Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Для полноты изложения рассмотрим в этой главе, что происходит с теми дисперсионными нелинейными уравнениями, которые не имеют солитонных решений в строгом смысле, но обладают решениями в виде локализованных уединенных волн. Для уравнений, поддающихся простому численному интегрированию, можно использовать в качестве начального условия пару таких волн и рассмотреть их столк новение в некоторой области на оси $x$. В гл. 10 будут рассмотрены различные схемы вычислений; здесь же мы только приведем некоторые результаты, нужные в этом разделе. Первый пример — это так называемое уравнение $\varphi^{4}$ в физике элементарных частиц: В отличие от уравнения sin-Гордон, уравнение $\varphi^{4}$ имеет не бесконечный ряд устойчивых вакуумных сљстояний, а только два: — $m / \lambda^{1 / 2}$ и $m / \lambda^{1 / 2}$. Легко найти простое решение уравнения (1.9.1) в виде бегущей волны: Форма этой волны (если взять знак «+») очень похожа на кинк уравнения $\sin -$ ордон, изображенный на рис. 1.5 , где $\varphi$ меняется от $-m / \lambda^{1 / 2}$ при $x=-\infty$ до $m / \lambda^{1 / 2}$ при $x \rightarrow+\infty$. Возьмем движущееся вправо решение уравнения (1.9.2) (кинк) в форме тангенса гиперболического и движущееся влево решение (антикинк) той же формы в качестве начальных условий, и пусть оци столкнутся в середине. Напомним, что в отличие от уравнения $\sin -\Gamma$ ордон, других состояний, которые могли бы столкнуться, не существует. Результат показан на рис. 1.14 и 1.15. На рис. 1.14 энергия столкновения очень высока. Два кинка выходят из столкновения, до некоторой степени сохранив свое строение, но возникают и осцилляции, которые можно рассматривать как излучение. Энергия столкновения на рис. 1.15 гораздо ниже, и кинки не выходят из столкновения, а образуют излучающее связанное состояние. В гл. 10 уравнение (1.9.1) будет обсуждаться более детально. Заметим, что кинки уравнения $\varphi^{4}$ не являются солитонами в смысле нашего строгого определения, в противоположность кинкам уравнения sin-Гордон. Это не удивительно, потому что в разд. 1.5 мы показали, что при ограничениях, налагаемых данными преобразованиями (см. (1.5.8)), уравнение $\sin -\Gamma$ ордон было единственным нелинейным уравнением Қлейна — Гордона, имеющим преобразование Бэклунда, которое порождает целую последовательность точных мультикинковых решений. Второй пример — система уравнений из нелинейной оптики (см. гл. 9), называемых уравнениями Максвелла — Блоха: Рис. 1.15. Столкновение с низкой энергией кинка и антикинка уравнения $\varphi^{4}$. Эта уединенная волна может двигаться вправо или влево в зависимости от того, какой знак выбран для $\omega$ в уравнении (1.9.5). На рис. 1.16 показаны результаты численного интегрирования уравнения (1.9.3) с начальными условиями в виде двух сталкивающихся волн. Как и в приведенном выше примере для уравнения $\varphi^{4}$, тут излучается рябь, что указывает на потерю энергии волны в процессе столкновения. Цель данной главы — доказать читателю, что нельзя думать, будто все решения типа уединенной волны для любого уравнения ведут себя как солитоны. Этим весьма специальным свойством обладают лишь немногие уравнения; большинство уравнений этого свойства не имеют. Задача следующих глав — указать некоторые классы уравнений, имеющих Рис. 1.16. Столкновение двух уединенных волн системы (1.9.3).
|
1 |
Оглавление
|