Если начальные данные таковы, что коэффициент отражения $\left(R_{+}\right.$или $R_{-}$) равен нулю, то обратный метод даст точное решенне и при этом получаются $N$-солитонные решения разрешимых уравнений (4.2.1), если спектр уравнения IIрёдингера изначально содержал $N$ собственных значений. Уравнение Марченко ((4.1.14) или (4.1.15)) является тогда уравнением с вырожденным идром, и его можно решить, используя технику линейной алгебры.

Предположим, что ядро (4.1.14) можно записать в внде произведения,
\[
K(x, y, t)-h(x, t) \cdot f(y),
\]

и что
\[
\Omega(x+y: t)=g(x, t) \cdot f(y),
\]

где $h$ – неизвестный вектор-столбец длины $N$, а $g, f$ – векторыстолбцы длины $N$, у которых $j$-е компоненты равны соответственно

$D_{j}(t) \exp \left(-\eta_{j} x\right)$ и $\exp \left(-\eta_{j} y\right)$. Рассмотрим, например, уравнение Марченко (4.1.14), которое можно залисать в виде
\[
(\mathbf{A}(x, t) h(x, t)+g(x, t)) \cdot f(y)=0, \quad y \geqslant x,
\]

где $\mathbf{A}$ – обратимая матричная функция,
\[
\mathbf{A}(x, t)=\mathbf{I}+\mathbf{E}(x, t),
\]
\[
E(x, t)_{i j}=\left(\int_{x}^{\infty} g(u, t) \bar{f}^{T}(u) d u\right)_{i j}=\frac{D_{+i}(t) e^{-i\left(\eta_{i}+\eta_{j}\right) x}}{\left(\eta_{t}+\eta_{j}\right)} .
\]

Обратимость А следует из существования и единственности решения уравнения Марченко. Решая уравнение (4.3.3), получим выражение
\[
K(x, y, t)=\left(-\mathbf{A}^{-1}(x, t) g(x, t)\right) \cdot f(y),
\]

являющсеся единственным решением уравнсиия Марченко, что оправдывает принятую форму (4.1.1). Отсюда следует, что
\[
\begin{aligned}
K(x, x, t)=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{A}^{-1} \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{A}\right) & =(\operatorname{det} \mathbf{A})^{-1} \operatorname{Tr}\left(\operatorname{adj} \mathbf{A} \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{A}\right)= \\
& =\frac{\partial}{\partial x} \log (\operatorname{det} \mathbf{A}(x, t))
\end{aligned}
\]

и чго решение задач Коши (4.1.1) имеет вид
\[
Q(x, t)=-2 \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \log (\operatorname{det}(\mathbf{I}+\mathbf{E}(x, t))) .
\]

Проверив свойства функции $\operatorname{det}(\mathbf{1}+\mathbf{E}(x, t))$ или же отправляясь прямо от уравнения Марченко, можно убедиться, что определение функции $\mathbf{E}$ можно заменить более симметричным:
\[
E_{i j}(x, t)=\frac{D_{+i}^{1 / 2}(t) D_{+i}^{1 / 2}(t) \exp -\left(\eta_{i}+\eta_{j}\right) x}{\left(\eta_{i}+\eta_{j}\right)} .
\]

Из результатов разд. 3.5 имеем
\[
D_{+i}(t)=D_{+i}(0) \exp \left\{2 \eta_{i} \int_{0}^{t} C\left(t^{*},-\eta_{i}^{\eta}\right) d t^{\prime}\right\} .
\]

Таким образом, $N$-солитонные решения всех разрешимых уравнений имеют одну и ту же функциональную форму, и различие между ними происходит только из-за разной эволюции во времени нормировочных постоянных. Это, как мы видели, происходит просто из-за разных дисперсионных соотношений для линеаризованных разрешимых систем.

В качестве примера мы приводим явные формулы для односолитонного и двухсолитонного решений общего разрешимого уравнения (4.2.1).

односолитонное ренение.
\[
Q(x, t)=2 \eta^{2} \operatorname{sech}^{2}\left(\eta x-\eta \int_{a}^{t} C\left(t,-\eta^{2}\right) d t^{t}-\delta\right),
\]
r’де
\[
\delta=\frac{1}{2} \log \frac{1}{2 \eta} D_{+}(0) .
\]

Деухсолитонное решение.
$Q(x, t)$ есть дробь с числигелем
\[
\begin{array}{l}
-4 \eta_{1} \eta_{2}\left(4 \operatorname { s h } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } ( \delta _ { 2 } – \delta _ { 1 } ) + \text { th } \frac { 1 } { 2 } ( \delta _ { 2 } – \delta _ { 1 } ) \left\{e^{\left(\delta_{1}-\delta_{2}\right)} \operatorname{ch}\left(\theta_{1}+\delta_{1}\right)+\right.\right. \\
\left.\left.+e^{\left(\delta_{2}-\delta_{5}\right)} \operatorname{ch}\left(\theta_{2}+\delta_{2}\right)\right\}\right)
\end{array}
\]

и знаменателем
\[
\begin{array}{l}
\left(\text { th } \frac{1}{2}\left(\delta_{2}-\delta_{1}\right) \operatorname{ch}\left(\frac{1}{2}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\delta_{1}+\delta_{2}\right)\right)+\right. \\
\left.\quad+\operatorname{ch}\left(\frac{1}{2}\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\delta_{1}-\delta_{2}\right)\right)\right)^{2},
\end{array}
\]

где
\[
e^{\delta_{1}}=\frac{\eta_{1}-\eta_{2}}{2 \eta_{1}\left(\eta_{1}+\eta_{2}\right)}, \quad e^{\delta,}=\frac{\eta_{1}-\eta_{2}}{2 \eta_{2}\left(\eta_{1}+\eta_{2}\right)}
\]

и
\[
\theta_{i}=\log D_{+i}(0)+2 \eta_{i} \int_{0}^{t} C\left(t^{\prime},–\eta_{3}^{2}\right) d t^{\prime}-2 \eta_{i} x .
\]

Интересно детально рассмотреть асимптотическое поведение при $|t| \rightarrow \infty N$-солитонного решения уравнения (4.3.6). Вкратце это было обсуждено в разд. 1.4 для уравнения КдФ. Мы предполагаем здесь, что $C=C\left(k^{2}\right)$ (если функция $C$ явно зависнт от времени, то весь последуюций анализ не проходит). Поскольку числа чј различны, мы можем представить их в виде упорядочен ной последовательности $\left\{\eta_{i}: \eta_{i}<\eta_{j}\right.$, если $\left.i<i\right\}$. Нижний индекс мы сейчас используем для обозшачения номера компоненты вектора; таким образом, уравнение (4.3.1) может быть записано в виде
\[
K(x, y, t)=\sum_{j=1}^{N} K_{j}(x, y, t), \text { где } K_{j}(x, y, t)=h_{j}(x, t) e^{-\eta_{j} y^{t}},
\]
a (4.3.3) можно записать в виде системы линейных уравнений
\[
K_{j}(x, x, t) e^{2 \theta_{j} \eta_{j}+1} \sum_{j=1}^{N} \frac{K_{l}(x, x, t)}{\eta_{j}+\eta_{l}}+1=0,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\theta_{j}=x+C\left(-\eta_{j}^{\prime j}\right) t \cdots \delta_{j}, \\
\delta_{j}=\frac{1}{\eta_{j}} \log D_{j}^{1 / 2}(0) .
\end{array}
\]

