Если определить линейные операторы
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{L} \equiv-\left(\frac{\partial}{\partial x^{2}}+\frac{\alpha}{6} q\right), \\
\mathbf{A}_{f} \equiv-\left(4 \frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}}+q \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\alpha}{2} q_{x}+f(k, t)\right),
\end{array}
\]

затем подставить $k^{2}$ из (3.1.15) в (3.1.16) и сделать масштабное преобразование переменной $k$, то уравнения (3.1.15), (3.1.16) можно будет переписать как линейные операторные уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{L} \psi=k^{2} \psi, \\
\psi_{t}=\mathbf{A}_{f} \psi .
\end{array}
\]

Индекс $f$ в обозначении оператора $\mathbf{A}_{f}$ служит для того, чтобы подчеркнуть, что этот оператор не единственный. Он определяется с точностью до произвольной функции $f(k, t)$ и, таким образом, зависит от выбора конкретной собственной функции оператора $\mathbf{L}$ в уравнении (3.2.3).

В разд. 3.1 мы установили фундаментальный факт, что условия полной интегрируемости преобразования Бэклунда (3.1.15), (3.1.16) удовлетворялись, если функция $q$ являлась решением уравнения КдФ (3.1.1). Там было показано, что $\lambda=k^{2}$ не зависит от времени, но все-таки передокажем этот результат из операторных уравнений (3.2.3), (3.2.4) в предположении, что эта система вполне интегрируема. Исходя из этого предположения, можно записать
\[
\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{L} \psi)=\mathbf{L}_{t} \psi+\mathbf{L} \psi_{t}
\]

где $\mathbf{L}_{t}$ обозначает дифференцирование коэффициентов оператора $\mathbf{L}$ по переменной $t$. Теперь при помощи (i) дифференцирования (3.2.3) по $t$ и (ii) подстановки $\psi_{t}$ из (3.2.4) получим соответственно:
(i) $\mathbf{L}_{t} \psi+\mathbf{L} \psi_{t}=\left(k^{2}\right)_{t} \psi+k^{2} \psi_{t}$,
(ii) $\mathbf{L}_{t} \psi+\mathbf{L} \mathbf{A}_{j} \psi=\left(k^{2}\right)_{t} \psi+\mathbf{A}_{f}\left(k^{2} \psi\right)$.

Конечный результат, снова использующий (3.2.3), можно записать в виде
\[
\left(\mathbf{L}_{t}-\left[\mathbf{A}_{f}, \mathbf{L}\right]\right) \psi=\left(k^{2}\right)_{t} \psi .
\]

Квадратные скобки в уравнении (3.2.6) обозначают коммутатор: $\left[\mathbf{A}_{f}, \mathbf{L}\right]=\mathbf{A}_{f} \mathbf{L}-\mathbf{L A}_{f}$. Прямое вычисление показывает, что $\left[\mathbf{A}_{f}, \mathbf{L}\right]$ не зависит от $f$ и что
\[
\mathbf{L}_{t}-\left[\mathbf{A}_{f}, \mathbf{L}\right]=0
\]

является уравнением КдФ (3.1.1). Из (3.2.6) мы заключаем, что собственные значения $\lambda=k^{2}$ уравнения Шрёдингера (3.2.3) не зависят от времени, если $q(x, t)$ эволюционирует в соответствии с уравнением КдФ (3.1.1).

Поскольку собственные значения уравнения (3.2.3) не зависят от времени, мы будем его называть изоспектральным уравнением Шрёдингера. Запишем $\mathbf{A}_{1}=\mathbf{A}_{f=0}$. Тогда без потери общности можно считать, что нелинейное уравнение КдФ
\[
\mathbf{L}_{t}=\left[\mathbf{A}_{\mathbf{1}}, \mathbf{L}\right]
\]

ассоциировано с линейным изоспектральным уравнением (3.2.3). Присутствие произвольной функции $f$ соответствует тому факту, что оператор $\mathbf{A}_{1}$ следует определять с точностью до оператора, коммутирующего с $\mathbf{L}$. $\mathbf{L}$ и $\mathbf{A}_{1}$ называются парой Лакса для уравнения КдФ.

