Используя идеи предыдущего раздела, мы можем убедиться, что линеаризованный вариант уравнения КдФ, записанный в форме
$$u_t+u_x+u_{xxx}=0,$$

является чисто дисперсионным уравнением с $\omega =k-k^3$. Слагаемое $u_{xxx}$ вносит дисперсионный эффект в бездисперсионное уравнение $u_t+u_x=0$. Начальные данные, предпосланные уравнению (1.8.1), будут в дальнейшем диспергировать или расширяться, как описано в разд. 1.7.

Сконцентрируем теперь наше внимание на нелинейном члене $u{u}_x$, встречающемся в уравнении КдФ, и будем игнорировать дисперсионный член. Рассмотрим, как развиваются некоторые начальные данные
$$u(x,0)=f(x)$$

для бездисперсионного нелинейного уравнения
$$u_t+(u+1)u_x=0.$$

Уравнение такой структуры может показаться трудным для решения, но его можно преобразовать к другому виду по аналогии с соответствующей линеаризованной задачей. Уравнение $u_t+$ $+u_0{u}_x=0$ имеет решение $u=u(x-u_{0}t)$, распространяющееся со скоростью $u_0$. Если мы выберем начальные данные $u(x,0)=$ $=f(x)$, полное решение будет иметь вид $u(x,t)=f(x-u_{0}t)$. Физическая аналогия с нелинейным случаем кажется слишком отдаленной, но тем не менее множитель $(u+1)$ в уравнении (1.8.3) аналогичен волновой скорости $u_0$. По аналогии с линейным случаем это подразумевает, что (1.8.3) может быть выражено как функциональное уравнение:
$$u=f\{x-(u+1)t\}.$$

Чтобы показать, что это возможно, произведем проверку прямым вычислением. Так,
$$u_x=(1-u_{x}t)f^{\prime }$$

и
$$u_t=-[t{u}_t+u+1]f^{\prime }$$

дают уравнение
$$[u_t+(u+1)u_x](1+t{f}^{\prime })=0,$$

которое удовлетворяется любым решением уравнения (1.8.3). Удивительным образом оказывается, что (1.8.4) — альтернативная форма для (1.8.3) и, кроме того, неявное уравнение для $u$. Решение уравнения (1.8.4) может быть найдено методом характеристик. Детали можно найти у Уизема [1974]. Используя те же идеи, легко показать, что и для более общего нелинейного уравнения $u_t+c(u)u_x=0$ с начальными условиями $u(x,0)=f(x)$ решение может быть выражено в форме $u=f[x-c(u)t]$

Ясно, что для большинства функций $f(x)$ уравнение (1.8.4) нисколько не легче для решения, чем уравнение (1.8.3). Однако
существует такой выбор начальной функции, который позволяет решить уравнение (1.8.4). Это кусочно-линейные начальные условия в форме треугольника:
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{u}_{0}x,& 0<x<1,\\ u_0(2-x),& 1<x<2,\\ 0,& x<0,x>2.\end{array}$$

Эта треугольная форма может считаться приближением более общей горбовидной кривой и в то же время не заставит нас заниматься решением трансцендентных уравнений. Поэтому такую форму начальных условий можно использовать для формирования интуитивных представлений о свойствах более общей задачи. При таких начальных условиях функциональное уравнение (1.8.4) приобретает вид
$$u(\eta ,t)=\{\begin{array}{ll}{u}_0(\eta -ut),& 0⩽\eta -ut⩽1,\\ u_0(2-\eta +ut),& 1⩽\eta -ut⩽2,\\ 0& \text{ во всех остальных случаях. }\end{array}$$

Здесь мы немного упростили (1.8.9) подстановкой $x-t=\eta$. Эти уравнения линейны по $и$ в каждом интервале, и мы можем их решить:
$$u=[\begin{array}{l}\frac{u_0\eta }{1+u_{0}t},\\ \frac{u_0(2-\eta )}{1-u_{0}t},\\ 0,\end{array}{u}_{\eta }=[\begin{array}{l}\frac{u_0}{1+u_{0}t},0⩽\eta -ut⩽1,\\ \frac{-u_0}{1-u_{0}t},1<\eta -ut⩽2,\\ \text{ в остальных случаях. }.\end{array}$$

