1. Решеткой или цепочкой Тоды называется модель для частиц на прямой, каждая из которых имеет единичную массу и может взаимодействовать лишь с ближайшими соседями. Уравнение движения будет иметь вид
\[
\ddot{Q}_{n}=\exp \left(Q_{n-1}-Q_{n}\right)-\exp \left(Q_{n}-Q_{n+1}\right),
\]

где $Q_{n}(t)$ – отклонение от положения равновесия для $n$-й частицы. Определив переменную $S_{n}$, такую что
\[
Q_{n}=S_{n-1}-S_{n} \text {, }
\]

где $S_{n}$ и все ее производные по времени стремятся к нулю, когда $t \rightarrow \infty$, покажите, что
\[
1+\ddot{S}_{n}=\exp \left(S_{n+1}+S_{n-1}-2 S_{n}\right) .
\]

Найдите преобразование $S_{n}(t)=F\left(f_{n}(t)\right)$, приводящее уравнение к виду
\[
f_{n+1} f_{n-1}-f_{n}^{2}=f_{n} \ddot{f}_{n}-f_{n}^{2},
\]

и покажите, что тогда одно- или двухпараметрические решения уравнения имеют вид
\[
\begin{array}{c}
f_{n}^{(1)}=1+\exp \theta_{1}, \\
f_{n}^{(2)}=1+\exp \theta_{1}+\exp \theta_{2}+A_{12} \exp \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right), \\
\theta_{i}=a_{i} n-\omega_{i} t+\delta_{i}, \\
D\left(a_{i} ; \omega_{i}\right) \equiv \omega_{i}^{2}-2\left(\cosh a_{i}-1\right)=0, \\
A_{i j}=-\frac{D\left(a_{i}-a_{j} ; \omega_{i}-\omega_{j}\right)}{D\left(a_{i}+a_{j} ; \omega_{i}+\frac{\left.\omega_{j}\right)}{}\right.} .
\end{array}
\]

Докажите по индукции, что $N$-параметрическое решение имеет вид
\[
f_{n}^{(N)}(t)=\log \operatorname{det} \mathbf{M},
\]

где $\mathbf{M}$ – матрица $N \times N$ с элементами
\[
M_{i j}=\delta_{i j}+\left(1-A_{i j}\right)^{1 / 2} \exp ^{1 / 2}\left(\theta_{i}+\theta_{j}\right) .
\]
2. Уравнение
\[
\varphi_{\xi \tau}=\varphi-\varphi^{3}
\]

есть одна из форм усеченного уравнения $\sin$-Гордон в характери стических координатах. Взяв $\varphi=g / f$, покажите, что оно сводится к двум однородным уравнениям второй степени от функций $g$ и $f$ :
\[
\begin{array}{c}
g^{2}=2\left(f f_{\xi \tau}-f_{\xi} f_{\tau}\right), \\
f g_{\xi \tau}+g f_{\xi \tau}-g_{\xi} f_{\tau}-g_{\tau} f_{\xi}=g f .
\end{array}
\]

Разлагая $g$ и $f$ в ряды по малому параметру $\varepsilon$,
\[
\begin{array}{l}
g=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{2 n+1} g^{(2 n+1)}, \\
f=1+\sum_{n=1}^{\infty} e^{2 n} f^{(2 n)},
\end{array}
\]

покажите, что может быть найдено точное однопараметрическое решение
\[
\begin{array}{c}
g=2 \sqrt{2 \exp \theta_{1}}, \\
f=1+\exp 2 \theta_{1}, \\
\theta=a_{i} \xi+\tau / a_{i}+\delta_{i},
\end{array}
\]

но двухпараметрическое решение оказывается неспособным породить обрывающиеся ряды в разложении для $g$ и $f$.
3. Пусть дано уравнение Бюргерса в форме
\[
u_{t}+u u_{x}=\delta u_{x x}
\]

с какими-то гладкими начальными условиями $u(x, 0)=f(x)$. Сведите это уравнение к уравнению теплопроводности. Решая задачу Коши для этого последнего, покажите, что в пределе $\delta \rightarrow 0$ решения уравнения Бюргерса могут быть представлены в форме
\[
u=f(x-u t) \text {. }
\]

Вам понадобятся два результата:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-x^{2}\right) d x=\sqrt{\pi},
\]
\[
\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{\infty} g(\eta) \exp [-G(\eta) / 2 \delta] \simeq \\
\quad \simeq g\left(\eta_{0}\right)\left[\frac{4 \pi \delta}{\left|G_{\eta \eta}\left(\eta_{0}\right)\right|}\right]^{1 / 2} \exp \left[-G\left(\eta_{0}\right) / 2 \delta\right]
\end{array}
\]

для малого $\delta$. Здесь $\eta_{0}$ – критическая точка функции $G$.
4. Положив $u=g / f$, показать, что модифицированное уравнение КдФ
\[
u_{x x x}+6 u^{2} u_{x}+u_{t}=0
\]

может быть сведено к однородной форме
\[
\begin{array}{c}
g^{2}=f f_{x x}-f_{x}^{2}, \\
f g_{x x x}-3 f_{x} g_{x x}+3 f_{x x} g_{x}-f_{x x x} g+g_{t} f-g f_{t}=0 .
\end{array}
\]

Используя метод разложения для $g$ и $f$, показать, что двухпараметрическое решение дается формулами:
\[
\begin{array}{c}
g=2 a_{1} \exp \theta_{1}+2 a_{2} \exp \theta_{2}+2 a_{2} A \exp \left(2 \theta_{1}+\theta_{2}\right)+ \\
+2 a_{1} A \exp \left(\theta_{1}+2 \theta_{2}\right), \\
f=1+\exp 2 \theta_{1}+\exp 2 \theta_{2}+2(1-A) \exp \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)+ \\
+A \exp \left(2 \theta_{1}+2 \theta_{2}\right),
\end{array}
\]
$\theta_{i}=a_{i} x-a_{i}^{3}(t)+\delta_{i}$,
$A=\left[\frac{a_{i}-a_{j}}{a_{i}+a_{j}}\right]^{2}$.
Если $a_{1}>a_{2}>0$ и больший солитон сначала находится слева показать, что при столкновении больший солитон сдвигается вперед и после разделения имеет фазовый сдвиг $\ln A$, в то время как меньший солитон сдвигается назад с фазовым сдвигом $\ln A^{-1}$. 5. В динамике идеального газа уравнения сохранения массы и импульса имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\rho_{t}+(\rho u)_{x}=0, \\
(\rho u)_{t}+\left(\rho u^{2}+F\right)_{x}=0,
\end{array}
\]

где $\rho$ – плотность и $u$ – скорость. Если $F$ связана с плотностью газа формулой
\[
F=A\left(\rho / \rho_{0}\right)^{\gamma}
\]
( $1<\gamma<2$ для молекул политропного газа), где $\rho_{0}$ – невозмущенная плотность и $A$ – константа, показать, что $u$ может быть выражена как функция только от $\rho$ (простые волны) и что эти решения в виде простых волн удовлетворяют уравнению
\[
\begin{array}{c}
\rho_{t}+c(\rho) \rho_{x}=0, \\
c(\rho)=2\left(\gamma A \rho_{0}\right)^{1 / 2}\left[\frac{1}{2}(\gamma+1)\left(\rho / \rho_{0}\right)^{(\gamma-1) / 2}-1\right] /(\gamma-1) .
\end{array}
\]