После того, как уравнение представлено в таком виде, возникает естественный вопрос, существуют ли другие уравнения, ассоциированные с изоспектральным уравнением Шрёдингера, т. е. существуют ли такие операторы $\mathbf{A}$, которые могут заменить оператор $\mathbf{A}_{1}$ в уравнении (3.2.8). Лакс [1968] нашел одно такое семейство операторов; они имеют общую форму
\[
\mathbf{A}_{m}=-c_{m}\left(D^{2 m+1}+\sum_{1}^{m}\left(b_{j} D^{2 j-1}+D^{2 j-1} b_{j}\right)\right),
\]

где $D^{j}=\partial^{j} / \partial x^{j}$ и $b_{j}-$ функционалы от переменной $q$ и ее производных по $x$. Переменная $q$ удовлетворяет нелинейному эволюционному уравнению
\[
\mathbf{L}_{t}=\left[\mathbf{A}_{m}, \mathbf{L}\right] .
\]

Заметим, что запись оператора дифференцирования $D$ перед $b_{j}$ на самом деле означает оператор полного дифференцирования по $x$

(см. замечание к формуле (3.1.10)). Эти $b$ в уравнении (3.2.9) определяются условием, состоящим в том, чтобы уравнение (3.2.10) вообще не содержало операторов $D$, т. е. было просто оператором умножения. Так, при $m=0(3.2 .10)$ является линейным волновым уравнением
\[
q_{t}=-c_{0} q_{x} .
\]

При $m=1$ и $c_{1}=4$ мы возвращается к уравнению КдФ (3.1.1), а при $m=2, c_{2}=96$ мы получаем уравнение КдФ высшего порядка:
\[
q_{t}+6 q_{5 x}+5 \alpha^{2} q^{2} q_{x}+20 \alpha q_{x} q_{2 x} \mp 10 \alpha q q_{3 x}=0 .
\]

Семейство уравнений, порожденных формулой (3.2.9) и расположенных по возрастанию порядка и нелинейности, называется иерархией уравнений КдФ. В первых двух разделах этой главы мы видели, что важное физическое уравнение, а именно уравнение КдФ, может быть ассоциировано с линейной задачей на собственные значения, т. е. с изоспектральным уравнением Шрёдингера. Представленный таким образом материал выдвигает некоторое количество математических задач технического порядка и открывает несколько разных направлений для дальнейшего более глубокого исследования значимости такого соотношения. В каких линейных пространствах действует оператор $\mathbf{L}$ из уравнения (3.2.3)? Можем ли мы описать класс операторов, которые могли бы заменить оператор Шрёдингера в соотношении вида (3.2.10)? Можно ли описать все семейство нелинейных уравнений, которые могут быть ассоциированы с оператором Шрёдингера при помощи уравнения, аналогичного уравнению (3.2.10)?

В разд. 2.4 показано, что если уравнение Шрёдингера определено на вещественной прямой и мы имеем дело с рассеивающими потенциалами (т. е. с такими потенциалами $q(x)$, что $q \rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty)$, которые к тому же являются безотражательными, то асимптотические данные рассеяния единственным образом определяют потенциал. Особенно важной в обратной задаче представляется роль коэффициента прохождения $a$ (ऽ). В разд. 3.1 мы заметили, что переменная $t$ входит в (3.2.3) только как параметр, так что для фиксированного $t$ оно эквивалентно уравнению (2.3.18). Можно ли определить единственным образом данные рассеяния для данной функции $q(x, t)$ в уравнении (3.2.3), принадлежащей к классу функций, удовлетворяющих условию $q(x, t) \rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty$ ? Если это так, то можно ли по данным рассеяния восстановить функцию $q(x, t)$ ? В этом состоит обратная задача для уравнения Шрёдингера, которая будет рассмотрена в гл. 4. Какую информацию об эволюции данных рассея ния можно извлечь из асимптотической формы эволюции данных рассеяния и из асимптотической формы эволюции линейной системы (2.3.4)?

Последние три вопроса можно задать и относительно задачи с начальными данными для уравнения КдФ. То есть, какие начальные данные и граничные условия должны быть наложены на функцию $q(x, 0)$ и ее производные по $x$ для того, чтобы решение уравнения КдФ существовало и было единственным для всех $t>0$ ? Эта задача обсуждается в разд. 3.5, а также в гл. 4. и 6 .

Единственный случай, отличный от нашего и представляющий физический интерес, – задача с периодическими граничными условиями на $q, q(x+c, t)=q(x, t)$ – в этой книге не рассматривается.

Ответы на все остальные вопросы мы дадим в оставшихся разделах. Главное, что при помощи этой связи между нелинейным уравнением КдФ и линейным уравнением мы можем узнать многое о свойствах решений нелинейного уравнения. Такая связь – явление специальное, и, вообще говоря, она невозможна для произвольного нелинейного уравнения. В качестве примера можно указать уравнения Максвелла-Блоха, обсужденные в гл. 1. Фундаментальный вопрос о том, когда такая связь возможна, до сих пор является предметом активных научных исследований.