Обратимся теперь к одной задаче из физики плазмы, очень похожей на те, что были рассмотрены в гл. 5. Там мы рассматривали движение длинных волн плотности заряженных ионов в плазме, пренебрегая массой электрона. Теперь исследуем ситуацию, когда ноны совершенно холодные, а следовательно, стационарные. Тогда уже нельзя трактовать электроны просто как заряженный газ, но надо учитывать инерцию электронов; мы ищем уравнение для амплитуды, описывающее эволюцию колебаний электронной плазмы (ленгмюровские волны). Вклад ионов проявляется лишь в уравнении Пуассона, где следует принять во внимание эффект их зарядов. Запишем уравнение неразрывности, уравнение сохранения импульса и уравнение Пуассона для электронов в безразмерном виде, пользуясь процедурой пересчета из разд. 5.2. Обозначим через $n$ и $v$ соответственно плотность и скорость электронов, а через $甲$ – электростатический потенциал. Граничные условия имеют вид $n \rightarrow 1, \varphi, v \rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty$, а уравнения, о которых мы только что говорили, записываются так:
\[
\begin{array}{c}
n_{t}+(n v)_{x}=0, \\
v_{t}+v v_{x}=\varphi_{x}-n_{x} / n, \\
\varphi_{x x}=n-1 .
\end{array}
\]

член -1 в (8.4.3) отвечает постоянному промасштабированному заряду ионов, который считаем равным 1 , член $n_{x} / n$ в (8.4.2) представляет давление электронов, как объяснялось в гл. 5. В гл. 5 из-за того, что мы пренебрегали массой электрона, член $v_{t}+v v_{x}$ не принимался во внимание, что позволило нам проинтегрировать уравнение (8.4.2) (с нулевой левой частью) и прийти к формуле $n=\exp (\varphi)$. Поскольку мы теперь включаем в’рассмотрение ннерцию электрона, уже нельзя считать верным это последнее соотношение между плотностью и потенциалом.

В духе настоящей главы мы хотим сейчас изучнть эволюцию амплитуды осцилляций плотности электронов. Эти осцилляции известны как ленгмюровские волны. Процедура пересчета масщтаба здесь та же, что и прежде, за исключением того, что мы имеем теперь систему нелинейных уравнений в частных производных с тремя зависимыми переменными, а не одно уравнение. Вводя медленные пространственные и временную переменные $X_{1}=\varepsilon x, T_{1}=\varepsilon t, T_{2}=\varepsilon^{2} t$ и разлагая $n, v$, и $\varphi$ в ряд около их равновесных значений, получим
\[
\begin{array}{l}
n=1+\sum_{i=1} \varepsilon^{i} n^{(i)}, \\
v=\sum_{i=1} \varepsilon^{i(i)}, \\
\varphi=\sum_{i=1} \varepsilon^{i} \Phi^{(i)} .
\end{array}
\]

Мы опустим переменную $X_{2}$, потому что ее можно убрать изменением системы отсчета. Вместо полного разложения дифференциальных операторов и зависимых переменных, которое заняло бы слишком много места, мы ограничимся последовательным выписыванием уравнений в приближениях порядка $O(\varepsilon), O\left(\varepsilon^{2}\right)$ и $O\left(\varepsilon^{8}\right)$ для уравнений (8.4.1)-(8.4.3). Для (8.4.1):
\[
\begin{array}{ll}
O(\varepsilon): & n_{t}^{(1)}+v_{x}^{(1)}=0, \\
O\left(\mathrm{e}^{2}\right): & n_{t}^{(2)}+v_{x}^{(2)}=-\left[\frac{\partial n^{(1)}}{\partial T_{1}}+\frac{\partial n^{(1)}}{\partial X_{1}}+\left(n^{(1)} v^{(1)}\right)_{x}\right], \\
O\left(\varepsilon^{3}\right): & n_{t}^{(3)}+v_{x}^{(3)}=-\left[\frac{\partial n^{(2)}}{\partial X_{1}}+\frac{\partial n^{(2)}}{\partial T_{1}}+\frac{\partial n^{(1)}}{\partial T_{2}}+\left(v^{(2)} n^{(1)}+v^{(1)} n^{(2)}\right)_{x}\right] .
\end{array}
\]

