Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
(a) Специальный пример диссипативной неустойчивости обнаруживается при рассмотрении конвекции в жидкости, подогреваемой снизу. Эта проблема первоначально нзучалась Рэлеем [1916]. Рассмотрим поток жидкости, расположенной между двумя горизонтальными глоскостями, расстояние между которыми равно $L$. Жидкость равномерно нагревается снизу, так что разность температур между верхней и нижней плоскостями постоянна и равна $\Delta T$. Пусть $\alpha$ — коэффициент теплового расширения, $v-$ коэффициент вязкости, $x$ — коэффициент тепловой проводимости, $g$ — ускорение земного притяжения (гравитационное ускорение). Пусть, далее, $\psi$ — функция тока и $\theta$ — изменение температуры в пространстве и во времени. Проще рассмотреть движения, которые двумерны и происходят в вертикальной плоскости $(x, 2)$. В этом случае уравнения, описывающие течение, имеют вид В этой специальюй задаче важны граничные условия на верхней и нижней плоскостях, и мы выберем «свободные» граничные условия, т. е. $\psi$ и $ следуя виду (9.1.2), (9.1.3). Линсйную часть уравнений (9.6.1), (9.6.2) можно записать следующим образом: Определитель этой матрицы в $(k, \omega)$-пространстве дает дисперсионное соотнонение, которое, если положить для простоты $k=$ $=\pi a / L$, записывается в виде Это квадратное уравнение относительно $\omega$ непосредственно решается: и поскольку члены в квадратных скобках являются положительными, то $\omega$ оказывается чисто мнимым: $\omega=i \omega_{\mathrm{I}}$ и $\omega_{\mathrm{R}}=0$ в обозначениях разд. 9.1. В этом случае отсутствует гармоническое волновое движение, растущее или затухающее, но есть переключение от стационарного роста к стационарному убыванию. Очевидно, что в этой задаче имеется много параметров, но в качестве регулируемого параметра мы выбираем $\Delta T$. Для нахождения кривой нейтральной устойчивости, как в разд. 9.1 , положим, $\omega_{\mathrm{I}}=0$, что эквивалентно в этом случае выбору $\omega=0$ в (9.6.6). Госле возведения в квадрат легко получаем условие Выражение в левой части (9.6.7) есть безразмерная величина, называемая числом Рэлея: Число $R_{a}$ сейчас играет роль параметра $\mu$, бифуркационного параметра разд. 9.1, и выражение в (9.6.8) представляет нейтральную кривую (следует помнить, что $k=\pi a / L$ ). Критическую точку можно быстро определить из (9.6.8) как минимум кривой. Легко видеть, что он достигается, когда $a^{2}=1 / 2$ и $R_{\text {ac }}=27 \pi^{4} / 4$, так что точка $\left(k_{\mathrm{c}}, \mu_{\mathrm{c}}\right.$ ) в этой задаче имеет вид $\left(\pi / \sqrt{2 L}, 27 \pi^{4} / 4\right)$. Стюарт [1960] показал, что (9.6.9) действителью является соответствующим амплитудыл уравнением вблизи критического числа Рейнольдса для частного примера плоского течения Пуазейля. Получить нейтральную кривую в этом случае оказывается более сложным делом, чем просто положить $\omega_{\mathrm{I}}=0$, так как здесь нельзя пренебрегать другими пространственными размерностями и граничными условиями. В этом случае необходимо численно решить обыкновенное дифференциальное уравнение Орра-Зоммерфельда четвертого порядка. Уравнение Стюарта-Ландау (9.6.9) описывает эволюцию дискретных волн, но включение пространственной переменной в эту категорию неустойчивостей приводит вблизи критической точки, вообще говоря, к уравнению (9.1.16), которое мы здесь повторно запишем (см. Дэйви [1972] и Ньюэлл [1974]): Уравнение (9.6.10) приписывается то одним авторам, то другим в зависимости от области, где оно возникает. В теоретической физике, биологии и химии чаще всего его называют обобщенным уравнением Ландау-Гинзбурга (см. обзор Курамото [1978] и работу Лина и Кана [1980] о популяционных модулях). Это уравнение возникло втеории сверхпроводимости и имеет структуру квантового уравнения Шрёдингера с функцией $|A|^{2}$ в качестве потенциала. Однако в механике жидкости, по-видимому, Нькэлл и Уайтхед [1969] были первыми, получившими это уравнение в виде (9.6.10) для частного случая конвекции Бинара в области критических чисел Рэлея ( $\beta_{1}$ и $\gamma_{1}$ вещественны). В этом случае для вещественных конвекционных задач необходимо принимать во виимание и другие пространственные переменные, однако сама структурная форма уравнения (9.6.10) остается фундаментальной. Стюартсон и Стюарт [1971], следуя Хоккингу и др. [1972], показали, что (1.14) появляется как обобщение уравнения Ландау-Стюарта (1.13) в том случае, когда в задачу о плоском течении Пуазейля включается пространственная переменная ( $\beta_{1}$ вещественно, $\gamma_{1}$ комплексно). Болл [1977] показал, что, когда $\gamma_{1}>0$, решенне уравнения (9.6.10) разрушается за конечное время $\left(\beta_{1}, \gamma_{1}\right.