(a) Специальный пример диссипативной неустойчивости обнаруживается при рассмотрении конвекции в жидкости, подогреваемой снизу. Эта проблема первоначально нзучалась Рэлеем [1916]. Рассмотрим поток жидкости, расположенной между двумя горизонтальными глоскостями, расстояние между которыми равно $L$. Жидкость равномерно нагревается снизу, так что разность температур между верхней и нижней плоскостями постоянна и равна $\Delta T$. Пусть $\alpha$ – коэффициент теплового расширения, $v-$ коэффициент вязкости, $x$ – коэффициент тепловой проводимости, $g$ – ускорение земного притяжения (гравитационное ускорение). Пусть, далее, $\psi$ – функция тока и $\theta$ – изменение температуры в пространстве и во времени. Проще рассмотреть движения, которые двумерны и происходят в вертикальной плоскости $(x, 2)$. В этом случае уравнения, описывающие течение, имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial}{\partial z}-\frac{\partial \psi}{\partial z} \frac{\partial}{\partial x}\right)
abla^{2} \psi=
u
abla^{\mathbf{4}} \psi+\alpha g \frac{\partial \theta}{\partial x}, \\
\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial}{\partial z}-\frac{\partial \psi}{\partial z} \frac{\partial}{\partial z}\right) \theta=\frac{\Delta T}{L} \frac{\partial \psi}{\partial x}+x
abla^{2} \theta . \\
\end{array}
\]

В этой специальюй задаче важны граничные условия на верхней и нижней плоскостях, и мы выберем «свободные» граничные условия, т. е. $\psi$ и $
abla^{2} \psi$ равны нулю при $z=0$ и $z=L$. Чтобы удовлетворить этим условиям, возьмем осцилляционные решения с малой амплитудой линеаризованного вариаита уравнений (9.6.1), $(9.6 .2)$,
\[
\left(\begin{array}{l}
\Psi \\
\theta
\end{array}\right)=[\mathrm{b} \exp i \theta+\mathrm{c} \cdot \mathrm{c} .] \sin \left(\frac{\pi z}{L}\right), \quad \theta=k x-\omega t,
\]

следуя виду (9.1.2), (9.1.3). Линсйную часть уравнений (9.6.1), (9.6.2) можно записать следующим образом:
\[
\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial}{\partial t}
abla^{2}-v
abla^{4} & -\alpha g \partial / \partial x \\
-\frac{\Delta T}{L} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial t}-x
abla^{2}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\psi \\
\theta
\end{array}\right)=\begin{array}{l}
\text { Қвадратичные } \\
\text { нелинейные } \\
\text { члены. }
\end{array}
\]

Определитель этой матрицы в $(k, \omega)$-пространстве дает дисперсионное соотнонение, которое, если положить для простоты $k=$ $=\pi a / L$, записывается в виде
\[
\left(1+a^{2}\right)\left(i \omega-\frac{v \pi}{L^{2}}\right)\left[-i \omega+x\left(1+a^{2}\right) \pi^{2} / L^{2}\right]+\frac{\Delta T \alpha g a^{2}}{L}=0 .
\]

Это квадратное уравнение относительно $\omega$ непосредственно решается:
\[
\begin{array}{l}
2 \omega=i\left\{-(v+x)\left(1+a^{2}\right) \pi^{2} / L^{2} \pm\left[(v-x)^{2}\left(1-a^{2}\right) \frac{\pi^{4}}{L^{4}}+\right.\right. \\
\left.\left.+\frac{4 \Delta T \alpha g a^{2}}{\left(1+a^{2}\right) L}\right]^{1 / 2}\right\},
\end{array}
\]

и поскольку члены в квадратных скобках являются положительными, то $\omega$ оказывается чисто мнимым: $\omega=i \omega_{\mathrm{I}}$ и $\omega_{\mathrm{R}}=0$ в обозначениях разд. 9.1. В этом случае отсутствует гармоническое волновое движение, растущее или затухающее, но есть переключение от стационарного роста к стационарному убыванию. Очевидно, что в этой задаче имеется много параметров, но в качестве регулируемого параметра мы выбираем $\Delta T$. Для нахождения кривой нейтральной устойчивости, как в разд. 9.1 , положим, $\omega_{\mathrm{I}}=0$, что эквивалентно в этом случае выбору $\omega=0$ в (9.6.6). Госле возведения в квадрат легко получаем условие
\[
\frac{\Delta T \alpha g L^{2}}{
u x}=\frac{\pi^{2}\left(1+a^{2}\right)^{3}}{a^{3}} .
\]