Либо $C\left(-\eta^{2}\right)>C\left(-\eta^{2}\right), j<k$, либо $C(-\eta)<C\left(-\eta^{2}\right), j<k$, но поскяльку вторюй случай прсьрацается п первый преобрызованем $t \rightarrow-t$, мы станем рассмтрнвать только первую возможность. В окрестности прямой $x-\delta_{j}-C\left(-\eta_{i}^{2}\right) t$ нмеем:
\[
\begin{array}{ll}
0_{k} \rightarrow \pm \infty & \text { при } \quad t \rightarrow \pm \infty, \quad k<j, \\
\theta_{k} \rightarrow \mp \infty & \text { при } \quad t \rightarrow \pm \infty, \quad k>j, \\
0_{j} \approx 0 .
\end{array}
\]

Используя прапило Крамсра «ля решения (4.3.12), найдем, что $K_{j}$ представляет собой отношение двух функций $p_{j}$ и $q$. Функцня $q$ – общая для всех $K_{j}$ и зависит от всех функций $e^{\eta_{k} \theta_{l}}$, $k=1, \ldots, N$, тогда как функция $p_{j}$ для каждого $K_{j}$ своя и не зависит от $e^{\eta y^{\prime} \theta_{j}}$.
Отсюда следует, что
\[
\left.\begin{array}{l}
K_{m}=0+O\left(e^{-\lambda t}\right), \quad m<j, \\
K_{m}=K_{m}^{0}+O\left(e^{-\lambda t}\right), \quad m \geqslant j \\
K_{m}=K_{m}^{\prime}+O\left(e^{\lambda i}\right), \quad m \leqslant j, \\
K_{m}=0+O\left(e^{\lambda,}\right), \quad m>j
\end{array}\right\} \text { при } t \rightarrow-\infty,
\]

уде $\lambda$ – положнтельгая константа. Поэтому главные члешы асимптотического разложения функций $K_{j}(x, x, t)$ удовлетворяют следующнм условиям:
$t \rightarrow+\infty$
\[
\begin{array}{r}
K_{j}(x, x, t)\left(e^{20_{j} \eta_{j}}+\frac{1}{2 \eta_{j}}\right)+\sum_{l=i+1}^{N} \frac{K_{l}^{0}(x, x, t)}{\left(\eta_{j}+\eta_{i}\right)}+1=0, \\
\sum_{i=j+1}^{N} \frac{K_{l}^{0}(x, x, t)}{\left(\eta_{k}+\eta_{i}\right)}+\frac{K_{j}^{0}(x, x, t)}{\left(\eta_{k}+\eta_{j}\right)}+1=0, k \gtrless j .
\end{array}
\]
$t \rightarrow-\infty$
\[
\begin{array}{r}
K_{j}^{0}(x, x, t)\left(e^{2 \theta, \eta_{j}}+\frac{1}{2 \eta_{j}}\right)+\sum_{l=1}^{j-1} \frac{K_{l}^{0}(x, x, t)}{\left(\eta_{j}+\eta_{l}\right)}+1=0, \\
\sum_{l=1}^{i-1} \frac{K_{l}^{0}(x, x, t)}{\left(\eta_{k}+\eta_{l}\right)}+\frac{K_{j}^{0}(x, x, t)}{\left(\eta_{k}+\eta_{j}\right)}+1=0, k \geq j .
\end{array}
\]

Bсе функции $K_{1}^{0}$ в уравнепия (4.3.16) и (4.3.17) при $|x| \rightarrow \infty$ имеют постоянные предслы, так что соотетствующая функшия $Q$ подчннетея граничному условию $Q \rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty$. Решения, определение соотнонениями (4.3.16) и (4.3.17), являются солнтонами, носкольку функиня $Q$ зависит только от переменной $\theta_{j}=$ $\cdots x+C\left(-\eta_{i}^{2}\right)+\delta_{j}$ и $Q \rightarrow 0$ при $\left|\theta_{i}\right| \rightarrow \infty$. Тақим образом, $N$-солитонное решение разбивастса на $N$ односолитонных решений при $|t| \rightarrow \infty$, причси центр $j$ го солитона находитея в точке $x=\delta_{i}-C\left(-\eta_{j}^{2}\right)$ н цвнжетея со скоростью – – ( $\left(-\eta_{j}^{2}\right)$.

Мы вилим, что при $t \rightarrow-\infty$, в соответствин со свойствами функция $C(-\eta)$, солитоны упорядочены таким орразом, что самые быстрые находятся сзади, а саніе меленные – впередн группы. Этот порядок преврациетея в лротнвополокный при $t \rightarrow+\infty$, и поэтому $N$-солитоние решенне иожет быть интериретировано как взанмдействе $N$ ддносолитониы ренений. Замечательной чертой утого взанмдействия являсте то, что после столкновения солитоны возрождалотс; сдинстенное изменение, пронсходыщее в результатс столкновений, .-. это изменение фаз (как было уже показапо для случая ттолкновения дыух солитонов для урапения КдФ в га. 1). В терминах псполууемы здесь обозначений столкновение двух солитонав привадит к такому изменению их фаз:
\[
\delta_{1}=-\frac{1}{\eta_{1}} \log \left|\frac{\eta_{1}+\eta_{2}}{\eta_{1}-\eta_{2}}\right|, \quad \delta_{2}=\frac{1}{\eta_{2}} \log \left|\frac{\eta_{11}+\eta_{2}}{\eta_{1}-\eta_{2}}\right| .
\]

Болсе мсдленый солитон получает отрнцателыый фазовый сдвиг. а более быстрый – положительный. Вндло, что уравнения (4.3.17) и (4.3.18) включают только скорости других солитонов, образующихся нз $N$-солитоного решени при $|t| \rightarrow \infty$, но пе их фазы. Таким образом, общий фазевый сдвн, ириобетениый одним из солитониз при столкненин с более медленыии солитонами, будет равен сумме фазовых сдвигов, получинх ири попаризх столкновения

Эта замечательная устойчивость солитонов пра понарных столкновениях наводит на мысль заняться вопросом об устойчивости солитонов вобще. Один такой метод, претложениый Бенджамином [1972 I, исниз ует сохранякщиеся плтноки, асоцировалыле с разрешимым уравнснисм, для оиределения меры
\[
\Delta C_{3}\left(Q, Q_{s}\right)=C_{3}(Q)-C_{3}\left(Q_{s}\right) .
\]

где $C_{3}(Q)$ – трстья плотность (подынтегральное выражение в третьем интеграле дннжения для уравнения) в бесконечной исрархии сохраняющихся плотностсй для этюго уравнения. Этот материал выходит за рамки нашей кииги. Нам достаточно будет за
метнть только, что Бенджамин демонстрирует устойчивость солитонов для уравнения КЛФ. Другой подход к этому вопросу состоит в том, чтобы работать, неносредетвенно начиная с уравне ния Марченко. Однако на этом пути возникает масса технических сложностей, хотя нскоторый частный результат был получен Захаровым 11971 1.

