В случае когда нейтральный (незаряженный) диэлектрик подвергается воздействию интенсивного лазерного луча, находящегося вне резонанса, может оказаться, что поляризация $P$ диэлектрика нелинейно зависит от поля $E$. Для слабых полей мы обычно принимаем
\[
P=\alpha E,
\]

где $\alpha$ – тензор поляризуемости, элементы которого определяются кристаллической структурой. Для простоты будем в этом случае рассматривать плавное распределение центрально-симметричных атомов диэлектрика с плотностью $n$ атомов на кубический сантиметр, образующих изотропную среду. Поляризацию $P$ представим в виде ряда
\[
P=\alpha_{1} E+\alpha_{3} E^{3}+\ldots,
\]

где $\alpha_{1}$ – линейная, а $\alpha_{3}$ – нелинейная поляризуемость. Уравнения Максвелла, описывающие эволюцию поля $E$, в этом случае записывается в виде
\[

abla^{2} E-\frac{1}{c^{2}} E_{t t}=\frac{4 \pi t t}{c^{2}} P_{t t} .
\]

Это можно переписать так:

где
\[

abla^{2} E-\beta E_{t t}=\gamma\left(E^{3}\right)_{i t},
\]
\[
\begin{array}{l}
\beta=c^{-2}\left(1+4 \pi n \alpha_{1}\right), \\
\gamma=4 \pi n \alpha_{3} c^{-2} .
\end{array}
\]

Предлоложим, что линейно поляризованная волна распространяется лишь вдоль оси $z$, и рассмотрим медленные амплитудные изменения выражения еxp $[i(k z-\omega t)+\delta]$. Если ввести медленные пространственные и временну́ю переменные
\[
X_{n}=\varepsilon^{n} x, \quad Y_{n}=\varepsilon^{n} y, \quad Z_{n}=\varepsilon^{n} z
\]

и представить $E$ в виде ряда
\[
E=\varepsilon E^{(1)}+\varepsilon^{2} E^{(2)}+\cdots \text {, }
\]

то уравнение (8.3.4) в развернутом виде запишется следующим образом
\[
\begin{array}{c}
{\left[\left(
abla^{2}-\beta \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right)+2 \varepsilon\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial X_{1}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y \partial Y_{1}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z \partial \bar{Z}_{1}}-\beta \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{1}}\right)+\right.} \\
+\varepsilon^{2}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial X_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial Y_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial Z_{1}^{2}}-\beta \frac{\partial^{2}}{\partial T_{1}^{2}}+2 \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial \bar{X}_{\mathbf{s}}}+\right. \\
\left.\left.+2 \frac{\partial^{2}}{\partial y \partial Y_{1}}+2 \frac{\partial^{2}}{\partial z \partial Z_{2}}-2 \beta \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{2}}\right)+\cdots\right]\left(\varepsilon E^{(1)}-\varepsilon^{2} E^{(2)}+\cdots\right)= \\
=\gamma\left(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}+\ldots\right)\left(\varepsilon E^{(1)}+\varepsilon^{(2)} E^{(2)}+\ldots\right) .
\end{array}
\]

Последовательно рассматривая члены различного порядка по $\varepsilon$, получаем уравнения
$O(\varepsilon): \quad\left(
abla^{2}-\beta \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) E^{(1)}=0$,

\[
\begin{array}{l}
O\left(\varepsilon^{1}\right): \quad\left(
abla^{2}-\beta \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) E^{(2)}=-2\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial X_{1}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y \partial Y_{1}}+\right. \\
\left.+\frac{\partial^{2}}{\partial z \partial Z_{1}}-\beta \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{1}}\right) E^{(1)}, \\
O\left(\varepsilon^{3}\right): \quad\left(
abla^{2}-\beta \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) E^{(3)}=-2\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial X_{1}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y \partial Y_{1}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z \partial Z_{1}}-\right. \\
\left.-\beta \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{1}}\right) E^{(2)}+\gamma \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\left[\left(E^{(1)}\right)^{3}\right]- \\
-\left(\frac{\partial^{2}}{\partial X_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial Y_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial Z_{1}^{2}}-\beta \frac{\partial^{2}}{\partial T_{1}^{2}}+2 \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial X_{2}}+2 \frac{\partial^{2}}{\partial y \partial Y_{2}}+\right. \\
\left.+2 \frac{\partial^{2}}{\partial z \partial Z_{2}}-2 \beta \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{2}}\right) E^{(1) .}
\end{array}
\]