Выражение в левой части (9.6.7) есть безразмерная величина, называемая числом Рэлея:
\[
R_{a}=\frac{\Delta T a g L^{3}}{v x}=\frac{\pi^{4}\left(1+a^{2}\right)^{3}}{a^{2}} .
\]

Число $R_{a}$ сейчас играет роль параметра $\mu$, бифуркационного параметра разд. 9.1, и выражение в (9.6.8) представляет нейтральную кривую (следует помнить, что $k=\pi a / L$ ). Критическую точку можно быстро определить из (9.6.8) как минимум кривой. Легко видеть, что он достигается, когда $a^{2}=1 / 2$ и $R_{\text {ac }}=27 \pi^{4} / 4$, так что точка $\left(k_{\mathrm{c}}, \mu_{\mathrm{c}}\right.$ ) в этой задаче имеет вид $\left(\pi / \sqrt{2 L}, 27 \pi^{4} / 4\right)$.
(6) $C$ нелинейным диффузнонным уравнением (9.1.16) связана большая литература. Его роль как слабо нелинейного уравнения в диссипативных системах почти универсальна. Ландау [1959] предположил эвристически, что при критическом числе Рейнольдса для течения вязкой жидкости амплитудное уравнение без пространственной зависимости должно представляться в виде
\[
\partial A / \partial T_{2}=\alpha A-\beta A|A|^{2} .
\]

Стюарт [1960] показал, что (9.6.9) действителью является соответствующим амплитудыл уравнением вблизи критического числа Рейнольдса для частного примера плоского течения Пуазейля. Получить нейтральную кривую в этом случае оказывается более сложным делом, чем просто положить $\omega_{\mathrm{I}}=0$, так как здесь нельзя пренебрегать другими пространственными размерностями и граничными условиями. В этом случае необходимо численно решить обыкновенное дифференциальное уравнение Орра-Зоммерфельда четвертого порядка. Уравнение Стюарта-Ландау (9.6.9) описывает эволюцию дискретных волн, но включение пространственной переменной в эту категорию неустойчивостей приводит вблизи критической точки, вообще говоря, к уравнению (9.1.16), которое мы здесь повторно запишем (см. Дэйви [1972] и Ньюэлл [1974]):
\[
\begin{array}{c}
\partial A / \partial T_{2}=\alpha_{1} A-\beta_{1} A|A|^{2}+\gamma_{1} \partial^{2} A / \partial \bar{X}^{2}, \\
\bar{X}=X_{1}-(d \omega / d k) T_{1} .
\end{array}
\]

Уравнение (9.6.10) приписывается то одним авторам, то другим в зависимости от области, где оно возникает. В теоретической физике, биологии и химии чаще всего его называют обобщенным уравнением Ландау-Гинзбурга (см. обзор Курамото [1978] и работу Лина и Кана [1980] о популяционных модулях). Это уравнение возникло втеории сверхпроводимости и имеет структуру квантового уравнения Шрёдингера с функцией $|A|^{2}$ в качестве потенциала. Однако в механике жидкости, по-видимому, Нькэлл и Уайтхед [1969] были первыми, получившими это уравнение в виде (9.6.10) для частного случая конвекции Бинара в области критических чисел Рэлея ( $\beta_{1}$ и $\gamma_{1}$ вещественны). В этом случае для вещественных конвекционных задач необходимо принимать во виимание и другие пространственные переменные, однако сама структурная форма уравнения (9.6.10) остается фундаментальной. Стюартсон и Стюарт [1971], следуя Хоккингу и др. [1972], показали, что (1.14) появляется как обобщение уравнения Ландау-Стюарта (1.13) в том случае, когда в задачу о плоском течении Пуазейля включается пространственная переменная ( $\beta_{1}$ вещественно, $\gamma_{1}$ комплексно). Болл [1977] показал, что, когда $\gamma_{1}>0$, решенне уравнения (9.6.10) разрушается за конечное время $\left(\beta_{1}, \gamma_{1}\right.$ вещественны), $\beta_{1}<0$. Ланге и Ньюэлл [1974] показали, что существует критерий $\beta_{1 R} \gamma_{1 R}+\beta_{1 \text { I }}^{1 \text { I }} \geqslant 0$, который позволяет решить, достигла ли система монохроматического состояния. Для НЛШ-уравнения гл. 8 монохроматическое состояние эквивалентно условию $\beta \gamma<0$. Қнига Дрейзина и Рейда [1981] по гидродинамической устойчивости содержит больше всего ссылок на задачи, в которых появляется уравнение (9.6.10).