Одной из характерных черт разрешимых нелинейных уравнений является существование преобразований Бәклунда, связывающих между собой решения одного и того же уравнения или даже двух различных разрешимых уравнений. Математическое олисание преобразований Бэклунда дано в разд. 6.3. Здесь же мы удовпетворимся перечислением обширного семейства таких преобразований. Здесь уместно вспомнить материал разд. 3.2, оттуда можно взмть несколько частных примеров преобразований Бэклунда для уравнения КдФ.

Начнем с рассмотрения двух потенциалов $Q$ и $Q^{\prime}$ и связанных с ними фундаментальных матричных решений $\Phi$, $\Phi^{\prime}$, удовлетворяющих уравнениям
\[
\Phi_{x}=\mathbf{P} \Phi, \quad \Phi^{\prime}=\mathbf{P}^{\prime} \Phi,
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{P} \equiv(Q \sigma-\mathbf{F}(k)), \\
\mathbf{F}(k)=\left(\begin{array}{lr}
0 & -1 \\
k^{2} & 0
\end{array}\right) \text { и } \sigma=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right)
\end{array}
\]
(сравните с уравнениями (3.5.8)). Здесь мы предполагаем, что непрерывные спектры для двух операторов Шрёдипғера $\mathbf{L} \equiv$ $\equiv \mathbf{L}(Q), \mathbf{L}^{\prime} \equiv \mathbf{L}\left(Q^{\prime}\right)$ совпадают, а дискретные спектры различны. Продолжая тем способом, которым было получено (3.5.15), найдем, что
\[
\left(\mathbf{A}^{\prime}\right)^{-1} \Delta \mathbf{A}=\int_{-\infty}^{\infty} \Delta Q\left(\left(\Phi^{\prime}\right)^{-1} \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{\Phi}) d x\right.
\]

где
\[
\Delta Q \equiv Q^{\prime}-Q, \quad \Delta \mathbf{A} \equiv \mathbf{A}^{\prime}-\mathbf{A}
\]

и $\mathbf{A}^{\prime}, \mathbf{A}$ – матричные функции рассеяния (3.5.13), связанные с системами (4.3.20). Правая часть уравнения (4.3.21) включает произедения собственных функций двух разных олераторю: $\mathbf{L}^{\prime}$ и $\mathbf{L}^{\prime}$. Так же как в случае квадратов собственных функций, можно поставить задачу на собственные значення для функции $\varphi \varphi^{\prime}$. Процедура состоит в выписывании уравнений (3.5.22)-(3.5.26) для собственных функций ${ }_{k} u$, ${ }_{k} v^{\prime}$, операторов $\mathbf{L}, \mathbf{L}^{\prime}$ и применении операций, приводящих к (3.5.27)-(3.5.28). Отсюда получаются соотпошения
\[
\begin{array}{l}
\left(u_{x x} v^{\prime}+v_{x x}^{\prime} u-2 u_{x} v_{x}^{\prime}\right)(x)=\int_{-\infty}^{x}\left(Q_{s} \mid Q_{s}^{\prime}\right) u v^{\prime} d s \cdots \\
+\int_{-\infty}^{x}\left(Q-Q^{\prime}\right)\left(u v_{s}^{\prime}-v^{\prime} u_{s}\right) d s+\left(u_{x x} v^{\prime}+v_{x x}^{\prime} u-2 u v_{x}^{\prime}\right)(-\infty), \quad(4.3 .22) \\
{\left[\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\left(Q+Q^{\prime}\right)\right] u v^{\prime}=-2 k^{2} u v^{\prime}+2 u_{x} v_{x}^{\prime},} \\
\left(u_{x} v^{\prime}-v_{x}^{\prime} u\right)(x)=\int_{-\infty}^{x}\left(Q-Q^{\prime}\right) u v^{\prime} d s+\left(u_{x} v^{\prime}-v_{x}^{\prime} u\right)(-\infty),
\end{array}
\]

Комбинируя эти уравнения, получаем
\[
\begin{aligned}
\mathbf{B}_{1} u v^{\prime}=k u v^{\prime}+\frac{1}{4} & \left(u_{x x} v^{\prime}+v_{x x}^{\prime} u-2 u_{x} v_{x}^{\prime}\right)(-\infty)+ \\
& +\frac{1}{4}\left(v_{x}^{\prime} u-u_{x} v^{\prime}\right)(-\infty) \int_{-\infty}^{x}\left(Q-Q^{\prime}\right) d s,
\end{aligned}
\]

где
\[
\begin{aligned}
\mathbf{B}_{1} \equiv-\frac{1}{4}\left\{\frac{\partial}{\partial x^{2}}-2\left(Q^{\prime}+Q\right)+\right. & \int_{-\infty}^{x} d s\left(Q_{s}^{\prime}+Q_{s}\right)+ \\
& \left.+\int_{-\infty}^{x} d s\left(Q^{\prime}-Q\right) \int_{-\infty}^{x} d y\left(Q^{\prime}-Q\right)\right\} .
\end{aligned}
\]

Заметим, что если $Q^{\prime}=Q$, то оператор $\mathbf{B}_{\mathbf{1}}$ совпадаст с оператором $\mathrm{L}_{1}$, определенным в (3.5.31). Уравления (4.3.20) можно переписать в виде
\[
\begin{array}{c}
\Delta R_{+}=\frac{1}{2 i k a a^{\prime}} I_{\Delta}\left(\varphi^{\prime}, \varphi\right), \\
1+\bar{b}^{\prime} b-a \bar{a}^{\prime}=-\frac{1}{2 i k} I_{\Delta}\left(\bar{\varphi}^{\prime}, \varphi\right),
\end{array}
\]

где
\[
I_{\Delta}(u, v) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} \Delta Q u v d x .
\]

Если вычислить (4.3.23) в пределе при $x \rightarrow-+\infty$ для функцни ‘р९’, то мы получим соотношение
\[
\left(R_{+}^{+}+R_{+}\right)=
\]
\[
=-\frac{1}{4 k^{2} a \alpha^{\prime}} \int_{-\infty}^{\infty}\left[\left(Q_{x}^{\prime}+Q_{x}\right)+\left(Q^{\prime}-Q\right) \int_{-\infty}^{x} d s\left(Q^{\prime}-Q\right)\right] \phi \phi^{\prime} d x \text {. }
\]

Если мы введем функцию $G\left(k^{2}\right)$, которая представлятет собой либо вепественную аналитидескую функцию, либо частное от деления двух вещественых аналитическнх фущкций, то, комбинируя (4.3.24) и (4.3.25), мы сможем получить равенство
\[
\begin{array}{l}
\left(R_{-}^{\prime}-R_{+}\right)+2 i k G\left(k^{2}\right)\left(R_{+}^{\prime}+R_{+}\right)= \\
=\frac{1}{2 i k a a^{\prime}} \int_{-\infty}^{\infty}\left[\left(Q^{\prime}-Q\right)+G\left(k^{2}\right)\left(\left(Q_{x}^{\prime}+Q_{x}\right)+\left(Q^{\prime}-Q\right) \times\right.\right. \\
\left.\left.\times \int_{-\infty}^{x} d s\left(Q^{\prime}-Q\right)\right)\right] \varphi^{\prime} d x .
\end{array}
\]