Для (8.4.2):
\[
\begin{array}{r}
O(\varepsilon): \quad v_{t}^{(1)}-\varphi_{x}^{(1)}+n_{x}^{(1)}=0, \\
O\left(\mathrm{e}^{2}\right): \quad v_{t}^{(2)}-\varphi_{x}^{(2)}+n_{x}^{(2)}-\frac{\partial v^{(1)}}{\partial T_{1}}+\frac{1}{2}\left(v^{(1)^{2}}-n^{(1)^{2}}\right)_{x}+ \\
\quad+\frac{\partial n^{(1)}}{\partial X_{1}}-\frac{\partial \varphi^{(1)}}{\partial X_{1}}=0, \\
O\left(\varepsilon^{3}\right): \quad v_{t}^{(3)}-\varphi_{x}^{(3)}+n_{x}^{(3)}+\frac{\partial v^{(2)}}{\partial T_{1}}-\frac{\partial \varphi^{(2)}}{\partial X_{1}}+\frac{\partial n^{(2)}}{\partial X_{1}}+\frac{\partial v^{(1)}}{\partial T_{2}}+ \\
+\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\left(v^{(1)^{2}}-n^{(1)^{2}}\right)+\left(v^{(1)} v^{(2)}-n^{(1)} n^{(2)}\right)_{x}+n^{(1)^{2}} n_{x}^{(1)}=0 .
\end{array}
\]

Для (8.4.3):
\[
\begin{array}{l}
O(\varepsilon): \quad \varphi_{x x}^{(1)}=n^{(1)}, \\
O\left(\varepsilon^{2}\right): \quad \varphi_{x x}^{(2)}+2 \frac{\partial^{2} \varphi^{(1)}}{\partial x \partial X_{1}}=n^{(2)} \\
O\left(\varepsilon^{3}\right): \quad \varphi_{x x}^{(3)}+2 \frac{\partial^{2} \varphi^{(2)}}{\partial x d X_{1}}+\frac{\partial^{2} \varphi^{(1)}}{\partial X_{1}^{2}}=n^{(3)} .
\end{array}
\]

Для членов порядка $O\left(\varepsilon^{3}\right)$ в уравнении (8.4.1) и членов порядка $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ и $O\left(\varepsilon^{3}\right)$ в уравнении (8.4.2) мы перегруппировали соответствующие выражения и последовательно использовали уже полученные формулы для упрощения последующих. Линейная задача может быть запнсана в матричной форме
\[
\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial}{\partial t} & \frac{\partial}{\partial x} & 0 \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial t} & -\frac{\partial}{\partial x} \\
-1 & 0 & \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
n^{(1)} \\
v^{(1)} \\
\varphi^{(1)}
\end{array}\right)=0 .
\]

Напомним, что мы ищем осцилляционные решения вида $\exp (i \theta)$, $\theta=k x-\omega t+\delta$. Дистерсионное соотношение можно найти, полагая определитель матрицы в (8.4.16) равным нулю; это условие попросту представляет собой условие существования нетривиальных решений $n^{(1)}, \varphi^{(1)}$ и $v^{(1)}$. Итак, мы находим, что
\[
\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}
-i \omega & i k & 0 \\
i k & -i \omega & -i k \\
-1 & 0 & -k^{2}
\end{array}\right)=0
\]

откуда следует, что
\[
\omega^{2}=k^{2}+1, d \omega / d k=k / \omega,
\]

и мы получаем решение линейной задачи в виде
\[
\left(\begin{array}{l}
n^{(1)} \\
v^{(1)} \\
\varphi^{(1)}
\end{array}\right)=A\left(X_{1}, T_{1}, T_{2}\right)\left(\begin{array}{c}
1 \\
\omega / k \\
-1 / k^{2}
\end{array}\right) \exp (i \theta)+\text { c. c., }
\]

где $A\left(X_{1}, T_{1}, T_{2}\right)$ – комплексная амплитудная функция.
Можно было бы действовать и иначе – исключить $v^{(1)}$ и $\varphi^{(1)}$ и получить уравненне
\[
n_{t t}^{(1)}-n_{x x}^{(1)}+n^{(1)}=0 .
\]

