Для полноты изложения рассмотрим в этой главе, что происходит с теми дисперсионными нелинейными уравнениями, которые не имеют солитонных решений в строгом смысле, но обладают решениями в виде локализованных уединенных волн. Для уравнений, поддающихся простому численному интегрированию, можно использовать в качестве начального условия пару таких волн и рассмотреть их столк новение в некоторой области на оси $x$. В гл. 10 будут рассмотрены различные схемы вычислений; здесь же мы только приведем некоторые результаты, нужные в этом разделе.

Первый пример — это так называемое уравнение $\varphi^{4}$ в физике элементарных частиц:
\[
\varphi_{x x}-\varphi_{t t}=\lambda \varphi^{3}-m^{2} \varphi, \quad \lambda>0 .
\]

В отличие от уравнения sin-Гордон, уравнение $\varphi^{4}$ имеет не бесконечный ряд устойчивых вакуумных сљстояний, а только два:

— $m / \lambda^{1 / 2}$ и $m / \lambda^{1 / 2}$. Легко найти простое решение уравнения (1.9.1) в виде бегущей волны:
\[
\varphi= \pm \operatorname{th}\left[\frac{1}{\sqrt{2}} \gamma(x-v t)+\delta\right] .
\]

Форма этой волны (если взять знак «+») очень похожа на кинк уравнения $\sin -$ ордон, изображенный на рис. 1.5 , где $\varphi$ меняется от $-m / \lambda^{1 / 2}$ при $x=-\infty$ до $m / \lambda^{1 / 2}$ при $x \rightarrow+\infty$. Возьмем

движущееся вправо решение уравнения (1.9.2) (кинк) в форме тангенса гиперболического и движущееся влево решение (антикинк) той же формы в качестве начальных условий, и пусть оци столкнутся в середине. Напомним, что в отличие от уравнения $\sin -\Gamma$ ордон, других состояний, которые могли бы столкнуться, не существует. Результат показан на рис. 1.14 и 1.15. На рис. 1.14 энергия столкновения очень высока. Два кинка выходят из столкновения, до некоторой степени сохранив свое строение, но возникают и осцилляции, которые можно рассматривать как излучение. Энергия столкновения на рис. 1.15 гораздо ниже, и кинки не выходят из столкновения, а образуют излучающее связанное состояние. В гл. 10 уравнение (1.9.1) будет обсуждаться более детально. Заметим, что кинки уравнения $\varphi^{4}$ не являются солитонами в смысле нашего строгого определения, в противоположность кинкам уравнения sin-Гордон. Это не удивительно, потому что в разд. 1.5 мы показали, что при ограничениях, налагаемых данными преобразованиями (см. (1.5.8)), уравнение $\sin -\Gamma$ ордон было единственным нелинейным уравнением Қлейна – Гордона, имеющим преобразование Бэклунда, которое порождает целую последовательность точных мультикинковых решений.

Второй пример – система уравнений из нелинейной оптики (см. гл. 9), называемых уравнениями Максвелла – Блоха:
\[
\begin{array}{c}
E_{x x}-E_{t t}=-\alpha P_{t}, \\
P_{t t}+\mu^{2} P=(E N)_{t}, \\
N_{t}=-E P .
\end{array}
\]

Рис. 1.15. Столкновение с низкой энергией кинка и антикинка уравнения $\varphi^{4}$.
Решение уравнения (1.9.2) в виде уединенной волны при условиях $E, P \rightarrow 0, N \rightarrow-1$ при $|x| \rightarrow \infty$ имеет форму секанса гиперболического, как и уравнение мКдФ:
\[
\begin{array}{l}
E=a \operatorname{sech}\left[\frac{1}{2}(a t-\omega x+\delta)\right], \\
\omega^{2}=a^{2}+\frac{\alpha a^{2}}{1 / 4 a^{2}+\mu^{2}} . \\
\end{array}
\]

Эта уединенная волна может двигаться вправо или влево в зависимости от того, какой знак выбран для $\omega$ в уравнении (1.9.5). На рис. 1.16 показаны результаты численного интегрирования уравнения (1.9.3) с начальными условиями в виде двух сталкивающихся волн. Как и в приведенном выше примере для уравнения $\varphi^{4}$, тут излучается рябь, что указывает на потерю энергии волны в процессе столкновения. Цель данной главы – доказать читателю, что нельзя думать, будто все решения типа уединенной волны для любого уравнения ведут себя как солитоны. Этим весьма специальным свойством обладают лишь немногие уравнения; большинство уравнений этого свойства не имеют. Задача следующих глав – указать некоторые классы уравнений, имеющих

Рис. 1.16. Столкновение двух уединенных волн системы (1.9.3).
это свойство. И только в гл. 10 будут обсуждены некоторые методы численного исследования уравнений, не проявляющих солитонных свойств в смысле строгого определения.