Как можно ожидать, существуют и другие области, в которых встречается уравнение (9.6.10). Например, Полик и Роуленд [1975] показали, что оно возникает при нелинейном распространении волн в пьезоэлектрическом полупроводнике ( $\beta_{1}$ комплексное, $\gamma_{1}$ чисто мнимое) вблизи критического значення поля постоянного тока. Ньюэлл [1974] занимался уравнением (9.6.10) для случая скалярного $L$, но мы обобщили его результат на матрицу $L$ как следствие из нашего основного анализа в разд. 9.2. В заключение отметим два важных момента, относящихся к уравнению (9.6.10). Во-первых, оно первого порядка по времени по переменной $T_{2}$. Переменная $T_{1}$ вошла в систему отсчета, движущуюся с групповой скоростью. Это связано с необходимостью удаления секулярных членов в порядке $O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Во-вторых, групповая скорость $C_{g}$ однозначна на нейтральной кривой.
(в) Хотя известно много моделей, обладающих парой комплексно сопряженных корней, второму типу неустойчивости (категория II) как общему классу неустойчивостей этого вида уделялось меньшее внимание в литературе, чем первому. Часто эти два вида неустойчивостей смешивают несмотря на то, что их поведение резко разлнчается. Мы приеедем перечень семи различных примеров дисперсионной неустойчивости:
(i) идеальная двухслойная модель бароклинной неустойчивости на бета-плоскости (Филипс (1954 1, Педлоски [1970, 1972));
(ii) модель Иди (непрерывно раселоенная) для бароклинной неустойчивости на бета-ллоскости (Иди [1949), Дрейзин [1970, 1972 l);
(iii) самоиндуцированная прозрачность (СИП) – ультракороткий оптический импульс, распространяющийся без потерь через двухуровневую атомную среду (Макколл и Хан [1967, 1969 ], Лэм (1971);
(iv) идеальная двухслойная неустойчивость Кельвина-Гельмгольца (Вейссман [1979] и ссылки в работе);
(v) продольный изгиб упругих оболочек и балок (Ланге и Ньюэлл (1971]);
(vi) неустойчивость симметричной двухструйной плазмы (Полик [1977] и ссылки в работе);
(vii) идеальная двухслойная модель для бароклинной неустойчивости на F-плоскости (не на бета-плоскости) (Педлоски [1970]).

Приведенный выше перечень не исчерпывающий, но содержит наиболее известные примеры. Примеры (i), (iii) и (vii) обсуждались в разд. 9.3 и 9.4 этой главы. Модель Иди бароклинной неустойчивости подобна двухслойной модели, но состоит из единственного течения, которое непрерывно расслаивается. Дисперсионное соотношение не полиномиально по $\omega$, но тем не менее существует пара комплексно сопряженных корней. Развернутое обсуждение амплитудных уравнений и соответствующих им моделей имеется у Гиббона и Магинесса [1981].

(г) Для тех дисперсионных неустойчивостей, которые имеют минимум в начале координат, т. е. $k_{\mathrm{c}}=0$, могут возникнуть технические трудности. Это приводит к падающим волнам, у которых длина волны бесконечна, В этом случае должны быть рассмотрены боковые моды, отличные от нуля. Қак мы показали в разд. 9.2, пространственные члены в порядке $O\left(\varepsilon^{2}\right)$ секулярны всюду, за исключением минимума. Это значит, что персменная $X_{1}$ должна быть исключена, но более длинная переменная $X_{2}=\varepsilon^{2} x$ может быть использована вместо нее. Уравнение для амплитуды теперь приводится к виду ( $\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}$ вещественны)
\[
i \frac{\partial A}{\partial X_{2}}= \pm \alpha_{3} A+\gamma_{3} \frac{\partial^{2} A}{\partial T_{1}^{2}}-\beta_{3} A|A|^{2},
\]