Заметим здесь, что, как и во всех задачах такого рода, при переходе к приближению следующего порядка по $\varepsilon$ вид лунейной части получающегося уравнения остается одним и тем же; это ясно из результатов разд. 8.2. Поэтому в каждом порядке мы получим уравнения вида
\[
\begin{array}{c}
n_{x}^{(i)}+n_{x}^{(i)}=\alpha^{(i)}, \\
v_{i}^{(i)}-\varphi_{x}^{(i)}+n_{x}^{(i)}+\beta^{(i)}=0, \\
\varphi_{x x}^{(i)}+\gamma^{(i)}=n^{(i)},
\end{array}
\]

где $\alpha^{(i)}, \beta^{(l)}$ и $\gamma^{(i)}$ – остаточные члены в порядках $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ и $O\left(\varepsilon^{3}\right)$. Отсюда получаем
\[
n_{t t}^{(l)}-n_{x x}^{(l)}+n^{(i)}=\alpha_{t}^{(l)}+\beta_{x}^{(l)}+\gamma^{(i)} .
\]

Очевидно, что правая часть в (8.4.24) содержит члены с множителем $\exp (i \theta)$, которые окажутся секулярными и должны быть удалены для того, чтобы можно было пользоваться теорией возмущений. Для $i=2$ находим, что
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{t}^{(2)}+\beta_{x}^{(2)}+\gamma^{(2)}=2 i \omega\left[\frac{\partial A}{\partial T_{1}}+\frac{k}{\omega} \frac{\partial A}{\partial X_{1}}\right] \exp (i \theta)- \\
-\left(2+4 \omega^{2}\right) A^{2} \exp (2 i \theta)+\mathrm{c} . \mathrm{c} .
\end{array}
\]

Так как $k / \omega$ – это групповая скорость, то, поступая обычным образом, положим
\[
\bar{X}=X_{1}-\left(\frac{k}{\omega}\right) T_{1}, с тем чтобы удалить секулярные члены в (8.4.25). Не входя в подробности вычислений, заметим просто, что можно проинтегрировать эти уравнения в порядке $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ и получить
\[
\begin{aligned}
n^{(2)}=\frac{2}{3} & \left(2 \omega^{2}+1\right) A^{2} \exp (2 i \theta)+\text { c. c. }+B_{1}, \\
v^{(2)} & =\frac{\omega}{3 k}\left(4 \omega^{2}-1\right) A^{2} \exp (2 i \theta)+ \\
& +\frac{i}{\omega k^{2}} \cdot \frac{\partial A}{\partial \bar{X}} \exp (i \theta)+\text { c. c. }+B_{\mathfrak{a}}, \\
\varphi^{(2)} & =-\frac{1}{6 k^{2}}\left(2 \omega^{2}+1\right) A^{2} \exp (2 i \theta)- \\
& -\frac{2 i}{k^{\mathrm{a}}} \cdot \frac{\partial A}{\partial X} \exp (i \theta)+\text { c. c. }+B_{3} .
\end{aligned}
\]

Секулярные члены в $O\left(\varepsilon^{3}\right)$ в медленных переменных дают только то, что $B_{1}\left(\bar{X}, T_{2}\right)=B_{2}\left(\bar{X}, T_{2}\right)=0$ и
\[
B_{3}=\frac{1}{2} k^{-2}|A|^{2} ;
\]

наконец, секулярные члены при ехр $i(\theta)$ после некоторых алгебраических преобразований дают уравнение
\[
2 i \frac{\partial A}{\partial T_{2}}+\frac{1}{\omega^{3}} \cdot \frac{\partial^{2} A}{\partial \overline{\bar{X}}^{2}}-\frac{1}{3 \omega}\left(8 k^{4}+21 k^{2}+12\right) A|A|^{3}=0 .
\]

Отметим, что, как и следовало ожидать, коэффициент при $\partial^{2} A / \partial \bar{X}^{2}$ в точности равен $d \omega^{2} / d k^{2}$.