Выражения для $u_{\eta }$ записаны во втором столбце (1.8.10), и из них легко видеть, что наклон левой стороны треугольника медленно уменьшается с ростом $t$, в то же время наклон правой стороны треугольника из отрицательного становится постепенно положительным в точке $t=1/u_0$, где правая сторона треугольника вертикальна. Треугольник как бы сдвигается вершиной вправо, и правый угол становится тупым. Эта ситуация иллюстрируется серией диаграмм на рис. 1.10 .

Если в уравнении (1.8.4) множитель $(u+1)$ понимать как скорость волны, то можно на интуитивном уровне понять, почему волна ведет себя именно таким образом. Бо̀льшие значения $u$ движутся быстрее, чем меньшие, и поэтому вершина треугольника обгоняет все нижние точки. Волна становится многозначной через некоторое время $t=1/u_0$, поэтому говорят, что она разрушается. Время $t=1/u_0$ называется минимальным временем раз. рушения. В общем случае начальное условие в виде горба становится многозначным, и гребень волны начинает опрокидываться, что весьма напоминает поведение больших волн на пляже. Это очень сложный процесс, и его невозможно описать чисто аналитическим способом, как мы это только что сделали для простого примера с треугольником в качестве начального условия. Численные исследования такого процесса разрушения волны были проделаны Лонге-Хиггинсом и Коуклетом [1976].

Рис. 1.10. Эволюция начальных данных, имеющих форму треугольного импульса.

Рис. 1.11. Введение разрыва при $x=x_s$ для $t>1/u_0$.
Если $u(x,t)$ обозначает амплитуду волны, то появление многозначного решения после минимального времени разрущения совершенно естественно с физической точки зрения. Уравнения, подобные (1.8.4), встречаются в динамике невязкого газа (см. упр. 5), причем в этой задаче функция $u$ обозначает плотность. Очевидно, что многозначная плотность — бессмысленное понятие, если только не интерпретировать ее как следствие разрывности решения при $t⩾u_0^{-1}$. Для того, чтобы разъяснить эту задачу, рассмотрим для простоты уравнение (1.8.4) в других переменных $\eta =x^{\prime }=x-t,t^{\prime }=t$, и цтрихи, начиная с этого момента, будем опускать. Это не что иное, как преобразование Галилея, переводящее уравнение (1.8.4) к виду $u_t+u{u}_x=0$. Чтобы интерпретировать многозначность таким путем, заменим многозначную волну разрывной. Это показано графически на рис. 1.11 .

Задача состоит в том, чтобы определить, где следует вводить разрыв и как он будет развиваться со временем. Используем тот факт, что плоцадь, занятая волной, все время постоянна, если $u$ плотность, поскольку общая масса должна сохраняться.

Площадь, занятая начальным условием (1.8.10), равна $u_0$, и площадь, занятая треугольником с разрывом, равна $x_{s}h/2$, где $h$ — высота. Из подобия треугольников следует, что
$$\frac{h}{x_s}=\frac{u_0}{1+u_{0}t},$$

что дает
$$\begin{array}{c}{x}_s^2=2(1+u_{0}t),\\ h=\sqrt{2u_0{(1+u_{0}t)}^{-1/2}}.\end{array}$$

Очевидно, что $x_s$ и $h\to 0$ при $t\to \mathrm{\infty }$. Характеристическая плоскость (рис. 1.12) показывает, как ведет себя решение до и после

Рис. 1.12. Характеристическая плотность для уравнения $u_t+u{u}_x=0$.
минимального времени разрушения при начальных условиях (1.8.8). Когда характеристические линии сходятся, они объединяются в кривую, которая является линией разрыва.
Характеристические линии задаются уравнением
$$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{u}\text{ при постоянном }u(x,t).$$

Линия с минимальным градиентом получается при $u=u_0$, что заставляет линии в середине рисунка склоняться внутрь и пересекаться с линиями, связанными с меньшими значениями $u$, которые получаются при больших $x$.