представляющему собой НЛШ-уравнение, в котором простраяственная и временндя переменные меняются местами. Этот тип неустойчивости появляется при описании поведения симметричной двухструйной плазмы (пример уі) и двухслойной бароклинной неустойчивости, когда бета-плоскость не включена (пример vii).
Раздел 9.3
Первоначальные численные и аналитические вычисления и экспериментальные наблюдения СИП были сделаны Макколом и Ханом $[1967,1969]$. В качестве атомного образца они применили рубиновый стержень, охлажденный в жидком гелии. Был использован $Q$-переключаемый рубиновый лазер, настроенный на выход плоскополяризованной $E(2 E) \leftrightarrow 4 A_{2}\left( \pm \frac{3}{2}\right)$ линии отдачи с типичным импульсом ширины $10 \div 20$ нм. Дальнейшие элегантные эксперименты были произведены Гиббсом и Слашером [1970, 19721 , которые применили $5 \div 10$ нс когерентный оптический импульс, полученный от лазера на ${ }^{202} \mathrm{HgII}$, пропускаемый через образец ${ }^{85} \mathrm{Rb}$.
(a) Превосходный обзор теоретических аспектов распространения ультракоротких оптических импульсов, включая теорему площадей, был опубликован Лэмом [1971]. В этой лсно написанной статье могут быть найдены многие интересные экспериментальные и теоретические сведения. Этот обзор сыграл существенную роль в раннем развитии теории солитонов, так как он связал воедино многие работы по СГ-уравнениям, в особенности относящиеся к преобразованиям Бэклунда. Именно Лэм первый обратил внимание на старые и почти забытые результаты, содержащиеся у Эйзенхарта [1960] и Форсайта [1959], о СГ-уравнениях и их связи с поверхностью постоянной отрицательной кривизны в дифференциальной геометрии. Другие статьи и обзоры по СИП, в частности связанные с солитонным аспектом, могут быть найдены у Буллафа и др. [1973] и Буллафа [1973, 1975, 1976, 1979].

Идеи, относяциеся к уравнениям РМБ, были впервые представлены Эйлбеком и др. [1973] и Кодри и др. [1973] как альтернатива к СИП-уравнениям. То, что они интегрируемы методом обратной задачи рассеяния, было показано Гиббоном и др. [1973]. Среди авторов, которые занимались аспектами обратной задачи рассеяния по отношению к СИП-уравнениям с однородным ушнрением и без него, были Лэм [1970, 1971, 1973] и Абловиц, Кауп и Ньюэл [1974]. Чисто солитонные аспекты, использующие метод Хироты, развивались Қодри и др. [1973, 1974, 1975 ].
(б) Қак в вычислениях, связанных с многомасштабными растяжениями, так и в приближениях, которые сводят уравнение Максвелла к форме уравнения РМБ, было показано, что $\overline{\bar{a}}$ должно быть малым. Например, $\bar{\alpha} \simeq 0,01$ в оптических частотах, когда $n \sim 10^{18}$ атом/см ${ }^{3}$. В экспериментах Гиббса и Слашера [1972] в рубидиевых парах $n$ принимает значение порядка $10^{12}$ атомов $/ \mathrm{cm}^{3}$, так что $\bar{\alpha} \sim 10^{-3}$.
Раздел 9.4
(a) Вывод уравнений (9.4.18) для двухслойной модели был дан Педлоски [1970], где рассмотрены существенные детали приближений, в условиях которых эти уравнения справедливы. В этой статье автор вывел $A B$-уравнения только с переменной $T_{1}$ (без переменных $X_{1}$ и $X_{2}$ ) и таким образом получил уравнение в виде
\[
\frac{d^{2} A}{d T_{1}^{2}}= \pm \alpha A-\beta A|A|^{2} .
\]