Bee это упомналось в разд. 3.5, когда мы определяли разрешимые уравнення.
Кроме того, мы имсем
\[
G\left(\mathbf{B}_{1}\right) \boldsymbol{T} \varphi^{\prime}=G\left(k^{2}\right) \varphi \varphi^{\prime},
\]

так что мы можем покторить использованшый там трюк для того, чтобы перенести действне опсратора $\mathbf{B}_{1}$ на потенциальные функции, построив для этого сопряжеший оператор
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{B}_{1}^{\Lambda}=-\frac{1}{4}\left\{\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-2\left(Q^{\prime}+Q\right)+\left(Q_{x}^{\prime}+Q_{x}\right) \int_{x}^{\infty} d s+\right. \\
\left.\cdot\left(Q^{\prime} \cdot Q\right) \int_{x}^{\infty}\left(Q^{\prime}-Q\right) \int_{s}^{\infty} d y\right\} .
\end{array}
\]

После этого можно установить нетривиальное соотношение между фулкциями $Q^{\prime}$ и $Q$, если потребовать
\[
R_{+}^{\prime}=\frac{\left(1-2 i k G\left(k^{3}\right)\right)}{\left(1+2 i k o\left(k^{2}\right)\right)} R_{1} .
\]

Тогда функции $Q^{\prime}$ и $Q$ связаны соотющеннем
\[
\left(Q^{\prime}-Q\right)+G\left(\mathbf{B}_{1}^{A}\right)\left[\left(Q_{x}^{\prime}+Q_{x}\right)+\left(Q^{\prime}-Q\right) \int_{x}^{\infty}\left(Q^{\prime} \ldots Q\right) d s\right]=0 .
\]

Из (3.5.51) спедует, что
\[
R_{+i}^{\prime}-\frac{\left(1-2 i k G\left(k^{2}\right)\right)}{\left(1 \mid 2 i k G\left(k^{2}\right)\right)} R_{1-i}-2 i k C\left(k^{2}\right) R_{+}^{\prime},
\]
rде $C\left(k^{2}\right)$ является частным от деления двух апалятических действительных функций, опрсделиющих разрешниое уравнение, которому удовлетворяет функция $Q^{*}$ (3.5.45). Поскольку $R \div$ удовлетворяет тому же самому эволюционному уравнению, что и $R_{+}$, отеюда следует, что $Q^{\prime}$ удонлетворяет этому же уравнению, и, следовательн, (4.3.30) определяет соответствие между некоторыми решениями разрешимого нелинейного уравнения.

Уравнение (4.3.30) представляет собой обобщенное преобразование Бэклнда или скорее половину от него, которую нам нужно определить, а (4.3.29) представляет собой соответствукщее изменепие коэффициента отражения. Впервые оно было получено Калоджеро и Дегасперисом [1976]. Метод вывода, который мы здесь использусм, принадлежит Додлу [1978]. Замстим, что (4.3.30) пригодно для всех разрепнмых уравнений, поскольку не завпсит от фазовой скорости линеаризованного уравнения, т.е. от функции $C\left(k^{2}\right)$. Другая половина преабразования получается подстановкой в уравнение (4.3.30) уравнений, которым удовлетвоpяют функіии $Q^{\prime}$ и $Q$ и перестановкой, при помощи которой получастся симметрическое выражение относительно $Q_{t}^{\prime}$ и $Q_{t}$ и производных этих функций по $x$. Простейшее преобразованне, задаваемое ураннением (4.3.30), соответствует первой половине преобразования Бэклунда (3.1.21), опредсленого для уравнения КІФ. Для того, чтобы его получить, положим функцию $G\left(k^{2}\right)$ равной константе, $G\left(k^{2}\right)-1 / 2 p, p
eq 0$, и тогда найдем, что
\[
\left(Q_{x}^{\prime}+Q_{x}\right)+\left(Q^{\prime}-Q\right)\left[2 p+\int_{x}^{\infty}\left(Q^{\prime}-Q\right) d s\right]=0 .
\]

Если мы введем потенцильную функцию
\[
w^{\prime}=\frac{1}{2} \int_{x}^{\infty} Q d s+\alpha, \quad w=\frac{1}{2} \int_{x}^{\infty} Q d s+\beta,
\]

где $\alpha-\beta=p$, то это можно будет переписать в виде
\[
\left(w^{\prime}+w\right)_{x}=p^{2}-\left(w^{\prime}-w\right)^{2},
\]

что является половиной преобразования Бэклунда, общей для всех разрешимых уравнений. В даппо случже коэффициенты отражения связаны следующим образом:
\[
R_{\top}^{\prime}=-\frac{(k+i p)}{(k-i p)} R_{+} .
\]

Если начинать с нулевого рененяя $Q-0$, то пструдно проверить, что (4.3.33) дает при интегрировании данное солитонное ренение (4.3.9). Коэффниен при переменной $t$ в решении, конечно, фиксируется фазовой скоростью $C\left(k^{2}\right)$ того линеаризованного варианта разрешимого уравнения, көторый мы рассматривасм. На самом деле это даст ключ к построенню функции $Q^{\prime}$ для произ. вольпой функцин $Q$. Преобразование (4.3.33) «добавляет к функции $Q$ солитон». Это ясно из рассмотрения соотношения (4.3.34), если мы интерпрстируем величину – $p^{2}$ как дополиительное собственное значсние, которое присутствует в спектре $\sigma$ (L $\left(Q^{\prime}\right)$ ), но отсутствует в слекте $\sigma(\mathbf{L}(Q)$ ). Қак можно было видеть из псрвоначальных вычислений, солитонное решение, вычисленное таким образом, не едиитвенно. Поэтому преобразование Вэк* лунца не является прсобразованием (т. е. отображсцисм) в обычном смысле, поскольку интелрированне вводит однопараметричекое семейство решений (переменная $p$ фиксирована) и таким образом устапавливает сооmвencmвие между рененнями. В слутае, когда $Q=0$, параметр включастся в фазозый сдвнг солитонного решения, порожденного преобразованием Бэклунда.

Дальше выберем в качестве примера $G\left(k^{2}\right)=(1 / 2)\left(-k^{2} / a b c+\right.$ $-(a b+a c+b c)(a b c)$, где $a+b+c=0$, что соогветствует сложному преобразованию Бэклупда, для которого
\[
R_{+}^{\prime}=-\frac{(k+i a)(k+i b)(k+i C)}{(k-i a)(k-i b)(k-i C)} R_{+}, \quad a+b-c=0,
\]
и. таким образом, спектр $\sigma\left(\mathbf{L}\left(Q^{\prime}\right)\right.$ имеет mри дополнительных собстеенны вначения $-a^{2},-b^{2}$, – (a+b). В общем слутас выбор $G\left(k^{2}\right)=\sum_{i=0} a_{i} k^{2 i}$ приводит к следующим изменениям:
\[
R_{+}^{z}=-\prod_{j=1}^{2 s-1} \frac{\left(k-i x_{i}\right)}{\left(k-i x_{i}\right)} R_{+},
\]

где $\alpha_{\text {: удовлетворяет условиям в количестве }}(2 s-1)-(s+1)=$ $=-s$, и спектр $\sigma\left(\mathbf{L}\left(Q^{\prime}\right)\right.$ нмеет $2 s+1$ дополиительны собственных значений. Преобразования, соответствующие выражениям (4.3.24), (4.3.36), называются сложиыми по той припине, что они язликтея композициями преобразований, соответствующих $(4.3 .34)$.