Уравнение (8.3.10) линейно, и одним из его решений будет
\[
E^{(1)}=\mathscr{E}\left(X_{n}, Y_{n}, Z_{n}, T_{n}\right) \exp (i \theta)+\text { c. c., }
\]
rде
\[
\begin{array}{c}
\theta=k z-\omega t+\delta, \\
\omega^{2}=k^{2} / \beta, \quad d \omega / d k=\beta^{-1 / 2} .
\end{array}
\]

Это решение представляет собой волну, поляризованную вдоль оси $z$, с медленно меняющейся огибающей $\mathscr{8}$. Поскольку экспонента $\exp (i \theta)$ зависит лишь от одной пространственной переменной $z$, первые два члена в правой части (8.3.11) равны нулю, что дает
\[
\left(
abla^{2}-\beta \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) E^{(1)}=-2 \beta i \omega\left(\frac{\partial \mathscr{E}}{\partial T_{1}}+\beta^{-1 / 2} \frac{\partial \mathscr{E}}{\partial Z_{1}}\right) \exp (i \theta)+\text { c. c. }
\]

Қак и в большинстве таких задач, члены в правой части (8.3.16) секулярны, и их надо удалить. С этой целью положим
\[
\xi=Z_{1}-\left(\frac{\partial \omega}{\partial k}\right) T_{1} .
\]

Тогда $O\left(\varepsilon^{3}\right)$-уравнение приводится $к$ виду
\[
\begin{array}{c}
\left(
abla^{2}-\beta \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) E^{(3)}=-\left[\frac{\partial^{\mathrm{a}} \mathscr{E}}{\partial X_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2} \mathscr{E}}{\partial Y_{1}^{2}}+2 i k \frac{\partial \mathscr{E}^{2}}{\partial Z_{1}}+\right. \\
\left.+2 i \beta \omega \frac{\partial \mathscr{E}}{\partial T_{2}}\right] \exp (i \theta)+ \\
+\gamma \omega^{2}\left[9 \mathscr{E}^{3} \exp (3 i \theta)-3 \mathscr{E}^{2} \mathscr{E}^{*} \exp (i \theta)\right]+\text { c. c. }
\end{array}
\]

Производные по $\xi$ здесь не появляются ввиду взаимного сокращення членов $\partial^{2} \mathscr{E} / \partial Z_{1}^{2}$ и $\partial^{2} \mathscr{E} / \partial T_{1}^{2}$. Наконец, удаление секулярных членов из уравнения (8.3.18) приводит к амплитудному уравнению для $\mathscr{g}$ :
\[
\frac{\partial^{2} \mathscr{E}}{\partial X_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2} \mathscr{E}}{\partial Y_{1}^{2}}+3 \gamma \omega^{2} \mathscr{E}|\mathscr{E}|^{2}+i \frac{\partial \mathscr{E}}{\partial \bar{Z}}=0 ;
\]

мы перешли к системе отсчета, движущейся с групповой скоростью вдоль оси $z$.

Уравнение (8.3.19) представляет собой НЛШ-уравнение с двумя пространственными переменными. В случае одного трансверсального пространственного измерения это уравнение при $\gamma>0$ допускает солитоны огибающей, и поскольку оно интегрируемо методом обратной задачи рассеяния (по поводу общего решения см. гл. 6, разд. 3), некоторый начальный профиль будет порождать «солитоны». Асимптотически $(Z \rightarrow \infty$ ) эти решения будут выглядеть следующим образом:
\[
|\mathscr{E}|^{2}=4 \sum_{i=1} \alpha_{i}^{2} \operatorname{sech}^{2}\left\{2 a_{i} X_{1}-8 a_{i} b_{i} \bar{Z}+\delta_{i}\right\},
\]

где подразумевается, что переменная $\bar{Z}$ играет теперь роль «времени».

Қаждый «солитон» представляет собой канал (нить, волокно), отклоненный от оси $z$ на угол, равный $\operatorname{arctg}\left(4 b_{i}\right.$ ). Такая группировка начального профиля в «нить» (филаментация) называется самофокусировкой. Если, однако, $\gamma$ отрицательно, то обратная задача рассеяния приводит к самосопряженной проблеме на собственные значения, так что солитоны не появляются и возникает лишь непрерывный спектр, который рассеивается при увеличении $Z$. Эта ситуация эквивалентна случаю расфокусировки. Поскольку $X_{1}$ и $Y_{1}$ – трансверсалыные переменные, фокусировка в данном случае сводится к группированию в нити, идущие в трансверсальных направлениях. Осевая переменная है, определенная в (8.3.17), не появляется, так как в этом направлении рассеяния не происходит. В других примерах, где распространение солитона окажется осевым, фокусировка будет сводиться к группированию несущей волны в импульсы (солитоны) вдоль направления распространения волны, как было объяснено в разд. 8.2. Такая фокусировка имела бы место при наличии осевого рассеяния.