1. В динамике нендеального газа уравнения сохранения массы и импульса имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\rho_{t}+(\rho u)_{x}=0 \\
(\rho u)_{t}+\left(\rho u^{2}+P-\mu u_{x}\right)_{x}=0,
\end{array}
\]

где $\rho$ и $u$ – плотность и скорость соответственно, а $\mu$ – положительная постоянная. Переменная $P$, обозначающая давление, связана с плотностью уравнением состолния $P=A\left(\rho / \rho_{0}\right)^{r}$, где $\mathrm{P}_{0}-$ равновеснал плотность, а $A$ – постоянная.

Рассматривая линеаризацию этих уравнений, покажите, что растянутые координаты, необходимые для получсия информации об эволюции слабо нелинейных длинных волн, имеют внд
\[
\xi=e^{p}(x-\alpha t), \quad \tau=e^{2 p t} .
\]

Разлагая плотность $\rho$ и скорость $u$ в ряды по $\varepsilon$, покажите, что $0=1$ – как раз то значение показателя, которое дает для $\rho^{(1)}$ уравнение Бюргсрса внда
\[
2 \rho_{\mathrm{i}}^{(1)}+\alpha \rho_{0}^{-1}(1+\gamma) \rho^{(1)} \rho_{\xi}^{(1)}=\rho_{0}^{-1} \mu \rho_{5}^{(1)},
\]

где $a^{2}=A \gamma \rho_{0}^{-1}$.
2. Рассмотрите систему двух уравнений
\[
\begin{array}{l}
N_{x}=-(1 / 2)\left(E^{2}\right)_{t}, \\
E_{x x t}+E_{t}=(E N)_{x},
\end{array}
\]

где $N \rightarrow-1, E \rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty$. Представляя $E$ в виде
\[
E=\varepsilon E^{(1)}+\mathrm{e}^{2} E^{(2)}+\cdots,
\]

найдите разложение для $N$ и покажите, что $\xi=\varepsilon(x-t), \tau=$ $=\varepsilon^{3} t$ суть соответствуюшие растянутые координаты. Покажите, что в этих координатах эволюционное уравнение для $E$ цревращается в уравнение мКДФ
\[
E_{\mathrm{g} 5 \xi}^{(1)}+\left[1 / 2\left(E^{(1)}\right)^{3}\right]_{\mathrm{g}}=E_{\tau}^{(1)} .
\]
3 (а). Уравнение Қаца и ваи Мёрб́еке [1975] (КвМ) имеет вид
\[
\dot{u}_{n}=1 / 2\left[\exp \left(u_{n+1}\right)-\exp \left(u_{n-1}\right)\right] .
\]

Перехоля от дискретной переменной к континуалыњй, $u_{n}(t) \rightarrow$ $\rightarrow u(n, t)$, покажите, что при включении нижних порядков дисперсионного и нелинейного членов уравнение ҚвМ аппроксимируется уравнением вида
\[
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{6} \frac{\partial^{3} u}{\partial n^{3}}+u \frac{\partial u}{\partial n}+\frac{\partial u}{\partial n} .
\]
(б). Определяя новую переменную $x_{n}$, такую что
\[
u_{n}=x_{n}-x_{n+1} \text {, }
\]

покажите, рассматривая только четные точки ( $\xi_{j}=x_{2 n}$ ), что $x_{n}$ удовлетворяет уравнению полурешетки Тоды (Мозер [1975])
\[
\ddot{\xi}_{j}=\exp \left(\xi_{-1}-\xi_{j}\right)-\exp \left(\xi_{j}-\xi_{j+1}\right) .
\]
4. Во мпогих матричных задачах, связанных с растяжением хоординат в одном пространственном измерении, типа КдФ,
содержащих еще одну переменную $y$, как в разд. 5.4, возникают уравнения вида
\[
L_{\varphi}=\mathrm{f}_{1}(y) A_{\tau}+\mathrm{f}_{2}(y) A^{m} A_{\mathrm{t}}+\mathrm{f}_{9}(y) A_{\text {与ร }} \equiv R,
\]

где $\boldsymbol{L}$ – дифференциальный оператор по $y$. Покажите, что если $\varphi=\mathbf{u}$ – решение однородной задачи $L \varphi=0$, а v есть решение сопряженной задачи $L^{*} \mathbf{v}=0$, то условие разрешимости дается соотношением
\[
\alpha_{1} A_{\tau}+\alpha_{2} A^{m} A_{\xi}+\alpha_{8} A_{\tilde{\xi} \mathfrak{\xi} \mathfrak{\xi}}=0,
\]

