{\psi}_{2}^{2},-\bar{\psi}_{1}^{2}\right)$ являются собственными функциями оператора $\mathbf{L}_{1}^{A}$. Если определить билинейную форму для вектора-строки $V$ и вектора-столбца $Y$ равенством
\[
(V, Y)=\int_{-\infty}^{\infty} V(x) Y(x) d x
\]

и трактовать собственные функиии для вещественных значений $k$ как обобщенные функции, то можно будет вычислить скалярные произведения для квадратов собственных функцнй. В результате

для вещественных $k$ получаются следующие формулы:
\[
\begin{array}{l}
\left(k_{1} \psi^{(2)} A, k_{2} \varphi^{(2)}\right)=\pi a^{2}\left(k_{1}\right) \delta\left(k_{1}-k_{2}\right), \\
\left(k_{1} \tilde{\psi}^{(2)} A, k_{2} \bar{\Psi}^{(2)}\right)=-\pi \bar{a}^{2}\left(k_{1}\right) \delta\left(k_{1}-k_{2}\right), \\
\left(k_{1} \psi^{(2)} A, k_{2} \bar{\varphi}^{(2)}\right)=0=\left(k_{1} \bar{\psi}^{(2)} A, k_{2} \varphi^{(2)}\right) .
\end{array}
\]

Оказывается, что в случае отсутствия сингулярного спектра и соответствующих собственных значений из соотношений (6.1.137) можно вывести соотношение полноты (Қауп [19761). Начиная с этого места мы будем проводить выкладки формально. предполагая для простоты, что мы имеем дело именно с этим случаем. Итак,
\[
\begin{aligned}
\delta(x-y)= & \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} d k \frac{1}{a^{2}(k)}{ }_{k} \Phi^{(2)}(x)_{k} \psi^{(2)} A(y)- \\
& -\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d k}{\bar{a}^{2}(k)}{ }_{k} \bar{\Phi}^{(2)}(x)_{k} \bar{\psi}^{(2)} A(y), \quad x \geqslant y .
\end{aligned}
\]

Спектральное разпожение функции $\left(\sigma_{3} U_{t}(x)\right)^{T}$ в таком базисе имеет поэтому следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\left(\sigma_{3} U_{t}(x)\right)^{r}= & \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d k}{a^{2}(k)}\left(\sigma_{3} U_{t, k} \varphi^{(2)}\right)_{k} \Psi^{(2)} A(x)- \\
& -\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d k}{\bar{a}^{2}(k)}\left(\sigma_{2} U_{t, k} \bar{\varphi}^{(2)}\right)_{k} \bar{\psi}^{(2)} A(x) .
\end{aligned}
\]

Заметим далее, что выражение $\theta=\left(\Psi_{2} \bar{\psi}_{2}-\psi_{1} \bar{\psi}_{1}\right)$ удовлетворяет следующему соотношению:
\[
\left(\mathrm{L}_{1}^{A}-k \mathbf{I}\right)\left(\theta^{T}\right)=\frac{1}{2 i}\left(\begin{array}{l}
R \\
Q
\end{array}\right) .
\]

Исходя из (6.1.13), можно показать, что для $V^{(2)}\left(x, k_{1}\right)$ и для $W \circ Y\left(x, k_{2}\right)(V, W, Y$ – собственные функции оператора $\mathrm{L})$ справедлива формула
\[
\begin{array}{r}
\left(W \circ Y^{A}, V^{(2)}\right)=-\frac{1}{2 i\left(k_{1}-k_{2}\right)}\left(v_{2}^{2} y_{1} w_{1}+v_{1}^{2} y_{2} w_{2}-v_{1} y_{2} w_{2} v_{2}-\right. \\
\left.-v_{1} y_{1} w_{2} v_{2}\right)_{-\infty}^{\infty} .
\end{array}
\]

Таким образом, соотношение полноты и формула (6.1.141) позволяют написать спектральное разложение для функции $\theta$. В частности, из такого разложения можно получить равенство
\[
\begin{aligned}
\left(\begin{array}{l}
R \\
Q
\end{array}\right)^{T} & \equiv\left(2 i\left(\mathbf{L}_{1}^{A}-k \mathbf{l}\right)\left({ }_{k} \theta^{T}\right)\right)^{T}= \\
& =\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} d k \frac{b}{a}(k)_{k} \psi^{(2) A}+\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} d k \frac{5}{\bar{a}}(k)_{k} \bar{\psi}^{(2) A} .
\end{aligned}
\]

