Используя идеи предыдущего раздела, мы можем убедиться, что линеаризованный вариант уравнения КдФ, записанный в форме
\[
u_{t}+u_{x}+u_{x x x}=0,
\]

является чисто дисперсионным уравнением с $\omega=k-k^{3}$. Слагаемое $u_{x x x}$ вносит дисперсионный эффект в бездисперсионное уравнение $u_{t}+u_{x}=0$. Начальные данные, предпосланные уравнению (1.8.1), будут в дальнейшем диспергировать или расширяться, как описано в разд. 1.7.

Сконцентрируем теперь наше внимание на нелинейном члене $u u_{x}$, встречающемся в уравнении КдФ, и будем игнорировать дисперсионный член. Рассмотрим, как развиваются некоторые начальные данные
\[
u(x, 0)=f(x)
\]

для бездисперсионного нелинейного уравнения
\[
u_{t}+(u+1) u_{x}=0 .
\]

Уравнение такой структуры может показаться трудным для решения, но его можно преобразовать к другому виду по аналогии с соответствующей линеаризованной задачей. Уравнение $u_{t}+$ $+u_{0} u_{x}=0$ имеет решение $u=u\left(x-u_{0} t\right)$, распространяющееся со скоростью $u_{0}$. Если мы выберем начальные данные $u(x, 0)=$ $=f(x)$, полное решение будет иметь вид $u(x, t)=f\left(x-u_{0} t\right)$. Физическая аналогия с нелинейным случаем кажется слишком отдаленной, но тем не менее множитель $(u+1)$ в уравнении (1.8.3) аналогичен волновой скорости $u_{0}$. По аналогии с линейным случаем это подразумевает, что (1.8.3) может быть выражено как функциональное уравнение:
\[
u=f\{x-(u+1) t\} .
\]

Чтобы показать, что это возможно, произведем проверку прямым вычислением. Так,
\[
u_{x}=\left(1-u_{x} t\right) f^{\prime}
\]

и
\[
u_{t}=-\left[t u_{t}+u+1\right] f^{\prime}
\]

дают уравнение
\[
\left[u_{t}+(u+1) u_{x}\right]\left(1+t f^{\prime}\right)=0,
\]

которое удовлетворяется любым решением уравнения (1.8.3). Удивительным образом оказывается, что (1.8.4) – альтернативная форма для (1.8.3) и, кроме того, неявное уравнение для $u$. Решение уравнения (1.8.4) может быть найдено методом характеристик. Детали можно найти у Уизема [1974]. Используя те же идеи, легко показать, что и для более общего нелинейного уравнения $u_{t}+c(u) u_{x}=0$ с начальными условиями $u(x, 0)=f(x)$ решение может быть выражено в форме $u=f[x-c(u) t]$

Ясно, что для большинства функций $f(x)$ уравнение (1.8.4) нисколько не легче для решения, чем уравнение (1.8.3). Однако
существует такой выбор начальной функции, который позволяет решить уравнение (1.8.4). Это кусочно-линейные начальные условия в форме треугольника:
\[
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
u_{0} x, & 0<x<1, \\
u_{0}(2-x), & 1<x<2, \\
0, & x<0, x>2 .
\end{array}\right.
\]

Эта треугольная форма может считаться приближением более общей горбовидной кривой и в то же время не заставит нас заниматься решением трансцендентных уравнений. Поэтому такую форму начальных условий можно использовать для формирования интуитивных представлений о свойствах более общей задачи. При таких начальных условиях функциональное уравнение (1.8.4) приобретает вид
\[
u(\eta, t)=\left\{\begin{array}{ll}
u_{0}(\eta-u t), & 0 \leqslant \eta-u t \leqslant 1, \\
u_{0}(2-\eta+u t), & 1 \leqslant \eta-u t \leqslant 2, \\
0 & \text { во всех остальных случаях. }
\end{array}\right.
\]

Здесь мы немного упростили (1.8.9) подстановкой $x-t=\eta$. Эти уравнения линейны по $и$ в каждом интервале, и мы можем их решить:
\[
u=\left[\begin{array}{l}
\frac{u_{0} \eta}{1+u_{0} t}, \\
\frac{u_{0}(2-\eta)}{1-u_{0} t}, \\
0,
\end{array} \quad u_{\eta}=\left[\begin{array}{l}
\frac{u_{0}}{1+u_{0} t}, 0 \leqslant \eta-u t \leqslant 1, \\
\frac{-u_{0}}{1-u_{0} t}, 1<\eta-u t \leqslant 2, \\
\text { в остальных случаях. } .
\end{array}\right.\right.
\]

