В гл. 1 и затем в гл. 6 мы упоминали уравнение
\[
\beta \frac{\partial^{2} A}{\partial x^{2}}+\gamma A|A|^{2}=i \frac{\partial A}{\partial t}
\]

как пример интегрируемого эволюционного уравнения, но не касались вопроса о его физическом смысле. Название неликейное уравнение Шрёдингера (НЛШ-уравнение, или просто НУШІ) было присвоено ему именно потому, что структура этого уравнения в точности совпадает со структурой квантовомеханического уравнения Шрёдингера, где $|\dot{A}|^{2}$ играет роль потенциала. Однако в большинстве ситуаций, где появляется НУШI, с настоящим уравнением Шрёдингера из квантовой механики его связывает лишь название. В действительности оно играет существенную роль в теории распространения огибающих волновых пакетов во многих устойчивых дисперсионных физических системах, в которых не происходит рассеяння. Поскольку такие уравнения имеют широкую область приложения, мы весь этот раздел посвящаем обсуждению метода многомасытабных разложений из теории возмущений, с тем чтобы продемонстрировать незнакомому с предметом читателю простую технику нахождения эволюционных уравнений для огибающих волновых пакетов, распространяющихся в нелинейной днсперсионной системе. Физические примеры будут рассмотрены в последующих разделах.

Многие естественные нелинейные системы допускают решения в виде гармонических волновых пакетов
\[
\varphi=a \exp [i(k x-\omega(k) t)],
\]

в предположении что амплитуда $a$ достаточно мала. Тем самым предполагается, что нелинейные члены достаточно малы, чтобы ими можно было пренебречь, и в таком случае амплитуда будет оставаться неизменной во времени, как показано на рис. 8.1.

Изменение амплитуды таких синусоидальных осцилляций в пространстве и во времени происходит из-за эффектов нелинейности, благодаря обратному воздействию высших гармоник, порожденных нелинейными членами, на исходную волну. Мы хотим рассмотреть снтуацию, когда основное состояние системы представляет собой линейную гармонику, которая, хотя и мала по амплитуде, но все же не столь, чтобы можно было пренебречь эффектами нелинейности. Мы ограничимся случаем, когда огибающая волны медленно меняется как по пространственной, так и по временной переменным по сравнению с несущей волной.

Такие примеры обычны в повседневной жизни. Например, AM- (амплитудно-модулированнье) радиоволны служат примером быстро осциллирующей несущей волны с относительно медленно меняющейся огибающей. Радиоприемник выделяет амплитуду и

Рис. 8.1. Синусоидальные колебания постоянной амплитуды.
частоту огибающей волн и превращает их в звуковые волны: мы слышим волновую огибающую, а не несущую волну. На рис. 8.2 представлено синусоидальное колебание с медленно меняющейся огибающей.

Следующая важная область приложений, в которой медленно меняющаяся огибающая модулирует несущую волну, относится к когерентной лазерной оптике. Например, когерентный оптический импульс продолжительностью в одну наносекунду, скажем в области голубого света, будет иметь около $10^{6}$ колебаний несущей волны внутри огибающей импульса. В нелинейной оптике имеются способы, позволяющие из исходных уравнений движения получать эволюционные уравнения для медленно меняющихся огибающих (и фаз). Для этого обычно приходится жертвовать производными более высоких порядков у огибающих и несущими высшими гармониками в исходных уравнениях движения. Наиболее естественное применение это находит в случае, когда частота падающей волны находится в резонансе с собственной частотой активной среды (скажем, с атомной частотой двухуровневой атомной системы). Эти идеи применимы к целому ряду областей, таких как физика плазмы, гидродинамика или оптика; ключевая идея заключается в нахождении слабо нелинейных разложений для колебаний рассматриваемых систем. Для резонансных систем колебания, которые приводят к различным результатам в нерезонансных ситуациях, могут порождать неустойчивость. В этой главе мы будем заниматься лишь слабо нелинейным нерезонансвым случаем, для которого, как мы покажем, типичными амплитудными уравнениями будут нелинейные уравнения Шрёдингера.

Резонансный случай (неустойчивый) будет обсуждаться в следующей главе.