В своей статье [1972] Педлоски затем включил переменную $X_{1}$, чтобы получить $A B$-уравнения. Двухслойная модель и сама по себе, очевидно, удобная конструкция, однако ее применение было связано с тем, что она является по существу простейшей математической моделью, которая демонстрирует бароклинную неустойчивость. Другая, несколько более сложная модель, это так называемая модель Иди [1949], которая допускает непрерывную стратификацию в единственном течении с множеством сдвигов (Дрейзин (1970]). Уравнения $A B$ возникают также в модели Иди с линейным сдвигом и стратификацией (Мороз [1981]).
(б) Интегрируемость $A B$-уравнений по отношению к двухслойной модели была доказана Гиббоном и др. [19791, а для модели Иди с линейным сдвигом и стратификацией – Морозом и Бриндли [1981]. Лабораторные исследовання бароклинной неустойчнвости, использующие вращающиеся кольцеобразные слои жидкости или газа, обнаруживают богатое множество движений, включая периодическое, кратно периодические и апериодические течения. Многие из этих результатов содержались в пионерских работах Хайда [1958, 1969], использующих теплоупривляемые вращающиеся кольцевые слои жидкости. Харт [1972] рассмотрел двухслойную систему в лаборатории. Сведения о таких результатах можно найти у Хайда и Мейсона 119751 и Хайда и др. [1977].
(в) Технически выбор функции $\sin (m \pi y$ ) в качестве вариацин по $y$ функций тока является некорректным, поскольку обе производные от $\psi_{i}$ по $y$ должны равняться нулю при $y=0$ и $y=1$. Это обстоятельство указывает на необходимость использования рядов Фурье для анализа вариаций по $y$, что существенно усложняет вычисления (Смит [1974]). Педлоски указал, что для этого частного случая, в котором жидкость лишена вязкости, аппроксимация функцией $\sin (m \pi y)$ вполне хороша.
(г) Бета-эффект (см. также гл. 5) можно включить в эксперименты с кольцевыми слоями, взяв наклонные торцевые стенки вверху и внизу кольцевого слоя. Таким образом экспериментально учитывается кривизна Земли. Мейсон [1977] детально изучил движение волн в такой системе и показал, что имеется существенное различие в экспериментах, когда стенки включены или исключены. Теоретически мы это видели в простой двухслойной модели, когда включение или исключение члена бета-плоскости $\beta y$ приводило к существенному различию в теории как в невязком случае, так и в слабо затухающем случае. См. разд. 9.5, в котором возможность вывода уравнений Лоренца зависела от бета-зффекта. По поводу общих сведений из геофизической динамики жидкости или газа см. примечания к гл. 5 .
Раздел 9.5
(a) Уравнения Лоренца были выведены в 1963 г. для задач, рассмотренных в примечаниях к разд. 9.1 этой главы, т. е. для двумерной конвекцин жидкости между двумя горизонтальными плоскостями со свободными граничными условиями на верхней и нижней границах. Функция тока $\psi$ и изменение температуры $\theta$ между плоскостями можно разложить в ряды Фурье при критичности и подставить в уравнения Навье – Стокса (9.6.1) и (9.6.2):
\[
\begin{array}{c}
\phi=\sqrt{2} x a^{-2}\left(1+a^{2}\right)\left[X(\tau) \sin \left(\frac{\pi a x}{L}\right) \sin \frac{\pi z}{L}\right] \ldots, \\
\theta=\sqrt{2} \pi^{-1} R_{a} R_{a c}^{-1} \Delta T\left[Y(\tau) \cos \left(\frac{\pi a x}{L}\right) \sin \frac{\pi z}{L}-\right. \\
\left.-\frac{1}{2} Z(\tau) \sin \left(\frac{2 \pi z}{L}\right)\right] \ldots
\end{array}
\]

где перед амплитудами Фурье $X, Y$ и $Z$ стоят масштабные коэффициенты, а $\tau=\pi^{2} L^{-2}\left(1+a^{2}\right) x t$ является безразмерной временно́й переменной. Подставляя эти выражения в уравнения Навье – Стокса и обрезая число мод (остается одна у $\psi$ и две у ө), получаем уравнения Лоренца (9.5.11), где
\[
r_{a}=R_{a} / R_{a c}, \quad \sigma=v x^{-1}, \quad b=4\left(1+a^{2}\right)^{-t} .
\]

Разложение по модам и процедура обрезания, описанная здесь, типичны в задачах такого рода. По теории, чем больне число мод включается в рассмотрение, тем более точна модель, хотя это предположение основывается на равномерной сходимости разложений, что не всегда имеет место. Говард и Кришнамурти [1980] рассмотрели 6-мерную модель конвекции, содержащую модель Лоренца на трехмерном (трехмодовом) инвариантном подпространстве.
(б) Применение корректных боковых граничных условий для двухслойной модели и модели Иди делает функции $Z$ лоренцевой модели бесконечными. В таком случае уравнения модифицируются и принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{X}=-\sigma X+\sigma Y, \\
\dot{Y}=\left(r-\sum_{n=1}^{\infty} Z_{n}\right) X-a Y, \\
\dot{Z}_{n}=-b_{n} Z_{n}+\frac{1}{2} \gamma_{n}\left(X^{*} Y+X Y^{*}\right) .
\end{array}
\]

В вещественном случае $a=1$ Педлоски и Френзен [1981] рассмотрели поведение (9.6.15) по сравненню со случаем единственного $Z$.
(в) Объяснение того, как могут быть найдены $A B$-уравнения с диссипативными или дисперсионными эффектами, дано Гиббоном и Магинессом [1981].