где
\[
\alpha_{i}=\left\langle\mathbf{v}, \mathbf{f}_{i}(y)\right\rangle
\]

а ломаные скобки (〉 означают скалярное произведение.
5. Примените метод, описанный в предыдущей задаче, для вывода уравнения (5.4.47) из (5.4.44).
6. Уравнение
\[
v_{t t}-c^{2} v_{x x}+\alpha L\left(v^{2}\right)_{x x}+L^{2} v_{x x t t}=0
\]

возникает при описании продольных волн в упругих стержнях (Островский и Сутин [1977]), где $L \gg 1(\alpha, c \sim O$ (1)). Используя $L^{-1}$ в качестве малого параметра, покажите, что в растянутых координатах $\xi=(x-c t) L^{-1}, \tau=c t L^{-1}$ и $v=L^{-1} u$, если пренебречь производными по $\tau$ порядка, большего единицы, то получится уравнение
\[
u_{\tau}=\alpha c^{-2} u u_{\xi}+(1 / 2) u_{\xi \xi}-u_{\xi .} .
\]
7. Покажите, что для дифференциального уравнения в частных производных
\[
\frac{\partial^{n} u}{\partial x^{n}}+\frac{\partial^{r}}{\partial x^{r}}\left(u^{m}\right)+\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=0,
\]
$n>r ; m>1$, при переходе к координатам $\xi=\varepsilon^{p}(x-t), \tau=$ $=\varepsilon^{(n-1) p t}$ и $u=\varepsilon u^{(1)}+\ldots$ баланс между членами получается на нижнем порядке по $\varepsilon$, если выбрать $p$ в виде $p=(m-1) /(n-r)$.
8. Модель, обобщающая результаты разд. 5.4 на случай двухслойной жидкости, задается уравнением
\[
\begin{array}{c}
{\left[\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial \psi_{i}}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y}-\frac{\partial \psi_{i}}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial x}\right]\left[
abla^{2} \psi_{i}+(-1)^{i}\left(\psi_{t}-\psi_{j}\right) F+\beta y\right]=0,} \\
i
eq j=1,2 .
\end{array}
\]

В этом случае возникает двойная задача на собственные значения, и поэтому необходимы две фазовые скорости $a_{1}$ и $a_{2}$. Следовательно, мы должны слегка изменить растяжение кооринат ( $\xi=\varepsilon^{1 / 2} x$; $\left.\boldsymbol{\tau}=\mathbf{8}^{3 / 2} t\right)$ и ввести
\[
\begin{array}{l}
\psi_{i}=-\int \bar{U}(y) d y+\Psi_{i}, \quad \bar{U}=U_{i}(g)-a_{i}, \quad i=1,2, \\
\Psi_{i}=\mathbf{\varepsilon} \Psi^{(1)}+\mathrm{e}^{2} \Psi^{(2)}+\cdots .
\end{array}
\]

Покажите, что с теми же самыми граничными условиями, что и в разд. 5.4 ( $Y_{i}=0$ прн $y=y_{1}$ и $y=y_{2}$ ), задача на собственные значения задается уравнениями
\[
Y_{i}^{\pi} \dashv v_{i}(y) Y_{i}=0,
\]

где
\[
\begin{aligned}
v_{i} & =\left[\beta-\bar{U}_{i}^{0}-(-1)^{i} F\left(\bar{U}_{i}-\bar{U}_{j}\right)\right] \bar{U}_{i}^{-1}, \\
\Psi_{i}^{(1)} & =A(\xi, \tau) Y_{i}(y), \quad i
eq j=1,2 .
\end{aligned}
\]

Применяя метод задачи 4 или действуя другим способом, покажите, что $A$ должно удовлетворять уравнению КдФ
\[
A_{\tau}+\mu A A_{\xi}+\gamma A_{\text {ธระ }}=0,
\]

где $\mu$ и $\gamma$ задаются выражениями
\[
\begin{array}{l}
\mu=\sum_{i=1}^{2} \int_{y_{2}}^{y_{1}} v_{i} Y_{i}^{2} / \bar{U}_{i} d s \mid \sum_{i=1}^{2} \int_{y_{i}}^{y_{1}} v_{i} Y_{i}^{2} / \bar{U}_{l} d s, \\
\gamma=\sum_{i=1}^{2} \int_{y_{1}}^{y_{1}} Y_{i}^{2} d s / \sum_{i=1}^{2} \int_{y_{1}}^{y_{1}} v_{i} Y_{l}^{2} / \bar{U}_{i} d s .
\end{array}
\]