В этой свлзи коммутаиноное соотношение, или жгеорема о перестановкеу для преобразования Бэклунда (4.3.34), обсуждазшееся в упражнениях к гл. 3, рассмарнвается как следствие того факта, что
\[
\begin{aligned}
R_{3_{+}} & =\frac{\left(k+i p_{2}\right)}{\left(k-i p_{2}\right)} R_{1+}=\frac{\left(k+i p_{2}\right)\left(k+i p_{1}\right)}{\left(k-i p_{2}\right)\left(k-i p_{1}\right)} R_{0_{+}}= \\
& =\frac{\left(k+i p_{1}\right)\left(k+i p_{2}\right)}{\left(k-i p_{1}\right)\left(k-i p_{2}\right)} R_{0+}-\frac{\left(k+i p_{1}\right)}{\left(k-i p_{1}\right)} R_{b_{+}}
\end{aligned}
\]

Bсе это удобно представить с помоцью коммутативной диаграммы (рлс. 4.2), где $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ язльются специальными решениями, нолученными из $Q_{0}$ применением (4.3.32) к функции $Q_{0}$ с параметрами $p_{1}$ зиции, который выводится из коммуташюонного соотношения (4.3.37):
\[
w_{3}=\frac{\left(\rho_{1}^{\prime}-p_{3}^{u}\right)+w_{0}\left(w_{1}-w_{2}\right)}{\left(w_{1}-w_{2}\right)} .
\]

Это $w_{3}$ представляет собой новое ренение, полученное алгебраическим путем из данного рсшения $w_{0}$ и двух частных прсобразований от него, $w_{1}$ и $w_{3}$, с параметрами $p_{1}$ и $p_{2}$. Дальнйшие ренення можио получнть, комбинируя семейства репений, получаемых этим способом. Таким образом может быть порождена целая «пирамида» решений.

Если обобщить преобразование Бэклунда (4.3.30), допустив зависимость функиии $G$ еще и от переменной $i$, то можно формально олределить преобазования, связывашие решения различных
Рис. 4.2. Принциг алгебранческой суперпознини для разрешінмых уравнений.

разрешимых уравнений. Цопустим, таким образом, цто $Q^{\prime}$ и $Q$ – решения разрсшимых уравнений, характеризующихся соответственно функциями $C^{\prime}$ и $C$. В этом случае
\[
R_{+t}^{\prime}=-2 i \kappa C\left(k^{2}\right) R_{+}^{\prime},
\]

и мы принимаем, что $R_{+}^{+}$и $R_{+}$связаны соотношением (4.3.29), так что при помощи интегрирования получим
\[
G\left(k^{2}, t\right)=-\frac{1}{2 i k} \operatorname{tg}\left\{k\left(C\left(k^{2}\right)-C^{\prime}\left(k^{2}\right)\right)\left(t-t_{0}\right)+F\left(k^{2}\right)\right\},
\]

где
\[
\operatorname{tg}\left(k F\left(k^{2}\right)\right)=-2 i k G\left(k^{2}, t_{0}\right) .
\]

Таким образом, формальное преобразование определено соотно-
Здесь имеет смысл рассмотреть действие преобразования Бэклунда на остальные данные рассеяния, в том чнсле на коэффициент прохождения $T_{+}$. Из (4.3.29) и из того, что сделано в разд. 5 гл. 3, немедленио следует, что
\[
D_{+j^{\prime}}=\frac{\left(1-2 i k G\left(k^{2}\right)\right)}{\left(1-2 i k\left(k^{2}\right)\right)} D_{+j}, \quad j=1, \ldots, M .
\]

Гораздо труднее выяснить дейстьие преобразования Бэклунда на коэффициент прохождения $T_{+}$. Здесь мы полупи формулу для случая $G\left(k^{2}\right)=1 / 2 p$ и вывелем общий результат. $13(4.3 .30)$ после интегрирования получается, что
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left(Q^{\prime}-Q\right) d x=-4 p .
\]

Одно из уравнений (4.3.24) можно записать в внде
\[
a^{\prime}-a=-\frac{1}{2 i k} I_{\Delta}\left(\psi^{\prime}, \boldsymbol{\varphi}\right),
\]

что после использования уравнения (4.3.30) с $G\left(k^{2}\right)=1 / 2 p$ преврацастся в
\[
a^{\prime}-a=\frac{1}{4 i k p} \int_{-\infty}^{\infty}\left[\left(Q_{x}^{\prime}+Q_{x}\right)+\left(Q^{\prime}-Q\right) \int_{x}^{\infty}\left(Q^{\prime}-Q\right) d s\right] \psi^{\prime} \psi d x .
\]

Из (4.3.22) нетрудно полуинть
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty}\left[\left(Q_{x}^{\prime}+Q_{x}\right)+\left(Q^{\prime}\right.\right. & \left.-Q) \int_{x}^{\infty}\left(Q^{\prime}-Q\right) d s\right] \psi^{\prime} q d x= \\
& =2 k\left[2 a^{\prime} k-2 a k-i a \int_{-\infty}^{\infty}\left(Q^{\prime}-Q\right) d x\right]
\end{aligned}
\]

Затем (4.3.44) при помощи (4.3.45) и (4.3.42) можно переписать в виде
\[
T_{+}^{\prime}(k)=\frac{(k–i p)}{(k+i p)} T_{i}(k)
\]

Отсюда следует, что если спектр if (L $\left(Q^{\prime}\right)$ ) ниеет $N$ дополнтельных собственных значений по сравнснию со спектром $\sigma$ (L (Q)), то, повторно применяя (4.3.32) (с разными параметрами $p_{j}$ ), мы прндем к формулам
\[
\begin{array}{c}
R_{+}^{\prime}(k)=(-1)^{N} \prod_{i-1}^{N} \frac{\left(k+i p_{j}\right)}{\left(k-i p_{j}\right)} R_{+}(k), \\
T_{+}^{\prime}(k)=\prod_{j=1}^{N}\left(\frac{k+i p_{j}}{k-i p_{j}}\right) T_{+}(k) .
\end{array}
\]

Теперь рассмотрим соотношение между собственными значениями изоспектральных операторов ІШрёдипера, сязаных пренекоторых результатов разд. 4.1; здесь нсыизуетел факторизащинная техника разд. 2.2.