Из этих вычислений можно сделать вывод, что если нет дисперсионного члена, то через конечное время могут появиться разрывы или многозначность. Введение дисперсионного члена $u_{xxx}$ предотвращает формирование ударной волны. Этой задачей занимались Забуски и Крускал [1965]. Они включили член ${\delta }^2{u}_{xxx}$ с $\delta =0,022$ и нашли, что хотя сначала волна и становится круче, она никогда не опрокидывается. Хотя величина множителя $\delta$ очень мала, третья производная в области, где волна становится круче, так велика, что ударные волны не могут сформироваться.

Таким образом, можно сделать вывод, что дисперсия противодействует присущей нелиней ности тенденции к образованию разрывов.

Введение диссипации вместо дисперсии в такие системы сводится обычно к включению члена $\delta u_{xx}$ вместо $u_{xxx}$. Получается нелинейное диффузионное уравнение типа
$$u_t+u{u}_x=\delta u_{xx},$$

которое известно под названием уравнения Бюргерса. Величина $\delta$ — коэффициент диффузии, и она является вещественной положительной константой. Уравнение Бюргерса знаменито по нескольким причинам. Во-первых, оно включает в себя нелинейность и диссипацию самым простым способом и поэтому может рассматриваться как нелинейная версия уравнения теплопроводности. Во-вторых, что гораздо замечательнее, оно может быть линеаризовано при помощи преобразования, известного под названием преобразования Коула — Хопфа, с которым мы встречались в разд. 1.3 и 1.4 :
$$u=\alpha \frac{\partial }{\partial x}\log F.$$

Константа $\alpha$ пока неизвестна. Мы ее введем ниже. Использование этого преобразования в (1.8.15) приводит к уравнению
$$\frac{F_t}{F}+\frac{1}{2}\alpha \frac{F_x^2}{F^2}-\delta (\frac{F_{xx}}{F}-\frac{F_x^2}{F^2})=c(t),$$

где $c(t)-$ константа интегрирования. Если положить $\alpha =-2\delta$, то член $F_x^2/F^2$ уничтожится, и мы получим
$$F_t-Fc(t)=\delta F_{xx}.$$

Функцию $c(t)$ можно включить в функцию $F$; таким образом, в результате получится уравнение
$$F_t=\delta F_{xx},$$

которое называется диффузионным, или уравнением теплопроводности. Задача Коши для этого уравнения была решена в предыдущем разделе.

Преобразование Коула — Хопфа в (1.8.16) — это в точности то преобразование, при помощи которого уравнение КДФ сводилось к однородному уравнению второй степени (см. разд. 1.4.4). Можно считать, что уравнение КдФ и уравнение Бюргерса в некотором отношении родственны. Уравнение КдФ — простейшее дисперсионное обобщение нелинейного уравнения $u_t+u{u}_x=0$, а уравнение Бюргерса — простейшее диссипативное обобщение. Очевидно, что они встречаются в разных физических ситуациях. Уравнение КдФ встречается в дисперсионных системах без рассеяния энергии, а уравнение Бюргерса — в системах, где доминирует вязкость.

Простейшим решением уравнения Бюргерса, демонстрирующим процесс рассеяния, является решение Тейлора в виде ударной волны:
$$u=a\delta \{1-\mathrm{th}\frac{1}{2}(ax-\delta a^{2}t)\}.$$

При $x\to \mathrm{\infty },u\to 0$, а при $x\to -\mathrm{\infty }u\to 2a\delta$. График решения (1.8.20) при некотором $t>0$ дан на рис. 1.13. Это решение

Рис. 1.13. Решение Тейлора в виде ударной волны (1.8.20).
принято называть ударной волной, хотя на самом деле оно непрерывно. Однако по мере того как $\delta$ стремится к нулю, фронт ударной волны становится все круче и круче. Қак и в случае уравнения КдФ, даже слагаемое с очень малым $\delta$ предотвращает разрушение волны, поскольку вторая производная в области фронта очень велика.