Выражения для $u_{\eta}$ записаны во втором столбце (1.8.10), и из них легко видеть, что наклон левой стороны треугольника медленно уменьшается с ростом $t$, в то же время наклон правой стороны треугольника из отрицательного становится постепенно положительным в точке $t=1 / u_{0}$, где правая сторона треугольника вертикальна. Треугольник как бы сдвигается вершиной вправо, и правый угол становится тупым. Эта ситуация иллюстрируется серией диаграмм на рис. 1.10 .

Если в уравнении (1.8.4) множитель $(u+1)$ понимать как скорость волны, то можно на интуитивном уровне понять, почему волна ведет себя именно таким образом. Бо̀льшие значения $u$ движутся быстрее, чем меньшие, и поэтому вершина треугольника обгоняет все нижние точки. Волна становится многозначной через некоторое время $t=1 / u_{0}$, поэтому говорят, что она разрушается. Время $t=1 / u_{0}$ называется минимальным временем раз. рушения. В общем случае начальное условие в виде горба становится многозначным, и гребень волны начинает опрокидываться, что весьма напоминает поведение больших волн на пляже. Это очень сложный процесс, и его невозможно описать чисто аналитическим способом, как мы это только что сделали для простого примера с треугольником в качестве начального условия. Численные исследования такого процесса разрушения волны были проделаны Лонге-Хиггинсом и Коуклетом [1976].

Рис. 1.10. Эволюция начальных данных, имеющих форму треугольного импульса.

Рис. 1.11. Введение разрыва при $x=x_{s}$ для $t>1 / u_{0}$.
Если $u(x, t)$ обозначает амплитуду волны, то появление многозначного решения после минимального времени разрущения совершенно естественно с физической точки зрения. Уравнения, подобные (1.8.4), встречаются в динамике невязкого газа (см. упр. 5), причем в этой задаче функция $u$ обозначает плотность. Очевидно, что многозначная плотность – бессмысленное понятие, если только не интерпретировать ее как следствие разрывности решения при $t \geqslant u_{0}^{-1}$. Для того, чтобы разъяснить эту задачу, рассмотрим для простоты уравнение (1.8.4) в других переменных $\eta=x^{\prime}=x-t, t^{\prime}=t$, и цтрихи, начиная с этого момента, будем опускать. Это не что иное, как преобразование Галилея, переводящее уравнение (1.8.4) к виду $u_{t}+u u_{x}=0$. Чтобы интерпретировать многозначность таким путем, заменим многозначную волну разрывной. Это показано графически на рис. 1.11 .

Задача состоит в том, чтобы определить, где следует вводить разрыв и как он будет развиваться со временем. Используем тот факт, что плоцадь, занятая волной, все время постоянна, если $u$ плотность, поскольку общая масса должна сохраняться.

Площадь, занятая начальным условием (1.8.10), равна $u_{0}$, и площадь, занятая треугольником с разрывом, равна $x_{s} h / 2$, где $h$ – высота. Из подобия треугольников следует, что
\[
\frac{h}{x_{s}}=\frac{u_{0}}{1+u_{0} t},
\]

что дает
\[
\begin{array}{c}
x_{s}^{2}=2\left(1+u_{0} t\right), \\
h=\sqrt{2 u_{0}\left(1+u_{0} t\right)^{-1 / 2}} .
\end{array}
\]

Очевидно, что $x_{s}$ и $h \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$. Характеристическая плоскость (рис. 1.12) показывает, как ведет себя решение до и после

Рис. 1.12. Характеристическая плотность для уравнения $u_{t}+u u_{x}=0$.
минимального времени разрушения при начальных условиях (1.8.8). Когда характеристические линии сходятся, они объединяются в кривую, которая является линией разрыва.
Характеристические линии задаются уравнением
\[
\frac{d t}{d x}=\frac{1}{u} \quad \text { при постоянном } u(x, t) .
\]

Линия с минимальным градиентом получается при $u=u_{0}$, что заставляет линии в середине рисунка склоняться внутрь и пересекаться с линиями, связанными с меньшими значениями $u$, которые получаются при больших $x$.