Предиоложим, что оператор $L(Q):=-\partial^{2} / 3 x^{2}+Q$ нмеет ряд связанных состояний $\left\{-k_{n}^{2}<\ldots<-k_{1}^{2}\right\}$, и пусть $\beta>k_{1}$, где $g$ – решенне уравнения
\[
\left(\mathbf{L}(Q)+\beta^{2} \mathbf{I}\right) g=0 .
\]

Заметим, что g не является собствнной фуикцией олератора $\mathbf{L}(Q)$. Пегко показать, что $\mathbf{L}(Q)+\beta^{2} \mathbf{I}$ можно представить в внде произведения операторов первого порядка:
\[
\mathbf{L}(Q)+\beta^{3} \mathbf{I}=\mathbf{C}^{A} \mathbf{C}, \text { где } \mathbf{C} \equiv \partial / \partial x+1-u
\]

и
\[
u^{2}-u_{x}-Q+\beta^{2} \text {. }
\]

Из этого разпожения слгдует, что мы можем выбрать тастную функцию $u$, оределенную равенством

так что
\[
u=-g_{x} g^{-1},
\]
\[
\mathrm{C}=g \frac{\partial}{\partial x} g^{-\mathbf{1}} .
\]

Дальнейшие вычисления показывают, что
\[
\mathbf{C C}^{A}=\mathbf{L}\left(Q^{\prime}\right)+\beta^{2} \mathbf{I},
\]

где
\[
Q^{\prime}(x)=Q(x)-2 \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} g(x) .
\]

Формальную эквнвалентность, определениую равенством (4.3.54), можно строго обосновать в некотором оснацении гильбертова прострапства $L^{2}(\mathbb{F}$ ). Заметим затем, что
\[
\text { (L. } \left.\left(Q^{\prime}\right) \cdot \beta^{2} \mathbf{I}\right) g^{-1}=-\left(g \frac{\partial}{\partial x} \cdot g^{-1}\right)\left(g^{-1} \frac{\partial}{\partial g} g\right) g^{-1}=0 \text {. }
\]

Тогда если
\[
g_{\alpha}(x)=\alpha \varphi(x, i \beta)+\psi(x, i \beta),
\]

To
\[
g_{\alpha}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
a(\text { i } \beta) \alpha e^{\beta x}(1+O(1)) & \text { при } x \rightarrow-\infty, \\
a(i \beta) e^{–x}(1+O(1)) & \text { при } x \rightarrow+\infty .
\end{array}\right.
\]

Величина $\beta$ не является нупем фуикиии $a$, так что функция $g_{a}^{-1}$ непрерывна и прннадлежит пространству $L^{2}$ (). Следовательно, $g_{\alpha}^{-1}$ является собственой функцей опсратора $\mathbf{L}\left(Q^{\prime}\right)$ є собственным значением – $\beta^{2}$. Рсзультат (4.3.57), который мы получили аналитическнм продолженем граниных условий для решсний Йоста (если предполагается, что функиия $Q$ нмеет компактиый носнтель, то это условие можпо ослабить), установлен непосредстенно Дейфтом и Трубовицем [19791. Очевндиое у нас заключение о том, что $\sigma\left(L\left(Q^{\prime}\right)\right)=\mid \sigma(L(Q))$, – $\left.\beta^{2}\right\}$, доказывастея с использованнем фундаментального факта спектральной теории (Дейфт [1978]), состояцего в том, цто если $B$– замкнутый оператор, то $\alpha\left(\mathbf{B} \mathbf{B}^{A}\right) \backslash\{0\}=$ \” $\left(\mathbf{B}^{A} \mathbf{B}\right) \backslash\{0\}$. Мы просто применяем этот результат к операту $\mathbf{C}$, а затем ирисоединяем дополинтельное собственное зиченне.

Соотношение между решениями Иоста для $\mathbf{L}(Q)$ и $\mathbf{L}\left(Q^{\prime}\right)$ легко получается из импликации
\[
\mathrm{C}^{A} \mathrm{C} y=0 \Rightarrow\left(\mathrm{CC}^{4}\right) C y=0 .
\]

Кроме того, пепосредствени из определения получаем, что
\[
\begin{array}{l}
\int_{ \pm a}^{\infty}|x|^{\prime}\left|Q^{\prime}( \pm x)\right| d x=\int_{ \pm^{a}}^{\infty}|x|^{i}\left|-2 \beta^{2}+2\left(g_{\alpha x} / g_{\alpha}\right)^{2}\right| d x+ \\
+\int_{: \infty}^{\infty}|x|^{j}|Q( \pm x)| d x, j=1,2, \\
\frac{g_{\alpha x}}{g_{\alpha}}=\left\{\begin{array}{l}
\frac{\phi_{x}(i \beta)}{q(i \beta)} \text { при } x \rightarrow 1-\infty, \\
\frac{\psi_{x}(i \beta)}{\psi(i \beta)} \text { при } x \rightarrow-\infty .
\end{array}\right. \\
\end{array}
\]

Затем используем теорему 4.11 для того, чтобы убеднтьсл, что
\[
\left|-2 \beta^{2}+2\left(g_{\alpha x} / \alpha\right)^{2}\right|=O\left(1 /|x|^{4}\right) \text { гри } x \rightarrow \infty,
\]

так что $\int_{-\infty}^{\infty}\left(1+x^{2}\right)\left|Q^{\prime}(x)\right| d x<\infty$. Заметим, наконец, что все приведенные выше рассуждения могут быть обрапены для $y \partial a$ ления собственной функции оператора $\mathbf{L}(Q)$.
Теорема 4.12. Пусть
(i) $\beta>k_{j}$, ade $-k_{j}^{2} \in \sigma(\mathbf{L}), j=1, \ldots, N, u \alpha>0$
( присоединение сеязанного состолния) или
(ii) $\beta-k_{N}$ (удаление селзанного состояния). Дла (i) определим $g_{\alpha}(x)-\alpha_{\varphi}(x, i \beta)+\psi(x, i \beta) u Q^{\prime}-Q-2 \partial^{2} j \partial x^{2} \ln g_{\alpha} ;$ mozda
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left(1-x^{2}\right)\left|Q^{\prime}(x)\right| d x<\infty \quad \text { u } \sigma\left(\mathbf{L}\left(Q^{\prime}\right)\right)=\left\{\sigma(\mathbf{L}(Q)),-\beta^{2}\right\} .
\]

Кроме того, данные рассеяния доух операторов связаны соотноиениями
\[
\begin{aligned}
D_{+f}^{\prime} & =\left(\frac{\beta+k_{j}}{\beta-k_{j}}\right) D_{+i}, \quad j=1, \ldots, N, \\
D_{+M+1}^{\prime} & =-\frac{2 \beta}{\alpha} T_{+}(i \beta), \\
R_{-.-}^{\prime} & =-\left(\frac{k+i \beta}{k-i \beta}\right) R_{+},
\end{aligned}
\]

а для кояффициентов прохождения
\[
T_{+}^{\prime}=\left(\frac{k+i \beta}{\hat{k}–i \beta}\right) T_{+} .
\]

Функция $g_{a}^{-1}$ является собопвенной функцией, отвечанцей собстеенному значению – $\beta^{2}$, и ренения Иоста для оператора $\mathbf{L}\left(Q^{\prime}\right)$ определяются следуюцим образом:

Для случая (ii)
\[
\begin{array}{l}
\varphi^{\prime}(x, k)=\frac{-1}{(i k-\beta)} g_{\alpha} \frac{\partial}{\partial x} g_{\alpha}^{-1} \varphi(x, k), \\
\psi^{\prime}(x, k)=\frac{1}{(i k-\beta)} g_{\alpha} \frac{\partial}{\partial x} g_{\alpha}^{-1} \Psi(x, k) .
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
D_{+j}^{\prime}=\frac{\beta-k_{j}}{\beta+k_{j}} D_{+i}, j=1, \ldots, N-1, \\
R_{+}^{\prime}=-\left(\frac{k-i \beta}{k+i \beta}\right) R_{+}
\end{array}
\]
$u$
\[
T_{+}^{*}=\left(\frac{k-i \beta}{k+i \beta}\right) T_{+} .
\]