Можно неформальным образом показать, как нелинейное уравнение Шрёдингера возникает в качестве эволюционного уравнения для огибающей несущей волны (Хасегава [1975]). Настоящие линейные системы характеризуются дисперснонным соотношением, которое не зависит от амплитуды. Предлоложим, однако, что развитие гармонической волны в слабо нелинейной системе может быть представлено дисперсионным соотношением, которое зависит от амплитуды (тақая ситуация в самом деле встречается в нелинейной оптике или теории плазмы, когда показатель

Ряс. 8.2. Синусоидальные колебания с медленно меняющейся амплитудой

преломления или диэлектрическая постолнная среды зависят от электрнческого поля):
\[
\omega=\omega\left(k ;|A|^{2}\right) .
\]

Разложение Теяллора для а в окрестности фиксированных волнового числа $k_{0}$ и частоты $\omega_{0}$ имеет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\omega-\omega_{0}=\left[\frac{\partial \omega}{\partial k}\right]_{0}\left(k-k_{0}\right)+\frac{1}{2} & {\left[\frac{\partial^{2} \omega}{\partial k^{2}}\right]_{0}\left(k-k_{0}\right)^{2}+} \\
& +\left[\frac{\partial \omega}{\partial\left(|A|^{2}\right)}\right]_{0}|A|^{2}+\ldots .
\end{aligned}
\]

Равенство (8.1.4) можно рассматривать как эквивалент (в пространстве фурье-образов) операторного уравнения, которое, действуя на $A$, дает
\[
i\left(\frac{\partial}{\partial t}+\left[\frac{\partial \omega}{\partial k}\right]_{0} \frac{\partial}{\partial x}\right) A+\frac{1}{2}\left[\frac{\partial^{2} \omega}{\partial k^{2}}\right]_{0} \frac{\partial^{2} A}{\partial x^{2}}-\left[\frac{\partial \omega}{\partial\left(|A|^{2}\right)}\right]_{0} \cdot A|A|^{2}=0
\]
(если отбросить члены высших порядков). Уравнение (8.1.5) есть нелинейное уравнение Шрёдингера, и этот эвристический вывод показывает, как можно грубо моделировать зффект нелинейного члена, полагая, что система имеет зависящее от амплитуды дисперсионное соотношение. Этот простой метод показывает нам, как получаются НУШ, но, к сожалению, в конкретных случаях он не дает значений коэфхициентов в окончательном уравнении, в частности коэффициента $\partial \omega / \partial\left(|A|^{2}\right)$. Қак мы увидим в следующем разделе, знак этого коэффициента весьма существен. Ввиду этого полезнее на данном этапе представить более формальный математический метод, который может быть применен к большому классу нелинейных уравнений в случаях, когда мы хотим знать развитие медленно меняющейся огибающей, модулирующей быструю несущую волну.

Это последнее свойство означает, что длина волны огибающей во много раз больше длины несущей волны. Следовательно, $\lambda_{c} \lambda_{e}^{-1} \ll \mathrm{I}$, где $\lambda_{c}, \lambda_{e}$ – типичные длины волн несущей волны и огибающей соответственно. Если $x$ и $t$ – обычные пространственная и временна́я переменные для несущей волны, то мы можем ввести набор «медленных» временной и пространственной переменных $T_{n}=e^{n} t, X_{n}=\varepsilon^{n} x$ ( $\varepsilon \ll 1$ ). Эти медленные временна̀я и пространственная переменные являются переменными, в которых естественно описывать движение огибающей, и отныне мы их будем рассматривать как независимые переменные. Изложение метода нахождения эволюционного уравнения для огибающей колебаний, отвечающих данному нелинейному уравнению, лучше начать с примера. Этот метод по понятным причинам часто называют методом многомаситабных разложений или методом двухвременных разложений.

Возьмем нелинейное уравнение Қлейна-Гордона с кубическим нелинейным членом
\[
\varphi_{x \mathfrak{x}}-\varphi_{t i}=\alpha \varphi-\beta \varphi^{s},
\]

которому отвечает плотность гамильтониана
\[
\mathscr{H}=\frac{1}{2}\left(\varphi_{x}^{2}+\varphi^{2}\right)+\frac{1}{2} \alpha \varphi^{2}-\frac{1}{4} \beta \varphi^{ \pm}
\]

и, следовательно, потенциал
\[
V(\varphi)=\frac{1}{2} \alpha \varphi^{2}-\frac{1}{4} \beta \varphi^{4} .
\]