Из этих вычислений можно сделать вывод, что если нет дисперсионного члена, то через конечное время могут появиться разрывы или многозначность. Введение дисперсионного члена $u_{x x x}$ предотвращает формирование ударной волны. Этой задачей занимались Забуски и Крускал [1965]. Они включили член $\delta^{2} u_{x x x}$ с $\delta=0,022$ и нашли, что хотя сначала волна и становится круче, она никогда не опрокидывается. Хотя величина множителя $\delta$ очень мала, третья производная в области, где волна становится круче, так велика, что ударные волны не могут сформироваться.

Таким образом, можно сделать вывод, что дисперсия противодействует присущей нелиней ности тенденции к образованию разрывов.

Введение диссипации вместо дисперсии в такие системы сводится обычно к включению члена $\delta u_{x x}$ вместо $u_{x x x}$. Получается нелинейное диффузионное уравнение типа
\[
u_{t}+u u_{x}=\delta u_{x x},
\]

которое известно под названием уравнения Бюргерса. Величина $\delta$ – коэффициент диффузии, и она является вещественной положительной константой. Уравнение Бюргерса знаменито по нескольким причинам. Во-первых, оно включает в себя нелинейность и диссипацию самым простым способом и поэтому может рассматриваться как нелинейная версия уравнения теплопроводности. Во-вторых, что гораздо замечательнее, оно может быть линеаризовано при помощи преобразования, известного под названием преобразования Коула – Хопфа, с которым мы встречались в разд. 1.3 и 1.4 :
\[
u=\alpha \frac{\partial}{\partial x} \log F .
\]

Константа $\alpha$ пока неизвестна. Мы ее введем ниже. Использование этого преобразования в (1.8.15) приводит к уравнению
\[
\frac{F_{t}}{F}+\frac{1}{2} \alpha \frac{F_{x}^{2}}{F^{2}}-\delta\left(\frac{F_{x x}}{F}-\frac{F_{x}^{2}}{F^{2}}\right)=c(t),
\]

где $c(t)-$ константа интегрирования. Если положить $\alpha=-2 \delta$, то член $F_{x}^{2} / F^{2}$ уничтожится, и мы получим
\[
F_{t}-F c(t)=\delta F_{x x} .
\]

Функцию $c(t)$ можно включить в функцию $F$; таким образом, в результате получится уравнение
\[
F_{t}=\delta F_{x x},
\]

которое называется диффузионным, или уравнением теплопроводности. Задача Коши для этого уравнения была решена в предыдущем разделе.

Преобразование Коула – Хопфа в (1.8.16) – это в точности то преобразование, при помощи которого уравнение КДФ сводилось к однородному уравнению второй степени (см. разд. 1.4.4). Можно считать, что уравнение КдФ и уравнение Бюргерса в некотором отношении родственны. Уравнение КдФ – простейшее дисперсионное обобщение нелинейного уравнения $u_{t}+u u_{x}=0$, а уравнение Бюргерса – простейшее диссипативное обобщение. Очевидно, что они встречаются в разных физических ситуациях. Уравнение КдФ встречается в дисперсионных системах без рассеяния энергии, а уравнение Бюргерса – в системах, где доминирует вязкость.

Простейшим решением уравнения Бюргерса, демонстрирующим процесс рассеяния, является решение Тейлора в виде ударной волны:
\[
u=a \delta\left\{1-\operatorname{th} \frac{1}{2}\left(a x-\delta a^{2} t\right)\right\} .
\]

При $x \rightarrow \infty, u \rightarrow 0$, а при $x \rightarrow-\infty u \rightarrow 2 a \delta$. График решения (1.8.20) при некотором $t>0$ дан на рис. 1.13. Это решение

Рис. 1.13. Решение Тейлора в виде ударной волны (1.8.20).
принято называть ударной волной, хотя на самом деле оно непрерывно. Однако по мере того как $\delta$ стремится к нулю, фронт ударной волны становится все круче и круче. Қак и в случае уравнения КдФ, даже слагаемое с очень малым $\delta$ предотвращает разрушение волны, поскольку вторая производная в области фронта очень велика.