Решения Йоста в этом случае связаны соотноиениями
\[
\begin{array}{l}
\varphi^{\prime}(x, k)=\frac{-1}{(i k+\beta)} \psi(x, i k \beta) \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\varphi(x, k)}{\psi(x, i \beta)}\right), \\
\psi^{\prime}(x, k)=\frac{1}{(i k+\beta)} \psi(x, i \beta) \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\psi(x, k)}{\psi(x, i \beta)}\right)
\end{array}
\]
$u$
\[
\begin{array}{c}
Q^{\prime}=Q-2 \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \ln \psi(x, i \beta) c \int_{-\infty}^{\infty}\left(1+x^{2}\right)\left|Q^{\prime}\right| d x<\infty, \\
\sigma\left(\mathbf{L}\left(Q^{\prime}\right)\right):=\delta(\mathbf{L}(Q)) \backslash-\beta^{2} .
\end{array}
\]

Доказательство. Осталось только проверить, что данные рассеяния связаны именно таким способом.
Для случая (i) имеем
\[
\begin{aligned}
\varphi^{\prime}(x, k)= & -(i k-\beta) g_{\alpha} \frac{\partial}{\partial x} g_{\alpha}^{-1} \Phi(x, k) \sim \\
& \sim \frac{(\beta+i k)}{(i k-\beta)} a(k) e^{-i k x}-b(k) e^{i k x} \text { прн } x \rightarrow-\infty .
\end{aligned}
\]

Результат для коэффициентов прохождения следует прямо отсюда, а результат для $R_{+}$получается из определения.

Собственная функция $g_{\alpha}^{-1}$ имеет следующее асимптотическое поведение:
\[
g_{\alpha}^{-\mathrm{I}} \sim\left\{\begin{array}{ll}
(\alpha a)^{-1} e^{-\beta x}, & x \rightarrow+\infty, \\
a^{-1} e^{\beta x}, & x \rightarrow-\infty .
\end{array}\right.
\]

Если функция $Q^{\prime}$ имеет компактный носитель, то $\varphi_{j}^{\prime}=b_{j}^{\prime} \psi_{j}^{\prime}$ для сзязанного состояния, где $b_{j}^{\prime}=b^{\prime}\left(i k_{j}\right)$. Из (4.3.63) следует, что $b_{N+1}^{\prime}=-b_{N+1}=a^{-1}$, и, таким образом,
\[
\begin{array}{l}
D_{+N+1}=\frac{\delta_{N+1}^{\prime}}{i \dot{\alpha}_{N+1}^{\prime}}=\lim _{k \rightarrow i \beta}\left\{\frac{1}{i} R_{+}^{\prime}(k-i \beta)\right\}=-2 \beta R_{+}(i \beta)= \\
=2 \beta \alpha^{-1} T_{+}(i \beta),
\end{array}
\]

что всрно и в том случае, когда функция $Q^{\prime}$ не имеет компактиого носитель. Доказательстеа для случая (ii) проводятся аналогично.

Повторнсе примененис теоремы 4.12 даст результаты, которые былн раньше получены кз обобщенного преобразования Бэклунда. Тот факт, что собственные значения могут быть изияты из оператора L $(Q)$, делает возможыым построение едипственного опепредставляет собой пустое множество.

Существование едииственной функции $Q^{\text {(рддцир.) }}$ упрощает доказательство существовнни и единственности решения уравнеЈия Марченко, как показано в разд. 4.1 и 4.2.

В случае, когда началыные условия гладкие, из результатов настоящей главы следует, что $\hat{N}$-солитопне решение получается из началыны условий, имеюцих в точности вид (4.3.6), где $t$ некоторое фиксированное число. Однако, как было показано в разд. 4.2, ситуация становится гораздо более сложной, если условия гладкости ослабить.

Объчно по поводу произвольных начальных условий хочется выяснить, сколько солитонов опи порождают. В третьей главе была дана следующая оценка для числа солитонов:
\[
N \leqslant 1+\int_{-\infty}^{\infty}|v||F(v)| d v,
\]

гле $F(z)=Q(x, 0)$ кусочно-непрерывна. В случае специальных начальных условнй можно вывести другие оценки. В литературе встречается много оценок такого сорта, по обычно при этом игюорууется влияние непрерывного спектра. Так, Березин и Карıман [1966] и Қарпман [1968] использовали конечное число сохраняющихся плотностей $\left\{C_{n}\right\}$ для апрокснмации дискрстиого спектра. Болсе простую оценку числа собственых значений можно получить при использовании правила квантования Бора-Зоммерфельда. Это правило работает хорошо, если пачальное возмущенне велико, так что такая аппроксимация спранедлива. В этом случае мы получаем (Ландау и Лифшиц [1965])
\[
\int p d x=\oint(\lambda-F(x))^{1 / 2} d x=2 \pi(N+1 / 2),
\]

где интеграл берется по полному циклу периоднческого классического движения. Отсюда выводим, что
\[
N \approx \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}|F(x)|^{1 / 2} d x .
\]

Если $\lambda_{0}=-\eta_{0}^{2}-$ собственное значение, самое большое по величине, то в этом случае
\[
\left|\lambda_{0}\right| \approx \max \{|F(x)|\}
\]

Другое, более общее выражение для $\lambda_{0}$ можно получить из асимптотического разложения $a(k)$, данного в (3.3.73). Если прсдположить, что $\left|\lambda_{0}\right|$ достаточно велнко, то мы получим
\[
\eta_{0} \approx-\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} F(v) d v .
\]

Еще лучшие оленки можно получть, если вклкчить в асимптотическое разложсние дальнейне џлены, прыравнять левую часть уравнения нуло, и затем ренить получинисеся алтебрантеское уравнение. Собтошение (4.3.68) показывает, что дия того, чтобы солитоны отсутствовали, начальные дапые должиы удовлетворять условию
\[
\int_{-\infty}^{\infty} F(v) d v>0 .
\]

Решение уравнения Марченко для произвольных начальных условий не может быть запнсано в явном зиде, но тем не менее можно получить некоторые общие черты аснитотики решешй разрешимых уравнений при больши зпачения иремени для тех случаев, когда солитоны отсутствуют в начальных данных. Лия уравиений, рассматривасмых в этой книге, оказывается, что существует асимтотнческая область, где поведение при болыши значениях времени подобно поведению пинейн дыспергиующцх систем, а именно асимнтотияская форма решеияя локально периодична со слабо меняющейся амплитудой и фазой. Репения такого тни могут быть получены непорежетвенны асимптотическим анализом уравнения, наприяср методом иногомасштабных разложений. Однако одни только асимптотичсскне методы не могут доказать сущсствованис решения или дать тоннун зависимость от начальных данных. Для этого необходнмо использовать некоторые свойства, связанные с обратным методом для разрецимого уравнения. В литературе встречаются два иодхода, до некоторой стенени перекрываюииеся. ГЈервый натинается с изучення самой по ссбе нзоспектральной задачи, второй нспользует законы сохранения, связанные с уравнением. Для уравнения КдФ изоспектральная задача была использована Захаровым и Манаковым [1976], а законы сохранения – Абловицем и Сигуром [1977]. Поскольку первый метод работает непосредственно с изоспектральным уравненнем Шрёдингера, оказывается, что таким образом можно получнть результаты сразу для целого семейства разрешимых уравиений. Действитсльп, это так, но для почти всех нацальных условий результат оказынается применим только к частн асимптотической области. Прична этого состоит в том, что јля нзоспектрального уравнения Шрёдипгера $R_{+}(0)=-1$,

Рис. 4.3. Поведение решений на большом отрезке времени для случая начальных условий, свободных от солитонов.