Нарисовав график этого потенциала, видим, что при $\varphi=0$ он имеет минимум, а при $\varphi= \pm(\alpha / \beta)^{1 / 2}$ – максимумы. Поэтому решение $\varphi=0$ уравнения (8.1.6) дает положенне устойчивого равновесия, и, значит, мы можем разложить это решение в асимптотический ряд по степеням $\varepsilon^{p}$, где $p$ пока – некоторое неизвестное положительное число:
\[
\varphi=\varepsilon^{D} \varphi^{(1)}+\boldsymbol{e}^{2 \rho} \varphi^{(2)}+\ldots .
\]

Дифференциальные операторы $\partial / \partial x$ и $\partial / \partial t$ в (8.1.6) также должны быть преобразованы так, чтобы была учтена зависимость медленных переменных $X_{n}$ и $T_{n}$ от $x$ и $t$. После перехода к этим медленным пространственному, временно́му и амплитудному масштабам систему можно назвать слабо нелиейной. Производные $\partial / \partial x$ и $\partial / \partial t$ преобразуются прн этом так:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial x} \rightarrow \frac{\partial}{\partial x}+\sum_{n=1} \varepsilon^{n} \frac{\partial}{\partial X_{n}}, \\
\frac{\partial}{\partial t} \rightarrow \frac{\partial}{\partial t}+\sum_{n=1} \varepsilon^{n} \frac{\partial}{\partial T_{n}} .
\end{array}
\]

Начиная с этого места, мы будем считать переменные $x, X_{n}, t$ и $T_{n}$ независимыми. Подставляя (8.1.9) и (8.1.10) в (8.1.6), получим
\[
\begin{array}{c}
\left\{\left(\frac{\partial}{\partial x}+\varepsilon \frac{\partial}{\partial X_{1}}+\mathrm{e}^{2} \frac{\partial}{\partial X_{2}} \cdots\right)^{2}-\left(\frac{\partial}{\partial t}+\varepsilon \frac{\partial}{\partial T_{1}}+\varepsilon^{2} \frac{\partial}{\partial T_{\mathrm{g}}} \cdots\right)^{2}-\alpha\right\} \times \\
\times\left(\varepsilon^{p_{\varphi}(1)}+\varepsilon^{2 p_{\varphi}(2)} \ldots\right)+\beta\left\{\varepsilon^{p_{\varphi}^{(1)}}+\varepsilon^{2 p_{\varphi}(2)} \ldots\right\}^{3}=0 .
\end{array}
\]

Отсюда можно найти коэффициенты при различных степенях $\varepsilon$ :
\[
\begin{array}{ll}
O\left(\varepsilon^{p}\right): & \left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\alpha\right) \varphi^{(1)}, \\
O\left(\varepsilon^{p+1}\right): & 2\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial X_{1}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{1}}\right) \varphi^{(1)}, \\
O\left(\varepsilon^{2 p}\right): & \left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\alpha\right) \varphi^{(2)}, \\
O\left(\varepsilon^{2 p+1}\right): & 2\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial X_{1}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{1}}\right) \varphi^{(2)}, \\
O\left(\varepsilon^{p+2}\right): & 2\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial X_{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{2}}\right) \varphi^{(1)}+\left(\frac{\partial^{2}}{\partial X_{1}^{2}}-\frac{\partial^{3}}{\partial T_{1}^{2}}\right) \varphi^{(1)}, \\
O\left(\varepsilon^{3 p}\right): & \beta\left(\varphi^{(1)}\right)^{3}+\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\alpha\right) \varphi^{(3)} .
\end{array}
\]

Для нахождения разумного значения $p$ применим теперь правдоподобное рассуждение, аналогичное примененному в гл. 5. Очевидно, что уравнение, получающееся приравниванием выражения (8.1.12) нулю, представляет собой линейную задачу и не может дать информации о $p$. Имеются лишь две возможности нетривиального выбора $p$ в нижних порядках: (a) $p+1=2 p$, (b) $p+1=3 p$. В случае (b) мы получим $p=1 / 2$, но тогда нельзя разумно выбрать решение $\varphi^{(1)}$. Остается случай (a), который дает $p=1$. Приравнивая нулю члены в (8.1.11) одинакового порядка по $\varepsilon$, приходим к уравнениям
\[
\begin{array}{l}
O(\mathrm{e}): \quad\left(\frac{\partial^{\mathrm{a}}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\alpha\right) \varphi^{(1)}=0, \\
O\left(\varepsilon^{2}\right): \quad\left(\frac{\partial^{\mathrm{a}}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{\mathrm{a}}}{\partial t^{2}}-\alpha\right) \varphi^{(2)}=-2\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial X_{1}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{1}}\right) \varphi^{(1)},
\end{array}
\]

\[
\begin{aligned}
O\left(\varepsilon^{3}\right): & \left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\alpha\right) \varphi^{(3)}=-2\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial X_{1}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{1}}\right) \varphi^{(2)}, \\
& -2\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial X_{2}} \cdot \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial T_{2}}\right) \varphi^{(1)}-\beta\left(\varphi^{(1)}\right)^{3}-\left(\frac{\partial^{2}}{\partial X_{1}^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial T_{1}^{2}}\right) \varphi^{(1)} .
\end{aligned}
\]