$ вещественны), $\beta_{1}<0$. Ланге и Ньюэлл [1974] показали, что существует критерий $\beta_{1 R} \gamma_{1 R}+\beta_{1 \text { I }}^{1 \text { I }} \geqslant 0$, который позволяет решить, достигла ли система монохроматического состояния. Для НЛШ-уравнения гл. 8 монохроматическое состояние эквивалентно условию $\beta \gamma<0$. Қнига Дрейзина и Рейда [1981] по гидродинамической устойчивости содержит больше всего ссылок на задачи, в которых появляется уравнение (9.6.10). Как можно ожидать, существуют и другие области, в которых встречается уравнение (9.6.10). Например, Полик и Роуленд [1975] показали, что оно возникает при нелинейном распространении волн в пьезоэлектрическом полупроводнике ( $\beta_{1}$ комплексное, $\gamma_{1}$ чисто мнимое) вблизи критического значення поля постоянного тока. Ньюэлл [1974] занимался уравнением (9.6.10) для случая скалярного $L$, но мы обобщили его результат на матрицу $L$ как следствие из нашего основного анализа в разд. 9.2. В заключение отметим два важных момента, относящихся к уравнению (9.6.10). Во-первых, оно первого порядка по времени по переменной $T_{2}$. Переменная $T_{1}$ вошла в систему отсчета, движущуюся с групповой скоростью. Это связано с необходимостью удаления секулярных членов в порядке $O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Во-вторых, групповая скорость $C_{g}$ однозначна на нейтральной кривой. Приведенный выше перечень не исчерпывающий, но содержит наиболее известные примеры. Примеры (i), (iii) и (vii) обсуждались в разд. 9.3 и 9.4 этой главы. Модель Иди бароклинной неустойчивости подобна двухслойной модели, но состоит из единственного течения, которое непрерывно расслаивается. Дисперсионное соотношение не полиномиально по $\omega$, но тем не менее существует пара комплексно сопряженных корней. Развернутое обсуждение амплитудных уравнений и соответствующих им моделей имеется у Гиббона и Магинесса [1981]. (г) Для тех дисперсионных неустойчивостей, которые имеют минимум в начале координат, т. е. $k_{\mathrm{c}}=0$, могут возникнуть технические трудности. Это приводит к падающим волнам, у которых длина волны бесконечна, В этом случае должны быть рассмотрены боковые моды, отличные от нуля. Қак мы показали в разд. 9.2, пространственные члены в порядке $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ секулярны всюду, за исключением минимума. Это значит, что персменная $X_{1}$ должна быть исключена, но более длинная переменная $X_{2}=\varepsilon^{2} x$ может быть использована вместо нее. Уравнение для амплитуды теперь приводится к виду ( $\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}$ вещественны) представляющему собой НЛШ-уравнение, в котором простраяственная и временндя переменные меняются местами. Этот тип неустойчивости появляется при описании поведения симметричной двухструйной плазмы (пример уі) и двухслойной бароклинной неустойчивости, когда бета-плоскость не включена (пример vii). Идеи, относяциеся к уравнениям РМБ, были впервые представлены Эйлбеком и др. [1973] и Кодри и др. [1973] как альтернатива к СИП-уравнениям. То, что они интегрируемы методом обратной задачи рассеяния, было показано Гиббоном и др. [1973]. Среди авторов, которые занимались аспектами обратной задачи рассеяния по отношению к СИП-уравнениям с однородным ушнрением и без него, были Лэм [1970, 1971, 1973] и Абловиц, Кауп и Ньюэл [1974]. Чисто солитонные аспекты, использующие метод Хироты, развивались Қодри и др. [1973, 1974, 1975 ]. В своей статье [1972] Педлоски затем включил переменную $X_{1}$, чтобы получить $A B$-уравнения. Двухслойная модель и сама по себе, очевидно, удобная конструкция, однако ее применение было связано с тем, что она является по существу простейшей математической моделью, которая демонстрирует бароклинную неустойчивость. Другая, несколько более сложная модель, это так называемая модель Иди [1949], которая допускает непрерывную стратификацию в единственном течении с множеством сдвигов (Дрейзин (1970]). Уравнения $A B$ возникают также в модели Иди с линейным сдвигом и стратификацией (Мороз [1981]). где перед амплитудами Фурье $X, Y$ и $Z$ стоят масштабные коэффициенты, а $\tau=\pi^{2} L^{-2}\left(1+a^{2}\right) x t$ является безразмерной временно́й переменной. Подставляя эти выражения в уравнения Навье — Стокса и обрезая число мод (остается одна у $\psi$ и две у ө), получаем уравнения Лоренца (9.5.11), где Разложение по модам и процедура обрезания, описанная здесь, типичны в задачах такого рода. По теории, чем больне число мод включается в рассмотрение, тем более точна модель, хотя это предположение основывается на равномерной сходимости разложений, что не всегда имеет место. Говард и Кришнамурти [1980] рассмотрели 6-мерную модель конвекции, содержащую модель Лоренца на трехмерном (трехмодовом) инвариантном подпространстве. В вещественном случае $a=1$ Педлоски и Френзен [1981] рассмотрели поведение (9.6.15) по сравненню со случаем единственного $Z$.
|
1 |
Оглавление
|