кроме тех специальных случаев, когда существует солитон, который блнзок к тому, чтобы его можно было добавить к спектру оператора L. Это приводит к включению в асимптотическую область внутреннего слоя, который можно найти, только изучая по отдельности каждое разрешимое уравиение. Такая ситуация не возникаст для разрешнмых уравнсий систем АҚНС, которые мы тоже рассмотрим в разд. 6.3 нашей книги.
[lo этой причине и потому, что этот анализ очень сложный и деннный, мы здесь представим только результаты для уравнения КдФ, полученные Абловицем и Сигуром 11977]. Их результаты полуцены для уравнсния КдФ вида
\[
Q_{t}+6 Q Q_{x}+Q_{x x x}=0,
\]

что отличается от нашей формулировки (3.3.1) заменой $Q \rightarrow-Q$.
В общих чертах решепие изображено графически на рис. 4.3 для $R_{+}(0)=-1$.

Потробный апалнз приводит к необходимости исследования четырех разных аснмптотических областей. Неопределенные константы и функии выиислятся путем срависия решений па пересечении областей (смотри, например, главу о срацении асимптотических разложений в работе Найфэ [1973]). Внутри каждой из областей решенне имеет следующий характер.
1. $x \geqslant O(t)$

Решение экетоненцально убъвает и может быть получено методом нанскореншого спуска из уравнення марченко
\[
Q(x, t)=\frac{1}{2(3 \pi t)^{1 / 2}} R_{+}\left\lfloor\frac{i}{2}\left(\frac{x}{3 t}\right)^{1 / 2}\right\rfloor\left[\frac{x}{3 t}\right]^{1 / 4} e^{-2(x / 3)^{3 / 2} t}\left(1+O\left(t^{-1}\right)\right) .
\]

Здест $X: x / t \cdots O$ (1) и по $t^{-1}$ ведется разложение.
JI. $|x| \leqslant O\left(t^{1 / 3}\right)$
Решение аaномодельн и растет линейю при $\left(x / t^{1 / 3}\right) \rightarrow \infty$.
\[
\begin{array}{c}
Q(x, f) \because(3 t)^{-2 / 3} F(\eta, t), \quad \eta=(3 t)^{-1 / 3} x, \\
F(\eta, t)=f(\eta)+(3 t)^{-1 / 3} f_{1}(\eta)+(3 t)^{-2 / 3} f_{2}(\eta)+\ldots,
\end{array}
\]

где $f(r)$ удовлетворяет аптомодельному уравнению для уравнения Кдф:
\[
f_{\eta \eta \eta}+6 f f_{\eta} \cdots\left(2 f+v f_{n}\right)=0 .
\]

Два случая представлятот интерес:
(a) $|R+(0)|<1, f$ осцилирует при $\eta \rightarrow-\infty$. Тогда
\[
f(ग) \approx \frac{i}{\pi^{1 / 2}} \ln \left\{1 \cdots\left|R_{+}(0)\right|^{2}\right\}^{1 / 4} \cos \theta+
\]
\[
\text { t. }-\frac{1}{2 \pi} \ln \left\{1 \cdots\left|R_{+}(0)\right|^{1 / 2}(-\eta)^{-1 / 2}(1-\cos 2 \theta)\right. \text {. }
\]

где
\[
\theta \approx \frac{2}{3}(\cdots \eta)^{3 / 2}+\frac{3}{4 \pi} \ln \left\{\ldots-n\left(1-\left|R_{+}(0)\right|^{2}\right\}+\theta_{0} ;\right.
\]
(b) $\left|R_{+}(0)\right|=1$, при $\eta \rightarrow \infty f(\eta)-\frac{1}{2} \eta$ и при $\eta \rightarrow-\infty$
$j(\eta)=-\frac{1}{2} \eta-\frac{1}{2}(-2 \eta)^{-1 / 2}+\frac{1}{2}(-2 \eta)^{-2}-$
\[
-\frac{5}{2}(-2 \eta)^{-7 / 2}+O\left((-2 \eta)^{-5}\right) .
\]

Cлучай (b) — это та ситуация, которая возникает почти всегда. III. $(\cdots x)=O\left\{t^{1 / 3}(\ln t)^{2 / 3}\right\}$.

Упорлцчение асимптотическх рядов для функции $F$ (случай (b) в области II) нарушаетея в пределе гри т $\rightarrow-\infty$. Решение в этой области соответствет бестоиновительной удариой волне, т. е. существует узкая область, в которой асимптотическое решение гладко переходит от одного типа поведсиия к другому без какойлибо диссипации. Тогда
r.де
\[
Q(x, l)=(3 i)^{-2 / 3}(-21) g(Z),
\]
\[
g(Z) \approx a(Z)+b(Z) \operatorname{cn}^{2}\left(2 K(v) \theta+\theta_{0}, v(z)\right),
\]
\[
a=\frac{-v}{4(2-v)}, \quad b=\frac{v}{2(2-v)},
\]

\[
\begin{array}{c}
z=\ln (1+\varepsilon \xi), \quad e^{-1}=\ln 3 i-\frac{5}{4} \ln (2 \ln 3 t), \\
2 \xi \cdots(-2 \eta)^{3 / 2}-2 \ln 3 t-\frac{15}{4} \ln (-2 \eta), \quad 0=8^{-1} \int_{0}^{2} w(z) e^{2} d z \\
\omega^{2}-\frac{1}{(6 K)^{2}(2-v)}
\end{array}
\]

и
\[
\frac{d v}{d Z}=\cdots \frac{8}{3} \frac{(1-v / 2)}{v}\left[\left(1-\frac{v}{2}\right) \frac{E}{K}-\cdots 1+v\right] .
\]

Область значений переменной $Z$-интерват ] 0, $\infty[$, а $K(v)$, $E(v)$ – полые эллитические интегралы первого и второю рода соответьтвенно.
IV. $(-x) \geqslant O(t)$

Рсшение в этой области имеет вид
\[
\begin{array}{c}
Q(x, t)=\tau^{-1 / 2}(2 d) x^{-1 / 4} \cos \theta, \\
0=\tau\left(2 / 3 X^{3 / 2}-\left(2 d^{2}\right) \frac{\ln \tau}{\tau} \cdots \frac{1}{\tau}\left(\theta_{0} \cdot 3 d^{2} \ln X\right)\right), \\
d^{2}(X)=14 \pi \ln \left(1-\left|R-\left(X^{1 / 2}\right)\right|^{2}\right), \\
X-x / 3 t, \tau=3 i .
\end{array}
\]

Функия $0_{0}$, которая не была опрелелена Абловием и Сигуром, может быть определена методом Захарова и Манакова (см. разд. 6.3).