Мы можем выбрать решение уравнения (8.1.18) в виде гармоники, но, поскольку дифференциальные операторы здесь относятся к быстрым переменным $x$ и $t$, полезно записать $\varphi^{(1)}$ в виде ${ }^{1}$ )
\[
\begin{aligned}
\varphi^{(1)} & =A\left(X_{1}, X_{2}, \ldots ; T_{1}, T_{2}, \ldots\right) \exp (i \theta)+\text { c. c., } \\
\theta & =k x-\omega t+\delta, \\
\omega^{2} & =k^{2}+\alpha, \quad \alpha>0 .
\end{aligned}
\]

Функция $A$ в (8.1.21) является произвольной (пока!) комплексной амплитудой, зависящей от медленных переменных. Тем самым на первой стадии наших вычислений, в нижнем порядке, мы получили линейное колебание, огибающая которого представляет собой функцию, зависящую лишь от медленных переменных. Таким образом, мы достигли разделения медленных и быстрых переменных. Подставляя (8.1.21) в $O\left(\varepsilon^{2}\right)$-уравнение, получим
\[
\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\alpha\right) \Phi^{(2)}=-2 i\left(k \frac{\partial A}{\partial \bar{X}_{1}}+\omega \frac{\partial A}{\partial T_{1}}\right) \exp (i \theta)+\text { c. c. }
\]

Решая это уравнение относительно $\varphi^{(2)}$, мы сразу сталкиваемся со следующей проблемой. Однородная часть решения такая же, как у уравнения (8.1.21), именно потому, что линейные операторы в этих уравнениях одинаковы. Следовательно, правая часть в (8.1.24) «резонирует» с этим решением, поскольку она также содержит член $\exp (i \theta)$. Поэтому частный интеграл для $\varphi^{(2)}$ будет содержать ұлен типа $\theta \exp (i \theta)$. Когда $t \rightarrow \infty$, член такого вида «взрывается» и теория возмущений становится неприменимой при временах $t>\varepsilon^{-1}$. Члены такого вида обычно называются секулярными. Для предотвращения такой возможности у нас есть лишь два выхода. Первый состоит в том, чтобы считать $A$ постоянной, так чтобы правая часть в (8.1.24) обращалась в нуль. Второй, более общий, – потребовать, чтобы $A$ удовлетворяла уравнению
\[
k \frac{\partial A}{\partial X_{1}}+\omega \frac{\partial A}{\partial T_{1}}=0 .
\]

Ввиду этого требования полезно ввести новую переменную
\[
\bar{X}_{1}=X-c_{g} T_{1},
\]
1) Ннже с. с. обозначает комплексно-сопряженное (complex conjugate) вьражение. – Прим. ред.

где $c_{g}=d \omega / \partial k-$ групповая скорость волнового пакета. Поэтому амплитудная функция может быть записана в виде $A=A(\bar{X}$, $X_{2}, T_{2}$ ). Следовательно, в системе, движущейся с групповой скоростью, секулярные члены исчезают. Мы все еще удержнваем переменные $X_{2}$ и $T_{2}$, так как это дает нам возможность иметь в $A$ две (или более) независимые переменные.
Переходя к $O\left(\varepsilon^{\mathbf{3}}\right)$-члену, получаем
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\alpha\right) \Phi^{(3)}=-2 i\left(k \frac{\partial A}{\partial X_{2}}+\omega \frac{\partial A}{\partial T_{2}}\right) \exp (i \theta)- \\
-\left[\left(1-c_{g}^{2}\right) \frac{\partial^{3} A}{\partial \ddot{X}^{2}}+3 \beta A^{2} A^{*}\right] \exp (i \theta)-\beta A^{3} \exp (3 i \theta)+\text { c. c. }
\end{array}
\]