Если $\Omega$ – целая функция, то, действуя оператором $\Omega\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right)$ на выражение, транспонированное к (6.1.142), получим равенство
\[
\left(\Omega\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right) U\right)^{T}=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} d k \frac{b}{a}(k) \Omega(k)_{k} \psi^{(2) A}+\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} d k \frac{b}{\bar{a}}(k)_{k} \bar{\psi}^{(2) A} .
\]

Таким образом, в предположениях (6.1.102) при $\bar{\Omega}=-\Omega$ мы снова приходим к эволюционным уравнениям (6.1.112). Используя спектральную теорию, развитую в разд. 3.4, мы можем сформулировать для оператора $K=\Omega\left(\mathbf{L}_{1}^{A}\right)$, определяющего интегрируемые уравнения, следующее утверждение. В спектральном предстаолении $\mathrm{L}_{1}^{\text {A }}$ оператор $\mathrm{K}$ является диагональным (Кауп и Ньюэлл [19791). Когда $\Omega$ и $\bar{\Omega}$ сингулярны, т. е. имеют полюса, аналогичное утверждение справедливо для соответствующих нелинейных операторов (соответствующие упражнения находятся в конце этой главы). Сосредогочимся, однако, на физическом примере, о котором мы выше упоминали. Пусть $\Omega$ и $\bar{\Omega}$ аналитичны соответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексной $k$-плоскости и стремятея к нулю ири $|k| \rightarrow \infty$. Тогда из (6.1.103) можно вывести соотношение
\[
\left(\sigma_{3} U_{t}\right)^{T}=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} d k \Omega(k) \frac{b}{a}(k)_{k} \Psi^{(2) A}+\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} d k \Omega(k) \frac{5}{\bar{a}}(k)_{k} \Psi^{(2) A},
\]

тогда как из формулы (6.1.138) получаем равенство
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}(\Omega(k)-\bar{\Omega}(k))_{k} \theta d k= & \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} d k \Omega(k) \frac{b}{a}(k)_{k} \psi^{(2)} A \\
& -\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} d k \bar{\Omega}(k) \frac{5}{\bar{a}}(k)_{k} \bar{\psi}^{(2)} A .
\end{aligned}
\]

Комбинируя эти уравнения с (6.1.105) и (6.1.104), мы приходим к следующей системе уравнений:
\[
\begin{array}{l}
U_{t}=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} d k g(k)\left(\begin{array}{l}
k^{\bar{\lambda}} \\
k
\end{array}\right), \\
\bar{\lambda}_{x}-R N=2 i k \bar{\lambda}, \\
\lambda_{x}-Q N=-2 i k \lambda, \\
N_{x}=2(R \bar{\lambda}+Q \lambda),
\end{array}
\]

где $g(k)=\Omega(k)-\bar{\Omega}(k), N=\left(\psi_{1} \bar{\psi}_{2}+\bar{\psi}_{1} \psi_{2}\right), \bar{\lambda}=\psi_{1} \bar{\psi}_{1}$ и $\lambda=$ $=\psi_{2} \bar{\psi}_{2}$. В том случае, когда $R= \pm Q^{*}$, это множество уравнений сводится к редуцированной системе уравнений МаксвеллаБлоха, описывающей распространение импульса в среде, состоящей из двухуровневых атомов, с учетом неоднородного уширсния (см. гл. 9). Поскольку в этом случае
\[
\begin{aligned}
a_{t} & =-I_{t}(\varphi, \psi)=-\left(\left(\sigma_{3} U_{t}\right)^{T}, \varphi \circ \psi\right)= \\
& =\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}(\Omega(k)-\bar{\Omega}(k))\left(k^{\prime} \theta, k^{\infty} \varphi \circ \psi\right) d k= \\
& =\frac{i}{2} a(k) P \int_{-\infty}^{\infty} \frac{g\left(k^{\prime}\right) b b\left(k^{\prime}\right)}{\left(k^{\prime}-k\right)} d k^{\prime},
\end{aligned}
\]

то единственными интегралами движения этой системы являются собственные значения.