Мы опустили член, содержащий $\varphi^{(2)}$, потому что этот член, в силу (8.1.26), автоматически равен нулю. Снова видно, что все члены $с \exp (i \theta)$ в (8.1.27) являются секулярными. Однако член $\exp (3 i \theta)$ не секулярен, так как он не резонирует с однородным решением. Поэтому для того чтобы теория возмущений работала при временах $t>\varepsilon^{-1}$, мы должны потребовать, чтобы коэффициент при $\exp (i \theta)$ обращался в нуль. Мы заключаем, что $A$ должно изменяться в соответствии с уравнением
\[
\left(1-c_{\bar{g}}^{\circ}\right) \frac{\partial^{2} A}{\partial \bar{X}^{2}}+3 \beta A^{2} A^{*}+2 i\left(k \frac{\partial A}{\partial \bar{X}_{2}}+\omega \frac{\partial A}{\partial T_{2}}\right)=0 .
\]

Теперь видно, что вовсе не обязательно сохранять обе переменные $X_{2}$ и $T_{2}$, поскольку всегда можно, перейдя к новой системе координат, исключить одну из них. Опустим на время $X_{2}$ и перепишем уравнение (8.1.28) в виде
\[
\frac{\partial^{2} A}{\partial \bar{X}^{2}}+3 \beta \omega^{2} \alpha^{-1} A|A|^{2}+2 i k \omega^{2} \alpha^{-1} \frac{\partial A}{\partial T_{\mathrm{g}}}=0 .
\]

Это – нелинейное уравнение Шрёдингера из глав 1 и 6 (см. уравнения (1.6.1) и (6.1.1)). Переменная $\bar{X}$ в этом уравнении это «пространственная» переменная, а $T_{2}$ – «временная» переменная, поэтому автоматический временной масштаб, на котором действует уравнение огибающей, достаточно велик, ибо единица времени в шкале $T_{2}$ составляет $\mathbf{8}^{-\mathbf{3}}$ единиц реального времени. Функция $A\left(X, T_{2}\right)$ комплексная и, значнт, содержит информацию о фазе волны. Если представить $A$ в виде
\[
A\left(\bar{X}, T_{9}\right)=a\left(\bar{X}, T_{2}\right) \exp \left[i \Phi\left(\bar{X}, T_{2}\right)\right],
\]

где $a$ и $\Phi$ вещественны, то мы найдем, что
\[
\varphi^{(1)}=2 a\left(\bar{X}, T_{2}\right) \cos \left\{k x-\omega t+\Phi\left(\bar{X}, T_{2}\right)\right\},
\]

где $2 a\left(\bar{X}, T_{2}\right)$ – вещественная медленно меняющаяся амплитудная функция, а $\Phi$ – медленно меняющаяся фаза. Чтобы решать задачи Коши для уравнения (8.1.29), нужно, разумеется, задать начальные условия для $a\left(\bar{X}, T_{2}\right)$ и $\Phi\left(\bar{X}, T_{2}\right)$. Односолитонное решение уравнения (8.I.29) для огибающей принимает вид (см. (1.6.2))
\[
\begin{array}{l}
A=a \sqrt{2 / \beta} \exp [i \Phi] \operatorname{sech}[a(x-b t)], \\
\Phi=\frac{1}{2} b x-\left(\frac{1}{4} \cdot b^{2}-a^{2}\right) t,
\end{array}
\]

где экспоненциальный множитель представляет собой, как было показано выше, фазовый член, а $a$ и $b$ – произвольные постоянные. Возможность медленного изменения фазы означает, что частота и волновое число волнового пакета могут отходить от своего центрального значения, отличаясь от него на величину, медленно меняющуюся в пространстве и во времени. В неликейной оптике это явление известно как «чириканье».

Результат (8.1.29) справедлив также и в случае, если рассмотреть эволюцию малых колебаний для уравнения СГ
\[
\varphi_{x x}-\varphi_{t t}=\sin \varphi .
\]

Поскольку нас интересуют разложения в окрестности устойчивого состояния $\varphi=0$, достаточно в правой части оставить лиінь qлены $\varphi-\varphi^{3} / 6$, поскольку вплоть до $O\left(\varepsilon^{5}\right)$-уравнений члены пятого и более высоких порядков в разложении правой части (8.1.34) не понадобятся. Поэтому для получения указанного результата для уравнения СГ достаточно в (8.1.29) положить $\alpha=1$ и $\beta=1 / 6$.